2015全国各地高考数学统计与概率大题专题汇编

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2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题讲解课件第三讲概率、统计与统计案例(选择、填空题型)

查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生
人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取
________名学生．
[自主解答]
1.由
1
000 40
＝25，可得分段的间隔为25，故
选C.
2．因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本
中的另一个学生的编号为5＋14＝19，故选C.
3．由分层抽样的特点可得应该从一年级本科生中抽取 4＋5＋4 5＋6×300＝60(名)学生．
2．直方图的三个有用结论频率
(1)小长方形的面积＝组距×组距＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于 1. (3)小长方形的高＝频组率距，所有小长方形高的和为组1距. 3．统计中的四个数据特征 (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样
本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一
个学生的编号为( )
A．13
B．17
C．19 D．21
3．(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某
项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调
热点四命题角度
线性回归分析与独立性检验
(1)求回归直线方程问题，如T1； (2)利用回归分析对有关变量作出估计，如T2； (3)独立性检验，如T3.
1．(2014·重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数
据算得样本平均数 x ＝3， y ＝3.5，则由该观测数据算得的

2015年高考数学理真题分项解析：专题12-概率和统计

专题十二概率和统计1.【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是（）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B .2.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（） A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 215 【答案】B ．3.【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A4.【2015高考陕西，理11】设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 【答案】B5.【2015高考陕西，理2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．167B ．137C ．123D ．93【答案】B6.【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石【答案】B7.【2015高考安徽，理6】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C8.【2015高考湖北，理4】设211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C9.【2015高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【答案】B10.【2015高考湖北，理7】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（）A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B11.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。

2015年高考数学真题分类概率与统计

概率与统计（2015北京理科）16.（本小题13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a=或18广东理科4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．1 B. C. D.【答案】．【解析】从袋中任取个球共有种，其中恰好个白球个红球共有种，所以恰好个白球个红球的概率为，故选．（湖北理科）7．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B（1）（2）（3）（湖南理科）12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示. 若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .21112110215B 2215105C =111110550C C =115010=10521B [0,1],x y 1p 12x y +≥2p 1||2x y -≤3p 12xy ≤123p p p <<231p p p <<312p p p <<321p p p <<135【答案】. 【解析】试题分析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人. （全国1卷）（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

2015_2017计数原理概率统计全国高考真题版

2015-2017计数原理概率统计全国高考真题1．（2015全国1卷10题）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（）（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.2、（2015全国1卷19题）．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw46.6 56.3 6.8 289.8，w =（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【答案】适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析：适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.y 关于w∴c y dw =-=563-68×6.8=100.6.∴y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+， ∴y 关于x 的回归方程为（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值，576.60.24966.32z =⨯-=.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.6z=，即46.24x =时，z 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识3、（2015全国2卷3题）．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

2015届高考数学二轮复习专题检测：统计、概率

2015届高考数学二轮复习专题检测：统计、概率时间：60分钟满分：100分一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·唐山一模)下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位：元)，则销售额中的中位数是( )A.30.5 B ．31.5 C ．31 D ．32[答案] C[解析] 由茎叶图和中位数的定义知选C. 2．已知x 、y 的取值如表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ＝b x ＋132，则b ^＝( )A ．－12B.12 C ．－110D.110[答案] A[解析] ∵线性回归方程为y ^＝b ^x ＋132，线性回归方程过样本中心点， ∵x －＝2＋3＋43＝3，y －＝6＋4＋53＝5，∴回归方程过点(3,5)，∴5＝3b ^＋132，∴b ^＝－12，故选A.3．(文)已知区域M ：x 2＋y 2－2x －2y －2≤0，区域N ：2－x ≤y ≤x ，随机向区域M 中投放一点．该点落在区域N 内的概率为( )A.14B.π4C.18D.π8[答案] A[解析] M ：(x －1)2＋(y －1)2≤4为以C (1,1)为圆心，2为半径的圆及其内部的平面区域；又区域N ：2－x ≤y ≤x ，如图可知，随机向区域M 内投放一点，则该点落在区域N 内的概率P ＝14.(理)(2014·山西省重点中学四校联考)向边长分别为5,6，13的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为( )A ．1－π18B ．1－π12C ．1－π9D ．1－π4[答案] A[解析] 如图，设△ABC 三边AB ＝13，AC ＝5，BC ＝6，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设BD ＝x ，则CD ＝6－x ，由AB 2－BD 2＝AD 2＝AC 2－CD 2得13－x 2＝25－(6－x )2，∴x ＝2，AD ＝3，∴S ＝S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×3＝9，分别以A 、B 、C 为圆心，1为半径画弧，当点M 落在以A 、B 、C 为顶点的三个扇形区域外时，符合题意，三个扇形面积的和S 1＝12×12×∠A ＋12×12×∠B ＋12×12×∠C ＝12(A ＋B ＋C )＝π2.∴所求概率P ＝9－π29＝1－π18.4．(文)如图是一样本的频率分布直方图，由图形中的数据可以估计众数与中位数分别是( )A ．12.5 12.5B ．12.5 13C ．13 12.5D ．13 13[答案] B[解析] 在频率分布直方图中，最高矩形中点的横坐标为众数，中位数左右两边直方图的面积相等．(理)(2013·潍坊模拟)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0,1)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.8 [答案] C[解析] 因为μ＝1，所以P (0<ξ<2)＝0.8＝2P (0<ξ<1)，故P (0<ξ<1)＝0.4.5．(文)(2013·太原市模拟)如图，是一个算法程序框图，在集合A ＝{x |－10≤x ≤10，x ∈R }中随机抽取一个数值作为x 输入，则输出的y 值落在区间(－5,3)内的概率为()A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.8[答案] D[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3(x <0)，x －5(x >0)，x (x ＝0)，当－5<x ＋3<3⇒－8<x <0，－5<x －5<3⇒0<x <8，所以有解的概率为P ＝8－(－8)10－(－10)＝0.8.(理)(2014·新乡、许昌、平顶山调研)已知i为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式(i x－1x)6的展开式中含x－2的系数是()A．192 B．32 C．－42 D．－192 [答案] C[解析]由程序框图可知i＝7，∴二项式(i x－1x)6为(7x－1x)6，其通项为T r＋1＝C r6(7x)6－r(－1 x )r＝(－1)r76－r C r6x3－r，令3－r＝－2，∴r＝5，故含x－2的系数为－7×6＝－42.6．(文)(2013·霍邱二中模拟)某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数为()A．70 B．0.3C．30 D．0.7[答案] C[解析]在区间[4,5)上数据的频率为1－(0.05＋0.10＋0.40＋0.15)×1＝0.3，∴频数为100×0.3＝30.(理)(2014·河北名师名校俱乐部模拟)某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个参加，若甲、乙同时参加时丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有()A ．484种B ．552种C ．560种D ．612种[答案] B[解析] 若甲、乙两人只有一人参加时，不同的发言顺序有C 12C 35A 44种；若甲、乙同时参加时，不同的发言顺序有A 24A 23种．共C 12C 35A 44＋A 24A 23＝552种．7．(文)设有n 个样本x 1，x 2，…，x n ，其标准差是s x ，另有n 个样本y 1，y 2，…，y n ，且y k ＝3x k ＋5(k ＝1,2，…，n )，其标准差为s y ，则下列关系正确的是( )A ．s y ＝3s x ＋5B ．s y ＝3s xC ．s y ＝3s xD ．s y ＝3s x ＋5[答案] B[解析] 注意方差的性质：E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)(a ，b 为常数)的应用．据已知可得s 2y ＝9s 2x (注意标准差的平方是方差)，故有s y ＝3s x .(理)设随机变量ξ～B (2，p )，η＝2ξ－1，若P (η≥1)＝6581，则E (ξ)＝( )A.59B.89C.109D.1681[答案] C[解析] ∵η＝2ξ－1，η≥1，∴ξ≥1， ∴P (ξ≥1)＝P (η≥1)＝6581，∵ξ～B (2，p )，∴P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝6581，∴p ＝59，∴E (ξ)＝2×59＝109.8．(文)在一个正四面体玩具的四个面上分别标有数字－1、0、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为n ，则函数y ＝－13x 3＋nx 在[0，＋∞)上为减函数的概率为( )A.14B.12C.34 D ．1 [答案] A[解析] 由y ′＝－x 2＋n ≤0得，n ≤x 2， ∵x ∈[0，＋∞)，∴n ≤0. ∴所求概率P ＝14.(理)种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为( ) A ．p ＋q －2pq B ．p ＋q －pq C ．p ＋q D ．pq[答案] A[解析] 本题考查相互独立事件同时发生的概率．据已知易得两株花卉中恰有一株成活的概率等于(1－p )q ＋(1－q )p ＝p ＋q －2pq .二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，将答案填写在题中横线上．) 9．(文)(2013·眉山二诊)容量为100的样本数据，依次分为8组，如下表：[答案] 0.21[解析] 由3x ＋x ＝100－(10＋13＋15＋13＋12＋9)得，x ＝7.∴第三组的频率为3×7100＝0.21.(理)(2013·珠海摸底)图1是某学生的数学成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A 1、A 2、…、A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是________．[答案] 10[解析] 据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10.10．(文)(2014·哈三中二模)在区间[0,1]上任取两个实数a 、b ，则函数f (x )＝12x 3＋ax －b在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为________．[答案] 78[解析] ∵a ∈[0,1]，∴f ′(x )＝1.5x 2＋a ≥0， ∴f (x )是增函数．若在[－1,1]有且仅有一个零点，则f (－1)·f (1)≤0，∴(－0.5－a －b )(0.5＋a －b )≤0，即(0.5＋a ＋b )(0.5＋a －b )≥0；如图，点P (a ，b )所在平面区域为正方形OABC ，f (x )在[－1,1]上有且仅有一个零点⇔点P 落在阴影区域，阴影部分的面积S ＝1×1－12×12×12＝78，∴所求概率P ＝78.(理)(2013·黄埔区模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品．用户先对产品进行随机抽检以决定是否接收．抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接收这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是________．[答案]2710[解析] 设抽检次数为ξ，则ξ＝1、2、3. P (ξ＝1)＝110，P (ξ＝2)＝A 19A 210＝110，P (ξ＝3)＝A 29A 310＋A 39A 310＝45，∴E (ξ)＝1×110＋2×110＋3×45＝2710.三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11．(本小题满分13分)(2013·保定一模)解放军某部在实兵演练对抗比赛中，红、蓝两个小组均派6人参加实弹射击，其所得成绩的茎叶图如图所示.(1)根据射击数据，计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差，并说明红军还是蓝军的成绩相对比较稳定；(2)若从蓝军6名士兵中随机抽取两人，求所抽取的两人的成绩之差不超过2的概率． [解析] (1)记红、蓝两个小组分别为甲、乙，则 x －甲＝16(107＋111＋111＋113＋114＋122)＝113，x －乙＝16(108＋109＋110＋112＋115＋124)＝113，S 2甲＝16[(107－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(113－113)2＋(114－113)2＋(122－113)2]＝21.S 2乙＝16[(108－113)2＋(109－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(124－113)2]＝883.∵x －甲＝x －乙，S 2甲<S 2乙，∴红军的射击成绩相对比较稳定．(2)从蓝军6名士兵中随机抽取两人，共有15种不同的取法，其成绩情况如下： (108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，(112,115)，(112,124)，(115,124)．设A 表示随机事件“所抽取的两人的成绩之差不超过2”，则A 的基本事件有4种：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)，故所求概率为P (A )＝415.12．(本小题满分13分)(文)(2013·广东佛山质检)文科班某同学参加吉林省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得的等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为W 1、W 2、W 3，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为W －1、W －2、W －3.(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的所有可能结果(如三科成绩均为A 记为(W 1，W 2，W 3))；(2)求该同学参加这次水平测试中恰好获得两个A 的概率；(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．[解析] (1)该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的可能结果有8种，分别为(W 1，W 2，W 3)、(W －1，W 2，W 3)、(W 1，W －2，W 3)、(W 1，W 2，W －3)、(W －1，W －2，W 3)、(W －1，W 2，W －3)、(W 1，W －2，W －3)、(W －1，W －2，W －3)；(2)由(1)可知，恰有两个A 的情况为(W －1，W 2，W 3)、(W 1，W －2，W 3)、(W 1，W 2，W －3)三个，从而其概率为P ＝38.(3)方案一：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件概率大于85%，理由如下：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件有如下七种情况：(W －1，W 2，W 3)、(W 1，W －2，W 3)、(W 1，W 2，W －3)、(W －1，W －2，W 3)、(W －1，W 2，W －3)、(W 1，W －2，W －3)、(W －1，W －2，W －3)，概率是P ＝78＝0.875>85%.方案二：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩至少有一个为A 的事件概率大于85%，理由如下：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩至少有一个为A 的事件有如下七种情况：(W 1，W 2，W 3)、(W －1，W 2，W 3)、(W 1，W －2，W 3)、(W 1，W 2，W －3)、(W－1，W －2，W 3)、(W －1，W 2，W －3)、(W 1，W －2，W －3)，概率是P ＝78＝0.875>85%.(方案一或二中任意一种都可以)(理)(2013·常德市模拟)我市某中学一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[70,75)，[75,80)，[80,85)[85,90)，[90,95)，[95,100]统计后得到如下图的频率分布直方图．(1)此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值．(2)若从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[80,85)和[85,90)内都有车辆的概率．(3)若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75,80)的车辆数的数学期望． [解析] (1)此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样．这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5.(2)车速在[80,90)的车辆共有(0.2＋0.3)×40＝20辆，速度在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆．记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A ，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B ，则P (A )＋P (B )＝C 28C 112C 320＋C 18C 212C 320＝8641140＝7295.(3)车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，设车速在[75,80)的车辆数为X ，则X 的可能取值为1、2、3.P (X ＝1)＝C 22×C 14C 36＝420＝15，P (X ＝2)＝C 12×C 24C 36＝1220＝35， P (X ＝3)＝C 02×C 34C 36＝420＝15，故分布列为∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.13．(本小题满分14分)(文)(2013·淮南三校模拟)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量(单位：克)，重量值落在[495,510)内的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图.图1：乙流水线样本的频率分布直方图(1)根据上面表1中的数据作出甲流水线样本的频率分布直方图；(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线上分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；(3)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解析] (1)甲流水线样本的频率分布直方图如下：(2)由表1知甲流水线样本中合格品数为8＋14＋8＝30，故甲流水线样本中合格品的频率为3040＝0.75，由图1知乙流水线样本中合格品的频率为(0.06＋0.09＋0.03)×5＝0.9，据此可估计从甲流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75；从乙流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.(3)由(2)知甲流水线样本中合格品数为30，乙流水线样本中合格品数为0.9×40＝36. 2×2列联表如下：∵K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝80×(120－360)266×14×40×40≈3.117>2.706， ∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．[点评] 掌握读图、读表的方法，从图表中得到相应的数据，在绘制频率分布直方图的时候，应注意纵轴的坐标并不是频率；第(2)问用相应的频率估计概率即可；进行独立性检验时，要注意公式的正确运用．(理)某中学研究性学习小组，为了考查高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调查结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般．(1)试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表(2)5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率．附表：[解析] (1)2×2列联表如下：因为K 2＝50×(18×19－6×7)25×25×24×26＝15013≈11.538>10.828.由表知，P (K 2≥10.828)≈0.001.故有99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系．(2)设“被选取的两名学生的编号之和为3的倍数”为事件A ，“被选取的两名学生的编号之和为4的倍数”为事件B .因为事件A 所包含的基本事件为：(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，共9个，基本事件总数为5×5＝25.所以P (A )＝925. 因为事件B 所包含的基本事件为：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，共6个．所以P (B )＝625.因为事件A 、B 互斥，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝925＋625＝35. 故被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率是35.一、选择题1．(文)(2014·中原名校联考)在一组样本数据(x 1，y 2)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，x 3，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝－12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－12B.12 C ．－1 D ．1[答案] C[解析] 因为所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝－12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关性强，相关系数|r |＝1，由相关系数计算公式r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2＝∑i ＝1n－12(x i －x )2∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2<0得r ＝－1.(理)(2014·河北名师名校俱乐部模拟)根据某市环境保护局公布2008～2013这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是( )A ．300B ．302.5C ．305D ．310[答案] B[解析] 该组数据为290、295、300、305、305、315共六个数据，所以其中位数为300＋3052＝302.5.2．(文)某学校从高三全体500名学生中抽取50名学生做学习状况问卷调查，现将500名学生从1到500进行编号，求得间隔数k ＝50050＝10，即每10人抽取一个人，在1～10中随机抽取一个号码，如果抽到的是6，则从125～140的数中应取的号码是( )A ．126B ．136C ．126或136D ．126和136 [答案] D[解析] 由题意知，这是系统抽样，∵在1～10中抽得号码6，∴在125～140中抽得号码为6＋12×10＝126和6＋13×10＝136.(理)一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )A.23B.512 C.59 D.79 [答案] C[解析] 记“第i (i ＝1,2)支晶体管是好的”为事件A i (其中i ＝1,2)，依题意知，要求的概率为P (A 2|A 1)．由于P (A 1)＝35，P (A 1A 2)＝6×510×9＝13，所以P (A 2|A 1)＝P (A 2A 1)P (A 1)＝1335＝59.3．(文)(2013·聊城质检)已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29[答案] D[解析] 如图，作出两集合表示的平面区域．容易得出Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界，A 表示的区域为三角形OCD 及其边界．容易求得D (4,2)恰为直线x ＝4，x －2y ＝0，x ＋y ＝6三线的交点．则可得S △AOB ＝12×6×6＝18，S △OCD ＝12×4×2＝4.所以点P 落在区域A 的概率为P ＝418＝29.(理)(2013·许昌、新乡、平顶山调研)已知a >0，在可行域内任取一点(x ，y )，如果执行如图的程序框图，那么输出数对(x ，y )的概率是()A.13B.13aC.12D.12a[答案] A[解析] 可行域三角形的面积为S ＝12×1a ×1a ＝12a 2，其中可行域内满足y ≥ax 2的区域的面积S ′＝∫1a 0(x －ax 2)d x ＝16a 2，故所求事件的概率为P ＝S ′S ＝13.4．(文)为调查中学生每人每天平均参加体育锻炼的时间x (单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：(1)0≤x <10；(2)10≤x <20；(3)20≤x <30；(4)x ≥30.有10000名中学生参加了此项调查，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间少于20分钟的学生的频率是( )A ．3800B ．6200C ．0.38D ．0.62[答案] C[解析] 根据流程图可知，每天参加体育锻炼的时间少于20分钟的学生人数为10000－6200＝3800，故其频率为0.38.(理)若随机变量X ～N (1,4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0<X <2)＝( ) A ．1－2mB.1－m2C.1－2m 2D ．1－m[答案] A[解析] 本题可利用正态曲线的对称性解答．据题意知正态曲线关于直线x ＝1对称，故P (0<X <1)＝12－P (X ≤0)＝12－m ，因此P (0<X <2)＝2P (0<X <1)＝2(12－m )＝1－2m .5．(文)(2013·北京海淀期末)某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有( )A ．75辆B ．120辆C ．180辆D ．270辆[答案] C[解析] 据直方图可知300辆中车速低于限速的汽车所占的频率为10×0.025＋10×0.035＝0.6，故其频数为300×0.6＝180.(理)(2013·四川文，7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。

整理全国各地高考数学统计与概率大题专题汇编

20 年月日A4打印/ 可编辑统计与概率高考题专练统计与概率高考题专练一、选择题1、从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）（A）（B）（C）（D）2、某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.12345678910 1.96 1.92 1.82] 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 63a7560637270a−1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）进入30秒跳绳决赛（A）2号学生（B）5号学生（C）8号学生（D）9号学生3、某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A）56（B）60（C）120 （D）1405、为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）（A）（B）（C）（D）6、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）（A）（B）（C）（D）7、某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。

下面叙述不正确的是（）(A) 各月的平均最低气温都在00C以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C的月份有5个8、小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）（B）（C）（D）二、填空题1、某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.2、已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是___________.3、将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）三、解答题1、某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.2、（2016年山东高考）某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若，则奖励玩具一个；②若，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（I）求小亮获得玩具的概率；（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.4、（2016年上海高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。

2015届高考数学必考题型过关练：专题八+概率与统计学生版

第38练“排列、组合”的常考问题题型一排列问题例1即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________．题型二组合问题例2在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法．(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员．题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？总结提高(1)求解排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”．(2)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解．1．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是()A．57 B．56 C．49 D．82．(2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．9 B．10 C．18 D．203．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!4．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种6．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．420 B．560 C．840 D．20 1607．(2014·达州模拟)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252 C．472 D．4848．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．2799．(2014·四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A．192种B．216种C．240种D．288种10．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条B．62条C．71条D．80条11．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 12．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答) 13．(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．14．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)15．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则：(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．16．(2014·雅安模拟)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为________．第39练二项式定理的两类重点题型——求和与求展开项题型一用公式求展开项例1若(x＋2x2)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是() A．360 B．180 C．90 D．45题型二赋值法求系数之和例2 若(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝________.总结提高 (1)(1)在使用通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k时，通项公式表示的是第k ＋1项的值，而不是第k 项的值，展开式中第k ＋1项的二项式系数C k n 与第k ＋1项的系数不同．(2)二项展开式中项的系数的和或差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，一般是对x 赋值为±1或0.另外要注意掌握(1＋x )n 展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只需令x ＝1即可．而要求(1－x )n 的展开式中各项系数的绝对值的和，只需令x ＝－1即可．1．(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．102．(2014·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．210 3．设⎝⎛⎭⎫5x －1x n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－3004．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．125．若(1＋x )(2－x )2 011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 011x 2 011＋a 2 012x 2 012，则a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012等于( ) A ．2－22 011 B ．2－22 012 C ．1－22 011 D ．1－22 0126．设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(－∞，5] C ．(5，＋∞) D ．[5，＋∞) 7．(2014·大纲全国)⎝⎛⎭⎫x y－yx 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答)8．(2014·山东)若(ax 2＋bx )6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．9．(2014·成都模拟)已知(x ＋a x)6(a >0)的展开式中常数项为240，则(x ＋a )(x －2a )2的展开式中x 2项的系数为________．10．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．11．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56.(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．12．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．第40练概率的两类模型题型一古典概型问题例1 某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率： (1)选取的2位学生都是男生；(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．题型二几何概型问题例2 (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78题型三古典概型与几何概型的综合问题例3 已知关于x 的一元二次方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0，a ，b ∈R .(1)若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．总结提高 (1)求解古典概型问题的三个步骤①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A .②分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m .③利用古典概型的概率公式P (A )＝mn 求出事件A 的概率．若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题．在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域．几何概型的试验中事件A 的概率P (A )只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关．1．从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是( ) A.1649 B.1549 C.27 D.13492．已知实数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤4，0≤b ≤4，x 1，x 2是关于x 的方程x 2－2x ＋b －a ＋3＝0的两个实根，则不等式0<x 1<1<x 2成立的概率是( ) A.332 B.316 C.532 D.9163．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15B.25C.35D.454．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.13 B.23 C.34 D.145．(2014·泸州模拟)在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PBC 的面积小于S 4的概率是( )A.16B.14C.13D.126．已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是( )A.1924B.13C.524D.5277．一个箱子中有9张标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的卡片，从中依次取两张，在第一张是奇数的条件下，第二张也是奇数的概率是________．8．(2013·课标全国Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.9．(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为______．10．在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x 轴正方向移动的概率是23，沿y 轴正方向移动的概率为13，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为________．11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x 、y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．12．某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物成绩获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，且三个学科成绩获得等级A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3，获得等级不是A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3. (1)试列举该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的所有可能结果(如三科成绩均为A 记为(W 1，W 2，W 3))；(2)求该同学参加这次水平测试获得两个A 的概率；(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．第41练随机变量及其分布列题型一离散型随机变量的期望例1 2014年男足世界杯在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P 1，P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．题型二相互独立事件的概率例2 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6、0.5、0.5.假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．题型三二项分布问题例3 (2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．总结提高 (1)离散型随机变量的期望的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．(2)两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有关系，在一些问题中我们可以根据问题的实际意义来判断两个事件是否相互独立．(3)对于能够判断为服从二项分布的随机变量，可直接代入公式．1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.192．(2013·广东)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )等于( ) A.32 B ．2 C.52D ．3 3．(2014·绵阳模拟)甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.7104．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab 的最大值为( ) A.148 B.124 C.112 D.165．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是( ) A.18125 B.36125 C.44125 D.81125 6．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)A.16 B.13 C.12 D.237．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．9．小王参加了2014年春季招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.10．(2014·成都模拟)某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)(2)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，①记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．11．在体育课上，甲、乙、丙三位同学进行篮球投篮练习，甲、乙、丙投中的概率分别为p 1，p 2，25，且p 1＋p 2＝1，现各自投篮一次，三人投篮相互独立．(1)求三人都没有投进的概率的最大值，并求此时甲、乙投篮命中的概率；(2)在(1)的条件下，求三人投中次数之和X的分布列和数学期望．12．(2013·重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．。

2015高考数学(理)(北师大版)复习配套-五年高考真题分类汇编：第9章计数原理、概率、随机变量及其分布汇编

计数原理、概率、随机变量及其分布一、选择题1.【合肥二模】从1到1O 这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是（）A ．B ．C ．D ．2．(白山一模)盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（） A. 35 B. 910 C. 23 D. 253. （兰州诊断）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种A.150B.300C.600D.9005．(白山一模)二项式102x⎛+ ⎝的展开式中的常数项是（）A.第10项B.第9项C.第8项D.第7项6. （海淀期末） 322x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A. 12B. 12-C.6D. 6-7.【云南省第二次高中毕业生复习统一检测】两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同时被招聘的概率是701”．根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单位招聘面试的人有( ) （A ）44人（B ）42人（C ）22人（D ）21人10.【玉溪一中高三上学期月考】6(42)x x -+的展开式中的常数项是（）（A ）1 （B ）6 （C ）15 （D ）2012.【哈尔滨市九中高三月考】5(2)x a +的展开式中，2x 的系数等于40，则0(2)ax e x dx +⎰等于（）A. eB. 1e -C. 1D. 1e +13.（德州月考）已知()|2||4|f x x x =++-的最小值是n ，则二项式1()nx x-展开式中2x 项的系数为（）A ．15B ．15-C ．30D ．30-14.（青岛期末考试）六张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为（）A ．180B ．126C ．93D ．6015.（烟台期末考试）将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别是（） A.6091，12B.12，6091C.518，6091D.91216，1216.【淮南二中高三上学期月考数学】袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（） A. 41 B. 83 C. 2411 D. 242317.【望江四中高三上学期月考】一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（） A ．12种 B ．15种C ．17种D ．19种18.【合肥二模】已知a=[（sin ）2﹣]dx ：，则（ax+）9展开式中关于x 的一次项的系数为（）A ．﹣B ．C ． ﹣D ．考点：二项式定理；微积分基本定理．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得到a 的值，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得关于x 的一次项的系数．19.【望江四中高三上学期月考】一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有（） A ．12种 B ．15种C ．17种D ．19种【答案】D20.【望江四中高三上学期月考】在下列命题中, ①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件;②341()2x x+的展开式中的常数项为2;③设随机变量ξ~(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=,则1(10)2P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（）A ．②B ．②③C ．③D ．①③21．【福建莆田一中段考】三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（） A ．130B ．115C ．110D ．15二、填空题22.【江南十校高三摸底联考】已知集合(){},2,,,A x y x y x y Z =+≤∈集合(){}22,2,,,B x y xy x y Z =+≤∈在集合A 中任取一个元素a ，则a B ∈的概率是．概率是913．考点：概率的计算（古典概型）．23.【望江四中高三上学期月考】若正整数,,,w x y z 满足!!!!w x y z =++，则数组(),,,w x y z 可能是 .24.【安徽池州一中高三月考】已知3sin a xdx π=⎰,则71x x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_________(用数字作答).25.【福建莆田一中段考】732x⎛⎝的展开式中常数项为．26.（普陀调研）在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n.27．(白山一模)已知实数a,b 满足11,11a b -≤≤-≤≤，则函数f(x)= 32153x ax bx -++的两个极值点都在(0,1)内的概率为______ 【答案】112【解析】不等式11,11a b -≤≤-≤≤表示正方形，其面积为4；易知2()2f x x ax b '=-+，若函数f(x)=32153x ax bx -++的两个极值点都在(0,1)内，需满足：2440(0)0(1)12001a b f b f a b a ⎧∆=->⎪'=>⎪⎨'=-+>⎪⎪<<⎩，此约束条件表示的面内（在正方形内的部分）为，故所求的概率为。

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2015普通高等学校招生全国统一考试—理数统计和概率大题 - 1 - 1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分 70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望． 2015普通高等学校招生全国统一考试—理数统计和概率大题

- 2 - 3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分. （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.

4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）. 2015普通高等学校招生全国统一考试—理数统计和概率大题

- 3 - 5.【2015·天津】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率； (II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

6.【2015·重庆】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望 2015普通高等学校招生全国统一考试—理数统计和概率大题

- 4 - 7.【2015·四川】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.

8.【2015·湖北】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,AB两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产,AB两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

W 12 15 18

P 0.3 0.5 0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 2015普通高等学校招生全国统一考试—理数统计和概率大题

- 5 - 9.【2015·陕西】设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（I）求的分布列与数学期望；（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

10.【2015·新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量iy（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

x y w 821()iixx 821()iiww 81()()iiixxyy 81()()iiiwwyy

46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8

表中iiwx ，w =188

1iiw

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（分钟） 25 30 35 40

频数（次） 20 30 40 10 2015普通高等学校招生全国统一考试—理数统计和概率大题

- 6 - （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)uv,22(,)uv，……，(,)nnuv,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

121()()=()niiiniiuuvvuu





，=vu

11.【2015·北京】A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； (Ⅱ) 如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 2015普通高等学校招生全国统一考试—理数统计和概率大题

- 7 - 12.【2015·广东】某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的平均值x和方差2s；（3）36名工人中年龄在sx与sx之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？ 2015普通高等学校招生全国统一考试—理数统计和概率大题

- 8 - 13. 【2015·湖南】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.