高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义学业分层测评新人教B版选修2_2

1.1.3 导数的几何意义

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝

( ) A．4 B．－4

C．－2 D．2

【解析】由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.

【答案】 D

2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )

A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0

C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在

【解析】切线的斜率为k＝－2，

由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.

【答案】 C

3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )

【导学号：05410006】A．(1,1) B．(－1,1)

C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)

【解析】因为y＝x3，所以y′＝lim

Δx→0 x＋Δx 3－x3

Δx

＝lim

Δx→0

[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]

＝3x2.

由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.

当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.

故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.

【答案】 C

4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0

【解析】设切点为(x0，y0)，

∵f′(x)＝lim

Δx→0 x＋Δx 2－x2

Δx

＝lim

Δx→0

(2x＋Δx)＝2x.

由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，

∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.

【答案】 A

5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( ) A ．2 B ．－4 C ．3

D.1

4

【解】 因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1

x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx

＝－1

x 2，

所以曲线在点⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，2处的切线斜率为

k ＝－4，故选B.

【答案】 B 二、填空题

6．已知函数y ＝f (x )的图象如图1­1­3所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．

图1­1­3

【解析】 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时

f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．

【答案】 ②

7．曲线y ＝x 2

－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.

【解析】 因为y ＝x 2

－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝lim Δx →0

－1＋Δx 2

－2 －1＋Δx ＋3－ 1＋2＋3

Δx

＝lim Δx →0

(Δx －4)＝－4，

所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝0

8．若曲线y ＝x 2

＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，则

y ′＝lim Δx →0 x 0＋Δx 2

＋2 x 0＋Δx －x 2

0－2x 0Δx

＝lim Δx →0

(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.

因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0， 所以点P 处的切线的斜率为2，

所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)． 【答案】 (0,0) 三、解答题

9．已知抛物线y ＝f (x )＝x 2

＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．

【解】 由方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝x 2

＋3，

y ＝2x ＋2，得x 2

－2x ＋1＝0，

解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又 Δx ＋1 2

＋3－ 12

＋3

Δx ＝Δx ＋2.

当Δx 趋于0时，Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2， 所以切线方程为y －4＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋2.

10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2

相切的直线方程． 【解】 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2

－x

2

Δx ＝2x .

设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2

上， ∴y 0＝x 2

0， 又∵A 是切点，

∴过点A 的切线的斜率k ＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，

∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5

x 0－3

.