分类讨论思想

答案
C
3 9 例题 2．在等比数列{an}中，已知 a3＝ ，S3＝ ， 2 2 求 a1 与 q.
3 9 解：当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝ ，S3＝3a1＝ ， 2 2 显然成立； 3 2 a1q ＝a3＝ ， 2 当 q≠1 时，由题意，得a 1－q3 9 1 ＝S3＝ . 2 1－q 3 2 a1q ＝2， ∴ a11＋q＋q2＝9， 2 ① ②
分析：
(1)配方，转化为二次函数求值域；
(2)转化为求g(x)在[0,3]上的值域问题．
－x＋1＋4 解：(1)f(x)＝ x＋12
1 1 1 1 1 2 2 － ＝4 －x＋1＝4x＋1 8 －16， x ＋ 1
3－x 1 3 练 习 2. 已 知 函 数 f(x) ＝ 2 ， g(x) ＝ ax － 3 x ＋2x＋1 a2x(a≠0)， (1)当 x∈[0,3]时，求 f(x)的值域； (2)对任意的 x1， x2∈[0,3]， 总存在 x3∈[0,3]， 使 f(x1) ＋f(x2)＝g(x3)成立，求实数 a 的取值范围．
1＋q＋q2 由①②，得 ＝3，即 2q2－q－1＝0， 2 q 1 ∴q＝－ 或 q＝1(舍去)． 2 1 a3 当 q＝－ 时，a1＝ 2＝6. 2 q 3 综上可知，当 q＝1 时，a1＝ ； 2 1 当 q＝－ 时，a1＝6. 2
例题3.若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个
1 解: 当 m＝ 时，两条直线斜率的乘积为－1，从而可 2 得两条直线垂直；当 m＝－2 时，两条直线中一条直线的 斜率为 0，另一条直线的斜率不存在，但两条直线仍然垂 1 直，因此 m＝ 是题目中给出的两条直线相互垂直的充分 2 不必要条件．
答案 B
例题5. 圆周角定理的证明 . 例题6. 已知集合A x| 2 x 5, 集合B x | m 1 x 2m 1, 且A B A. 试求实数m的取值范围 . 例题7. 已知集合A x | x 2 3 x 2 0 , 集合B x | x 2 ax a 1 0 , 若A B A，求a的值.

1 解：(1)f′(x)＝ae － x， ae
x
当 f′(x)＞0，即 x＞－ln a 时，f(x)在(－ln a，＋∞) 上递增； 当 f′(x)＜0，即 x＜－ln a 时，f(x)在(－∞，－ln a) 上递减．
①当 0＜a＜1 时，－ln a＞0，f(x)在(0，－ln a)上递减， 在(－ln a，＋∞)上递增，从而 f(x)在[0，＋∞)上的最小 值为 f(－ln a)＝2＋b； ②当 a≥1 时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而 1 f(x)在[0，＋∞)上的最小值为 f(0)＝a＋ ＋b. a 1 3 2 (2)依题意 f′(2)＝ae － 2＝ ， ae 2 1 2 2 解得 ae ＝2 或 ae ＝－ (舍去)， 2 2 1 1 所以 a＝ 2，代入原函数可得 2＋ ＋b＝3，即 b＝ ， e 2 2 2 1 故 a＝ 2，b＝ . e 2
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有 参数的问题，如含参数的方程、不等式，由 于参数的取值不同会导致所得结果不同，或 对于不同的参数值要运用不同的求解或证明 方法； (6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用 题中，特别是在解决排列、组合中的计数问 题时常用．
3．分类讨论的原则 (1)不重不漏； (2)标准要统一，层次要分明； (3) 能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决 不无原则地讨论． 4．解分类问题的步骤 (1) 确定分类讨论的对象：即对哪个变量或 参数进行分类讨论； (2)对所讨论的对象进行合理的分类； (3) 逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐 步解决； (4)归纳总结：将各类情况总结归纳．
2、运算需要分类讨论的类型 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的， 比如：除法运算中分母是否为 0；解方程、不 等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时 导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于 1； 数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等， 如果运算需要对不同情况作出解释，就要进 行分类讨论．
3、图形变化引起分类讨论的类型 一般由图形的位置或形状变化引发的讨 论包括：二次函数对称轴位置的变化； 函数问题中区间的变化；函数图象形状 的变化；直线由斜率引起的位置变化； 圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离 心率引起的形状变化；立体几何中点、 线、面的位置变化等．
2．分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本 身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数 函数、对数函数等； (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨 论：有的数学定理、公式、性质是分类给 出的，在不同的条件下结论不一致，如等 比数列的前n项和公式、函数的单调性等；
(3) 由数学运算要求引起的分类讨论：如除 法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对 数真数与底数的要求，指数运算中底数的要 求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域等； (4) 由图形的不确定性引起的分类讨论：有 的图形类型、位置需要分类：如角的终边所 在的象限；点、线、面的位置关系等；
例题14. 求函数y 的值域.
sin x cos x tan x cot x | sin x | | cos x | | tan x | | cot x |
1 练习 1．设函数 f(x)＝ae ＋ x＋b(a＞0)． ae
x
(1)求 f(x)在[0，＋∞)内的最小值； 3 (2)设曲线 y＝f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为 y＝ 2 x，求 a、b 的值．
例题8.
已知f ( x) a b sin(x

6
)在0, 上的
5 1 最大值是 ，最小值为 ，求a, b的值. 2 4 例题9. 如果函数 y a 2 x 2a x 1(a 0且a 1)
在区间- 1,1上的最大值为 14，求实数a的值. 例题10. 已知x R, m x2 (m 1) x m 1恒为正，
练习3.
抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，P为
其上的一点， O为坐标原点，若△ OPF为等腰三角
形，则这样的P点的个数为 A．2 D．6 分析：根据题意讨论P点的位置，确定其满足 题设条件的个数． B．3 C．4
解：当|PO|＝|PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上， 此时，点 P 的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点 P 的位置 也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点 P 不存在．事实上， F(p,0)，若设 P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝ x－p2＋y2， 若 x－p2＋y2＝p，则有 x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px， ∴x2＋2px＝0，解得 x＝0 或 x＝－2p，当 x＝0 时，不构 成三角形．当 x＝－2p 时，与点 P 在抛物线上矛盾．所 以符合要求的 P 点一共有 4 个．故选 C.
常用数学思想方法（2）
——分类讨论思想
第2讲 分类讨论思想
分类讨论的思想是一种重要的数学思 想方法，其基本思路是将一个较复杂 的数学问题分解 (或分割)成若干个基 础性问题，通过对基础性问题的解答 来实现解决原问题的思想策略．分类 讨论思想可以优化解题思路，降低问 题难度．
1. 分类讨论思想 分类讨论思想是将问题已知条件涉及 的集合划分为若干子集，在各个子集 内分别讨论问题的局部解，然后通过 组合各局部解而得到原问题的解答的 思想方法。
求m范围.
例题11. 设常数a 0, 椭圆 x 2 a 2 y 2 a 2 0的长轴 是短轴的2倍，则a ______. x2 y2 例题12. 设为椭圆 1的两个焦点，P为椭圆 9 4 上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三 个顶 | PF1 | 点，且 | P F 的值. 1 || P F 2 |, 求 | PF2 | 例题13. 已知函数f ( x) x 2 e ax , 其中a 0, e为自然对数的底数 . （2）求函数f ( x)在区间0,1上的最大值. (1)讨论函数的单调性 ;
零点，则实数a的取值范围是________．
分析：把零点的个数问题转化为函数图象交点 的个数问题，作函数的图象时，注意对参数a的讨 论． 解：设函数y＝ax(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a， 则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点， 就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋ a的图象有两个交点．
由图象可知(图略)， 当 0 ＜ a ＜ 1 时，两函数只有一个交点， 不符合； 当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象 过点(0,1)， 而直线 y＝ x＋ a的图象与 y轴的交点一定 在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点， 所以实数a的取值范围是a＞1. [答案] a＞1
1 例题 4．“m＝ ”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0 2 与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0 相互垂直”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5.简化分类讨论的策略 正难则反；换元法；数形结合等. 6.什么情况下用分类讨论思想 当解答问题时不能很明确说明，即 说不清楚时就要进行分类讨论。
分类讨论思想方法的应用
1、数学概念的分类方法 数学中的许多概念是分类定义的，比如： 直线的斜率、指数函数、对数函数等， 与这些数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类、从而全面完整地 解决问题．
例题 1．下列不等式一定成立的是（
2 1 A．lgx ＋4＞lg
）.
x(x＞0)
1 B．sin x＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z) sin x C．x2＋1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 ＞1(x∈R) x ＋1
1 解: 选项 A 中，当 x＝ 时，不等式不成立； 2 π 选项 B 中，当 x＝－ 时，不等式不成立； 4 选项 D 中，当 x＝0 时，不等式不成立； 选项 C 中，∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0， ∴当 x≥0 时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0 成立， 当 x＜0 时， x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0 成立， 故 x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．