证明数列是等差或等比数列的方法

一、证明或判断数列为等差数列的方法

1.定义法

在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列 例：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，321=

a ，且满足211322++=+n n n a S S （*N n ∈） 证明：数列{}n a 是等差数列

证明：由211322++=+n n n a S S 得21132)(2++=++n n n n a S a S 整理得121234++-=n n n a a S

则n n n a a S 23421-=-

两式相减得n n n n n a a a a a 223341221+--=++

因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a

所以()231=-+n n a a ，即321=

-+n n a a 所以{}n a 是首项为

32，公差为3

2的等差数列 2.等差中项法

212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列

例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A 、B 为常数

（1）求A 与B 的值 （2）证明数列{}n a 是等差数列

解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231

718S S S ===，， 把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851 得B A +=?-?-1773

解得：20-=A ，8-=B

（2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n

整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n

即82028511--=--?++n S S a n n n n ① 又()()81202815122-+-=--++++n S S a n n n n ②

②-①得()20285151212-=--?-+++++n n n n a a a n a n 即()()20253512-=+--++n n a n a n ③

又()()20752523-=+-+++n n a n a n ④

④-③得()()0225123=+-++++n n n a a a n

所以02123=+-+++n n n a a a

所以5231223=-==-=-++++a a a a a a n n n n ，又512=-a a 所以数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列

3.看通项与前n 项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）

（1）若数列通项n a 能表示成b an a n +=（a ，b 为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；

（2）若数列{}n a 的前n 项和n S 能表示成bn an S n +=2

（a ，b 为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列

例：若n S 是数列{}n a 的前n 项和，2

n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，也是等比数列

D.既不是等差数列，也不是等比数列 解析：根据（2）知{}n a 等差数列，不是等比数列

二、证明或判断数列为等比数列的方法

1.定义法

在数列{}n a 中，若q a a n n =-1

（q 为常数），则数列{}n a 为等比数列 例：设数列{}n a 的首项411≠=a a ，且11214

n

n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数 ， 记4112-=-n n a b ，3,2,1=n …

（1）求2a ，3a

（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论