2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 5 简单复合函数的求导法则 活页作业9 Word版含解析
【数学】25简单复合函数的求导法则课件北师大版选修2-26537117页PPT
1
x
(3)(ln2x)_x______(4_()1x2)__1 _x 2________
3.求下列复合函数的导数
(1 )yco 5xs (2)yco 5xs (3 y )ln 2x(x2)
(4 y )e 2x 3
(5)y 1 13x
答案： 1）y（ 5sin5x
(2y)5co4sxsinx
(3y)22x2xx2 (5y)3(13x)23
又 yu2u,uv1 v,vx3
y y u u v v x 2 u 1 v ( 3 ) 3 x 6 1 ln 3 x 1 ( )
（3） 函数ysin3(2x1)可以分解为
yu3,usinv和v2x1
又 y u 3 u 2,u v co v ,vxs 2
y y u u v v x 3 u 2 cv o 2 6 s s 2 ( 2 ix n 1 ) c2 x o 1 )
x
2.导数的四则运算法则：
f(x)g(x) f(x)g(x), f(x)g(x) f(x)g(x).
f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x),
f (x) g(x)
f (x)g(xg)2(xf)(x)g(x).
课前练习：
1.yx(x21xx12),求 y'；
y
'
2x2
1 x2
2.yxsinxcosx,求 y'； 22
yu 2u 6x 4 ; ux 3 ;
分析三个函数解析式以及导数 yu,ux, yx'
之间的关系: y' yx' yu ux
讲授新课：
2.复合函数的导数:
一般地，设函数u(x)在点x处有导数ux' '(x),
高中数学北师大版选修2-2第2章《简单复合函数的求导法则》ppt参考课件
法则3
u vBiblioteka '
u 'v uv ' v2
(v 0)
复合函数的导数
函数 y u，2 u 3，x 2 y 构 (成3x间的2)2关系？ y (3x 2)2 可由 y 与u2 u 复3x合 2得到．
例1 指出下列函数的复合关系：
（1）y (2 x2 )3 （3）y cos x
4
（2）y sin x2 （4） y lnsin(3x 1)
解：（31）y
c(2os
x42由)3x由 y
yu3 ,cuos复u复2,合u合x而而2成成．x．
4
（4）y（2ln）syin(3s由ixn由x12) yyslinn复uu,,合uu而复sx成i合n2 v．而,v成 ．3x 1
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水
面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为
y
h(t)
100 2t 1
求函数在t=3时的导数并解释它的实际意义。
解：函数 y h(t) 100 是由函数 f (x) 100 与
2t 1
x
x (t) 2t 1复合而成的，其中x是中间变量。
C' 0 (x n )' nxn1 (cosx)' sin x
(sin x)' cosx
2、法则1 [u(x) v(x)]' u ' (x) v' (x)
法则2 [u(x)v(x)] u '(x)v(x) u(x)v '(x) ,
[Cu(x)] Cu '(x)
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 2.1、2.2 导数的概念及其几何意义 活页作业6
活页作业(六) 导数的概念及其几何意义1．已知函数f (x )＝x ，则f ′(1)＝( ) A ．14B ．12C ．－12D ．－14解析：Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1)＝11＋Δx ＋1，当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于12，所以f ′(1)＝12.答案：B2．设曲线y ＝x 2＋x －2在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(1,0) C ．(0,0)D ．(1,1)解析：设M (x 0，y 0)，则k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－2－(x 20＋x 0－2)Δx ＝2x 0＋1＝3. ∴x 0＝1.∴y 0＝0. ∴M 点的坐标为(1,0)． 答案：B3．做直线运动的一物体，其位移s 与时间t 的关系式为s ＝3t －t 2，t ∈[0，＋∞)，则其初速度为( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t 解析：该物体在t ＝0时的瞬时速度v ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2－0Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3－0＝3.答案：B4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 的值是( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1解析：由题意得2＝lim Δx →a (1＋Δx )2－aΔx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，∴a ＝1. 答案：A5．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线倾斜角是π4，则f ′(x 0)＝( )A ．π4B ．－π4C ．－1D ．1解析：由题意知f ′(x 0)＝tan π4＝1.答案：D6．曲线f (x )＝x 2在曲线上某点的切线的倾斜角为3π4，则此点的坐标是________．解析：设所求点的坐标为(x 0，x 20)，由题意得 f ′(x 0)＝－1.利用导数的定义求得f ′(x 0)＝2x 0， 故2x 0＝－1，x 0＝－12.故所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，14. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，14 7．已知函数f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：f ′(1)＝23，f (1)＝1，则f (1)＋f ′(1)＝53.答案：538．已知函数y ＝x 3－1，当x ＝2时，lim Δx →ΔyΔx等于__________________． 解析：Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－1－(x 30－1)Δx＝3x 20＋3x 0·Δx ＋(Δx )2，∴lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0·Δx ＋(Δx )2]＝3x 20. ∴f ′(x 0)＝3x 20. ∴f ′(2)＝3×22＝12. 答案：129．求函数y ＝f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2. 10．已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 因为f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(1＋Δx )3－1Δx ＝lim Δx →[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， 所以过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)＋1，y ＝x 3⇒(x －1)2(x ＋2)＝0， ∴x 1＝1，x 2＝－2.所以公共点为(1,1)和(－2，－8)，说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点．11．下列各式中正确的是( ) A ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxB ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0－Δx )＋f (x 0)ΔxC ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxD ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx解析：由导数的定义可知， f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx，故排除A ，B ，C ． 在D 中，f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx.答案：D12．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 解析：令f (x )＝12x 2－2，Δy ＝12(1＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12×12－2＝12Δx 2＋Δx ， Δy Δx ＝12Δx 2＋Δx Δx ＝12Δx ＋1， ∴lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫12Δx ＋1＝1. ∴f ′(1)＝1.∴过点P ⎝⎛⎭⎫1，－32的切线的斜率为1，切线的倾斜角为45°. 答案：45°13．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 的坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4.又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16.∴x 0＝3.∴P (3,30)． 答案：(3,30)14．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9， ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)有最小值－9－a23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a ＜0，∴a ＝－3. 15．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程，所求切线与曲线是否还有其他公共点？若有，请求出其坐标；若没有，试说明理由．解：(1)由导数的定义求得函数f (x )＝13x 3＋43在x ＝2处的导数为f ′(2)＝4.由导数的几何意义，点P (2,4)处的切线的斜率为4， 故所求的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，利用导数的定义和几何意义，切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝x 20，切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． ∵点P (2,4)在切线上， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)， 解得x 0＝2或x 0＝－1.∴所求的切线方程为：4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －4＝0，y ＝13x 3＋43，消去y 并整理，得x 3－12x ＋16＝0，即x 3－4x －8x ＋16＝0， ∴(x －2)(x 2＋2x －8)＝0， 即 (x －2)2(x ＋4)＝0. ∴x ＝2或x ＝－4.∴切线4x －y －4＝0与曲线y ＝13x 3＋43除有公共点(切点)P (2,4)外，还有一个公共点为(－4，－20)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，y ＝13x 3＋43，消去y 并整理得x 3－3x －2＝0， 即x 3－x －2x －2＝0，即x (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0， ∴(x ＋1)2(x －2)＝0.∴x ＝－1或x ＝2.∴切线x －y ＋2＝0与曲线y ＝13x 3＋43，除有公共点(交点)P (2,4)外，还有一个公共点即切点(－1,1)．16．(2017·山东卷)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2.当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程．解：当a ＝2时，f (x )＝13x 3－x 2，f (3)＝0，∴Δy Δx ＝13(3＋Δx )3－(3＋Δx )2－13×33＋32Δx ＝13Δx 2＋2Δx ＋3.当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于3.∴f ′(3)＝3.∴曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.。
高中数学选修2-2 北师大版 简单复合函数的求导法则 作业(含答案)
课时跟踪训练(九) 简单复合函数的求导法则1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4 2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫2－1x 2的导数为( ) A ．2⎝⎛⎭⎫2－1x B ．2⎝⎛⎭⎫2－1x 2 C ．2⎝⎛⎭⎫2－1x ·1x 2 D ．2⎝⎛⎭⎫1x －2·1x 2 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x4．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14 mm/min 5．若f (x )＝e x ＋e －x 2，则f ′(0)＝________. 6．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．7．设f (x )＝a e x ＋b ln x 2，且f ′(1)＝e ＋1，f ′(－1)＝1e－1，求实数a ，b 的值．8．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x 2－x ＋1)4；(2)y ＝11－2x 2；(3)y ＝x ln(1－x )．答 案1．选A A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．选C y ′＝2⎝⎛⎭⎫2－1x ⎝⎛⎭⎫2－1x ′＝2⎝⎛⎭⎫2－1x ·1x 2. 3．选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．选D f ′(t )＝1210t ·10＝510t， ∴f ′(40)＝5400＝14. 5．解析：∵f ′(x )＝12(e x －e －x )，∴f ′(0)＝0. 答案：06．解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )． ①对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a ，则1x 0＋a ＝1， 即x 0＋a ＝1. ②②代入①可得x 0＝－1，所以a ＝2.答案：27．解：f ′(x )＝a e x ＋2b x ，。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 2.1、2.2 导数的概念及其几何意义
第二章 §2 2.1 2.21．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：因为切线x ＋2y －3＝0的斜率为－＜0，所以f ′(x 0)＝－＜0.1212答案：B2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交解析：由导数的几何意义知B 正确．答案：B3．已知y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB )B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：结合图像由导数的几何意义得f ′(x A )＜f ′(x B )．答案：B4．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝2x －1，则f ′(x 0)＝________.解析：f ′(x 0)＝k ＝2.答案：25．已知曲线y ＝f (x )＝x ＋上一点A，用导数的定义求：1x (2，52)(1)点A 处的切线的斜率；(2)点A 处的切线方程．解：(1)∵点A 在曲线上，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋－＝＋Δx .12＋Δx (2＋12)－Δx2(2＋Δx )当Δx 趋于0时，＝＋1趋于，Δy Δx －12(2＋Δx )34∴点A 处的切线的斜率为.34(2)点A 处的切线方程为y －＝(x －2)，5234即3x －4y ＋4＝0.。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 2.1、2.2 导数的概念及其几何意义
第二章 §2 2.1 2.21．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：因为切线x ＋2y －3＝0的斜率为－12＜0，所以f ′(x 0)＝－12＜0.答案：B2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交解析：由导数的几何意义知B 正确． 答案：B3．已知y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：结合图像由导数的几何意义得f ′(x A )＜f ′(x B )． 答案：B4．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝2x －1，则f ′(x 0)＝________. 解析：f ′(x 0)＝k ＝2. 答案：25．已知曲线y ＝f (x )＝x ＋1x 上一点A ⎝⎛⎭⎫2，52，用导数的定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． 解：(1)∵点A 在曲线上，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝⎛⎭⎫2＋12＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx .当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝－12(2＋Δx )＋1趋于34，∴点A 处的切线的斜率为34.(2)点A 处的切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.。
高中数学：2.5 简单复合函数的求导法则(二) 教案 (北师大选修2-2)
2.5 简单复合函数的求导法则教学过程：（一)复习引入1. 几种常见函数的导数公式(C ）＝0 （C 为常数)． （x n )＝nx n －1 (n Q)． ( sin x )＝cos x ． ( cos x )＝－sin x ．2．和(或差）的导数 (u ±v ）＝u ±v ．3．积的导数 （uv ）＝u v ＋uv ． （Cu )＝Cu ．4．商的导数).0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u（二）讲授新课1．复合函数：如 y ＝（3x －2）2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ．像y ＝（3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数． 练习:指出下列函数是怎样复合而成的． .)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数一般地，设函数u ＝（x ）在点x 处有导数u'x ＝'（x ），函数y ＝f (u ） 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '（u ） ，则复合函数y ＝f ((x ）） 在点x 处也有导数,且 y'x ＝y’u ·u'x ．或写作 f ’x （(x )）＝f ’（u ) '(x )．复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．例1 求y ＝(3x －2)2的导数．解：y’＝[（3x －2)2]’ ＝(9x 2－12x ＋4）'＝18x －12． 法1函数y ＝（3x －2）2又可以看成由y ＝u 2 ,u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量．由于y'u ＝2u ,u'x ＝3，因而 y’x ＝y'u ·u’x ＝2u ·3＝2u ·3＝2（3x －2）·3＝18x －12．法2例2 求y ＝（2x ＋1）5的导数．解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，则 y’x ＝y'u ·u’x ＝(u 5）'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1）4·2＝10（2x ＋1)4．练习1。
高中数学第2章变化率与导数5简单复合函数的求导法则课件北师大版选修2_2
• 解 t′x＝析3：，∴原y′x函＝数2t由·3y＝＝6t(23和x－t＝43)．x－4复合而成，y′t＝2t， • 答案： D
• 2．函数y＝sin(2x－1)的导数是( ) • A．cos(2x－1) B．2xsin(2x－1) • C．2cos(2x－1) D．2sin(2x－1) • 解析： y′＝cos(2x－1)·2＝2cos(2x－1)． • 答案： C • 3．函数y＝e2x＋e－x的导数为_____________． • 答案： 2·e2x－e－x
结果
理由
令u＝3x－π6，则y＝cos u.
(3) －3sin3x－π6 y＝yu′·ux′＝－sin u·3x－π6′
＝－3sin u＝－3sin3x－π6
令u＝1＋x2，则y＝ u＝u12，
(4)
x 1＋x2
y′＝yu′·ux′＝12u－12(1＋x2)′
＝x·u－12＝
＝2sin2x＋π3·cos2x＋π3·2x＋π3′
＝2sin4x＋23π.
8分
(3)y′＝xx－1x100′＝x′x－1x100＋xx－1x100′
＝x－1x100＋x·100x－1x99·x－1x′
2．复合函数的导数
• 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的 导 于数__间__的__关__系__为__y_′_yx＝′_u·__u_′__x ___________乘__积__．.即y对x的导数等
y对u的导数与u对x导数的
•
求复合函数的导数要处理好以下环节
• (1)中间变量的选择应是基本函数结构；
2x
πcos ∴f′(π)＝
2π＋100cos 2π－12sin π＋1002
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活页作业(九) 简单复合函数的求导法则
1．y＝12(ex＋e－x)的导数y′等于( )
A．12(ex＋e－x) B．12(ex－e－x)
C．ex＋e－x D．ex－e－x
解析：y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x)．
答案：B
2．函数f(x)＝sin2x＋π6·cos2x＋π6，则f′(0)等于( )
A．1 B．0
C．－1 D．以上都不对
解析：f(x)＝sin2x＋π6·cos2x＋π6＝12sin4x＋π3，
f′(x)＝12cos4x＋π3·4x＋π3′＝2cos4x＋π3，
∴f′(0)＝2cos π3＝1.
答案：A
3．曲线f(x)＝e2x－4在x＝2处的切线方程为( )
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．ex－y－2e＋1＝0 D．ex＋y＋2e－1＝0
解析：∵f′(x)＝e2x－4(2x－4)′＝2e2x－4，
∴f′(2)＝2.
又切点为(2,1)，
∴切线方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
答案：A
4．函数y＝ln(x2－1)的导数y′＝( )
A．2xx2－1 B．1x2－1
C．2x－1x2－1 D．x2x2－1
解析：y′＝x2－1′x2－1＝2xx2－1.
答案：A
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：设切点为P(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．∵y′|x＝x0＝1x0＋a＝1，∴x
0
＋a＝1.
∴y0＝0，x0＝－1.∴a＝2.
答案：B
6．函数y＝x－(2x－1)2的导数是________．
解析：y′＝x′－[(2x－1)2]′
＝1－2(2x－1)(2x－1)′
＝1－4(2x－1)＝5－8x.
答案：y′＝5－8x
7．曲线y＝sin 3x在点Pπ3，0处的切线方程为____________．
解析：y′x＝cos 3x·(3x)′＝cos 3x·3＝3cos 3x，
∴曲线y＝sin 3x在点Pπ3，0处的切线斜率为
3cos3×π3＝－3.
∴切线方程为y＝－3·x－π3，即3x＋y－π＝0.
答案：3x＋y－π＝0
8．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：∵直线x＋2y＋1＝0的斜率为－12，
∴所求切线的斜率k＝2.
又y′x＝eax·(ax)′＝aeax，
∴当x＝0时，y′＝a.∴a＝2.
答案：2
9．求下列函数的导数：
(1)y＝3x－1x5；
(2)y＝11－x2；
(3)y＝cos x2.
解：(1)设y＝u5，u＝3x－1x，则
y′＝(u5)′3x－1x′
＝5u4·3＋1x2
＝53x－1x43＋1x2.
(2)设y＝u－12，u＝1－x2，
则y′＝(u－12)′·(1－x2)′＝－12u－32·(－2x)＝x(1－x2)－32.
(3)设y＝cos u，u＝x2，
则y′＝(cos u)′·(x2)′
＝(－sin u)·2x
＝(－sin x2)·2x
＝－2xsin x2.
10．已知函数y＝f(x)＝xln(2x－1)．
(1)求这个函数的导数；
(2)求这个函数在x＝1处的切线方程．
解：(1)y′＝x′ln(2x－1)＋x[ln(2x－1)]′
＝ln(2x－1)＋x2x－1·(2x－1)′
＝ln(2x－1)＋2x2x－1.
(2)由(1)知：切线的斜率k＝f′(1)＝ln(2×1－1)＋2×12×1－1＝2.
又x＝1时，f(1)＝0.
∴切点为(1,0)．
故切线方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
11．函数y＝x＋1x5的导数y′＝( )
A．5x＋1x4
B．5x＋1x41＋1x
C．5x＋1x4(1－x－2)
D．5x＋1x4(1＋x－2)
解析：y′＝x＋1x5′＝5x＋1x4·x＋1x′
＝5x＋1x4(1－x－2)．
答案：C
12．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，若f(x)在x＝a处的导数值为20，则a＝________.
解析：f′(x)＝2(2x＋a)·2，
∵f′(a)＝20，
∴12a＝20.∴a＝53.
答案：53
13．曲线y＝ln(2x－1) 上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离d为________．
解析：当曲线的切线与直线2x－y＋3＝0平行时，切点到该直线的距离最短．
对于y＝ln(2x－1)，y′＝22x－1，
令y′＝2，得x＝1.
将x＝1代入曲线方程y＝ln(2x－1)得y＝0，
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离最短，
最短距离d＝|2×1－0＋3|22＋－12＝5.
答案：5
14．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为
________．
解析：y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋
2.该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如下图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交
点A23，23，∴三角形的面积S＝12×1×23＝13.
答案：13
15．若函数f(x)＝exx在x＝a处的导数值与函数值互为相反数，求a的值．
解：∵f(x)＝exx，
∴f(a)＝eaa.
又∵f′(x)＝exx′＝ex·x－exx2，
∴f′(a)＝ea·a－eaa2.
由题意知f(a)＋f′(a)＝0，
∴eaa＋ea·a－eaa2＝0.
∴2a－1＝0.∴a＝12.
16．曲线y＝e2xcos 3x在点(0, 1)处的切线与l的距离为5，求l的方程．
解：由题意知y′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′＝2e2xcos 3x＋(3x)′(－sin 3x)·e2x＝
2e2xcos 3x－3e2xsin 3x，
∴曲线在点(0,1)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝2.
∴该切线的方程为y－1＝2x，
即y＝2x＋1.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
则d＝|m－1|5＝5，
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，直线l的方程为y＝2x－4；
当m＝6时，直线l的方程为y＝2x＋6.
综上可知，直线l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.