多项式的因式分解(3)完全平方公式法

9.5 多项式的因式分解

一、教学目标

（一）知识技能：

1．使学生进一步理解因式分解的意义；

2．使学生了解完全平方公式的几何意义，掌握公式的形式和特征；

3．会运用完全平方公式进行简单的分解因式。

（二）过程与方法

1．通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力；

2.发展学生观察、类比、归纳、预见等能力，进一步体会换元思想，提高处理数学问题的技能。

（三）情感态度与价值观

1．感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点；

2．培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力；

二、教学重点、难点

1．理解完全平方公式的意义，弄清公式的形式和特征；

2．会运用完全平方公式对多项式进行分解因式．

三、教具、学具

多媒体演示、PPT课件、三角尺．

四、教学过程

（一）创设情景：

1．拼图游戏：

教师：你能用两个边长分别为a、b的正方形，两个长和宽分别为a、b的长方形拼成一个大长方形吗？（教师让学生快速动起来，调动学生的学习兴趣）．2．分析探寻：

问题：1．所拼图形的面积是多少？你有几种表示方法

间接求是：a2+2ab+b2 直接求是：(a+b)2

2．你得出了什么结论？

（a+b）2＝a2+2ab+b2

出示课题：9.5多项式的因式分解（完全平方公式法）

（二）完全平方公式的特征辨析：

1．对比与思考：

我们现在学习的乘法公式与前面学习的整式乘法中的平方差公式是什么关系呢？

乘法公式

()2222b ab a b a ++=+ ()222

2b ab a b a +-=- （动画演示左右两边交换过程．） 反过来得：()2

222b a b ab a +=++ ()2222b a b ab a -=+-

由此可见：它们是互逆的过程．

问题：这个公式是用字母a 和b 表达的，我们能不能用文字语言表达呢？请同学 之间交流总结．（归纳结论：两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍，等于这两个数的和或差的平方．）

2．试一试：

下列各式中，哪些能运用完全平方公式进行分解因式？哪些不能？为什么？ ①22n mn m ++； ②222y xy x --；

③22444y x x +-； ④252042+-a a ；

⑤482++x x ； ⑥221236b ab a ++

归纳总结完全平方式的特征

①由3项组成；

②两个平方项，且是平方和的形式；

③另一项是平方项底数乘积的2倍或-2倍.

（三）例题教学：

例1：把下列各式分解因式．

（1）x 2＋10x ＋25； （2）4a 2－36ab ＋81b 2．

分析：观察是否符合完全平方公式的形式，应引导学生把25、4a 2、81b 2改写 成52、（2a ）2、（9b ）2的形式，10x 、－36ab 改写成2×x ×5、-2×2a×9b 的形式， 能否准确的改写是本题的关键．

（（1）本题是基础题，即时巩固新知，使学生体会用完全平方公式如何分解因式，教师的板书能及时给学生以示范作用．）

变式：1．4a²+81b²-36ab 2．-4a²+36ab-81b²

设计问题：现在来揭示在这节课开始时我们做的那个数学游戏吧．你们知道老师是怎么计算得那么快了吗？

（学生已经会使用平方差公式进行简单的计算了，能迅速得出正确结果，同时也和这节课的开头遥相呼应．）

例1：把下列各式分解因式．

（3）16a4＋8a2＋1；（4）（m＋n）2－4（m＋n）＋4．

（本例题的两道题目是渗透“整体代换”的数学思想，（3）中将4a2看成一个数，（4）由于学生已经熟悉了顺向运用乘法公式进行思维，因而（m＋n）2可能会干扰学生的逆向思维，教学中要注意引导．设计本题的目的是让学生加深理解完全平方公式中的a、b不仅可以表示数字、一般单项式，也可以表示多项式，进一步渗透整体、类比的思想．）

变式：1．(m+n)2-4m-4n+4 2．(m+n)2-4(m+n)t+4t2

（3）小结与思考：

()2

2

22b

a

b

ab

a+

=

+

+()2

2

22b

a

b

ab

a-

=

+

-

问题：公式中的a和b分别可以是什么式子呢？（公式中的a和b可以是数字、字母、数字与字母的积、多项式等，但都能化成一个式子平方的形式．）小结：使用完全平方公式分解因式的步骤（学生以小组进行讨论总结，教师跟随讨论引导）．（1．审．2．找．3．转．4．套．5．验．）

例2 简便计算20042－4008×2005＋20052．

（用完全平方公式因式分解进行简便运算，训练学生快速地观察得到式子的特点，真正理解完全平方公式的特点，灵活运用公式解题进行简便运算，使学生体会到“学有所用”，体验到成功的喜悦．）

变式：简便计算：9.9²－9.9×0.2＋0.01．

（四）数学活动：

请同学们设计能用完全平方公式分解因式的题目，请其他同学做出解答，你再给予评价．

± 2 × × + ＝（ ± ） 活动要求：每位同学都写一个能够用完全平方公式分解因式的题目，其中两名同学 点其他组的同学到黑板前解答，其余同学小组之间互相交换，按要求进行因式分解．然后出题者要当众表述出题意图并给做题的同学以评价．

（本环节是这节课的灵魂环节，是对本节所学知识掌握程度的检验，所以要求教 师能充分放手给学生，让学生大胆争论．同时鼓励学生把自己认为值得推荐的题目展示给大家．）

（五）学以致用：

1、 课本P 85—P 86练一练的第1、

2、3题；

（本练习的设置难度不大，能及时巩固新知，让学生在解题、纠错的过程中进一步利用完全平方公式分解因式．）

（六）拓展延伸：

1、已知(a -1)2+(b +2)2=0，则a = 、b = .

2、已知a 2－2a ＋b 2＋4b ＋5＝0，则a = 、b = .

知识迁移：

3、若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2-2ab ＋2b 2＋c 2-2bc =0，试判断△ABC 的形状.

（本练习2有一定难度，教学时要引导学生分析，发现式子的特点，然后构造完全平方式进行解题，学生可以合作交流找寻方法，培养学生的合作意识．）

（七）课堂小结：

共同分享这节课的收获！

运用本节课知识时有哪些注意点？

（七）作业题：

必做题：补充练习p49-50页．

选做题：

若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，试判断△ABC 的形状.

泰兴市实验初级中学：殷勇

2 2

2