数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为

1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，

2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到

1cm ）？

【答案】

【解析】

过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可．

2．如图，抛物线C 1：y=（x+m ）2（m 为常数，m ＞0），平移抛物线y=﹣x 2，使其顶点D 在抛物线C 1位于y 轴右侧的图象上，得到抛物线C 2．抛物线C 2交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，设点D 的横坐标为a ．

（1）如图1，若m=．

①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；

②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．

【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．

【解析】

试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；

②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；

（2）解题要点有3个：

i）判定△ABD为等边三角形；

ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；

iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．

试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．

∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，

∴D（a，（a+）2）．

∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．

①∵OC=2，∴C（0，2）．

∵点C在抛物线C2上，

∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，

解得：a=，代入（I）式，

得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．

②在（I）式中，

令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；

令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

，解得，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．

假设存在满足条件的a值．

∵AP=BP，

∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；

∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，

∴OP⊥BC．

如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，

则OP⊥BC，OE=a．

∵点P在直线BC上，

∴P（a，a+），PE=a+．

∵tan∠EOP=tan∠BCO=，

∴，

解得：a=．

∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"

（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，

∴D（a，（a+m）2）．

∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．

令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，

∴2a+m=2﹣m，

∴a=﹣m．

∴D（﹣m，3）．

AB=OB+OA=2﹣m+m=2．

如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．

∵tan∠ABD=，

∴∠ABD=60°．

又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．

作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE?tan30°=×=1，

∴P1（﹣m，1）；

在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．

在Rt△BEP2中，P2E=BE?tan60°=?=3，

∴P2（﹣m，﹣3）；

易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．

∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．

综上所述，到△ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有4个， 其坐标为：P 1（﹣m ，1），P 2（

﹣m ，﹣3），P 3（﹣

﹣m ，3），P 4（3

﹣m ，

3）．

【考点】二次函数综合题．

3．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，2

3)、D(0，33)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60o．

(1)点B 的坐标是 ，∠CAO ＝ o，当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标 为 ；

(2)设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．

【答案】（1）（6，3）． 30．（3，3）（2）

))))243

x 430x 33

313333x 5S {23x 1235x 93543

x 9+≤≤+<≤=-+<≤>

【解析】

解：（1）（6，3 30．（3，3 （2）当0≤x≤3时， 如图1，

OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得

EF PE DC31

==

OQ PO DO3

33

==，∴EF=

1

3

（3+x），

此时重叠部分是梯形，其面积为：

EFQO

14343

S S EF OQ OC3x x43 233

==+?=+=+梯形

（）（）

当3＜x≤5时，如图2，

()

HAQ

EFQO EFQO

22

1

S S S S AH AQ

2

43331333

x43x3=x x

32232

?

=-=-??

=+---+-

梯形梯形

。

当5＜x≤9时，如图3，

12

S BE OA OC3x

23

23

=x123

=+?=-

-+

（）（）

。

当x＞9时，如图4，

11183543

S OA AH 6=

22x x

=

?=??

． 综上所述，S 与x 的函数关系式为：

()()()()243

x 430x 33

31333x x 3x 5S {23x 1235x 93543

x 9+≤≤-+-<≤=-+<≤>．

（1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标： ∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，

∵A （6，0）、C （0，23），∴点B 的坐标为：（6，23）． ②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数： ∵OC 233

tan CAO ==

OA ∠=

，∴∠CAO=30°． ③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，

∵∠PQO=60°，D （0，3∴3 ∴0

PE AE 3tan 60

=

=．

∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，3）．

（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案．

4．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)

【答案】95m

【解析】

【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..

【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．

在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°

∴CE＝FN＝20m，AE＝3

设MN＝x m，则AN＝xm．FC3，

在RT△MFC中

MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20

FC＝NE＝NA＋AE＝x＋3

∵∠MCF＝30°

∴FC3MF，

即x＋33－20)

解得：x 403 31

＝60＋3

答：电视塔MN的高度约为95m．

【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.

5．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．

【答案】（1）详见解析；（2）9 2

【解析】

【分析】

（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.

【详解】

证明：如图，连接OE，

∵AE平分∠DAC，

∴∠OAE＝∠DAE．

∵OA＝OE，

∴∠AEO＝∠OAE．

∴∠AEO＝∠DAE．

∴OE∥AD．

∵DC⊥AC，

∴OE⊥DC．

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，

在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×3

=33，

在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，

∴AD=cos30°×AE=3

2×33=

9

2

.

【点睛】

本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.

6．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且

CF AE

=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB

∠交BD于点H.

（1）求证：DE DF

⊥；

（2）求证：DH DF

=：

（3）过点H作HM EF

⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.

（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=?.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于

45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, 所以DH DF =.

（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得

BD =

=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得

HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=?∠=?，

，所以sin 45HN

BH ===?

.

由cos 45DF

EF =

==?

，得22EF AB HM =-.

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=?. ∴90EAD FCD ∠=∠=?. ∵CF AE =。 ∴AED CFD △△≌. ∴ADE CDF ∠=∠.

∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?. ∴DE DF ⊥.

（2）证明：∵AED CFD △△≌， ∴DE DF =. ∵90EDF ∠=?， ∴45DEF DFE ∠=∠=?.

∵90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， ∴45DBF ∠=?. ∵FH 平分EFB ∠， ∴EFH BFH ∠=∠.

∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,

45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, ∴DHF DFH ∠=∠. ∴DH DF =.

（3）22EF AB HM =-.

证明：过点H 作HN BC ⊥于点N ，如图，

∵正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=?， ∴222BD AB AD AB =

+=.

∵FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，

∴HM HN =.

∵4590HBN HNB ∠=?∠=?，

， ∴22sin 45HN

BH HN HM =

==?

.

∴22DH BD BH AB HM =-=-.

∵22cos 45DF

EF DF DH =

==?

，

∴22EF AB HM =-. 【点睛】

本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.

7．如图，在?ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AC ⊥BC 于点C ，将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC ，连接DE ．

（1）求证：四边形ACED 是矩形； （2）若AC ＝4，BC ＝3，求sin ∠ABD 的值．

【答案】（1）证明见解析（2）13

65

【解析】 【分析】

（1）根据?ABCD 中，AC ⊥BC ，而△ABC ≌△AEC ，不难证明；

（2）依据已知条件，在△ABD 或△AOC 作垂线AF 或OF ，求出相应边的长度，即可求出∠ABD 的正弦值． 【详解】

（1）证明：∵将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC ， ∴BC ＝CE ，AC ⊥CE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴AD ＝CE ，AD ∥CE ，

∴四边形ACED 是平行四边形， ∵AC ⊥CE ，

∴四边形ACED 是矩形．

（2）解：方法一、如图1所示，过点A 作AF ⊥BD 于点F ， ∵BE ＝2BC ＝2×3＝6，DE ＝AC ＝4， ∴在Rt △BDE 中，

2

2

2

2

BD BE DE 64213=+=+=∵S △BDE ＝

12×DE?AD ＝1

2

AF?BD ， ∴AF 613

13213

=， ∵Rt △ABC 中，AB 2234+5， ∴Rt △ABF 中，

sin ∠ABF ＝sin ∠ABD ＝613613

5

AF AB ==

方法二、如图2所示，过点O 作OF ⊥AB 于点F ， 同理可得，OB ＝1

132

BD = ∵S △AOB ＝11

OF AB OA BC 22

?=?， ∴OF ＝

23655

?=， ∵在Rt △BOF 中，

sin ∠FBO ＝

0613

513F OB ==

∴sin ∠ABD 613

．

【点睛】

本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出

sin∠ABD．

8．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为

60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）

【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．

【解析】

【分析】

过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．

【详解】

解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，

∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，

∴∠A＝∠C＝60°，

在△ABQ中，∵AQ＝（cm），

BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），

∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），

在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，

∴AP ＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），

答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．

9．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ＝BQ，延长QP交射线AC于点D．

（1）求证：QA＝QD；

（2）设∠BAP＝α，当2tanα是正整数时，求PC的长；

（3）作点Q关于AC的对称点Q′，连结QQ′，AQ′，DQ′，延长BC交线段DQ′于点E，连结AE，QQ′分别与AP，AE交于点M，N（如图2所示）．若存在常数k，满足k?MN＝PE?QQ′，求k的值．

【答案】（1）证明见解析（2）PC的长为3

7

或

3

2

（3）8

【解析】【分析】

（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BPQ＝∠CPD，由直角三角形的性质得出∠BAC＝∠D，即可得出结论；

（2）过点P作PH⊥AB于H，设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由题意知tanα＝1或1

2

，当

tanα＝1时，HA＝PH＝3x，与勾股定理得出3x+4x＝5，解得x＝5

7

，即可求出PC长；

当tanα＝1

2

时，HA＝2PH﹣6x，得出6x+4x＝5，解得x＝

1

2

，即可求出PC长；

（3）设QQ′与AD交于点O，由轴对称的性质得出AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，得出四边形

AQDQ′是菱形，由菱形的性质得出QQ′⊥AD，AO＝1

2

AD，证出四边形BEQ'Q是平行四边

形，得出QQ′＝BE，设CD＝3m，则PC＝4m，AD＝3+3m，即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，

由三角函数得出MO

AO

＝tan∠PAC＝

PC

AC

，即可得出结果．

【详解】

（1）证明：∵PQ＝BQ，

∴∠B＝∠BPQ＝∠CPD，

∵∠ACB＝∠PCD＝90°，

∴∠A+∠BAC＝90°，∠D+∠CPD＝90°，

∴∠BAC＝∠D，

∴QA＝QD；

（2）解：过点P作PH⊥AB于H，如图1所示：设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，

由题意得：tan∠BAC＝4

3

，∠BAP＜∠BAC，

∴2tanα是正整数时，ta nα＝1或1

2

，当tanα＝1时，HA＝PH＝3x，

∴3x+4x5，

∴x＝5

7

，

即PC＝4﹣5x＝3

7

；

当tanα＝1

2

时，HA＝2PH﹣6x，

∴6x+4x＝5，∴x＝1

2

，

即PC＝4﹣5x ＝3

2

；

综上所述，PC的长为3 7

或

3

2

；

（3）解：设QQ′与AD交于点O，如图2所示：

由轴对称的性质得：AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，

∴四边形AQDQ′是菱形，

∴QQ′⊥AD，AO＝1

2

AD，

∵BC⊥AC，

∴QQ′∥BE，

∵BQ∥EQ′，

∴四边形BEQ'Q是平行四边形，

∴QQ′＝BE，

设CD＝3m，则PC＝4m，AD＝3+3m，

即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，

∵MO

AO

＝tan∠PAC＝

PC

AC

，

∴33

2

MO

m

+＝

4

3

m

，

即MN＝2MO＝4m（1+m），

∴k＝PE QQ

MN

′

＝

8(44)

4(1)

m m

m m

+

+

＝8．

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键．

10．已知：如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠OAB=30°，OA=3．以点O为原点，斜边OA 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P（4，0）为圆心，PA长为半径画圆，⊙P 与x轴的另一交点为N，点M在⊙P上，且满足∠MPN=60°．⊙P以每秒1个单位长度的

速度沿x 轴向左运动，设运动时间为ts ，解答下列问题： （发现）（1）MN 的长度为多少；

（2）当t =2s 时，求扇形MPN （阴影部分）与Rt △ABO 重叠部分的面积． （探究）当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时，求点P 的坐标．

（拓展）当MN 与Rt △ABO 的边有两个交点时，请你直接写出t 的取值范围．

【答案】【发现】（1）MN 的长度为π3；（23

P 的坐标为10（，）；或3

03（）或23

03

-（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．

【解析】 【分析】

发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论； （2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论； 探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；

拓展：先找出MN 和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】 [发现]

（1）∵P （4，0），∴OP =4． ∵OA =3，∴AP =1，∴MN 的长度为6011803

ππ

?=． 故答案为

3

π

； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°． ∵∠PQA =90°，∴PQ 12=PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°3=∴S 重叠部分=S △APQ 12=

PQ ×AQ 3

= 即重叠部分的面积为3

8

． [探究]

①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1； ∴点P 的坐标为（1，0）；

②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =，∴OP 123

303

cos ==?，∴点P 的坐标为（

23

3

，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：OP 23

3

=

； ∴点P 的坐标为（23

3

-

，0）；

[拓展]

t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5，理由：

如图5，当点N 运动到与点A 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =2； 当t ＞2，直到⊙P 运动到与AB 相切时，由探究①得：OP =1，∴t 41

1

-==3，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，∴2＜t ≤3．

如图6，当⊙P 运动到PM 与OB 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，此时t =4； 直到⊙P 运动到点N 与点O 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =5； ∴4≤t ＜5，即：t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5．

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．