高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]

第九章 欧氏空间

一、判断题

1、12,,

,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。( )

2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。( )

3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。( )

4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）

5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ）

6、度量矩阵是正定的 （ ）

7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）

8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）

9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。

10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )

11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )

12、若矩阵A 为正交矩阵，则1

-='A A .( )

13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )

14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。( )

15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。( )

二、填空题

1、在欧氏空间3

R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________．

2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．

3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2

A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --?? ?=- ? ???

，则向量

12323βααα=+-的长度为 。

5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .

6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。

7、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。

8、设()()'

='=1,0,0,1,0,0,1,1Y X ,则X 与Y 的夹角=θ .

9、若 A 为正交矩阵，则=-A A 1 ；

10、在n 维欧氏空间V 中, n 级矩阵A 是V 的某个基的度量矩阵的充要条件是 .

三、选择题

1、若线性变换σ与τ是（ ），则τ的象与核都是σ 的不变子空间。 .A 互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D. 不可换的

2、设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ）

①若()()γβγαβα=?=,,； ②若

βαβα=?=； ③若()11,=?=α

αα； ④若0(,)αβαβ-+=，?||||αβ=。 3、欧氏空间3R 中的标准正交基是（ ） ①()0,1,0;21,0,21;21,0,21??? ??-??? ??； ②；1111000012222

(,,),(,,),(,,)- ③()0,0,0;31,31,31;31,31,31???? ??-???? ??； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---。

4、设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的充分必要非充分条件是（ ）

①σ保持非零向量的夹角； ②σ保持内积； ③σ保持向量的长度； ④σ把标准正交基映射为标准正交基。

5、A 为n 阶正交方阵，则

A. A.为可逆矩阵

B.秩 ()A 1=

C. 0=A

D.1=A

6、若两个n 阶方阵B A ,是正交矩阵,则AB 是 ( )

A.对称矩阵 .

B.相似矩阵

C.正交矩阵

D. BA AB =

7、下列说法正确的是( ).

A. 实对称矩阵A 的属于不同特征值的特征向量必正交;

B. 实对称矩阵A 的属于相同特征值的特征向量必不正交;

C. 实对称矩阵A 的所有特征向量都正交;

D. 以上都不对.

8、)1(≥n n 维欧氏空间的标准正交基( ).

A.不存在

B.存在不唯一;

C.存在且唯一 ;

D.不一定存在.

9、若??????? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 21

2222111211是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。 (A)T T AA A A E == (B)1=A

(C)12

1212211=+++n a a a (D)021********=+++n n a a a a a a

10、 若A 是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。

(A)T T AA A A E == (B)1=A

(C)1-='A A (D)A 的列向量组为单位正交向量组. 四、计算题

1、把向量组1(2,1,0)α=-，2(2,0,1)α=扩充成3R 中的一组标准正交基.

2、设123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===是R 3的一个基，用正交化方法求R 3的一组标准正交基。

3、 设123,,εεε为V 的基，且线性变换A 在此基下的矩阵为

111111111A ?? ?= ? ???

（1）求A 的特征值与特征向量；

（2）A 是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T 使得1

T AT -为对角形．

4、已知R 3的一组向量α1=(1,0,0),α2=(1,1,0) ,α3=(1,1,1)。

（1）证明α1,α2 ,α3构成R 3的一个基；

（2）对其施行施密特正交化方法求出R 3的一个标准正交基。

5、 已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换化为标准形

23222152y y y f ++=，求a 的值． 五、证明题 1、设A ，B 为同级正交矩阵，且A B =-，证明：0A B +=． 2、设A 为半正定矩阵，且0A ≠，证明：0A E +>．

3、设n ααα,,,21 是欧氏空间V 的一个基，α是V 中的向量， 证明 若n j j ,,2,1,0),( ==αα，则 α=0

4、设V 是一欧氏空间,0α≠是V 中一固定向量,试证明:

(1) {|(,)0,}W x x x V α==∈是V 的一个子空间;

(2) dim 1W n =-.

5、设η是n 维欧氏空间V 的一个单位向量，定义

σ(α)=α-?η,α?η

试证明：（1）σ为线性变换；

（2）σ为正交变换；

（3）存在V 的一个标准正交基，使得σ关于这个基的矩阵具有形状

??????

? ??-100010001 。 6、321,,ααα是三维欧氏空间V 的一个标准正交基，试证：

1. ()()()3213321232112231223

12231αααβαααβαααβ--=+-=-+=

也是V 的一个标准正交基。

7、βααα,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,证明:如果β与每一个n i i ,,2,1, =α正交,那么0=β。

8、设n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 中的一组向量，而??????

? ??=),(),(),(),(),(),(),(),(),(21

2221212111m m m m m m αααααααααααααααααα 证明：当且仅当0≠ 时m ααα,,21 线性无关。