高三数学上学期第四次月考试题 文1

内蒙古鄂尔多斯市一中2017届高三数学上学期第四次月考试题 文

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设集合{}

{}2|,|lg 0M x x x N x x ===≤,则M

N =（ ）

A ．[)0,1

B ．(]0,1

C ．[]0,1

D ．(],1-∞

2.若复数z 满足

1z

i i

=-,其中i 为虚数单位, 则z =（ ） A ． 1i + B ． 1i - C ．1i -- D ．1i -+ 3.设x R ∈,则“12x <<”是“21x -<”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分也不必要条件 4.已知命题:,23x

x

p x R ?∈<；命题3

2

:,1q x R x x ?∈=-,则下列命题中为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ?∧ C ．p q ∧? D ．p q ?∧?

5.函数()256

4lg 3

x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ）

A ．()2,3

B ．(]2,4

C ．()(]4332，，

? D ．()(]1,33,6-

6.设向量()()1,2,1,1,a b c a kb ===+,若b c ⊥,则实数k 的值等于（ ） A ．

53 B ．32 C ．3

2

- D ．53- 7.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和, 若844S S =,则10a =（ ） A ．

172 B ．19

2

C ．10

D ．12

8若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱柱的体积为 A ．80 B ．40 C ．

803 D ．403

9.若函数()ln f x kx x ==-在区间()1,+∞上单调递增, 则

实数k 的取值范围是（ ）

A ．(],2-∞-

B ．(],1-∞-

C ．[)2,+∞

D ．[)1,+∞

10. 已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域2,

1,2,x y x y +≥??≤?

?≤?

上一个动点，

则OA OM ?的取值范围是

A. [1,0]-

B.[0,2]

C. [1,2]

D.[1,1]- 11.设函数()()

2

1

ln 11f x x x =+-

+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13?? ???

B ．()1,1,3??-∞+∞ ?

?

?

C ．11,33??- ???

D ．11,,33????

-∞+∞ ?

?????

12. 已知函数2

2

()()()()x

f x x a e a a R =-+-∈，若存在0x R ∈，使得01

()2

f x ≤

成立， 则实数a 的值为 （ ） A ．

13 B ．2 C ．2 D ．1

2

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13若函数()f x 满足1

()1(1)

f x f x +=

+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(1,1]-

上，()()2g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是 ． 14. 已知直三棱柱111ABC A B C -(侧棱垂直于底面)的各顶点都在 球O 的球面上， 且3AB AC BC ===

若三棱柱111ABC A B C -的体积等于9

2

，则球O 的体积为____

15已知ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，sin sin 4sin 0A B C +-=，且 ABC ?的周长5L =，面积2

2161()55

S a b =

-+，则sinC = . 16. 已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别 在,x y 的正半轴上（含原点）滑动，则OB OC ?的最大值是

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（本小题满分12分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，

若AB →·AC →＝CA →·CB →

＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若k ＝1，求b 的值．

18（本小题满分12分）在数列{}n a 中，*112,431,n n a a a n n N +==-+∈． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

19.（本小题满分12分）已知函数22()23sin cos 3sin cos 2f x x x x x =--+． （1）当0,

2x π??

∈????

时，求()f x 的值域； （2）若ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，

3,b a =sin(2)

22cos()sin A C A C A

+=++，求()f B 的值．

20（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD

是菱形，45,DAB PD ∠=⊥平面ABCD ，1AD =，点E 为AB

上

一点，且

AE

k AB =，点F 为PD 中点. （1）若1

2

k =，求证：直线//AF 平面PEC ；

（2）是否存在一个常数k ，使得平面PDE ⊥平面PAB ，若存在， 求出k 的值；若不存在，说明理由。

21.（本小题满分12分）已知函数()(1)ln ,a f x a x x x

=++-其中.a R ∈ （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若在[]1,e 上存在0x ，使得0()0f x <成立，求a 的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为132(32

x t t y ?=+??

??=??为参数）

，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为3ρθ=.

(I)写出圆C 的直角坐标方程；

(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << (I)求实数,a b 的值；

(II)12at bt ++.

【答案】C B A B C C B D D B A D 13, 1

03m <≤

14, 323π 15,45

16,2 17解析：解：(1)∵·＝·，·＝cb cos A ，·＝ba cos C ∴bc cos A ＝ab cos C

根据正弦定理，得sin C cos A ＝sin A cos C ，即sin A cos C －cos A sin C ＝0，∴sin(A －C )＝0， ∵∠A ，∠C ∈(0，π)，∴∠A ＝∠C ，∴△ABC 为等腰三角形．（5分）

(2)由(1)知a ＝c ，∴由余弦定理，得·＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 22

.

∵·＝k ＝1， ∴b 2

2＝1，得b ＝ 2.（10分）

18. （Ⅰ）由题设1431n n a a n +=-+，得()()*

114,n n a n a n n N +-+=-∈．

又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．(6分) （Ⅱ）由（I ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．

所以数列{}n a 的前n 项和()14132

n n n n S +-=+．（12分） 19解：（1）

222()23cos 3sin cos 2322sin 1

32cos 22sin(2)

6

f x x x x x x x x x x π

=--+=-+=+=+

0,2x π??

∈????

，∴712,,sin(2),166662x x ππππ????+∈+∈-????????，

∴[]()1,2f x ∈-．．．6分

（2）∵由题意可得[]sin ()2sin 2sin cos()A A C A A A C ++=++有，

sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++，

化简可得：sin 2sin C A = ∴由正弦定理可得：2c a =，∵3b a =

，

∴余弦定理可得：222222431

cos 2222

a c

b a a a B a

c a a +-+-===，

∵0B π<< ∴3

B π

=， ()1f B =（12分）

20：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M .

∵点F 为PD 中点，∴1

2

FM CD =

. ∵21=k ，ABC D 为菱形∴FM AB AE ==2

1

，且

AE ∥FM ∴

AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM .

∵AF PEC EM PEC ??平面，平面， ∴直线AF //平面PEC . ………………6分 (Ⅱ)存在常数2

2

=

k ，使得平面PED ⊥平面PAB . ∵

k AB

AE

=，1AB =，22=k ，∴22AE =. 又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE . 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . 又∵PD DE D ?=，∴AB ⊥平面PDE .

∵PAB AB 平面?，∴平面PED ⊥平面PAB . …………………12分

21解：(1).2222

1(1)(1)()

()1,0a a x a x a x x a f x x x x x x ++++++'=++==> ………………2分

当0a ≥时，在(0,)x ∈+∞上()0,f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………4分

① 当0a <时，在(0,-)x a ∈上()0f x '<；在(,)x a ∈-+∞上()0f x '>；所以()f x 在(0,-)a 上单调递

减，在(,)a -+∞上单调递增.

综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a

时，()f x 的单调递减区间为

(0,-)a ，单调递增区间为(,)a -+∞.………………6分

(2) 若在[]1,e 上存在0x ，使得0()0f x <成立，则()f x 在[]1,e 上的最小值小于0.………………8分 ①当1a -≤，即1a ≥-时，由(1)可知()f x 在[]1,e 上单调递增，()f x 在[]1,e 上的最小值为(1)f ，由

(1)10f a =-<，可得1a >………………9分

②当a e -≥，即a e ≤-时，由(1)可知()f x 在[]1,e 上单调递减，()f x 在[]1,e 上的最小值为()f e ，由()(1)0a f e a e e =++-

<，可得(1)

1

e e a e +<-

-………………10分 ③当1a e <-<，即1e a -<<-时，由(1)可知()f x 在(1,)a -上单调递减，在(,)a e -上单调递增，()

f x

在[]1,e 上的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=+--+，

因为0ln()1a <-<，所以(1)(1)ln()0a a a +<+-<，即(1)ln()12a a a +--+>， 即()2f a ->，不满足题意，舍去. ………………11分 综上所述，实数a 的取值范围为(1)

(,)(1,)1

e e e +-∞-?+∞-.………………12分 22(I)由23sin ρθ=，

得2

23sin ρρθ=，

从而有22

23x y y +=

所以()

2

2

3

3x y +-=

(II)设133,22P t t ??

+ ???

，又(0,3)C ，

则2

2

213331222PC t t t ???

?=++-=+ ? ?????

，

故当0t =时，PC 取得最小值， 此时P 点的坐标为(3,0).

23. (I)由x a b +<，得b a x b a --<<-

则2

4b a b a --=??

-=?

，解得3, 1.a b =-=

31234t t t t -+=

-2222[(3)1][(4)()t t ≤+-+

244t t =-+=

43

t t

-=1t =时等号成立， 故min

3124t t

-++=