五大奥数比赛

五大奥数比赛
五大奥数比赛

“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

(难度星级★★★★)

“华杯赛”是为了纪念我国杰出数学家华罗庚教授,于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动。华杯赛堪称国内小学阶段规模最大、最正式也是难度最高的比赛。

参赛时间:初赛在每年3月初;复赛在每年4月初。总决赛在7月进行;

进入总决赛的另一途径:报名参加华杯赛冬令营(在每年1月份进行,一等奖可以直接进入华杯赛全国个人总决赛)。

参赛年级:小学组(五、六年级)、初中组(初一年级)

杯赛特色及作用:

1、“华杯赛”是唯一一个具有初赛、复赛、总决赛三轮严格选拔的全国性数学赛事。

2、“华杯赛”是唯一一个具有多项配套活动的系列数学竞赛。包括全国总决赛、“两岸四地华杯精英赛”、“华杯冬令营”等活动

3、“华杯赛”作为目前全国最权威的小学数学比赛,备受北京市各重点中学的认可。

华杯赛初赛考试时间短、题量少、难度低,难度梯度也小,所以考试平均分偏高,进入复赛分数线也高。但是华杯决赛试题梯度宽、难度大,题量多,所以考试时间也长(一个半小时),但是华杯赛的的奖项含金最高、升学保障最稳,赛题水准最高、决赛规模最大。“华杯赛”是优秀中小学生必参与、重点中学必关注、小升初必参考的重大赛事之一。

数学解题能力展示(迎春杯)

(难度星级★★★★★)

“迎春杯”是北京市的一项传统中小学赛事,对激发学生学习数学的兴起,发现优秀的数学特长生,推动北京中、小学数学教学改革等主面都起了很大的作用。后更名为数学解题能力展示。

参赛时间:初赛在每年的12月初复赛在第二年的2月初

参赛年级:小学中年级组(三、四年级)学生、小学高年级组(五、六年级)学生。

杯赛特色及作用:

1、低年级夺奖难度降低:很多低年级家长并没有意识到竞争的压力,此时如果能够先人一步,在竞赛奖项上取得一些优异的成绩,不仅可以增加竞争的砝码,更重要的是可以增加孩子的学习信心,提高学习的兴趣,进而获得持续的进步空间。

2、迎春杯是很多重要比赛的资格赛:如去年参加的“华杯赛”两岸四地的精英邀请赛、走美的全国总决赛、日本算术奥林匹克等国内国际的比赛,其参赛标准就是需要获得迎春杯三等奖以上的成绩。

从奖项的含金量上来说,迎春杯的题目类型和难度的设置都具有比较高的水准。能够极大程度地客观考查到学生的奥数知识功底与数学思维的灵活性。09年的初赛试题就保持了一贯的水准,将试题难度控制在了很高的标准。这是很多重点中学都非常很看重迎春杯成绩的原因之一。

走进美妙的数学花园(走美杯)

(难度星级★★★★)

“走美杯”作为数学竞赛中的后起之秀,凭借其新颖的考试形式以及较高的竞赛难度取得了非常迅速的发展,近年来在重点中学选拔中引起了广泛的关注。

参赛时间:初赛2010年3月下旬全国总决赛2010年7月份

参赛年级:小学三年级至初中二年级学生

杯赛特色及作用:

1、“走美”是四大杯赛中唯一一个只考一次就评选最后奖项的竞赛。这对大部分同学来说是有利的形式,没有战线太长而浪费精力的困扰。

2、“走美”获奖比例相对较高,非常有利于中等水平的同学争夺高端奖项。

试题特点试题不偏不刁、难度适中,强调考察学生的数学基本能力,奥数基础知识。希望杯

(难度星级★★★)

“希望杯”从举办以来,始终坚持面向多数学校、多数学生,从命题、评奖到组织工作的每个环节,都围绕着一个宗旨:激发广大中学生学习的兴趣,培养他们的自信,不断提高他们的能力和素质,不增加师生负担,因此受到广大师生的欢迎。

参赛时间:初赛在每年的3月初复赛在4月初

参赛年级:小学四、五、六年级学生,初、高中一、二年级

杯赛特色及作用:

1、希望杯是面向所有小学阶段的同学举办,参赛学生数量庞大,水平参差不齐,因此对于上培训班的同学来是说,获奖并不是那么困难的事情。

2、希望杯注重的是课内和课外的有效结合,所以选拔出来的同学可以概括为学习能力全面,综合实力强,学习习惯优秀。这一类恰恰被大部分重点中学所认可的。

首先,希望杯的初赛试题简单,但是得分率要求颇高。很多同学在家长的引导下觉得希望杯是“中等生”的杯赛,所以“优秀学生”应该随便考一下就可以通过,这是很不正确的做法。从08年希望杯为例:20道试题,进入复赛的标准是做对18道,对于任何一个“优秀学生”来说,这都不是件容易的事情。

其次,希望杯的初赛通过率低,而复试获奖率高。一试的复赛通过率是25%,这在所有杯赛中比例是较低的,而进入复试后,40%的同学都有机会获奖。所以,希望杯初赛千万不可轻敌,必须认真研究真题,归纳总结出题思路才能做到万无一失。

第三,希望杯的试题陷阱颇多,偶尔可能出现一些偏题,很容易失分。如08年第11题:在16点16分这个时刻,钟表盘面上时针和分针的夹角是____度?很多同学并没有掌握此题的正确解法:利用行程问题解决。一类同学是直接计算角度导致容易算错,另一类同学是好不容易算出结果,但是花费时间太长,导致其他试题时间不够。另外,去年六年级还考察了行程问题的分段行程,很多同学并不容易得出正确解答。

最后,希望杯初赛时间与华杯赛接近,学生考试策略容易使用不当。很多同学对希望杯并不很重视,而华杯赛与希望杯出题思路与风格截然不同,同学很容易造成考试思路策略错误和试题难度深度把握不当,08年参加华杯精英赛选拔的十多名竞赛高手在希望杯都只斩获三等奖,说明希望杯赛的与众不同。

IMC国际数学竞赛

(难度星级★★★)

IMC联盟组建于2005年,并在美国内华达州正式注册。IMC联盟宗旨是遵循科学无国界的原则,联合世界各地致力于普及青少年数学教育的机构、团队和个人,共同搭建青少年国际数学学习交流与合作的平台,激发青少年的数学学习兴趣,增进青少年的友谊与合作。IMC联盟任务是组织会员开展区域性和国际性的青少年数学普及活动,指导会员在区域内推广并组织青少年参加国际数学竞赛活动,在联盟网站和联盟刊物中定期刊登、出版国际性数学普及性读物。

参赛意义:

就IMC竞赛本身而言,通过近七年的发展,IMC国际数学竞赛已经成为一项亚洲地区主流国家积极参与、水平较高、影响广泛的赛事。本项赛事的举办积极体现了“公平、公正、公开”的原则,组织严密、内涵丰富,学生的竞赛成绩已在多个国家和地区成为升学、深造的重要参考!

(1)IMC的参赛学生:

IMC国际数学竞赛接纳小学3、4、5、6年级,初中1、2、3年级以及高中1、2年级共9个年级的在校中小学生参赛(中国大陆不接受小学3年级学生参赛;同时,不组织高中学生参与初赛、复赛,只委派有关重点中学直接组队参与决赛)。

(2)IMC的竞赛程序:

IMC国际数学竞赛的各个参赛国家和地区采取不同的方法选拔参赛选手,就中国大陆而言,每年度的IMC国际数学竞赛活动分为初赛、复赛、决赛三个阶段。初赛于每年的3月上、中旬举办,分地区以中小学或培训机构等成建制单位集体报名参与,并由各参赛单位选拔出40%成绩优良的学生参与每年4月下旬在各地举办的复赛,决赛于每年的7月底或8月初在新加坡举办,决赛的参赛学生将在复赛获得二等奖以上的学生中选拔。

(3)IMC的竞赛命题:

◆初赛试题将只有填空题,其中填空题I(10题,6分/题)、填空题II(5题,8分/题),试题易中难比为60:40:0,满分100分,竞赛时间60分钟;

◆复赛试题分为填空题、简答题两个类型,其中填空题I(6题,4分/题,计24分)、填空题II(7题,6分/题,计42分)和简答题(3题,计34分),试题易中难比为24:42:34,满分100分,竞赛时间为90分钟;

◆决赛试题分为三个类型,分别为选择题(8题,5分/题)、填空题(8题,5分/题)和问答题(2题,10分/题),试题易中难比为40:40:20,满分100分,竞赛时间为90分钟。

IMC国际数学竞赛以IMC命题大纲为依据分年级命题,试题以学生课堂教学内容为基础,同时考察学生的数学学习能力并体现各个参赛国家的数学教育水平。为了培养学生在数学学习中的英语运用能力并体现IMC数学竞赛的国际化氛围,初赛、复赛、决赛均有一定比例的英文试题,决赛部分的英文试题按照年级不同,将达到30%-40%的比例。为了适应各参赛国家的不同情况,决赛试题按照语种共分为中英混合、中文繁体与英文混合、英文、韩文、泰文、波斯文等不同版本。

(4)IMC的奖项设置:

IMC初赛不设任何奖项。复赛设一、二、三等奖和纪念奖,获奖概率为一等奖5%,二等奖15%,三等奖25%,纪念奖15%,由IMC国际数学竞赛中国秘书处授权颁发获奖证书。决赛设金、银、铜奖和优胜奖,由IMC国际数学竞赛联盟颁发获奖证书和奖牌。

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小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等; 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半; ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; 五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理(共角定理)模型 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上如图 2), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =, 16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积. 三角形等高模型与鸟头模型

E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△, ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△,设 8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 . 【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角 形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少? E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE . ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ,∴1515ABC ADE S S ==V V . 【巩固】如图,三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =, 6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍? 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD . ∵3BE =,6AE = ∴3AB BE =,3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==, ∴2ABC ABD S S =V V ,∴6ABC BDE S S =V V ,5S S =乙甲.

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理,对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要,不过,对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象,为此,本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材,力图打破原有体系,重新整合划分,构建十七块体系(其第十七为解题方法汇集,可补充相应杂题),原则上简明扼要,努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1.四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言: ①加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式; ②乘除运算中,统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2.简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如: 3.估算 求某式的整数部分:扩缩法 4.比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若,则c>b>a.。形如:,则。 5.定义新运算

6.特殊数列求和 运用相关公式: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…(n-1)+n+(n-1)+…4+3+2+1=n 二、数论 1.奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2.位值原则 形如:=100a+10b+c 3.数的整除特征: 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4(或25)的倍数 8和125 末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4.整除性质 ①如果c|a、c|b,那么c|(a b)。 ②如果bc|a,那么b|a,c|a。 ③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法 一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0?r<b,使得a=b×q+r 当r=0时,我们称a能被b整除。 当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0?r<b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分,△ AOB面积为1平方千米,△ BOC面积为2平方千米,△ COD勺面积为3平方千米,公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC的面积:⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理,S BGC 1=2 3,那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理,AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . (? ??) 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ,且AO =2 , DO =3,那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:T AO :OC = S ABD: S BDC =1 : 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二:作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求:⑴求A OCF的面积;⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知,△BCD的面积为2 4 4 ^16,那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理,EG:FG 二 Sg E:S.COF =2:4 =1:2,所以S.GCE:S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷? S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

模型二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上,E在AC上如图2),则ABC : ADE -(AB AC): (AD AE) 厘米,求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD : AB =2 :5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 : 7 = (4 5) : (7 5),所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份, 则S A ABC =35份,S A ADE =16平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 三角形等高模型与鸟头模型 【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点,且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方 图⑵

【巩固】如图,三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的 3 倍,如果三角形么三 角形ABC的面积是多少? ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD=DC=4 , BE=3 , AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍? ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD,…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米,求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD: AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE: AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25,设S A ADE = 6 份,贝V S A ABC = 25 份,S A ADE =12 平方厘 米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,AF =2CF,三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米? ADE的面积等于1,那 = 15S ADE =15 . 【巩固】 【解析】连接AD . 【解 析】

小学四年级奥数 第13讲:位值原理

位值原理 叁仟陆佰伍拾捌 3 6 5 8 加油站 位值原理的定义: 同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示 的数值也不同.也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外, 还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上,就表示2个一, 写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数

的原则,称为写数的位值原理. 【例1】(★) 填空: ⑴ 123=1个( )+2个( )+3个( ) ⑵234=( )个100+( )个10+( )个1 ⑶24=2×( )+4×( ) 【例2】(★ ★) : ⑴ 30300 3 3 ⑵ 22030 2 2 3 ⑷657=( )×100+( )×10+( )×1 2 3 ⑸ ( )=5×100+7×10+9×1 ⑹ 23+45=( )×10+( )×1 ⑺ 234+321=( )×100+( )×10+( )×1 =( )×111 ⑶ abc 100 10+ 1 ⑷ abcd a b c d ⑸ 1

【例3】(★★★)【例5】(★★★)(希望杯五年级一试试题) ⑴ 三位数abc比三位数cba小99,若a,b,c彼此不 同,则abc最大是_____。 ⑵a b a b 98790807 【例6】(★★★★) 【例4】(★★★) 计算:(123456+234561+345612+456123+561234+612345)÷7 从1~9九个数字中取出三个,用这三个数可组成六个不同的三 位 数.若这六个三位数之和是3330,则这六个三位数中最小至少是 多 少?最大的至多是多少? 【例7】(★★★★★)(希望杯四年级二试试题) 本讲总结 数abcd,abc,ab,a依次表示四位数、三位数、 两位数及一位abcd abc ab a 1787,那么满足条件的是多少? abcd a c=a c 重要应用: ①计算——分位计算 ②代数化表示——分类讨论

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

六年级奥数专题几何五大 模型鸟头模型 The latest revision on November 22, 2020

几何五大模型——鸟头模型 本讲要点 一两点都在边上:鸟头定理: (现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头,勾勒出鸟头的轮廓,出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去,只留下几何模型。最后按一下,出公式。) 二一点在边上,一点在边的延长线上:

例1 如图,AD=DB ,AE=EF=FC ,已知阴影部分面积为5平方厘米,△ABC的面积是平方厘米. 例2 例2 (1)如图在△ABC中,D、E分别是AB,AC上的点,且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米,求△ABC的面积。 (2)如图在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米,求△ABC的面积。 例3 已知△DEF的面积为12平方厘米,BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。 例4 三角形ABC面积为1,AB边延长一倍到D,BC延长2倍到E,CA延长3倍到F,问三角形DEF的面积为多少 例5 长方形ABCD面积为120,EF为AD上的三等分点,G、H、I为DC上的四等分点,阴影面积是多大

如图,过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ,若PBD ?的面积为8平方分米,求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图,在ABC △中,D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点,且ABC △的面积是54,求 CDE △的面积。 2. 如图,长方形ABCD 的面积是1,M 是AD 边的中点,N 在AB 边上,且12AN BN =.那么,阴影部分的面积等 于 . 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、 ID ,又得到三个三角形,已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米,三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米,则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使 2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍,得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米,则EFGH 的面积是多少 家庭作业 例6 A C E

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

几何五大模型——鸟头模型 本讲要点 一两点都在边上:鸟头定理: (现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头,勾勒出鸟头的轮廓,出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去,只留下几何模型。最后按一下,出公式。) 二一点在边上,一点在边的延长线上:

例1 如图,AD=DB ,AE=EF=FC ,已知阴影部分面积为5平方厘米,△ ABC 的面积是平方厘米. 例2 例2 (1)如图在△ABC中,D、E分别是AB,AC上的点,且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米,求△ABC的面积。 (2)如图在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米,求△ABC的面积。 例3 已知△DEF的面积为12平方厘米,BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。 例4 三角形ABC面积为1,AB边延长一倍到D,BC延长2倍到E,CA延长3倍到F,问三角形DEF的面积为多少 例5 长方形ABCD面积为120,EF为AD上的三等分点,G、H、I为DC上的四等分点,阴影面积是多大

如图,过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ,若PBD ?的面积为8平方分米,求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图,在ABC △中,D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点,且ABC △的面积是54,求CDE △的面积。 2. 如图,长方形ABCD 的面积是1,M 是AD 边的中点,N 在 AB 边上,且12AN BN =.那么,阴影部分的面积等于 . 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、ID , 又得到三个三角形,已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米,三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米,则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2CE BC =; 延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍,得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米,则EFGH 的面积是多少 家庭作业 例6 A C E

小学奥数几何五大模型

几何五大模型 一、五大模型简介 (1)等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图①所示, S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b; 3、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图②所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b; 4、在一组平行线之间的等积变形,如图③所示, S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub];反之,如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub], 则可知直线AB平行于CD。 例、如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。

(2)鸟头(共角)定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形; 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有:S[sub]△ABC[/sub]:S[sub]△ADE[/sub]=(AB×AC):(AD×AE) 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!

如图连接BE,根据等积变化模型知,S[sub]△ADE[/sub]: S[sub]△ABE[/sub]=AD:AB、S[sub]△ABE[/sub]: S[sub]△CBE[/sub]=AE:CE,所以S[sub]△ABE[/sub]: S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]: (S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub])=AE:AC ,因此S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABC[/su b]=(S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub])×(S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub])=(AD:AB)×(AE:AC)。 例、如图在ΔABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2, △ADE的面积为12平方厘米,求ΔABC的面积。

小学奥数-几何五大模型

模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△:。 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图,已知在平行四边形ABCD 中,16AB =,10AD =,4BE =,那么FC 的长 度是多少? 【解析】 图中有一个沙漏,也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题,因为AB 平行于CD , 所以::4:161:4BF FC BE CD ===,所以4 10814 FC =?=+. 【例 2】 如图,测量小玻璃管口径的量具ABC ,AB 的长为15厘米,AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB ),那么小玻璃管口径DE 是多大? 【解析】 有一个金字塔模型,所以::DE AB DC AC =,:1540:60DE =,所以10DE =厘米。 【例 3】 如图,DE 平行BC ,若:2:3AD DB =,那么:ADE ECB S S =△△________。 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=, 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△, 任意四边形、梯形与相似模型

五年级奥数位值原理

位值原理 知识框架 当我们把物体同数相联系的过程中,会碰到的数越来越大,如果这种联系过程中,只用我们的手指头,那么到了“十”这个数,我们就无法数下去了,即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上,只不过能数二十.我们显然知道,数是可以无穷无尽地写下去的,因此,我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来,抽象地研究如何表示它们,如何对它们进行运算.这就涉及到了记数,记数时,同一个数字由于所在位置的不同,表示的数值也不同.既是说,一个数字除了本身的值以外,还有一个“位置值”.例如,用符号555表示五百五十五时,这三个数字具有相同的数值五,但由于位置不同,因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一,最左边的五表示五个百,中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了,现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义:同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同.也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式:以六位数为例:abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝: (1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式 (2)利用十进制的展开形式,列等式解答 (3)把整个数字整体的考虑设为x,列方程解答 例题精讲 知识点一:位值原理的认识 【例 1】填空:

365= ×100+ ×10+ ×1 365=36×+5× =2×+3×+a×+b×=203 +× 【例 2】ab与ba的和被11除,商等于______与______的和。 【例 3】把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来数加起来的和恰好是121,这个两位数的数字和是多少? 【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换,得到一个新的两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少? 【例 4】(1)用数字1、2、3各一个可以组成三位数,所有这样的三位数之和是多少?这个和是三位数的数字和的多少倍? (2)有三个不同的数字,用它们组成六个不同的三位数,如果这六个三位数的和是1554,那么这 三个数字分别是多少? 【巩固】从1-9这九个数字中取出3个,用这三个数字可以组成6个不同的三位数,若这六个三位数之和是2442,则这三个数字的和是多少?

小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大定律 一、等积模型 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ① 等底等高的两个三角形面积相等 如图(1):D 为BC 中点,则S△ABD=S△ACD 如图(4):l1平行于l2,则S△ACD=S△BCD ② 两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比 如图(2): S △ABDS △ACD=BDCD ③ 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比 如图(3):BC=EF ,则 S △ABCS △DEF=h1h2 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形 如图(4):l1平行于l2 ,则 S△ABD=S△ACD 反之如果S△ABD=S△ACD,则可知直线l1平行于l2 ⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形) ⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ⑦ 两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底 相等,面积比等于它们的高之比 二、共角定理(鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和=180O ),这两个三角形叫做共角三角形. D B h A B D C h1 h2 l2 l2 B C h1 F E D h2 B C D h

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 共角 互补角 图(1) 图(2) 如图(1):在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2):D 在BA 的延长线上,E 在AC 上;∠BAC+∠BAC =180O (互补), 则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE);或 S △ABCS △ADE=AB × ACAD × AE 三、相似模型 数学上,相似指两个图形的形状完全相同,其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。 相似比:是指两个相似图形的对应边的比值。 相似符号:“∽” 相似三角形:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形传递性:如果图A 相似于图B ,图B 相似于C ,则 A 相似C 即:图A ∽图B ,图B ∽图C ;则,图A ∽图B ∽图C a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) c a d b A B C D E A D E F C B D E O B A

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”):S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部分,△ AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是 6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米,公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC 的面积;⑵ :AG GC ?A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC S ,那么6BGC S ;⑵根据蝴蝶定理,:12:361:3AG GC .(???)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3,且2AO ,3DO ,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形” ,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知 条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造 这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学 生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ,∴236OC , ∴:6:32:1OC OD . 解法二:作AH BD 于H ,CG BD 于G .∵1 3 ABD BCD S S ,∴1 3AH CG ,∴13AOD DOC S S ,∴13AO CO ,∴236OC , ∴:6:32:1OC OD . 【例3】如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求:⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知,BCD △的面积为244616,那么BCO △和CDO 的面积都是162 8,所以OCF △的面积为844;⑵由于BCO △的面积为8,BOE △的面积为6,所以OCE △的面积为862, 根据蝴蝶定理, ::2:41:2COE COF EG FG S S ,所以::1:2GCE GCF S S EG FG ,那么1 1 2 21233 GCE CEF S S .【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的

奥数专题:几何五大模型(鸟头模型)

鸟头模型 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上如图 2), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16 ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积. E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△, ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△,设8ADE S =△份, 则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 . 【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等

于1,那么三角形ABC 的面积是多少? E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE . ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ,∴1515ABC ADE S S ==V V . 【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =, 乙部分面积是甲部分面积的几倍? 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD . ∵3BE =,6AE = ∴3AB BE =,3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==, ∴2ABC ABD S S =V V ,∴6ABC BDE S S =V V ,5S S =乙甲. 【例 2】 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =, :3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积. E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△,

小学奥数四年级加乘原理

第一讲加乘原理 加法原理:做一件事情,完成它有N类方式,第一类方式有M1种方法,第二类方式有 M2种方法,……,第N类方式有M(N)种方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N) 种方法。 乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有ml种不同的方法,做第二 步有m2不同的方法,,做第n步有mn不同的方法。那么完成这件事共有N=m1 x m2 Xm3 n 种不同的方法。 核心:分布相乘、分步相加 例题1 : (1)从天津到上海的火车,上午、下午各发一列;也可以乘飞机,有3个不同的航班,还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法? (2 )请观察下面的树状图,请问从A到“树叶”节点的路线一共有多少条? 练习1 : (1 )从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中火车有4班,汽车有3班,轮船有2班。问:一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种 不同走法? (2 )下图中,一只甲虫要从A点沿着线段爬到B 段和点不得重复经过,问家中最多有多少种走法? 点,要求任何线*干

例题 2 :泡泡有许多套服装,帽子数量为 5 顶、上衣有10 件,裤子有8 条,还有运动鞋6双,早晨要从几种服装中各取一个搭配,问:有多少种搭配? 练习 2 :书架上有 6 本不同的外语书, 4 本不同的语文书, 3 本不同的数学书,从中任取外语、语文、数学书各一本,有多少种不同的取法? 例题3:由数字1、2 、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的三位数?百位为 7 的没有重复数字的三位数? 练习3:利用数字1,2,3,4,5 共可组成⑴多少个数字不重复的三位数?⑵多少个数字不重复的三位偶数?⑶多少个数字不重复的偶数? 例题4:甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E 这五辆不同型号的汽车,一共有 多少种不同的安排方式? 如果会驾驶汽车 A 的只有甲和乙,一共有多少种安排方式?

小学奥数-几何五大模型

模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部分,△ AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米,公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平 方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC = 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC S ?=?V ,那么6BGC S =V ; ⑵根据蝴蝶定理,()():12:361:3AG GC =++=. () 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的1 3 ,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已 知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==, ∴236OC =?=, ∴:6:32:1OC OD ==. 解法二:作AH BD ⊥于H ,CG BD ⊥于G . ∵1 3 ABD BCD S S ??=, 任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式: 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小); 如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小); 这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的13 ,则三角形面积与原来的一样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状. 在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论: ①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD . ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比; 三角形等高模型与鸟头模型

两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成:⑴ 3个面积相等的三角形;⑵ 4个面积相等 的三角形;⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图,D 、E 是BC 的三等分点,F 、G 分别是对应线段的中点,答案不唯一: C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图,答案不唯一,以下仅供参考: ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图,答案不唯一,以下仅供参考: 【例 2】 如图,BD 长12厘米,DC 长4厘米,B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍? ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍? 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、 BC 和DC 为底时,它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂 线,也就是说三个三角形的高相等。 于是:三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?()高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以,三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4 3 倍; 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图,ABFE 和CDEF 都是矩形,AB 的长是4厘米,BC 的长是3厘米,那么图中阴影 部分的面积是 平方厘米。 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半,即4326?÷=(平方厘米)。 C D B A

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