麦克斯韦方程的复数形式
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麦克斯韦方程的复数形式
肖军
若把麦克斯韦方程
B E t
∂∇⨯=-∂ （1-1）
D H t
∂∇⨯=∂ （1-2）
中的（1-2）式写成
()
(
)/iE c
icB t
∂∇⨯=
∂ （2）
等价形式，式中i =。用（1-1）式分别加、减（2）式，则可得到复麦克斯韦方程形式是
*
*m
m m
m B E t
B E t
∂∇⨯=-∂∂∇⨯=-∂ （3）
其中
**//m m m m E E icB E E icB
B B iE c B B iE c
=-=+=-=+
（4） 同理，若把麦克斯韦方程中的（1-1）式写成
()
()
/iH c icD t
∂∇⨯=-
∂
（5） 等价形式，用（1-2）式分别加、减（5）式，还可得到复麦克斯韦方程形式是
*
*m
m m
m D H t
D H t ∂∇⨯=∂∂∇⨯=
∂ （6）
其中
**//m m m m H H icD H H icD
D D iH c D D iH c
=-=+=-=+
（7）
易验证，复数形式的电磁场量满足
**22
**22
11
m m m m m m m m D E D E E B H B H B B E εμ
εμ
⋅=⋅=+⋅=⋅=+ （8）
按照目前的主流理论，应有
*
2*2212m m m m D E E H B B
εμ
⋅=⋅= （9） 将（9）式代入（8）式可得到
22221
1
22
E B E B εεμ
μ
+
== （10）
即有
22
2
1E c B εμ
== （11） 满足（11）式结果并满足（1）场方程的电磁场量是 ()
()
00cos cos E E kx t B B kx t ωω=-=-
（12） 还有一种与主流理论不同的结果是令（8）式中
*
20*2
01m m m m D E E H B B εμ
⋅=⋅= （13） 此时有
2222001
1
E B E B εεμ
μ
+
==
（14）
由此可知
22222
0002222
001E E E E c B B B B εμ
-====- （15） 满足（15）式结果电磁场量是
()
()
00cos sin E E kx t B B kx t ωω=-=-
（16） 这个结果似乎与（1）式场方程中的电场E 和磁场B
必须满足（12）要求相悖，其实不然。因为（12）式中的磁场B
等价于
()0cos B B kx t ω=-
()()00cos /2B k x x t ωπ=+--
()()00sin B k x x t ω=+-
（17）
其中
0/2kx π= （18）
因此，我们可以把t 时刻在x 点处按余弦规律变化的磁场，看做是t 时刻在0x x +点处按正弦规律变化的磁场，两场是等价的，只是相位相差/2π，如图1所示。这足以证明满足（1）式场方程的电磁场量也可以写成形式为
()
()()
000cos sin E E kx t B B k x x t ωω=-=+-
（19） 此时的电场E 和磁场B
是分别位于x 点和0x x +点，（16）式是满足（19）式位于
同一点处的电磁场量。
图1
综上可知，（1）式场方程仅要求电场E 和磁场B
的同期相等，相差恒定，并没有要求电场E 和磁场B
的初相位必须相同。对初相位相差/2π分别位于不同两点处的电场E 和磁场B ，也同样能够满足（1）式场方程，此时的电场E 和磁场B
满足（15）式关系。