一次函数与反比例函数综合题94939

一次函数与反比例函数综合题

一、一次函数与反比例函数综合图象判断 方法1、分类讨论k b 、的符号； 方法2、四个图逐个分析判断；

方法3、运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）

例1、（2012•贺州）在同一直角坐标系中，函数y kx k =-与()0k y k x

=≠的图象大致是（ ）。

变式1-1、（2015•深圳宝安二模）若0ab >，则函数y ax b =+与函数b y x

=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）。

变式1-2、（2013•成都青羊期中）若0ab ≠，则一次函数y ax b =+与反比例函数ab

y x

=

在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）。

变式1-3、（2013•北京西城模拟）若反比例函数k y x =的图象经过点1

,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，则一次函数y kx k =-+与反比例函数k

y x

=在同一坐标系中的大致图象是（ ）。

二、一次函数与反比例函数综合题的解题思路 ①先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式； ②联立方程组求交点坐标；

③将交点坐标带入解析式求待定系数的值；

④判断两个函数值之间的大小时自变量的取值范围直接看图得出； ⑤求不规则三角形（此处的不规则指三角形三边均不与坐标轴平行或重合）的面积采用分割法（通常是选取与坐标轴的交点分割成两个同底三角形）。

例2、（2014•遂宁）如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于()()1,44,A B n -、。

（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求OAB ∆的面积；

（3）直接写出一次函数的值大于反比例函数值得自变量x 的取值范围。

变式2-1、如图，已知反比例函数k y x

=与一次函数

y x b =+的图象在第一象限相交于()1,4A k -+。

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，

并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围。

变式2-2、（2012•哈尔滨月考）如图，反比例函数8

y x

=-与一次函数2y x =-+的图象交于A B 、两点。

（1）求A B 、两点的坐标； （2）求OAB ∆的面积；

（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。

变式2-3、（2012•仙桃）如图，一次函数11y x =--的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数

2k

y x

=

图象的一个交点为()2,M m -。 （1）求反比例函数的解析式； （2）当12y y >时，求x 的取值范围； （3）求点B 到直线OM 的距离。

三、两线段和的最小值（或差绝对值的最大值）

通过对称将两条线段转移到一条直线上，通过两点之间线段最短来完成。

例3、（2016•聊城模拟）已知正比例函数2y x =的图象与反比例函数()0k

y k x

=≠在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知OAP ∆的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA MB +最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

变式3-1、（2016•乐山井研一模）如图，点

()()2,1,2A n B --、是一次函数y kx b =+的图象和反比例函

数m

y x

=

的图象的两个交点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围； （3）若C 是x 轴上一动点，设t CB CA =-，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标。

四、存在性问题

例4、如图，反比例函数2

y x

=的图象与一次函数

y kx b =+的图象交于点A B 、，点A B 、的横坐标分别为

12-、，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D 。

（1）求一次函数的解析式；

（2）对于反比例函数2y x

=，当1y <-时，写出x 的取值范围；

（3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P ，使得2OPD OCA S S ∆∆=若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

变式4-1、（2014•内江）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数()0m

y x x

=

>的图象交于点(),2P n ，与x 轴交于点()4,0A -，与y 轴交于点

,C PB x ⊥轴于点B ，且AC BC =。

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由。

变式4-2、如图，直线y x b =+与x 轴交于

点()4,0C ，与y 轴交于点B ，并与双曲线()0m

y x x

=

<交于点()1,A n -。 （1）求直线与双曲线的解析式； （2）连接OA ，求OAB ∠的正弦值；

（3）若点D 在x 轴的正半轴上，是否存在以点D C B 、、构成的三角形与OAB ∆相似若存在求出D 点的坐标，若不存在，请说明理由。

练习：

1、（2016•巴中）已知，如图，一次函数y kx b =+（k b 、为常数，0k ≠)的图象与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点，且与反比例函数n

y x

=(n 为常数且0n ≠)的图象在第二象限交于点,C CD x ⊥轴，垂足为D 。若236OB OA OD ===.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；