考研高数笔记
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文件排版存档编号:[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
第一章 函数、极限、连续
第1节
函数
a) 反函数和原函数关于y=x 对称。
b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数;多个偶函数之和为偶函数。
d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数;2k+1个奇函数的乘积是偶函数;任意个偶
函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。
e) 如果f(x)是周期函数,周期为T ,则f(ax+b)也是周期函数,周期为
|T/a|。
f) 基本初等函数包括:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函
数。初等函数即上述五大类函数,以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。
g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。
第2节 极限
a) 左右极限存在且相等?极限存在。
b) 如果函数在X 0极限为A ,则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x),其中
0=(x)ɑlim 0
x x →。(等价无穷小)
c) 极限存在?极限唯一。(极限唯一性)
d) A x =→)(f lim 0
x x ,且A>0,则在x 的邻域内,f(x)>0。(保号性)
e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限,则存在该点的一个去心邻域U ,在U 内f(x)
有界。(有界性)
f) 当limf(x)=A ,limg(x)=B ,那么
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b (极限的四则运算)
g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷
小和有界量乘积仍然是无穷小。 h)
)
()(lim
x g x f =l i. l=0,f(x)=o(g(x)). ii. l=∞,f(x)是g(x)低阶.
iii. 0 特别的,如果k x g x f )]([) (lim =l(l ≠0),则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。 i) 等价无穷小代换: x →0时,x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x -1~ln(1+x) 1-cosx ~2 1x 2 =》1-cos αx ~2 αx 2 x 1+-1~2 1x =》α)x 1(+-1~αx tanx-x ~3 13x x-sinx ~6 13x 特殊的,x →0时a x -1~xlna j) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。 k) 要注重推广形式。例如【x →0时,x ~sinx 】,如果当x →x 0 时,f(x)→ 0,那么将原式中x 换成f(x)也成立。 l) 求极限的方法: i. 利用函数的连续性(极限值等于函数值)。利用极限的四则运算性 质。 ii. 抓头公式(处理多项式比值的极限)。 1. 抓小头公式。(x →0) 2. 抓大头公式。(x →∞)(分子分母同除最高次项)(极限为【最 高次项的系数比】) iii. 两个准则: 1. 夹逼准则 2. 单调有界必有极限 iv. 两个重要极限: 1. x sinx lim x →=1 (利用单位圆和夹逼准则进行证明) 2. e x x =+ ∞ →)11(lim x e =+→x 10 x ) x 1(lim (利用单调有界准则进行证明) 口诀:倒倒抄。(结合抓头公式) v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换 1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷 小与有界量乘积为无穷小。 2. 12种等价无穷小的代换。 vi. 左右极限:求分段函数分段点的极限值。 vii. 利用导数的定义求极限。导数定义:增量比,取极限。构造出“增 量比”的形式,则极限就是导数。 viii. 定积分的定义求极限。(处理多项求和的形式) ix. 泰勒公式 1. 泰勒公式中系数表达式:f (f )(f 0) f ! (f ?f 0)f 2. 当f 0=0的时候,泰勒公式则称为麦克劳林公式。 常用的麦克劳林公式: e x sinx cosx ln(x+1) (1+x)m x.洛必达法则 使用前提:(1)分子分母都趋向于0。(2)分子分母的极限都存在。(3)分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。 第一层次 0 0∞∞ 第二层次 0*∞:转换成0 0或∞ ∞ ∞-∞:通分化为0 (常用换元的方法求解) 第三层次 1∞∞000 使用f ff进行转化。 第3节连续与间断 a)连续 某点:极限值=函数值 函数在该点连续 开区间:在该区间中每个点都是连续的,则在开区间连续。 闭区间:开区间连续切在端点连续 b)间断 第一类间断点(左右极限都存在) 可去间断点:左右极限相等 跳跃间断点:左右极限不相等 第二类间断点(左右极限至少有一个不存在) 无穷间断点:因趋于无穷而造成的不存在。 振荡间断点:因振荡而不存在。 c)初等函数的连续性 i.基本初等函数在相应的定义域内连续。 ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。 iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。 iv.原函数连续且单调,反函数必为连续且单调。 v.一切初等函数在相应定义区间内连续。 d)闭区间连续函数的性质 如果f(x)在[a,b]连续,则: 1.f(x)在[a,b]有界。 2.有最大最小值 3.介值定理 4.零点定理:f(a)*f(b)<0,a、b之间必有零点。 第二章一元函数微分学 第1节导数与微分 1导数 a)导数定义:增量比,取极限。 b)左导数和右导数存在且相等 导数存在 c)函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。 d)导数的物理意义:对路程函数中的t求导为瞬时速度.etc e) 导数的经济意义:边际成本、边际收益、边际利润。 f) 函数的相对变化率(弹性):f f ?f′(f ) g) 可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导。 h) 偶函数的导数是奇函数。 2 微分 微分定义:自变量?x沿着切线方向的增量?y。 3 求导法则 a) 导数微分表(4组16个)。 b) 导数的四则运算。 c) 反函数的导数:原函数导数的倒数。 d) 复合函数求导法则。 e) 参数方程求导:dy dx =dy dt /ff ff f) 隐函数求导:左右两侧同时求导,y 当作x 的函数处理。 g) 对数求导法 i. 幂指函数:先将等式两边同时化为ln 的真数,再运用隐函数求导法 则。 ii. 连乘函数:先将等式两边同事化为ln 的真数,变成连加,再运用隐 函数求导法则。 4 高阶导数 a) 莱布尼茨公式:[u (x )v (x )](f )=∑f f f f f =0f (f )(f )f (f ?f )(f ) b)反函数的二阶导数:?f′′(f) [f′(f)]3 c)参数方程的二阶导数:f′′f′?f′f′′ (f′)3 第2节微分中值定理 1罗尔中值定理 条件:(1)f(x)在[a,b]连续。(2)f(x)在(a,b)可导。(3)f(a)=f(b)。 结论:在a和b之间必有一个值f使得f’(f)=0。 几何意义:在该条件下的函数,必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。 引申---费马引理 y=f(x),若x 0为y=f(x)的极值点,则f’(x )=0。 2拉格朗日中值定理 条件:(1)f(x)在[a,b]连续。(2)f(x)在(a,b)可导。 结论:在a和b之间必有一个值f使得f’(f)=f(f)?f(f) f?f 。 几何意义:在该条件下的函数,必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。 证明:使用曲线减去两端点连线得出一个函数,再对该函数应用罗尔中值定理。 使用该定理的信号:要求证的式子中有一个端点处函数值之差。 3柯西中值定理 条件:(1)f(x)、g(x)在[a,b]连续。(2)f(x)、g(x)在(a,b)可导。且g’(x)≠0 结论:在a和b之间必有一个值f使得f′(f) f′(f)=f(f)?f(f) f(f)?f(f) 。 柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。 证明:使用参数方程,将f(x)和g(x)作为参数表示。证明过程与拉格朗日中值定理相同。 使用该定理的信号:要求证的式子中有两个端点处函数值之差。 4泰勒中值定理 泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。 f(f)=∑f(f)(f0) f! (f?f0)f+ f(f+1)(f) f1 (f?f0)f+1 ∞ f=0 拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。 使用该定理的信号:高阶导数。 使用方法:(1)确认n的取值,一般根据高阶导数的阶数选取。(2)确认x0的取值,一般选取题中已知导数值的点。(3)确认x的取值,一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。 第3节微分学的应用 1单调性、极值 单调性: f’(x)>0的区间,f(x)单调增的区间;f’(x)<0的区间,f(x)单调减的区间。 极值: 极值点和导数为零的点没有充要条件关系。 可导函数的极值点,对应的导数值为0。(费马引理) 驻点(导数为0的点)不一定是极值点。 第一判定法:若在f0的邻域内,f0左右导数异号,则f0是一个极值点。 第二判定法:f0为驻点,且在f0处,f(x)的二阶导数存在。通过二阶 导数的符号进行判定。 2最值(闭区间) 最值可能出现在(1)极值点(2)区间端点。 3凹凸、拐点 凹凸: 视觉定位:俯视 凹函数:f(f1+f2 2)≤f(f1)+f(f2) 2 凸函数:f(f1+f2 2 )≥f(f1)+f(f2) 2 凹函数:f’’(x)>0 凸函数:f’’(x)<0 拐点:可能出现在f’’(x)=0或f’’(x)不存在的点,但不一定是。4渐近线 水平渐近线:当f(x)趋向于∞时,极限存在,则该极限为水平渐近线。 铅直渐近线:当f(x)趋向于f 0时,极限趋向于∞,则f 0为该函数的铅直渐近线。 斜渐近线:当f(x)趋向于∞时,f(x)-(kx+b)=0,则(kx+b)为该函数的斜渐近线。其中,k= f (f ) f ,b=lim f →∞ [f (f )?ff ]。 5 函数图像的描绘 利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。 6 曲率 弧微分:ds=√1+[f ′(f )]2 ff 曲率即:角度在单位弧长的变化。 曲率:K= ff ff =ff /ff ff /ff = |f ′′| [(1+(y ′)2] 3 2 曲率半径:ρ=1 f 曲率圆:从弧上某点出发,向凹侧沿法线方向移动ρ的长度,即得到曲率圆的圆心。 第三章 一元函数积分学 第1节 不定积分 (一) 定义 ’(x)=f(x),称F(x)为f(x)的原函数。[F(x)+C]’=f(x),称F(x)+C 为f(x)的原函数组。2.∫f (f )ff =f (f )+f 为f(x)的不定积分。 (二) 性质 1.∫f ′(f )ff =∫f (f )ff =f (f )+f 2.∫[f (f )ff ]′=[f (f )+f ]′=f (f ) 3.∫ff (f )ff =f ∫f (f )ff 4.∫(f 1(f )±f 2(f ))ff =∫f 1(f )ff ±∫f 2(f )ff (三) 基本几分公式 24个公式=13(基本导数表)+11(常用公式) (四) 积分方法 1.凑微分法(第一换元法) ∫f [f (f )]?f ′(f )ff =f [f (f )]+C 有13个常用公式。 2.换元法(第二换元法) ∫f (f )ff =∫f [f (f )]?f ′(f )ff =F(t)+C=F[f ?1(f )]+f f (f )可导且存在反函数。(根式换元、三角换元、倒代换) 3.分部积分法 ∫f (f )ff (f )=f (f )f (f )?∫f (f )ff (f ) 口诀:反对幂指三,谁先出现谁留下。 第2节 定积分 (一) 定义:分割,近似,求和,取极限。 几何意义:曲线与x 轴所围面积的代数和。 (二) 性质: 1. ∫f (f )ff =0f f 2. ∫f (f )ff =?∫f (f )ff f f f f 3. ∫ff (f )ff =f ∫f (f )ff f f f f 4. ∫[f 1(f )±f 2(f )]=∫f 1(f )ff ±∫f 2(f )ff f f f f f f 5. ∫f (f )ff =f f ∫f (f )ff +f f ∫f (f )ff f f 6. 若f(x)≥0,x ∈[a,b],则∫f (f )ff ≥0f f 7. 若f(x)≥g(x) ,x ∈[a,b],则∫f (f )ff ≥∫f (f )ff f f f f 8. m ≤f(x)≤M ,x ∈[a,b],则m(b-a)≤ ∫f (f )ff f f ≤M(b-a) (三) 基本定理 1.积分中值定理:f(x)在[a,b]连续,则在[a,b]中存在一点ξ,使得 ∫f (x )ff =f (ξ)(b ?a )f f 常把f(ξ) 称为积分平均值。 2.变限积分:函数 变上限φ(x )=∫f (f )ff f f φ′ (f )=f (f ) 变下限φ(x )=∫f (f )ff f f φ′ (f )=?f (f ) φ(x )=∫f (f )ff f (f )f φ′(f )=f [f (f )]?f′(f ) φ(x )=∫f (f )ff f f (f ) φ′(f )=?f [f (f )]?f′(f ) φ(x )=∫f (f )ff f (f ) f (f ) φ′(f )=f [f (f )]?f ′(f )? f [f (f )]?f′(f ) 3.牛顿-莱布尼茨公式: F’(x)=f(x)则∫f (f )ff =f f f (f )|f f =f (f )?f (f ) 第3节 反常积分(广义积分) 定积分:(1)有限区间。(2)区间内有界。 (一) 无穷区间上的广义积分 ∫f (f )ff =lim f →+∞ ∫f (f )ff f f +∞ f ,若极限存在,称广义积分是收 敛的。若极限不存在,称广义积分是发散的。 ∫f (f )ff =lim f →?∞ ∫f (f )ff f f f ?∞ ,若极限存在,称广义积分是收敛 的。若极限不存在,称广义积分是发散的。 ∫f (f )ff =∫f (f )ff +∫f (f )ff +∞ f f ?∞+∞ ?∞ ,若两个广义积分极 限都存在,称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在,称原广义积分是发散的。 常用公式:∫ff f f (f >0)+∞f 当P>0时收敛,值为 f 1?f f ?1 。当p>1时发散。 (二) 无界函数的广义积分(瑕积分) f(x)在a 点无界:∫f (f )ff =lim f →0 +∫f (f )ff f f +f f f ,若极限存在, 称积分收敛。若极限不存在,称积分发散。 f(x)在b 点无界:∫f (f )ff =lim f →0 +∫f (f )ff f ?f f f f ,若极限存在, 称积分收敛。若极限不存在,称积分发散。 f(x)在c 点无界:∫f (f )ff =∫f (f )ff +∫f (f )ff f f f f f f ,若两个广义积分极限都存在,称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在,称原广义积分是发散的。 第4节 定积分的应用 (一) 微元法:U 1.确定变量x ,确定x 的范围[a,b]。 →Du=f(x)dx =∫ff =∫f (f )ff f f (二) 几何问题 1.面积: (1)直角坐标系 (2)极坐标系:S=∫ff =∫1 f 2(f )ff f f 极坐标系转化为直角坐标系:f 2=f 2+f 2,x =ρcosθ,y = ρsinθ,θ=arctan f f 2.体积: (1)截面面积已知的几何体的体积:V=∫ff =∫f (f )ff f f (2)旋转体的体积:绕x 轴转:V=∫ff 2(f )ff f f ;绕y 轴转:V=∫ff 2(f )ff f f V=∫2fff (f )ff f f 3.曲线的弧长 (1)参数方程:S=∫√[f ′(f )]2 +[f ′(f )]2 f f dt (2)直角坐标系:S=∫√1+[f ′(f )]2 f f dx (3)极坐标系:S=∫√[f ′(f )]2 +[f (f )]2 f f d θ (三) 物理问题 运用微元法三步求解。 第四章 多元函数微分学 第1节 基本概念 (1) 多元函数: 二元函数:z=f(x,y) D 定义域 几何意义:曲面 (2) 二元函数的极限: 趋向方式有无数种,若不同趋向方式得到的极限不同,则极限不存在(极限唯一性)。 (3)二元函数的连续 极限值等于函数值,则函数在该点连续。 闭区域上连续函数的性质: D为闭区域,f(x,y)在D上连续,则: 1.f(x,y)在D上有界。 2.存在最大最小值。 3.可应用介值定理。 4.可应用零点定理。 第2节偏导数与全微分 (1)偏导数:z=f(x,y) 对x的偏导数:lim ?f→0f(f+?f,f)?f(f,f) ?f =?f ?f =f f′(f,f)= f1′(f,f) 对y的偏导数:lim ?f→0f(f,f+?f)?f(f,f) ?f =?f ?f =f f′(f,f)= f2′(f,f) 二阶偏导数:若f f′f′(f,f)和f f′f′ (f,f)连续,则 f f′f′(f,f)等于f f′f′ (f,f)。 (2)全微分:z=f(x,y) 若?f=A?f+B?f+o(√?f2+?f2)则z可微。 dz=Adx+Bdy+ o(√?f2+?f2)=?f ?f ff+?f ?f dy (3)偏导数与全微分的关系 全微分存在?函数连续 全微分存在? ?f ?f 、?f ?f 存在 ?f ?f 、?f ?f 连续?可微 (4) 偏导数的计算 直接计算:对不求导的变量当作常量处理(二元→一元)。 多元复合函数求导(链式法则) =f(u,v) u=u(x,y) v=v(x,y) ?f ?f =?f ?f ??f ?f +?f ?f ??f ?f ?f ?f =?f ?f ??f ?f +?f ?f ??f ?f 画树状图找到求导路径 隐函数的偏导数 左右同时求导 多元隐函数求导公式: ?f ?f =? f f ′f f ′ ?f ?f =? f f ′f f ′ 第3节 多元函数微分学的应用(数二只要求极值、最值问题) (1) 二元函数的极值问题(无条件) 极值点:可能是一阶偏导数为零或不存在的点。 判定极值点:当求出某点可能为极值点(f 0,f 0),带入f 0=?2f ?f 2、f 0=?2f ?f ?f 、f 0=?2f ?f 2。 计算f 02?f 0f 0。当其 小于零: f 0>0为极小值点 f 0<0为极大值点 大于零: 不是极值点 等于零: 无法判断 (2)条件极值 先构造拉格朗日函数,再求各值的偏导数。 (3)闭区域上的最值 1.先找极值。 2.边界点(条件极值)。 3.比较,选出最大最小值。 第五章重积分 第1节二重积分 (1)几何意义:f(x,y)>0,以D为底,以f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。(2)计算 a)直角坐标系下:?f(f,f)ff= f ∫ff f f ∫f(f,f)ff f2(f) f1(f) 口 诀:后积先定限 b)极坐标系下:先积r后积 θ?f(f,f)ff= f ∫ff f f ∫f(fffff,fffff)fff f2(f) f1(f) 坐标系选择: 极坐标系: 1. D:圆(环)、扇(环) (x,y):f2+f2、f f 除此之外一般选择直角坐标系。 第六章常微分方程 第1节基本概念 1.常微分方程 含未知函数的导数的方程。 2.阶 未知函数有几阶导,就是几阶的微分方程。 3.解 通解:含有任意常数的个数与阶数相同。 特解:通解中的任意常数确定。 初始条件:y(f0)=f0,f′(f0)=f1,…,f(f?1)(f0)=f f?1 4.线性方程 y和y的各阶导数都是以一次式出现的。 第2节一阶微分方程 1.可分离变量的微分方程: 转化:ff ff =f(x)?g(x)?∫ff f(f) =∫f(f)ff 两边同时积分2.齐次微分方程: 如果ff ff =f(f f ),那么设f f =u,则y=x?u(x) 那么ff ff =u(x)+x ff ff 带入原方程 得:u+x?ff ff =f(u) ?ff f(f)?f = ff f (可分离变量) 3.一阶线性微分方程 通式:f′+P(x)?y=Q(x),若Q(x),则称之为一阶线性齐次微分方 程。 一阶线性齐次微分方程通解:y=C?f?∫f(f)ff 一阶线性非齐次微分方程通解: y=f?∫f(f)ff(∫f(f)?f∫f(f)ff ff+f) 第3节高阶微分方程 1.可降阶的高阶微分方程 a)f(f)=f(f) 逐次积分解决。 b)f′′=f(f,f′) 令u(x)=f′,则f′(f)=f′′。代入原式。 c)f′′=f(f,f′) 令f′=p(y),则f′′=f′(f)?p(y)。代入原式。 2.线性微分方程解的结构 通式(二阶为例):f′′+P(x)f′+Q(x)?y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。 (1)若y(x)为齐次的解,则ky(x)仍然是它的解。 (2)若f1(f),f2(f)是齐次的解,则f1f1(f)+f1f2(f)仍然是它的解。