人教版高中数学高二-数列考题分类评析
2007年数列考题分类评析
数列是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学的重要衔接点，其涉及的基础知识、数学思想与方法、在高等数学的学习中起着重要作用，因而成为历年高考久考不衰的热点题型．所以在历年的高考中都占有重要地位．
一、等差数列与等比数列基本问题
等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，等差、等比数列的定义、通项公式等基本知识一直是考查的重点，这方面的考题解题方法灵活多样，技巧性较强．而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．
例1 (2007年全国高考福建理科试题) 等差数列{}n a 的前n
项和为
1319n S a S ==+，．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()n
n S b n n
*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：（Ⅰ
）由已知得111339a a d ?=??+=+??，?2d =，
故21(n n a n S n n =-=． （Ⅱ）由（Ⅰ
）得n
n S b n n
=
=
假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，
则2q p r b b b =．
即2((q p r =++．
∴2()(20q pr q p r -+--=
∵p q r *
∈N ，，，∴2020q pr q p r ?-=?--=?，，
?2
2(
)()02p r pr p r +=-=，?p r =． 与p r ≠矛盾．
所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．
评析：由于数列是必考知识点，所以，在历年的高考试卷中，用有关概念、公式求解一些基本量(1a 、n 、d 、q 、a n 、S n )等问题，判断或证明一个数列是等差或等比数列，并由此求其通项公式、前n 项和S n 或确定a n 与S n 的关系问题也是高考命题一直考查的热点．
二、等差数列与等比数列的性质问题
由于等差(比)数列运算的灵活性与技巧性较强，因此要学会借用等差(比)数列的性质解题，以达到选择捷径，避繁就简，合理解题的目的．
例2 (2007年全国高考湖北卷理科试题)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n n
a
b 为整数的正整数n 的个数是( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 解：∵
n n a b =22n n a b =121121n n a a b b --++=121121()(21)
2()(21)2
n n a a n b b n --+-+-=2121n n A B --=7(21)45(21)3n n -+-+=7191n n ++=7＋121
n +， ∴当n =1、n =2、n = 3、n = 5、n = 11时12
1
n +为整数，故选D ．
例3 (2007年全国高考福建卷文科试题)等比数列{}n a 中，44a =，则26
a a
等于( )．
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
∵26a a =2
4a = 16，故选C ．
评析：在等差数列{ a n }中，若m 、n 、p 、q ∈+N ，且m ＋n = p ＋q ，则有a m
＋a n = a p ＋a q ，在等比数列{ a n }中，若m 、n 、p 、q ∈+N ，且m ＋n = p ＋q ，则有a m ·a n = a p ·a q ．利用这些性质解某些等差或等比数列问题，可以将问题化难为易，化繁为简．
三、久考不衰的递推数列通项公式问题
对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列把问题解决．这类问题多年来一直是高考久考不衰的热点题型，尤其是2007年全国高考试卷十分明显．直接求此类问题的通项公式，许多学生常常感到困惑不解，有时显得束手无策．
例4 (2007年全国高考北京卷文科试题)数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c
是常数，n= 1，2，3，…），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．
⑴求c 的值；
⑵求{}n a 的通项公式．
解：⑴12a =，22a c =+，323a c =+，
因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．
⑵当n ≥2时，由于21a a c -=，322a a c -=，……， 1(1)n n a a n c --=-， 所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=++
+-=
．
又12a =，2c =，故22(1)2n a n n n n =+-=-+ (n = 2，3，4…)． 当1n =时，上式也成立，所以22n a n n =-+ n =1， 2，3，…．
评析：此类型试题是容易丢分的高档题型．求递推数列的通项公式的思维方向是转化与化归，这样处理问题的目的是化陌生为熟悉，当然首选方向是化成等差或等比数列，也可通过构造把问题转化根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的．特别需要说明的是，a n 与S n 的关系问题(考生易漏掉n = 1时的情况)历来是考查的热点．
对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，在高考试卷中，最常见的类型有：①a 1+n = a n +)(n f 型；②a 1+n =)(n f ·a n 型；③a 1+n = pa n +q 型；④a 1+n = pa n +)(n f 型；⑤a 1+n = pa n + q n 型；⑥a 2+n = pa 1+n + qa n 型；⑦a n = S n －S 1-n (n ≥2)型等．
四、变化多端的数列求和问题
数列求和问题综合性强、复杂多变、解法灵活等特征成为高考考查的重点内容．由于大多数数列求和问题都不是最基本的等差数列或等比数列，所以高考常考查的数列求和的方法有：错位相减法，倒序相加法，分组求和法，裂项相消法等．
例5 (2007年全国高考福建卷文科试题)已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，
22a =，0n a >
，n b =*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列．
（I ）证明：22n n a a q +=；
（II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列； （III ）求和：
1234
21
21111
11n n
a a a a a a -++++++． 解：（I ）、（II ）略
（III ）由（II ）得
2221
111n n q a a --=
，222211n n q a a
-=，于是 12
213
21
24
211111111
1()(
)n n n
a a a a a a a a a -+++
=+++++++
2422
2422
12111
1
111
1(1)(1)n n a q q
q
a q q
q
--=
++++
+++++
2422
311
1(1)2n q q
q -=
++++
．
当1q =时，2422
1221113111
(1)2n n a a a q q
q
-+++
=++++
3
2
n =． 当1q ≠时，
242212
211
13111
(1)2n n a a a q q
q
-+++=++++2231(
)21n q q ---=-222231
[]2(1)n n q q q --=-． 故
212
22223
1211
11[] 1.(1)
n
n n n q q a a a q q q -?=??
+++=?3
-?≠?2-?， ，， 评析：数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是高考常见的高档性试题，对于等差数列或等比数列的求和主要是运用公式，求一般数列的前n 项和，即非等差数列或非等比数列求和问题，可以借助错位相减法或裂项相消法转化为等差数列或等比数列求和问题．
五、数列应用问题
数列作为特殊的函数，其应用问题在高考试卷中占有相当重要的位置，在数学应用题中，数列应用题有着十分重要的地位，因为这类问题涉及到工农业生产、现实生活中的方方面面．
例6 (2007年全国高考山东卷理科试题)某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增
加d(d ＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目1a ，2a ，……是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r (r ＞0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，……．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．
（Ⅰ）写出n T 与1n T -(n ≥2)的递推关系式；
（Ⅱ）求证：n T =n A ＋n B ，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．
解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得
2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=……
12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++，
①
在①式两端同乘1r +，得
12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++
②
②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-
1[(1)1](1)n n n d
r r a r a r
=
+--++-． 即1122(1)n n a r d a r d d
T r n r r r ++=+--．
如果记12(1)n n a r d A r r +=+，12n a r d d
B n r r +=--，
则n n n T A B =+．
其中{}n A 是以
12
(1)a r d
r r
++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，d
r
-为公差的等差数列．
评析：应用题型在数列中近几年明显增加．从近几年与数列有密切联系的
应用题看，以关注热点、贴近生活，抓住考生身边的重要事件作素材，比如，当前大家都关注的：下岗职工再就业问题，住房改革与医疗改革问题，个人储蓄与养老保险问题，分期付款购买家具、电器、汽车、住房问题，环境保护问题，国土资源与人口发展问题等等，借助数列知识将实际问题抽象为数学问题．
六、信息迁移问题
信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，并给出一定容量的新信息，通过阅读，从中获取相关信息，捕捉解题资料，发现问题规律，找出解决方法，并应用于新问题解答的一类题目．这类问题能力要求较高，可以考查考生临场阅读、提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．
例7 (2007年全国高考上海卷理科试题)若有穷数列12a a ，，…，n a （n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1≤i ≤n ），就称该数列为“对称数列”．
⑴已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234b b b b ，，，成等差数列，
14211b b ==，，试写出{}n b 的每一项；
⑵已知{}n c 是项数为21k -(k ≥1)的对称数列，且k c ，1k c +，…，21k c -构成首项为50，公差为－4的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？
⑶对于给定的正整数m ＞1，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得1，2，22，…，21m -成为数列中的连续项；当m ＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和2008S ．
解：⑴设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ，
∴数列{}n b 为2，5，8，11，8，5，2．
⑵2112k S c c -=++…11k k k c c c -+++++…21k c -+k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，
22214(13)41350k S k -=--+?-，
∴当13=k 时，12-k S 取得最大值． 即12-k S 的最大值为626． ⑶所有可能的“对称数列”是：
① 22122122222221m m m ---，，
，，，，，，，，； ② 2211221222222221m m m m ----，，
，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ----，
，，，，，，，，，； ④ 1222212222112222m m m m ----，
，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S
2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ．
对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ． 对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-m m ． 对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-m m ．
评析：这种题型的特点是通过阅读反映某一知识点的阅读材料，它要求学生运用已学过的知识，通过观察、归纳、探索和综合等推理过程才能得出结论．它重在考查学生的阅读能力、分析能力、书面表达能力、随机应变能力、探索能力
和思维的发散性．