各向同性弹性介质非线性本构方程
弹性力学_第四章 本构关系
1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
2
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
x
x E
x 是由于y的作用所产生的相对缩短
x
ν
y E
x 是由于z的作用所产生的相对缩短
7
x
ν
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
x E x ν E y ν E zE 1 x νy z
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
E0 ; G 0 ; K 0
19
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G
=
E 2(1 + ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
20
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
§4-1 本构关系概念
x
1 E
x ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
本构方程公式
本构方程公式本构方程公式是描述物质微观结构与宏观性质关系的重要数学工具。
它可以用来解释物质的力学性质、导电性、热传导性以及其他许多重要性质。
本构方程公式的形式各异，根据不同的物质以及不同的性质，可以采用不同的数学表达形式。
本构方程公式通常由各向同性和各向异性两种情况。
各向同性是指物质在各个方向上的性质是相同的，而各向异性是指物质在不同方向上的性质存在差异。
各向同性的本构方程公式一般比较简单，常用的模型包括胡克定律、牛顿黏性定律等。
胡克定律是最基本的本构方程公式之一，它描述了线弹性固体的应力-应变关系，可以用来解释材料在小应变下的力学性质。
牛顿黏性定律是另一种常用的本构方程公式，用来描述流体的运动行为。
根据牛顿黏性定律，流体的剪切应力与剪切速率成正比。
这个比例系数就是流体的黏度，它决定了流体的黏性大小。
牛顿黏性定律适用于大多数流体，包括液体和气体。
除了各向同性的本构方程公式，各向异性的本构方程公式也非常重要。
各向异性是许多材料的特性，比如晶体材料、纤维材料等。
晶体材料的本构方程公式可以通过晶体的晶格结构来描述，而纤维材料的本构方程公式则可以通过纤维的微观结构和取向来描述。
各向异性的本构方程公式通常比较复杂，需要考虑材料的非线性效应和取向效应。
本构方程公式是描述物质性质与微观结构之间关系的重要工具。
它可以用来解释物质的力学性质、导电性、热传导性等重要性质。
根据不同的物质和性质，本构方程公式的形式各异。
各向同性的本构方程公式常用于描述线弹性固体和流体的性质，而各向异性的本构方程公式则适用于描述晶体材料和纤维材料等各向异性材料的性质。
通过研究和理解本构方程公式，我们可以深入了解物质的微观结构与宏观性质之间的关系，为材料设计和工程应用提供理论依据。
弹性力学的基本方程
弹性力学的基本方程引言：弹性力学是研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律的一门学科。
作为物理学和工程学的重要组成部分，弹性力学在众多领域中扮演着重要角色。
一、背景介绍弹性力学的研究对象是弹性体，它是指在外力作用下能够发生可逆形变的物质。
而这种可逆形变与外力的大小和形状是密切相关的。
二、应变与应力的关系在弹性力学中，应变是指物体在外力作用下发生的形变。
应变可以分为线性应变和非线性应变。
而应力则是物体单位面积上的力，它与应变密切相关。
弹性力学的基本原理之一是胡克定律，它表明应力与应变成正比。
三、弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程是描述物体在弹性形变下的运动和力学性质的数学方程。
其中最基本的方程是平衡方程和弹性本构方程。
1. 平衡方程平衡方程是根据牛顿第二定律推导出来的，它描述了物体在力的作用下的平衡状态。
根据平衡方程，物体所受的外力与物体的质量和加速度之间存在着等式关系。
在弹性力学中，平衡方程包括了动力学平衡方程和力学平衡方程。
2. 弹性本构方程弹性本构方程描述了应力与应变之间的关系。
由于弹性体的应力与应变呈线性关系，因此可以用弹性模量来表示。
最常见的弹性本构方程是胡克定律，它表明应力与应变成正比，在各向同性的弹性体中，胡克定律可以表示为：σ = Eε其中，σ表示应力，E代表弹性模量，ε表示应变。
弹性本构方程的具体形式可以根据材料的性质和应变分布进行推导和求解。
四、应用与发展弹性力学理论不仅在工程领域中有着广泛应用，还在石油勘探、地震学、生物力学等领域发挥着重要作用。
它的应用不仅仅局限于弹性材料的研究，还可以用于推断地壳的应力状态、预测地震的发生等。
随着科学技术的不断发展，弹性力学理论也在不断完善和拓展，为实际问题的解决提供了重要的理论支持。
结语：弹性力学作为一门重要的学科，通过建立和研究各种力学方程，揭示了弹性体变形和应力分布的规律。
它不仅在工程领域有着广泛应用，还涉及到地震学、生物力学等多个领域。
orgden超弹本构的方程
orgden超弹本构的方程
超弹本构方程是一种描述材料变形行为的数学模型，用于描述材料的应力和应变之间的关系。
超弹性是一种具有非线性、各向同性和各向异性的材料特性，其本构方程往往基于能量函数的形式来表示。
对于超弹性材料，最常用的本构方程是针对小应变的线性弹性本构方程和针对大应变的非线性本构方程。
在这里，我将介绍一种常用的非线性超弹性本构方程——Hooke-Jeeves本构方程。
Hooke-Jeeves本构方程用于描述各向同性的超弹性材料的应力-应变关系，其数学表示如下：
σ = C : ε + D :ε^2
其中，σ是应力张量，ε是应变张量，C和D分别是材料的线性和非线性弹性刚度张量。
在上述方程中，": "表示张量之间的内积，^2表示张量的二次方。
C和D可以通过实验数据或者数值模拟得到。
需要注意的是，超弹性材料的本构方程可能还涉及到其他参数和项，如体积保持约束等，具体的方程形式可能因具体材料而异。
因此，在具体应用中，需要根据材料的特性和实际需求来选择适当的本构方程。
以上是关于超弹性材料的本构方程的简要介绍，希望对您有所帮助。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
我所认识的应力与应变的关系
我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。
但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。
由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。
对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。
本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。
本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。
非线性本构理论及方程
非线性本构理论及方程非线性本构理论及方程是构成工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文将介绍非线性本构理论及其相关方程，包括非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
首先，介绍非线性本构模型。
非线性本构模型是描述材料性质的基本概念，它涉及材料物理本质，模型可以用来研究材料在加载过程中的全局响应，以及材料力学和结构力学性质。
常见的非线性本构模型有弹性-塑性模型、扭转模型、粘弹性模型等。
其次，介绍非线性本构方程。
非线性本构方程是描述材料性质的基本方程，它涉及材料物理本质，可以用来研究材料在加载过程中响应的性质和行为规律。
常见的非线性本构方程有Jaumann函数、等因式能量函数、Rice-Salamon函数等。
再次，介绍压缩圆柱模型。
压缩圆柱模型是用来描述材料性质的一种模型，它是一种压缩材料的流变特性模型，可以用来描述材料在压缩方向的性质，同时也可以用来分析材料的非线性行为。
压缩圆柱模型的一般形式为：σ=K_0*[1+e~(-K~2*ε)]^(-n)其中，K_0是已知的参数，e~(-K~2*ε)是可以计算的，n是未知的参数，σ是应力，ε是压缩应变。
最后，介绍等因式能量函数。
等因式能量函数是用来描述材料性质的常用方程，它是建立材料屈服条件的重要函数，可以用来表征材料在上下线性段之间的行为规律。
等因式能量函数的一般形式为：W=K_1ε^2*(1+K_2ε^n)其中，K_1、K_2和n是未知参数，W是能量，ε是应变。
综上所述，非线性本构理论及其相关方程是工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文介绍了非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
将本构理论和方程应用到工程设计中，将有助于更好地使用材料以解决工程问题。
工程弹塑性力学教学课件第四章弹性模型2
1.0之间
Rf
(1 3 ) f (1 3 )ult
b(1 3) f
Duncan-Chang模型
(1 3 )
1 Ei
1
Rf
(1 3 ) f
1
土体切线弹性模量
(1
3)
1
Ei
1/ Ei
Rf 1 (1 3 ) f
2
Et
(1 3) 1
Duncan-Chang模型
土体的初始模量(Janbu，1963)
横观各向同性模型
垂直某一方向的各个平面都是各向同性面：水 平向各向同性，竖向各向异性 弹性矩阵[D]：5个独立变量， EH，Ev，VHH， VHV，VVH
非线弹性模型理论
超弹性模型
通过材料的应变能函数或余能函数建立的本构
Cauchy弹性模型
ij
W
ij
，
ij
ij
与应力路径无关
次弹性模型
ij Fij ( kl )
Duncan-Chang模型
讨论
基于重塑土的三轴试验建立，不能反映天然土 体的变形特性；不能反映压缩与剪切的完全交 叉影响、不能反映土体的软化及各向异性性质； 模型本身不能反映中主应力对E、μ和强度指标 的影响等。 针对上述一些不足，目前有许多相关的修正模 型。
f
D(r )
或
r
f a 1 D a
Duncan-Chang模型
切线泊松比…
侧向应变与轴向应变关系曲线的切线斜率具有 增量泊松比的物理意义
t
(r ) a
f (1 A)2
A
D(1 3)
kpa
3
pa
1
Rf (1 sin )(1 3 2c cos 23 sin
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
弹塑性力学 弹性本构关系
E G 2(1 ) E (1 2 )(1 )
1 K (3 2G ) 3
W y c21 x c22 y c23 z c24 yz c25 zx c26 xy y
zx
W c51 x c52 y c53 z c54 yz c55 zx c56 xy zx
弹性本构方程 完全各向异性弹性体
弹性本构方程 应力-应变的一般表达式
弹性体应力-应变关系
σ σs σ σs
O
ε
O
ε
线性弹性：应力-应变 之间为简单线性关系
非线性弹性：位移应 力-应变关系为非线性
弹性本构方程 应力-应变的一般表达式
材料力学中的Hooke定律
• 单向拉压条件下的应力-应变分析
L0
σ
σ
d1
L1
轴向应力-应变： 横向应变： 纯剪切：
弹性主方向
弹性对称面
c11 c12 c 21 c22 c13 c23 [ D] c14 c24 0 0 0 0
c13 c23 c33 c34 0 0
c14 c24 c34 c44 0 0
0 0 0 0 c55 c56
0 0 0 0 c56 c66
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c55 0
0 0 0 0 0 c66
此时弹性矩阵中独立弹性常数减 少到9个。
弹性本构方程 横观各向同性弹性体
弹性体内每一点都存在一个弹性对称轴，相对于该轴对称的任 意两个方向上弹性关系相同，即存在一个各向同性平面。 此时弹性矩阵中独立弹性常数减 弹性对称轴 少到5个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第27卷增刊I Vol.27 Sup. I 2010年 6 月 June 2010文章编号：1000-4750(2010)Sup.I-0001-05工程力学 ENGINEERING MECHANICS各向同性弹性介质非线性本构方程*李忱1,2，杨桂通1，黄执中3(1. 太原理工大学应用力学研究所，山西，太原 030024；2. 山西大学工程学院，山西，太原 030013；3. 北京航空航天大学，北京 100191)摘要：从张量函数出发，围绕共轭应力、应变变量，研究了各向同性非线性弹性介质各种形式的本构方程以及各种形式方程之间的关系。
推导出用张量不变量，标量不变量表示的两种形式非线性Green弹性介质本构方程。
证明了方程是完备的，不可约的。
作为应用举例，研究了橡胶材料的工程应用问题。
关键词：非线性；本构方程；不变量；共轭应力-应变；张量函数中图分类号：O343.5 文献标识码：AON CONSTITUTIVE EQUATIONS OF ISOTROPIC NON-LINEARELASTIC MEDIUM*LI Chen1,2 , YANG Gui-tong1 , HUANG Zhi-zhong3(1. Institute of Applied Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan, Shanxi 030024, China;2. Engineering College of Shanxi University, Taiyuan, Shanxi 030013, China;3. Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China) Abstract: By means of tensor function, conjugate variables of stress and strain, the different constitutive equations of isotropic non-linear elastic medium and the relations between different equation forms are studied. The constitutive equations of non-linear Green elastic medium in terms of tensor invariables and scalar invariables are deduced. It is proved that the equations are complete and irreducible. Finally the constitutive equations are applied to rubber materials as an illustration of engineering practice.Key words: non-linear; constitutive equation; invariant; conjugate stress and strain; tensor function非线性本构定律的一般研究和张量函数表示理论在连续介质力学中的应用，始于RivLin的工作[1的非线性本构方程，应采用可从实验观测到的最小数目的变量，强调了张量函数的表示不但是完备的，还应该是不可约的。
遗憾的是，一个按Wineman- Pipkin 定理作为一般张量函数完备表示张量多项式的完备表示，在绝大多数情况都远不是不可约的。
目前文献，大多数文献描述的方程都是来自于一些不太严格的假设和经验[13―18]―2]以及Reiner关于有限应变的各向同性不可压―4]缩超弹性材料和非线性流体研究[3。
20世纪50年―9]代开始张量多项式表达理论得到了广泛发展[5。
郑泉水的研究概括了该理论的发展状况[10]。
本构方程作多项式假设，数学上处理大为方便。
但是，当本构方程不具备解析性时有严重缺陷，Wineman和Pipkin 的重要成果[11―12]。
本文从张量函数出发，围绕共轭应力、应变变量，研究了各向同性非线性弹性介质各种形式的本构方程及其方程之间的关系。
推导出两种形式的各向同性非线性超弹性(Green弹性体)介质任意阶本构方程，并且用张量不部分地消除了这一缺陷，他们证明了张量多项式的完备表示均可以看作是一般张量函数的完备表示。
然而，为了得到简要准确———————————————收稿日期：2009-03-14；修改日期：2009-12-23 基金项目：山西省自然科学基金项目(2008011007)作者简介：*李忱(1959―)，男，浙江人，教授，博士，主要从事材料本构理论研究(E-mail: tydz_lc@)杨桂通(1931―)，男，河北人，教授，博导，主要从事塑性力学研究(E-mail: gtyang@)；黄执中(1932―)，男，河北人，教授，博导，主要从事理性力学研究.2 工程力学变量、标量不变量的具体函数形式表述。
证明了方程是完备的、不可约的。
M(V) M(V) M(V−1) M(V−1,V)根据表示定理，我们可以推出上述16种形式的本构方程。
定理. 各向同性弹性介质的本构方程是：1 共轭应力-应变变量我们将应力-应变关系一一对应，且成对的变量称为共轭应力-应变变量。
在连续介质力学中，可以定义如下共轭应力-应变变量：1) K与E是共轭应力-应变变量。
⎧K =φ01+φ1c+φ2c2⎪⎪−2′c−1+φ′ (2) ⎨K =φ′01+φ12c⎪−1′′′′′′1Kccφφφ =++⎪012⎩或K为第二类Piola-kirchhoff应力；E为Lagrange应变张量。
2) K与c是共轭应力-应变变量。
c为右Cauchy-Green 应变张量； 3) K与c−1是共轭应力-应变变量。
4) T与B、B−1、e是共轭应力-应变变量，J雅可比行列式。
T为Cauchy应力张量；B为左Cauchy-Green应变张量； e为Euler应变张量。
5) S与U、U、U−1是共轭应力-应变变量。
S为Jaumann应力张量；U为右Cauchy-Green伸长张量； U为伸长比张量。
6) M与V、V−1、V是共轭应力-应变变量。
M为Biot应力的对称部分； V为左Cauchy-Green伸长张量； V为左伸长比张量。
1.1 各种应变之间的关系c=U2, V=1−V, U=U−1, c−1=2E, B=V2, 1−B−1=2e, c=RTBR。
(1) 1.2 各种应力之间的关系JT=FKFT，1S:=(K⋅U+U⋅K)，R⋅U⋅K⋅RT=JV−1T，1M:=J(T⋅V−1+V−1⋅T)。
⎧JT =φ′′′′′′201+φ1B+φ2B⎪′1+β1′B−1+β2′B−2⎪JT =β0⎪(3) ⎨−1′1+β1′′B+β′′B⎪JT =β′02⎪2⎪⎩JT =ρ01+ρ1e+ρ2e⎧S=ς1+ςU+ςU2012⎪2⎪⎪S=ψ01+ψ1U+ψ2U(4) ⎨−1−2′1+ψ1′U+ψ2′U⎪S=ψ0⎪′′1+ψ1′′U+ψ2′′U−1⎪⎩S=ψ0或⎧M=ζ1+ζ+ζ012⎪2⎪⎪M=h01+h1V+h2V(5) ⎨−1−2′1+h1′V+h2′V⎪M=h0⎪′′1+h1′′V+h2′′V−1⎪⎩M=h0或证明：各向同性弹性介质本构方程K=K(E)是对称张量E是张量值函数，根据表示定理，本构方程K=K(E)可以表示为：2 本构方程的形式根据共轭应力-应变对应关系，我们可以确定各向同性弹性介质16种形式的本构方程，即：K =ϕ01+ϕ1E+ϕ2E2 (6)1∵ E=(c−1)(7)1∴ E2=(c2−2c+1)4将式(7)上述两式代入式(6)得：⎡1⎤⎡1⎤K=ϕ01+2ϕ1⎢(c−1)⎥+3ϕ2⎢(c2−2c+1)⎥=⎣2⎦⎣4⎦11⎞11⎛2⎜ϕ0−ϕ1+ϕ2⎟1+(ϕ1−ϕ2)c+ϕ2c=24⎠24⎝φ01+φ1c+φ2c2 (8)用c−1乘以张量c的Cayley-Hamilton方程：K(E) K(c) K(c) K(c,c) JT(B) JT(B) JT(B,B) JT(e) S(U) S(U) S(U) S(U,U)−1−1−1−1−1−1c3=I1c2−I2c+I31得出c2=I1c−I21+I3c−1工程力学 3代入方程式(8)消去c2得到本构方程：′1+φ1′c−1+φ2′c−2 (9) K=φ0用c−1乘以张量c的Cayley-Hamilton方程：对于2n阶弹性张量C的分量Cijkl、Cijklmn、Cijklmnop、Cijklmnopqr…、k与l、m与n、o与p、q与r、i与j是对称的，可以互换位置；(k, l)与(m, n)与(o, p)与(q, r)亦是对称的，可以互换位置。
但是对于(i, j)与(k, l)、(m, n)、(o, p)、(q, r)一般不对称。
当且仅当研究对象为Green弹性介质时，(i, j)与(k, l)、(m, n)、(o, p)、(q, r)对称，此时2n阶弹性张量C具有Voigt对称性。
C分量的自由标可以与求和标互换，势函数存在。
对于各Green弹性体，应力、应变均是对称的，弹性张量C的分量亦是对称的。
采用简记方式C112233122331:=C123456。
Green弹性体弹性张量分量下标可以互换。
则各向同性材料有：4阶(n=2)各向同性材料有2个独立常数，可以用C12C44表示。
6阶(n=3)各向同性材料有3个独立常数，可以用C123C344C456表示。
8阶(n=4)各向同性材料有4个独立常数，可以用C1123C1344C4466C1456表示。
10阶(n=5)各向同性材料有5个独立常数，可以用C11111C11112C11122C11123C11223表示。
可以证明(另文中给出)n>5，2n阶各向同性弹性张量分量等于零。
3.2 本构方程定义：ea:=e1⊗e1, eb:=e2⊗e2,c3=I1c2−I2c+I31得出：c=I11−I2c−1+I3c−2代入方程式(9)消去c得到本构方程：′′1+φ1′′c+φ′′c−1 (10) K=φ02再将式(10)代入关系式：JT=FKFT有：′′c−1)FT=JT=F(φ1′′c+φ′′1+φ2′(FTF)−1]FT= F[φ1′′FTF+φ′′1+φ′2′′(FF)(FF)+φ′′(FF)+φ′′1]=[φ12′′Β2+φ′′Β+φ′′1] (11) [φ12同理可以证明式(3)―式(5)。