大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)讲解学习
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专
用)
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={
8.群 广群的性质：封闭性； 半群的性质：封闭性，结合律； 含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元； 群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元； 2.群没有零元； 3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律； 4.循环群中幺元不能是生成元； 5.任何一个循环群必定是阿贝尔群； 10.格与布尔代数 1.格：偏序集合A 中任意两个元素都有上、下确界； 2.格的基本性质： 1) 自反性a ≤a 对偶: a ≥a 2) 反对称性a ≤b ^ b ≥a => a=b 对偶:a ≥b ^ b ≤a => a=b 3) 传递性a ≤b ^ b ≤c => a ≤c 对偶:a ≥b ^ b ≥c => a ≥c 4) 最大下界描述之一a^b ≤a 对偶 avb ≥a A^b ≤b 对偶 avb ≥b 5）最大下界描述之二c ≤a,c ≤b => c ≤a^b 对偶c ≥a,c ≥b =>c ≥avb 6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a 8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a 9) a ≤b <=> a^b=a avb=b 10) a ≤c,b ≤d => a^b ≤c^d avb ≤cvd 11) 保序性b ≤c => a^b ≤a^c avb ≤avc 12） 分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c) 13）模不等式a ≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c 3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)； 4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构； 5.链格一定是分配格，分配格必定是模格； 6.全上界：集合A 中的某个元素a 大于等于该集合中的任何元素，则称a 为格
个叶子，n2个2度节点，则
0n =n2+1； 42.二叉树的节点遍历方法： 先根顺序（DLR ）； 中根顺序（LDR ）； 后根顺序（LRD ）；
教育学基础311重点总结
一. 教育目的和教学目标的关系 教育目的是预期的教育结果，是国家，家长，教育机构，教师对培育什么样的人的总的要求。广义的教育目的还包括培养目标，课程目标，教学目标等。教育目的是教学的总方向，是一切教育活动的出发点和归宿，也是教育评价的根本标准。教学目标是在某一阶段（如一节课或一个单元）教学过程中预期达到的具体结果，是教学工作的依据和评价标准。教师在教学工作中必须有明确的教学目标，这是确保教学有效的基本条件，但是今年仅有具体的教学目标，没有总的教育目的作为指导，教学工作就会失去意义和方向。二. 皮亚杰和维果茨基建构主义的区别 两者都认为知识是个体对经验的建构，但是在知识的实质以及知识的建构过程方面，两人仍存在明显的理论上的差异。皮亚杰的将建构观称为认知或个体的建构主义。认知建构者认为，知识以心理结构的形势存在在学生的头脑之中，这种知识是通过同化，顺华等过程为个体所建构起来的。维果茨基的知识建构则成为社会建构主义。社会建构主义者认为，知识在得以内化之前，以各种社会化工具的形式存在于社会之中，而知识的内化则是个体与社会环境互动的结果。 三. 什么是道德体谅模式 体谅模式是英国学者麦克费尔等人创建的一种侧重培养学生道德情感的德育模式。该模式强调德育的主要目的是培养和提高学生的社会意识和社会技能，引导学生学会体谅，学会关心。该模式通过使用一套包含大量社会情境问题的教材《生命线》，引导学生通过角色扮演等方式进行道德学习。 四. 简要比较相关课程，融合课程，广域课程的异同点 共同点：三者都是以学科为中心的综合课程 不同点：三者对学科之间的知识的综合程度不同。相关课程吧两门以上学科知识综合在一门课程中，但不打破原来的学科界限，融合课程打破了学科界限，把有着内在联系的不同学科知识合并成一门课程，广域课程将各科教材依性质归到各个领域，再将同一领域的各科教材加以组织和排列，进行系统的教学，与相关课程，融合课程相比，其综合范围更加广泛。 五. 美国进步教育运动衰落的原因 1.美国进步教育运动未能与美国社会的持续变化始终保持同步，未能较好的适应美国社会发展对教育提出的新要求。 2.进步教育理论和实践存在局限性，如：过分强调儿童自由，忽视社会和文化发展对教育的决定与制约作用。 3. 改造主义教育和一些保守主义教育流派的抨击与批判，加速了进步教育的衰落。 六. 参与式观察的优缺点 优：便于了解到真实的信息。便于获得较为完整的资料。便于进行多次观察 缺：易受观察者的主观影响。观察的样本数小，观察结果的代表性不强。 七. 问题解决的基本过程和影响因素 基本过程： 理解与表征阶段：将问题的情境转化为某种内部的心理结构，或者说形成某种问题空间寻求解答阶段：在问题的表征阶段，个体有可能凭借与之熟悉的问题直接提取相应的策略来解决现有的问题，若无这种经验，个体便不得不制定计划，如建立解决问题的子目标层级，或选择相应的解决策略。 执行计划或尝试某种解答阶段：在对问题作出表征并选择好某种解决方案后，个体要执行这一计划，尝试解答。 评价结果阶段：在选择并运用某种解题策略之后，个体应对这一策略运用的结果作出评价，这一过程包括检查与答案相一致或相矛盾的地方。
离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；
离散数学必备知识点总结
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为mn，A到B上可以定义m n 2种不同的关系； 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
教育学考研：中国教育史常考考点
教育学专业课复习，中国教育史部分复习要把握教育的发展脉络，各类教育观点和各阶段教育特点，下面总结20个复习要点，大家抓紧记忆。 1.原始社会的教育有哪些特点? 答：原始社会教育表现出与以店阶级社会教育迥然不同的一些特点： ①教育的社会性和无阶级性。原始社会的集体生产与集体生活，决定了其教育也是集体的、公共的、社会性的活动，没有阶级的界限。 ②教育不是专门的社会活动。原始社会的教育尚未从社会生产和生活中分化出来，它的主要途径是通过生产劳动和社会生活实践来进行。③教育以口耳相传和观察模仿为主要手段，因为原始社会文字尚未出现，也没有专门的教学场所和教师，当时教育手段极为简陋，主要是口耳相传和观察模仿为主要手段，因为原始社会文字尚未出现，也没有专门的教学场所和教师，当时教育手段极为简陋，主要是口耳相传、观察模仿。 2.春秋战国私学的兴起有何意义? 答：春秋战国时期的私学兴起，是中国教育史上的划时代的革命：①它冲破了“政教合一”的枷锁，教育从政治活动中分离出来。完成了学校教育独立化的过程。②教师不再是官吏，而成为以教育人为谋生之道的专业化的教育工作者。③扩大了教育对象，使受教育的范围由少数贵族扩大到广大平民，教育的社会基础更为广阔。④有利于教育经验的积累和教育理论的形成，出现了以(学记)为代表的一批教育专著。 3.简述孔子"有教无类"的教育主张。 答：“有教无类”是孔子的办学方针，它规定了孔子办私学的教育对象，其基本含义是，不分华夷，无别贵贱，扩大受教育的对象，使那些愿意学习而在学力、经济条件和时间上又允许的人，都可有受教育的权力和机会。这一教育主张顺应了社会历史进步潮流，打破了少数奴隶主贵族对文化教育的垄断。扩大了受教育的范围，符合教育事业的发展趋势。
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。
教育学考试大纲》知识点汇总
《教育学考试大纲》知 识点汇总 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
《教育学考试大纲》知 识点汇总 第一章高等教育的本 质（重点）一．选择题与填空题1.人们普遍把欧洲中世纪大学作为近现代高等教育的开端。2.西方七艺：文法、修辞、逻辑、算术、几何、天文、音乐。 我国六艺：礼、乐、射、御、书、数。 3.由于自然科学诸学科逐渐从哲学中分化出来，部分科学知识进入了大学教学。 4.美国大学形成了研究性大学、一般性大学、文理学院、社区学院等层次。 5.19世纪后半期，高 等教育的活动形式： 高等教育层次出现了 多样化，高等教育的 形式复杂化。 6.从高等教育的性质 看，高等教育是一种 专业教育。 7.高等教育作为一种 专业教育，既可以是 学术性专业教育，也 可以是职业性专业教 育。 8.高等教育的领导权 有谁来掌握取决于政 权的性质。 9.高等教育的根本任 务是培养人才。 10.中国古代就有“大 学之道，在明明德， 在亲民，在止于至 善”的教育目的，体 现了高等教育的政治 功能。 11.民主问题始终是教 育与政治间关系的核 心。 12.经济结构已经成为 确立高等教育结构和 结构内部调整的基本 依据。 13.舒尔茨推算出教育 水平提高对国民经济 增长的贡献是33%。 14.阿什比认为发生过 四次教育革命：第一 次是将教育的责任由 家庭转移到专门的机 构；第二次是将书写 文字作为教育工具； 第三次是印刷术的发 明使教科书成为教学 基本依据；第四次是 电子计算机的广泛应
用。（总结为学校、文字、文本、电子计算机的出现） 二、简答题 1、政治对高等教育的制约，包括四个方面： 1）政治决定了高等教育的领导权， 2）政治决定了接受高等教育的权利， 3）政治制约着高等教育体制， 4）政治制约着高等教育的方针、目的。 2、经济发展对高等教育的决定作用，包括四个方面：★ 1）经济发展是高等教育发展的物质基础， 2）经济体制的变 革决定了高等教育体 制的变革， 3）经济发展水平 决定了高等教育发展 的速度与规模， 4）经济结构的变 化制约着高等教育的 结构。 3、高等教育的经济功 能，包括三个方面： 1）高等教育促进 经济增长， 2）高等教育促进 经济结构的调整与完 善， 3）高等教育可以 提高人们的收入。 4、大学职能的历史演 变： 1）18世纪以前确 立了大学培养人才的 职能（欧洲中世纪大 学）， 2）19世纪初德国 大学确立了发展科学 的职能（1810年洪堡 柏林大学，还确立了 现代学位制度）， 3）19世纪末美国 大学确立了社会服务 的职能（威斯康辛大 学，校长范*海 斯）。 5、现代大学的职能体 系： 1）培养专门人才 是现代高校的基本职 能， 2）发展科学是现 代高校的重要职能， 3）社会服务是现 代高校职能的延伸。 三、论述题
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x≥y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x
存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).
大学教育学知识点归纳[1].
第一章教育与教育学 一.教育的概念 1.广义教育学指凡是能增进人的知识技能,影响人的思想品德,提高人的认识能力,增强人的体质,完善人的个性的一切活动。狭义的教育主要指学校教育,是教育者根据一定社会(或阶级的要求以及青少年儿童身心发展的规律,有目的、有计划、有组织地对受教育者的身心施加影响,把他们培养成一定社会(阶级所需要的人的活动。它的特点是:第一,目的性、系统性、组织性强,因此可控性强;第二,学校教育由专门机构和专职人员承担,其目的是培养人,这些人是取得入学资格的。 2.教育是一种复杂的社会现象,教育者、受教育者、教育影响构成教育活动的基本要素。在教育活动中,教育者是教的主体。教育影响是实现教育目的的工具、媒介和方法。 3.教育区别于其他事物现象的根本特征:教育是一种培养人的活动。 教育是人类特有的、以影响和发展人身心为直接目标的、有意识地传递社会经验和培养人的社会实践活动。 二.教育的起源 1.神话起源说:教育是由人格化的神(上帝或天所创造的,教育的目的就是体现神或天的意志,使人皈依于神或顺从于天。此种观点是错误的。 2.生物起源说:教育活动不仅存在于人类活动之中,而且存在于人类社会之外,存在于动物界。教育起源于生物生存竞争本能。是教育史上第一个正式提出的有关教育起源的学说。有一定进步性。 3.心理起源说:其代表人物孟禄认为,原始教育形式和方法主要是日常生活中儿童对成人的无意识的模仿。
4.劳动起源说:教育从人类产生就已经开始了,是人类社会特有的现象,产生于劳动过程。 三.教育的发展 1.原始社会的教育:⑴生产力水平低下,教育具有原始性。⑵教育与宗教活动密切联系,教育具有宗教性。 ⑶教育机会具有原始的均等性。 2.古代社会的教育:⑴奴隶社会的教育:①教育具有鲜明的阶级性。②学校教育与生产劳动相分离甚至相对立。③专门教育机构(学校和专门教育人员(教师的产生。④学校教育制度尚不健全,学校教育内容趋于分化和知识化。 3.封建社会的教育:⑴学校教育的等级性、专制性和保守性。⑵脑力劳动与体力劳动严重分离。 ⑶学校教育对象、规模、种类的相对扩大与增大。 4.现代社会的教育:⑴不断提高普及教育,教育对象具有广泛性。⑵教育密切联系社会,教育性质具有生产性。⑶学习内容极为丰富,教育内容具有开放性。⑷现代信息技术应用于教学,教育方法具有先进性。 ⑸重视教育科学研究,教育具有科学性。⑹教育贯穿人的一生,教育呈现终身化。⑺重视教育立法,教育具有法制性。⑻重视教育的交流与合作,教育具有国际性。 四.教育学的研究对象及发展 1.教育学是研究教育现象和教育问题,揭示教育规律的一门科学。 2.教育现象是指一切培养人的活动的外在形态和表面特征。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明:
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
大学选修课教育学期末考试重点范围
教育学的产生和发展 一、萌芽阶段 《学记》是世界上最早的教育学专着，已初步具备了“教育学的雏形”。《学记》辑于《礼记》之中，作者不祥，一般认为是孟子的学生乐正克所作。 《学记》成书时间大约在战国末期，全篇1229字，篇幅虽短，内容却涉及教育的作用、学校教育制度、教育教学原则、方法等许多方面，是对先秦时期教育教学第一次从理论上进行了比较全面系统的总结，奠定了我国古代教育的理论基础。 苏格拉底及其后继者们的教育活动，都孕育了较为丰富而系统的教育理论。 苏格拉底的“产婆术”被认为是启发式教学法在西方的渊源。 古罗马着名演说家、教育理论 家昆体良（Marcus Fabius Quintilianus 约35—95）被公认为是西方教育史上第一位教育理论家。他的《论演说家的教育》也成为西方第一部系统阐述教育理论的着作。 二、独立形态时期 三、发展多样化阶段 四、理论深化阶段 一、教育学的研究对象 （一）什么是教育学 教育学是研究教育现象，探讨教育问题，揭示教育规律、确立教育价值、优化教育艺术的一门科学。 （二）教育学的研究对象 教育学是一门社会科学，是把人类社会特有的现象——教育作为自己专门的研究领域。它的研究对象就是教育、教学现象和教育问题。 二、什么是教育 广义：一切增进人的知识与技能、影响人的思想品德的活动。 狭义：学校教育，即指社会通过学校对受教育的对象所施加的一种有目的、有计划、有组织的影响，以使受教育者发生预期变化的活动。 教育的本质是什么？ 教育是人类特有的一种有意识的社会活动 教育是人类有意识地传递社会经验的活动 教育是以人的培养为直接目标的社会活动 中西教育可以从词源上看到两者区别： 中国的“教育”有“外铄”的渊源 西方的“教育”有“内发”的传统 教育在形态上的发展 教师的含义 广义：教师与教育者是同一语。 狭义：指学校的专职教师，是在学校中传递人类科学文化知识与技能，进行思想品德教育，把受教育者培养成一定社会需要的专门人才的专职人员。 二、教师的社会地位 （一）教师的专业地位（二）教师的经济地位 （三）教师的政治地位 （四）教师的职业声望（二）学生 1。学生的本质 学生是发展中的人；学生是一个完整的人；学生是以学习为主要任务的人 ○2。学生的特点 主动性；未完成性；开放性；独特性；创造性 3.两种不同的学生观 教师中心论——赫尔巴特儿童中心论——杜威4.学生的社会地位
(完整word版)离散数学知识汇总,推荐文档
离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式，则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式
将一个普通公式转换为范式的基本步骤
1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。（用等值演算或真值表） 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?：全称量词 ?：存在量词 一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义：个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式：设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词，n t t ...1是项，则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元，可以换成个体变元的表达式(项)，但不能出现任何联结词与量词，只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式：(1)原子公式是合式公式；(2)若 A 是合式公式，则(﹁A)也是合式公式；(3)若 A,B 合式，则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式，则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域：?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围，A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元：在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ，称为约束变元，这是与量词相关的变元，约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元：谓词公式中与任何量词都无关的量词，称为自由变元，它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元，就是自由变元。 注意：为了避免约束变元和自由变元同名出现，一般要对“约束变元”改名，而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式
离散数学期末试卷及答案
一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法
列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{
大学教育学知识点总结
大学教育学知识点总结 导语：在大力推广教育改革的今天，发展学生的个性特长，提高学生的主观能动性，已是必不可少。教师苦教、学生死学的时代已一去不复返，赏识教育成为教师教育过程中必不可少的一种手段。以下小编为大家介绍大学教育学知识点总结文章，欢迎大家阅读参考! 大学教育学知识点总结1 从小学到大学，可以说我一直都在接受教育，可是坦白说，要不是这学期学习了教育学，我根本就不会知道，除了儒家思想的“因材施教”这一古文化遗产涉及到教育之外，我所接受的十几年的教育竟然拥有如此广阔的研究领域，胡老师打破传统教学方式采用的“理论+案例+我”的授课方法更是让我对教育这门学科刮目相看，也改变了之前对教育学的幼稚的偏见。 记得第一次翻开《新编教育学》这本书时，我发现里面的内容特别枯燥乏味，几乎都是一些关于教育与社会呀，教育原则和方法啥的，好像与我们的生活经验、情感体验有很大的距离。于是就想，学不学教育学用处不大，不学教育学以后照样能教好学。后来上了胡老师的课之后，我才明白，我完全误解了教育学，更别谈其功能了，特别是自己亲自上讲台谈论《全身反应法在小学英语教学中的运用》后感触更深。教育学是师范类学生的必修课，其目的是使学生通过教
育学的学习掌握教育的基本原理，树立正确的教育思想，培养从事教育教学的工作能力等。由此可见，教育学对培养未来合格人民教师的作用是确信无疑的。如果大家都跟我一样继续持有这种偏见，教育的未来和学生的前程就很危险了。 经过一个学期的学习，我发现老师很精明，想必他料到了我们会对教育学产生偏见，并且可能会不喜欢上这门课，所以就采用“理论+案例+我”的创新教学方法，给我们耳目一新的感觉。 胡老师采用的这种创新教学方法，以理论与实际有机整合为宗 旨，遵循教学目的的要求，以案例为基本素材，把整个学期合理整合为课前分组搜寻典型案例、课上学生共同探讨和最后老师分析总结案例三个阶段，将我们引入一个特定事件的真实情境中，培养了我们反思、创新的能力，使理论与实际得到紧密结合。课前我们在老师的指导下，深入角度地上网搜索具有一定代表性的典型事件及其相关的内容、情节、过程和处理方法等，提高了我们的实际操作能力；课堂上我们以所搜集到的案例为基本素材，或单独站上讲台，或组织团体辩论，思想深刻的胡老师也积极与我们双向和多向互动，平等对话和研讨，培养了我们的批判反思意识及团体合作能力，并促使我们充分理解了课前课上研究现象的复杂性、变化性、多样性等属性，在思索过程中考虑如何将教学理论运
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={