人教A版必修1指数函数及其性质知识点总结与例题讲解
指数函数及其性质知识点总结
本节知识点
（1）指数函数的概念 （2）指数函数的图象和性质 （3）指数函数的定义域和值域 （4）指数函数的单调性及其应用 （5）指数函数的图象变换 知识点一 指数函数的概念
一般地,函数x
a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 1.为什么规定“0>a 且1≠a ”?
答:若0=a ,则当0>x 时,0=x a ,当x ≤0时,x
a 无意义;若0 值,x a 无意义,如函数()x y 2-=,当 4 1 ,21= x 时,函数无意义;若1=a ,则对任意的∈x R ,都有1=x a ,没有研究的必要. 基于上面的原因,在指数函数的定义中,规定0>a 且1≠a .上面的定义,是形式定义. 2.为什么指数函数的定义域是R ? 答:对于指数幂来说,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,所以在指数函数的定义里面,自变量的取值范围是全体实数,即函数的定义域为R . 3.指数函数的结构特征 指数函数的定义是形式上的定义,其函数解析式的结构具有非常明显的特征,如下: （1）指数中只有一个自变量x ,而不是含自变量的多项式; （2）x a 的系数必须为1,不能是其它的数字,也不能含有自变量; （3）底数a 必须满足0>a 且1≠a 的一个常数. 根据上面的三个特征,可以判断一个函数是否为指数函数,也可以在已知指数函数的前提下,求参数的值或参数的取值范围. 例1. 已知函数()()x a a x f ?-=32是指数函数,求a 的值. 分析:本题考查指数函数的定义,指数函数的定义有三个特征: （1）指数的位置只有一个自变量,但不是含自变量的多项式; （2）底数是一个大于0且不等于1的常数; （3）x a 的系数必须为1. 解:∵函数()()x a a x f ?-=32是指数函数 ∴?? ? ??≠>=-10132 a a a ,解之得:2=a . 例2. 已知指数函数()()32--+=a a a y x 的图象过点()4,2,则=a _________. 解:由题意可得:()()??? ??≠>=--10032a a a a ,解之得:2=a 或3=a . ∵函数的图象经过点()4,2 ∴2=a . 例3. 若指数函数()x f 的图象经过点()9,2,求()x f 的解析式及()1-f 的值. 解:设函数()x a x f =. ∵其图象经过点()9,2,∴2239==a ,∴3=a . ∴()x f 的解析式为()x x f 3=. ∴()3 1311= =--f . 例4. 函数()x a a a y 442+-=是指数函数,则a 的值是【 】 （A ）4 （B ）1或3 （C ）3 （D ）1 解:由题意可得:?? ? ??≠>=+-101442 a a a a ,解之得:3=a . ∴x y 3=.选择【 C 】. 例5. 若函数()x a y 12-=（x 是自变量）是指数函数,则a 的取值范围是_________. 解:∵函数()x a y 12-=是指数函数 ∴???≠->-1 12012a a ,解之得:21>a 且1≠a . ∴a 的取值范围是? ?? ???≠>121a a a 且. 例6. 若函数()x a a y 32-=是指数函数,求实数a 的取值范围. 解:∵函数()x a a y 32-=是指数函数 ∴???≠->-130322 a a a a ,解之得:?????±≠ <>2 13303a a a 或. ∴实数a 的取值范围是? ?? ???±≠<>213303a a a a 且或. 知识点二 指数函数的图象和性质 一般地,指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象和性质如下表所示: 指数函数函数值的特点: （1）当10<y ;若0>x ,则恒有10< 对于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）,当0=x 时,1=y ;当1=x 时,a y =;当1 -=x 时,a y 1= .所以指数函数的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和??? ? ? -a 1,1. 在画指数函数图象的草图时,应抓住以上三个关键点作图. （1）由于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象经过点()a ,1,所以指数函数的图象与 直线1=x 的交点的纵坐标等于函数的底数.交点的位置越高,底数a 就越大. （2）由于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象经过点?? ? ? ? -a 1,1,所以指数函数的图象与直线1-=x 的交点的纵坐标等于底数的倒数.交点的位置越高, a 1 越大,底数就越小. 2. 函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a y ??? ??=1（0>a 且1≠a ）的图象的关系 在同一平面直角坐标系中,函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a y ?? ? ??=1（0>a 且1≠a ）的图象关于y 轴对称.即两个指数函数底数互为倒数,图象关于y 轴对称. 如下图所示,指数函数x y 2=与x y ?? ? ??=21的图象关于y 轴对称. （1）指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a y -=（0>a 且1≠a ）的图象关于x 轴对称. 如上右图所示,指数函数x y 2=与函数x y 2-=的图象关于x 轴对称. （2）指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a y --=（0>a 且1≠a ）（即x a y ?? ? ??-=1） 的图象关于原点对称（成中心对称）. 如下图所示,指数函数x y 2=与函数x y --=2（即x y ??? ??-=21）的图象关于原点 对称. 3.与指数函数有关的恒过定点问题 由于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象恒过定点()1,0,因此我们讨论与指数函数有 关的函数的图象过定点的问题时,只需令指数等于0,解出相应的y x ,,即为定点坐标. 例7. 函数()531-=-x a x f （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点_________. 解:令01=-x ,则1=x ,2513-=-?=y . ∴函数()531-=-x a x f （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点()2,1-. 例8. 函数1-=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点P ,则点P 的坐标为【 】 （A ）()1,0 （B ）()1,1 （C ）()1,1- （D ）()0,1 解:令01=-x ,则1=x ,10==a y . ∴定点P 的坐标为()1,1.选择【 B 】. 例9. 函数1+=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过的定点坐标为_________. 解:令01=+x ,则1-=x ,10==a y . ∴函数1+=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点()1,1-. 例10. 函数33+=-x a y （1,0≠>a a 且）的图象过定点_________. 解:令03=-x ,则3=x ,43130=+=+=a y . ∴函数33+=-x a y （1,0≠>a a 且）的图象过定点()4,3. 例11. 如果指数函数()()x a x f 1-=是R 上的减函数,那么a 的取值范围是【 】 （A ）2a （C ）21< 分析 对于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）,当10< 解:∵函数()()x a x f 1-=是R 上的减函数 ∴110<- 例12. 已知集合{}3<=x x A ,{}42>=x x B ,则=B A __________. 分析:指数函数x y 2=为R 上的增函数. 解:42>x ,222>x ∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴2>x ,∴{}2>=x x B ∴{}32<<=x x B A . 例13. 解不等式2211 2>? ?? ??-x . 解:() 221 21>--x ,2221>-x ∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴121>-x ,解之得:0 <-x x 的解集为__________. 解:2222 <-x x ∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴22<-x x ,解之得:21<<-x . ∵原不等式的解集为()2,1-. 4.指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的底数a 对函数图象的影响 底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”: （1）当1>a 时,指数函数的图象是上升的,函数是R 上的增函数.底数越大,函数图象在y 轴右侧部分越接近于y 轴,即图象越陡,说明函数值增长得越快; （2）当10< 根据上面的介绍,在上图中,各个指数函数的底数之间的大小关系为: 01>>>>>>>f e d c b a . 前面已经提到,因为指数函数x a y =（0>a ,且1≠a ）的图象经过三个关键 点:()1,0,()a ,1和??? ? ? -a 1,1,所以直线1=x 与指数函数图象的交点即为点()a ,1,交点 的纵坐标等于指数函数的底数,故底数越大,交点的位置越高.于是有下面的结论: 结论 底数a 的大小决定了指数函数图象相对位置的高低:不论是1>a 还是10< 另外,直线1-=x 与指数函数图象的交点为??? ? ? -a 1,1（即()1,1--a ）,交点的纵坐 标等于底数的倒数,故底数越小,倒数越大,交点的位置越高.简记为:在y 轴左侧,底 大图低. 5.指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与x b y =（0>b 且1≠b ）的图象特点 （1）若1>>b a ,则当0 x b a ;当0=x 时,总有1==x x b a ;当 0>x 时,总有1>>x x b a ; （2）若10<<>x x a b ;当0=x 时,总有1==x x b a ;当 0>x 时,总有10<< 综上所述,当0>x ,0>>b a ,且1≠a ,1≠b 时,总有x x b a >; 当0 x b a <. 6. 指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象和性质再说明 指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的定义域是R ,值域是()+∞,0. 图象: （1）若1>a ,当-∞→x 时,0→y ,即x 的值越小,函数的图象越接近于x 轴,但不相交; （2）若10< 因此,x 轴（即直线0=y ）是指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象的一条渐近线. 性质: （1）若1>a ,则当0>x 时,总有1>y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1=y 的上方;当0 x 轴之间;当0 例15. 设0>x ,且x x a b <<1,则【 】 （A ）10<<x ,且x x a b <<1 ∴指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）和x b y =（0>b 且1≠b ）在y 轴右侧的图象 f x () = 12 (都在直线1=y 的上方,它们的的图象是上升的,∴1>a ,1>b ∵在y 轴右侧,指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象在x b y =（0>b 且1≠b ）的图象的上方 ∴根据第一象限“底大图上”,有b a >. ∴1>>b a .选择【 C 】. 解法二:∵x x a b <<1,∴x x a a b b <<00, ∵0>x ,∴1,1>>a b . ∵x x a b <,0>x a ,0>x ∴1 ? ??=x x x a b a b ,∴10<. ∴1>>b a . 例16. 已知实数b a ,满足b a ??? ??=??? ??3121,给出下面的五种关系,则其中可能成立的序 号为__________. ①b a <<0; ②a b <<0; ③0< x y ??? ??=21和x y ??? ??=31的草图,在画图时要注意y 轴左侧“底小图高”和y 轴右侧“底 大图高”,还有指数函数的图象都经过定点()1,0. 解:如下图所示,在同一平面直角坐标系中分别画出函数x y ??? ??=21和x y ? ?? ??=31的图象.为便于观察并发现问题,设m b a =??? ??=??? ??3121. 当0 当0=x 时,有0==b a ,此时1=m . ∴可能成立的序号为②④⑤. 例17. 设31 32??? ??=a ,3231??? ??=b ,3 131?? ? ??=c ,则c b a ,,的大小关系是【 】 （A ）b c a >> （B ）c b a >> （C ）b a c >> （D ）a c b >> 分析:（1）对于同底数幂比较大小,则可以利用指数函数的单调性比较.如本题中b 与c 的大小比较; （2）对于非同底数幂比较大小,则要借助于中间量或借助于指数函数的图象比较大小.如本题中a 与c 的大小比较. 本题知识储备 （1）对于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）,当10< x 的增大而减小. （2）对于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与x b y =（0>b 且1≠b ）,若b a >,则当0 x b a <;当0>x 时,x x b a >. 解:∵指数函数x y ?? ? ??=31在R 上为减函数 ∴3 13 2 3131?? ? ??. ∵ 3132>,∴3 131 3132?? ? ??>??? ??,即c a >. ∴b c a >>,选择【 A 】. 另外,也可以这样比较a 与c 的大小:∵122313231320313 131 3 1=>=?????? ??=??? ????? ??=c a ,∴c a >. 例18. 设6.06.0=a ,5.16.0= b ,6.05.1= c ,则c b a ,,的大小关系是__________. 解:∵指数函数x x y ?? ? ??==536.0在R 上为减函数 ∴6.05.16.06.0<,即a b <. ∵16.06.006.0=<,15.15.106.0=> ∴6.06.05.16.0<,即c a <. ∴c a b <<. 另外,根据: 对于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与x b y =（0>b 且1≠b ）,若b a >, 则当0 x b a <;当0>x 时,x x b a >.可直接得到c a <. 例19. 设9.014=y ,61.028=y ,5 .1321-? ? ? ??=y ,则【 】 （A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ）231y y y >> （D ）123y y y >> 分析:三个幂是不同底数的幂,但每个幂根据底数与2的关系都可以化为以2为底的幂,最后借助于指数函数的单调性即可得到三者之间的大小关系. 解:∵9.014=y ,61 .028=y ,5 .1321-? ? ? ??=y ∴() 8.19 .02122==y ,()83.161 .03222==y ,() 5.15 .11322==--y . ∵指数函数x y 2=在R 上为增函数 ∴83 .18 .15 .1222<<,即61.09.05 .18421< ? ? ??- ∴312y y y >>.选择【 B 】. 例20. 设1212121 ?? b ,那么【 】 （A ）a b a b a a << （B ）b a a a b a << （C ）a a b b a a << （D ）a a b a b a << 解:∵1212121 121212121??? ?? y ??? ??=21为R 上的减函数 ∴10<< 在同一平面直角坐标系中分别画出函数x a y =与x b y =的图象如下页图所示. x x 由图象可得:a a b b a a <<.选择【 C 】. 知识点三 指数函数的定义域和值域 1 定义域 （1）指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的定义域为R . （2）函数() x f a y =（0>a 且1≠a ）的定义域与函数()x f 的定义域相同. （3）函数()x a f y =的定义域与函数()x f 的定义域不一定相同. 例如,函数()x x f = 的定义域为[)+∞,0,而函数x a y =的定义域为R . 注意:求指数型复合函数的定义域时,先观察函数是()x a f y =型还是() x f a y =型. 例21. 函数()3 121++ -=x x f x 的定义域为【 】 （A ）(]0,3- （B ）(]1,3- （C ）()(]0,33,--∞- （D ）()(]1,33,--∞- 解:由题意可得:???>+≥-0 30 21x x ,解之得:x <-3≤0. ∴函数()x f 的定义域为(]0,3-.选择【 A 】. 例22. 求下列函数的定义域: （1）x y ?? ? ??-=211; （2）1 53-=x y . 解:由题意可知:x ??? ??-211≥0,∴x ??? ??21≤10 21??? ??=,∴x ≥0. ∴该函数的定义域为[)+∞,0; （2）由题意可知:15-x ≥0,解之得:x ≥5 1 . ∴该函数的定义域为?? ? ???+∞,51. 例23. 函数()2311-? ?? ??-= x x f x 的定义域为__________. 解:由题意可得:?????≠-≥??? ??-020 311x x ,解之得:x ≥0且2≠x . ∴函数()x f 的定义域为[)()+∞,22,0 . 例24. 求函数()4 23212-?-= x x x f 的定义域. 解:由题意可得:042322>-?-x x ∴()()04212>-+x x ,解之得:12- 2 值域 （1）指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的值域为()+∞,0. （2）求形如() x f a y =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然 后根据函数t a y =的单调性,即可求出函数() x f a y =的值域. （3）求形如()x a f y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0x a t 时,函数()t f y =的值 域. 例25. 求函数1241--=+x x y 的值域. 解:()12221242 1-?-=--=+x x x x y . 设x t 2=,则0>t ,∴()21122 2--=--=t t t y . ∵()+∞∈,0t ∴()21min -==f y ,无最大值. ∴函数1241--=+x x y 的值域为[)+∞-,2. 例26. 求函数1241-+=+x x y 的值域. 解:()12221242 1-?+=-+=+x x x x y . 设x t 2=,则0>t ,∴()21122 2-+=-+=t t t y . ∴函数在()+∞∈,0t 上为增函数 ∴函数1241-+=+x x y 的值域为()+∞-,1. 注意例25和例26的区别. 例27. 已知函数()1-=x a x f （x ≥0）的图象经过点?? ? ??21,2,其中0>a ,且1≠a . （1）求a 的值; （2）求函数()x f 的值域. 分析:求指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的解析式,只需要其图象上一个点的坐标即可. 解:（1）把?? ? ??21,2代入()1-=x a x f 得:21=a ; （2）由（1）知()1 21-??? ??=x x f ,为R 上的减函数 ∵x ≥0,∴1-x ≥1-,∴()x f <0≤2211 =??? ??-. ∴函数()x f 的值域为(]2,0. 注意:指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象位于x 轴的上方,并且在一个方向上无限接近于x 轴,函数的值域为()+∞,0.本题易错结果为(]2,∞-. 总结 求形如() x f a y =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）, 然后根据函数t a y =的单调性,即可求出函数() x f a y =的值域. 例28. 若函数()1-=x a x f （0>a 且1≠a ）的定义域和值域都是[]2,0,求实数a 的值. 分析:指数函数的单调性与底数和1的大小关系有关,若关系不明确,必要时要进行分类讨论. 解:由题意可知: