1995考研数二真题及解析

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设2

2

1

cos()sin

y x x

=,则y '=＿＿＿＿＿＿. (2) 微分方程2y y x ''+=-的通解为＿＿＿＿＿＿.

(3) 曲线2

3

1x t

y t

?=+??=??在2t =处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.

(4) 22

2

12

lim(

)12

n n

n n n n n n n

→∞

+++

=++++++＿＿＿＿＿＿. (5) 曲线2

2x y x e -=的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设()f x 和()x ?在(,)-∞+∞内有定义,()f x 为连续函数,且()0f x ≠,()x ?有间断点,

则 ( ) (A) [()]f x ?必有间断点 (B) 2

[()]x ?必有间断点 (C) [()]f x ?必有间断点 (D)

()

()

x f x ?必有间断点 (2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 ( )

(A) 2

(1)(2)x x x dx ---?

(B)

1

20

1

(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----?

?

(C) 12

1

(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--??

(D)

2

(1)(2)x x x dx --?

(3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >,则

( )

(A) 对任意,()0x f x '> (B) 对任意,()0x f x '-≤ (C) 函数()f x -单调增加 (D) 函数()f x --单调增加

(4) 设函数()f x 在[0,1]上()0f x ''>,则(1)(0)(1)(0)f f f f ''-、、或(0)(1)f f -的大小

顺序是 ( ) (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (5) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,若使()F x 在0x =处可导,则必有 ( )

(A) (0)0f = (B) (0)0f '= (C) (0)(0)0f f '+= (D) (0)(0)0f f '-=

三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)

求0

lim x +

→(2) 设函数()y y x =由方程()

f y y

xe

e =确定,其中

f 具有二阶导数,且1f '≠,求22d y

dx

.

(3) 设2

2

2(1)ln 2

x f x x -=-,且[()]ln f x x ?=,求()x dx ??.

(4) 设2

1arctan ,0,() 0, 0,

x x f x x x ?

≠?

=??=?试讨论()f x '在0x =处的连续性. (5) 求摆线1cos sin x t

y t t =-??=-?

一拱(02t π≤≤)的弧长.

(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度00t v v ==,已知阻力与速度成正比(比例常

数为1),问t 为多少时此质点的速度为0

3

v ？并求到此时刻该质点所经过的路程.

四、(本题满分8分)

求函数2

()(2)x t f x t e dt -=

-?

的最大值和最小值.

五、(本题满分8分)

设x

y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解,求此微分方程满足条件ln20x y ==的特解.

六、(本题满分8分)

如图,设曲线L 的方程为()y f x =,且0y ''>,又,MT MP 分别为该曲线在点

00(,)M x y 处的切线和法线,已知线段MP 的长度为3220

(1)

y y '+''(其中0

0(),y y x ''= 0

0()y y x ''''=),试推导出点(,)P ξη的坐标表达式.

七、(本题满分8分)

设0

sin ()x

t

f x dt t

π=

-?

,计算0()f x dx π?.

八、(本题满分8分)

设0

()

lim

1x f x x

→=,且()0f x ''>,证明()f x x ≥.

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】222

2

2

cos()sin

12sin()sin x x x x x

x ?-?-

【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,

2

22211cos()sin cos()sin y x x x x '

??''??=+?????

?

2

2

221111

sin()2sin

cos()2sin cos (1)x x x x x x x

=-??+???- 22222

cos()sin 12sin()sin x x x x x x

?=-?-. 【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ?=的导数为(())()y f x f x ?'''=. (2)【答案】12cos sin 2y c x c x x =+-

【解析】微分方程2y y x ''+=-对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为2

10r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +.

设非齐次方程的特解Y ax b =+,则Y a '=,0Y ''=,代入微分方程2y y x ''+=-,得

02ax b x ++=-,

比较系数得2,0,a b =-=故2Y x =-.所以通解为

12cos sin 2y C x C x x =+-.

【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*

()y x 是二阶线性非齐次方程

()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解

()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程

变为0y py qy '''++=.其特征方程写为2

0r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1

212;rx r x y C e C e =+

(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rx

y C C x e =+

(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12

,C C 为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*

()y x ,可用待定系数法,有结论如下：

如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k x

m y x x Q x e λ=

的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果()[()cos ()sin ]x

l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程

()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为

*(1)(2)

[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,

其中(1)()m R x 与(2)

()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征

方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (3)【答案】370y x -+= 【解析】切线的斜率为

22

2

2

2

33

322t t t t dy dy t dt t dx dx t

dt

========. 当2t =时,5,8x y ==.故所求切线方程为 83(5)y x -=-.化简得 370y x -+=.

【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()x t y t φ?=??=?

,则()

()dy t dx t ?φ'='.

(4)【答案】

1

2

【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令

222

1212n n

a n n n n n n n

=

+++++++++ 则 22212n n

a n n n n n n n n n

>+++++++++

22

1

(1)

1222211.22

n n n n n n n n n ++++==+++=?+ 又 22

222

1

(1)

12

121

22

n n n n n a n n n n n n n n n n ++++<+++===+++++, 即 111

222n n a n +?<<+,

所以 11111

lim lim lim 22222

n n n n n a n →∞→∞→∞+?=<<=+.

由夹逼准则,得1

lim 2

n n a →∞=.即

222121

lim()122

n n n n n n n n n →∞+++=++++++. (5)【答案】0y =

【解析】函数2

2x y x e -=的定义域为全体实数,且

2

2lim lim 0x x x y x e -→∞

→∞

==,

所以曲线只有一条水平渐近线0y =.

【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0

lim ()x x f x →=∞,则

0x x =是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：当lim ()x f x a →∞

=(a 为常数),则y a =为函数的水平渐近线.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)

【解析】方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.

设函数

()()x f x ?无间断点,因为()f x 是连续函数,则()

()()()

x x f x f x ??=

?必无间断点,这与()x ?有间断点矛盾,故应选择(D).

方法二：排除法,举出反例排除.

设 1,0,

()1,()1,0,

x f x x x ?-

则2

[()]1,[()]1,[()]1f x f x x ???≡≡≡都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D). (2)【答案】(C)

【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有

2

2

(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx --=--?

?

1

2

1

(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx =---+--??

应选择(C).

方法二：画出曲线(1)(2)y x x x =--的草图,所求面积为图中两面积之和,即

12

1

(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--??,

故应选(C). (3)【答案】(D)

【解析】因为对任意12,x x ,当12x x >时,12x x -<-,则函数12()()f x f x -<-,即

12()()f x f x -->--,故()f x --是单调增加的.应选择(D).

对于(A)(B)(C)可令3

()f x x =,则对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >, 但 20

(0)30x f x

='==,

2()3()0f x x '-=-≥,

3()f x x -=-,在其定义域内单调减少.

故排除(A)(B)(C). (4)【答案】(B)

【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格的单调递增函数,故

(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<

由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以

(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<

应选择(B). (5)【答案】(A)

【解析】函数()f x 在0x x =处可导的充分必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且相等. 由于()()()|sin |F x f x f x x =+,而()f x 可导,所以()F x 在0x =处可导等价于

()|sin |f x x 在0x =可导.