算法分析知识整理
Chapter 0
1. Big O
O() 即 <=
洛必达法则
一边有分母，一边无分母的，可以两边都先乘分母再比较，或再用洛必达法则
例：log n! =Θ(lognn)
因为(n/2)log(n/2)=log(n/2)n/2<=logn!<=lognn=nlogn
任何指数形式 > 任何多项式形式
任何多项式形式 > 任何对数形式
Chapter1
1.复杂度计算
Mod运算等于一个除法运算的复杂度
一般，计算复杂度，先看循环次数（注意以比特位n计算时，logN=n），再看循环内复杂度最高的那个运算
n位长数作加减运算，为O(n)，作乘除法运算为O(n2)
乘2，除2，相当于移位，是常数时间运算
2.计算mod
mod和加减乘除运算规则相同，也有交换律、结合律、分配率、替换率
例如，21390 mod 31 = (25)x mod 31 = (32)x mod 31 = (1)x mod 31 = 1
若ax=1 mod N，则 a和x互为mod N下的模倒数，有模倒数的充要条件是a和N互质
例：求20 mod 79的模倒数
用辗转相除法，每个式子标记3个数（除系数外都标记）
gcd（20，79） 79=3*20+19
gcd（19，20） 20=1*19+1
gcd（1，19） 19=1*19+0
gcd（0，1） 1=1-0
再逆代回去（逆代的每一步都找对应gcd时作标记的数，用余数代换，用被除数合并）
1=1-（19-1*19） 代换0然后合并1
=20*1-19
=20*（20-1*19）-19 代换1然后合并19
=20*20-21*19
=20*20-21*（79-3*20）代换19然后合并20
=83*20-21*79
故模倒数为83，又因模倒数必须在1至N之间，则为83-79=4
Chapter2
1.分而治之 Divide and conquer: T(n)=aT(n/b)+O(nd)
在递归中的每一层，将处理问题分为a个子问题（即子问题个数是上一级的a倍），而每个子问题处理时的对象（函数的输入）被分为b份（即对象大小为上一级的1/b），而每一步的复杂度为O(nd) 2.Master theorem: T(n)= O(nd) d>logba
T(n)= O(ndlogn) d= logba
T(n)= O(nlogba) d
Merge算法处理n个元素merge的复杂度为O(n)
T(n/2)是执行了logn层递归，T(n/b)是执行了logbn层递归
Chapter3
1.DFS（有向图无向图都适用）
Explore算法只对起始点可达的点visit，包括previsit和postvisit标记
Explore(v)会生成以v为根的子搜索树
DFS算法是对G中所有的点用explore
for all v in V: if not visited(v) then explore(G ,v)
DFS算法复杂度为O(|E|+|V|)
因为DFS中，previsit(v)时，对v为根的子搜索树为陌生的，而postvisit(v)时则对子树已完全熟悉，所以若u和v是祖先--孩子关系，则必有[pre(u)，post(u)]包含[pre(v)，post(v)]，否则u，v完全不相交，不可能出现部分相交的关系，如pre(u)< pre(v)
2.DAG有向无环图
对有向图用DFS算法，若其生成的搜索树中有回边<=>该图存在环
DAG必有至少一个源（入度为0），和至少一个汇（出度为0），必可以线性化
凡DAG图问题，必先线性化
DAG图线性化方法一：用DFS算法后，对post number降序排序，post number越小越靠后
DAG图线性化方法二：从图中找一个源，删除它，不断重复该过程直至图为空
3.SCC强连通子图
u和v连通指从u->v有路径，同时从v->u也有路径可达
对无向图，连通子图个数就是其DFS算法中的搜索树的棵树
无向图作出连通子图的方法：在DFS算法中加个数组ccnum[v]赋初值为cc（cc=0），DFS过程中每调用一次explore则cc++，最后cc值为连通子图个数，有相同ccnum值的v即为一个连通子图
对有向图中所有互相连通的节点归为一个个强连通子图后（一个子图视为一个节点），有向图成为一个DAG图，该DAG图中的源称为源强连通子图，其汇称为汇强连通子图
Lemma1：对一个汇SCC内任意一节点用explore算法，可以刚好visit该子图内所有点（因为互相连通，且因为是汇，故不会visit该SCC以外的点）
Lemma2：有向图的post number最大值必存在于其源强连通子图中
Lemma3：若有一条边是从强连通子图C通向另一个强连通子图C’，则C中Max post
number >C’中Max post number，所以有向图可以通过对其每个强连通子图的Max post
number降序排序来线性化
有向图作出其强连通子图的方法（线性时间）：
（1） 在其反向图G’上用DFS算法（G’上的源SCC就是G上的汇SCC，为了应用Lemma1，因为只有汇SCC才能一次explore找出该SCC所有点）
（2） 用无向图作连通子图的算法处理G，且DFS过程中对每个节点以其在(1)中的post
number降序顺序来处理（应用Lemma2和Lemma3）
Chapter4 1.BFS 深度优先搜索（有向图无向图都适用）
bfs(G, s) 从s点出发
for all u in V do
dist(u) = ∞; 初始距离都赋为无穷
dist[s] = 0; 访问s，距离设为0
Q = [s] 设一个队列Q，初始只有s点
while Q is not empty do 队列为空是终止条件
u=Eject(Q); 把u移出队列（loop第一次的时候u即为s）
for all edge (u, v) in E do 对所有u能到达的点
if dist(v) = ∞ then 若未访问过则
Inject(Q, v); 加入队列
dist[v] = dist[u] + 1; 距离为u+1
每次循环会先把该层搜索到的点都加入Q，下一层循环时再eject，并从该点出发再访问其可到达的点，下一层的点距离会多1
BFS复杂度为O(|E|+|V|)
注：BFS只考虑distance from s，所以不会再去搜索s不可达的点，这和DFS是不同的。
BFS视所有边长度相同（为1），故只能找到边长都为1的图中的最短路径
2.最短路径算法（有向图无向图都适用）
当边长度不为1时，利用插入dummy点的思想（如边长为10，相当于该边上插入9个dummy点后，化为边长为1），可以用BFS算法计算最短路径，但如果边长很长，则算法效率太低。
于是再加上set alarm的方法和引入特殊数据结构priority queue，有了Dijkstra算法
Dijkstra算法：从s点出发作BFS算法，每探索1层，把该层可达的点的距离值更新，然后选距离数组中值最小的点，从该点出发再探索下一层，并更新距离数组
注：loop中每次被选中的距离值最小的点会被移出队列，故表示它的值已确定下来，之后不会再被更新，队列为空则算法终止
Dijkstra复杂度：当用二叉堆形式的数组时，为O((|V| + |E|) log |V|)
二叉堆：是完全二叉树（第k层未满时，不会有第k+1层，左分支未填时不会有右分支），该数组中，节点j的parent为j/2取下界，j的children为2j和2j+1
3.有负边的图最短路径算法
Dijkstra不适用
Bellman-Ford算法：
repeat V-1 times： 循环V-1次
for all e in E 检查所有边，更新其端点的dist值
update(e)
Bellman-Ford复杂度为O(|V|·|E|)
Bellman-Ford可用于检定图中是否有负环，只要在V-1次迭代后再多迭代一次，如果仍有dist数组的更新，则图中必有负环
4.DAG图最短路径算法（正边负边都适用）
先线性化DAG图，然后
for each u in V, in linearized order
for all edges (u, v) in E 对所有u相连的e作update(e)
update(u, v)
特别地，把DAG图中所有边*(-1)后，可以用该算法求最长路径
Chapter5
1.MST最小生成树
有最小的总权数的树是MST（不唯一）
Lemma1：移除环中的一条边，不会使图disconnect
Lemma2：n节点的树有n-1条边
Lemma3：任何连接的无向图G（V, E），若有E=V-1，则G必为树
Lemma4：无向图为树<=>任意两个节点之间有唯一路径
Kruskal’s MST算法：
从空图开始，每次选一条不会使图产生环的权重最小的边（贪婪算法——每次作最符合当前利益的选择）
每一次如何高效地挑选不会使图产生环的权重最小的边？
2.割定理：设边集X为G的某个最小生成树T的子集，任意将G切割成集合S和V-S，使X里没有边横跨S和V-S，则将e加到X中形成的新集合X’也是某个MST的子集，这里e是横跨S与V-S的所有边里权重最小的边。（即选S时，把X中所有边都包含进去即可）
Kruskal’s MST算法实现：
for all u in V do
makeset (u); 初始用makeset建立V个分离集（每个顶点为一个集合）
X = { };
Sort the edges E by weight;
for all e={u, v} in E in increasing order of weight do
if find (u) != find (v) then
add e={u, v} to X;
union (u, v)
这里find是用来找tree的根，find(u) != find (v)表示u所在集合的树根与v所在集合的树根不同，也就是说u和v不在一个集合内
union是用来合并两个集合，union (u, v)合并u所在集合和v所在集合，并选择树高较大的集合的根节点作为合并后的根节点（只有相同树高的两颗树合并，总树高才会加1，其它情况合并，树高都不变）
Kruskal算法生成的树有如下性质：
Lemma1：非根节点的rank
Lemma2：rank为k的树有至少2k个节点（k从0开始）
Lemma3：若整个树有n个节点，则rank为k的节点至多有n/2k个，即树最大高度为logn
所以Kruskal算法复杂度为max{O(|E|), O(|V|log|V|)}
Chapter 6
1.动态规划
为解决问题，先定义一组子问题，而原问题的最优解由子问题的最优解构成，逐步追溯子问题至更小的子问题，直至到最简的形式（某个已知的或显而易见的解）
高中概率知识点总结
高中概率知识点总结
高中概率知识点总结
概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，它是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。以下是小编整理的高中概率知识点总结，希望能够帮助到大家！
高中概率知识点总结 篇1
一．算法，概率和统计
1．算法初步（约12课时）
（1）算法的含义、程序框图
①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（2）基本算法语句
经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
（3）通过阅读中国古代中的算法案例，体会中国古代对世界发展的贡献。
3．概率（约8课时）
（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（4）了解随机数的意义，能运用模拟（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。 （5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
2．统计（约16课时）
（1）随机抽样
①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅、设计调查问卷等方法收集数据。
监督学习算法基础知识整理
第三章 监督学习算法
监督学习又称为分类（Classification）或者归纳学习（Inductive Learning）。几乎适用于所有领域，包括文本和网页处理。给出一个数据集D，机器学习的目标就是产生一个联系属性值集合A和类标集合C的分类/预测函数（Classification/Prediction Function），这个函数可以用于预测新的属性集合的类标。这个函数又被称为分类模型（Classification Model）、预测模型（Prediction
Model）。这个分类模型可以是任何形式的，例如决策树、规则集、贝叶斯模型或者一个超平面。
在监督学习（Supervised Learning）中，已经有数据给出了类标；与这一方式相对的是无监督学习（Unsupervised Learning），在这种方式中，所有的类属性都是未知的，算法需要根据数据集的特征自动产生类属性。其中算法中用于进行学习的数据集叫做训练数据集，当使用学习算法用训练数据集学习得到一个模型以后，我们使用测试数据集来评测这个模型的精准度。
机器学习的最基本假设：训练数据的分布应该与测试数据的分布一致。
训练算法：训练算法就是给定一组样本，我们计算这些参数的方法。本节简要介绍以下几种常用的机器学习算法，比如决策树，朴素贝叶斯，神经网络，支持向量机，线性最小平方拟合，kNN，最大熵等。
3.1 两类感知器
见课本
3.2 多类感知器
见课本
3.3 决策树算法
决策树学习算法是分类算法中最广泛应用的一种技术，这种算法的分类精度与其他算法相比具有相当的竞争力，并且十分高效。
决策树是一个预测模型；他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。树中每个节点表示某个对象属性，而每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应从根节点到该叶节点所经历的路径所表示的对象的值（类别）。决策树仅有单一输出，若欲有复数输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。
计算思维概念知识点总结
计算思维概念知识点总结
计算思维概念知识点总结
计算思维是一种关于解决问题和处理信息的思维方式，强调运用信息技术和计算方法来分析和解决问题。随着智能时代的到来，计算思维的重要性日益凸显，对于培养创新能力和解决实际问题具有重要意义。本文将综述计算思维的相关概念和知识点，包括算法思维、抽象思维、系统思维、逻辑思维、创新思维等。
一、算法思维
算法思维是指从问题到解决方案的过程中，通过设计和运用算法的思维方式。算法思维强调问题的分解和解决方案的设计，需要具备分析问题的能力和设计解决方案的能力。对于初学者而言，可以通过学习和实践编程来培养算法思维，掌握常见的算法和数据结构。
二、抽象思维
抽象思维是将事物或问题的共性和关键特征抽取出来，形成概念和模型的思维方式。抽象思维能够帮助我们理清事物之间的关系和逻辑，从而更好地分析和解决问题。在计算思维中，抽象思维常见于问题建模、问题转化和解决方案的设计过程中。
三、系统思维
系统思维是指从整体和结构的角度来看待问题，考虑事物之间的相互关系和影响。系统思维能够帮助我们发现问题的本质和内在规律，从而提出更好的解决方案。在计算思维中，系统思维常见于设计复杂系统和优化方案的过程中。
四、逻辑思维
逻辑思维是指按照严谨的逻辑和推理方式来分析和解决问题的思维方式。逻辑思维能够帮助我们通过推理和演绎来验证和证明问题的正确性，从而提高问题解决的准确性和效率。在计算思维中，逻辑思维常见于设计算法和程序的过程中。
五、创新思维
创新思维是指突破传统思维模式，寻找新的解决方案和方法的思维方式。创新思维能够帮助我们发现和解决问题的新角度和新思路，从而提出更具创新性和独特性的解决方案。在计算思维中，创新思维常见于设计新的算法和应用的过程中。
六、综合运用
在实际问题解决中，计算思维的不同思维方式往往需要综合运用。例如，在解决一个复杂问题时，可以先通过系统思维分析问题的整体结构和关键因素，然后运用抽象思维和算法思维进行问题建模和解决方案的设计，最后运用逻辑思维验证解决方案的正确性。而在创新过程中，可以运用抽象思维和创新思维来寻找新的问题和新的解决方案，然后再运用算法思维和逻辑思维来具体实现和验证。
数据分析知识：数据挖掘中的迭代算法
数据分析知识：数据挖掘中的迭代算法
随着数据量的增大和类型的涵盖，数据挖掘成为了现代科技发展中一个热门话题。数据挖掘是从大量数据中发现规律和关联的过程。其中，迭代算法是一种常见的数据挖掘算法之一。
迭代算法是一种基于重复计算的算法。该算法通过迭代进行优化，每次迭代都会产生一个新的结果，并进一步优化数据模型。在数据挖掘领域，迭代算法主要用于处理带有缺失值、噪声或非线性关系的数据。这类数据不适合使用传统的求解方法，而是需要通过迭代算法进行处理。
迭代算法的基本思想是先给出一个解，然后通过迭代进行优化，直到达到满意的结果为止。具体来说，迭代算法将一个大问题分解为若干个小问题，通过逐步优化每个小问题，最终得到一个整体的解决方案。迭代算法的优点在于可以较快地得到近似最优解。
在数据挖掘中，迭代算法通常用于聚类、分类和回归问题。迭代聚类算法是将数据点分组，使组内的成员具有相似性，而组间成员之间具有巨大的差异性。聚类分析常用于市场细分、推荐系统、图像处理等方面。此外，迭代算法还广泛应用于分类和回归问题中。分类问题是将具有不同特征的对象分成不同的类别，例如垃圾邮件过滤器。回归问题是利用已知的输入值来预测输出值，例如股票市场分析和土地评估。
在数据挖掘中，迭代算法的种类繁多，常见的有k-means算法、DBSCAN算法、EM算法、朴素贝叶斯等。其中k-means算法是一种基于距离的迭代聚类算法。该算法将数据点分成k个类，每个类对应一个质心表示。k-means算法将数据点与其最近的质心关联，然后重新计算质心，直到质心不再变化为止。DBSCAN算法是一种基于密度的聚类算法，该算法将数据点分成核心点、边界点和噪声点三类。DBSCAN算法会迭代地寻找核心点，并将其相关联的点分配到同一个簇中。EM算法则是一种统计学上较为常见的迭代算法。该算法通常用于分析含有缺失数据的样本集。EM算法会首先使用一组随机参数进行初始化，然后迭代地优化这些参数，以最大化似然函数。
第1课 算法基础知识
第1课 算法基础知识
教学目标
(1) 了解算法的含义，体会算法的思想。
(2) 能够用流程图描述算法。
(3) 能够对算法进行择优。
情感、态度与价值观
算法是解决问题的重要手段，通过对问题的研究和分析，设计算法对问题进行求解，提高分析问题和解决问题的能力，体会算法分析的魅力。
教学重点和难点
重点：算法的理解。
难点：用流程图描述算法。
教学过程：
一、游戏情境导入新课
二、新授
1、算法的概念
这一系列活动实际上就包含了算法，我们从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，如果有括号就先括号内后括号外、竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法。
出示课件 趣味数学题：
2、算法的表述方法
师：如何去设计算法呢？设计的算法又怎么表示呢？大家看到了，算法的设计分两个内容，一是寻找一种方法；二是描述一下实现这个方法的步骤。刚才我们已经用语言的形式描述过了渡河的算法。我们把这种通过语言描述的方法称为自然语言描述算法。
师：同学们思考下语言描述法有什么优点？又有哪些缺点呢？
生答
师总：自然语言描述算法可以使用自己的语言来描述问题，描述的方式简单自由，语言描述详尽清楚，让人易于理解。但也有缺点，描述的越详尽，就显得越繁杂，不够直观简洁。
师：为了更直观的描述算法，人们设计了用流程图描述算法的方法
出示算法的流程图描述元素。
师：我们来看一例子
放幻灯片，并简单分析求一元二次方程算法流程图。
三、练习（大显身手）
题目：如果你家在舜泰苑小区，你要外出购物，需要到红星菜市场买肉、菜，到赛玛特超市采购副食，到太东服装店买衣服。请你讲一个购物的算法。并用流程图来表示。
四、小结：
计算机解决任何问题都要依赖于算法。只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。
信息技术高一会考总复习算法与程序设计操作相关知识点汇总整理
算法与程序设计操作知识点
一、 知识目标
内容 要求 说明
1．算法及其表示方式 Ⅰ 理解概念。
2．程序的基本控制结构 Ⅱ 理解三种结构的功能，并学会判断。
3．VB程序设计
①可视化程序开发工具VB
②VB数据的表示
③VB数据的处理
④选择结构的程序实现
⑤循环结构的程序实现
⑥一维数组的应用 Ⅱ 理解知识点的意义，并能应用。
二、 知识点整理
1、算法及其表示方式
考点一：计算机解决问题的过程
用计算机来解决问题要经历三个步骤：
1、分析问题,确定要用计算机做什么？
2、寻找解决问题的途径和方法（设计算法）;
3、用计算机进行处理（编制和运行程序）。
计算机的基本功能与特征：
计算机的基本功能是计算，计算机对信息的加工处理本质上是通过计算完成的。是在程序指令的控制下完成对所有数据的处理。
计算机的基本特征：⑴速度快；⑵准确性高；⑶存储容量大。
考点二：算法
何为算法？
简单地说，算法(Algorithm)就是解决问题的方法和步骤。
算法的特征：（1）有穷性（有限性）。（2）确定性（唯一性）。（3）可行性（能行性）。（4）有0到多个输入。（5）有1到多个输出。
如何描述算法？
算法描述可以有多种表达方法，一般用自然语言、流程图和计算机语言进行描述。
流程图中最基本、最常用的几种符号：
2、程序的基本控制结构
任何正规的程序无论它有多复杂，都可以分解为三种基本结构，即顺序结构、选择结构和循环结构。由这三种基本结构可以派生出多样、复杂的“多分支结构”，用其解决各种问题。
结构类型 流程图示意 功能说明
顺序结构
一个步骤完成后，顺序执行紧跟着的下个处理步骤。如电视节目，按先后顺序直线下来。
一般的程序设计语言中，顺序结构的语句主要是赋值语句、输入/输出语句等。
选择（分支）结构
在日常生活中，常常需要对给定的条件进行分析、比较和判断，并根据结果采取不同的操作。在Visual Basic中，这样的问题通过选择结构来解决。如根据天气情况，选择体育课场地问题。
计算机二级C++基础知识(整理版)
裴永磊文库
计算机二级C++基础知识
1.1 算法
算法：是解题方案的准确而完整的描述。通俗地说，算法就是计算机解题的过程。算法不等于程序，也不等于计算方法，程序的编制不可能优于算法的设计。
(1)确定性，算法中每一步骤都必须有明确定义，不允许有模棱两可的解释，不允许有多义性；
(2)有穷性，算法必须能在有限的时间内做完，即能在执行有限个步骤后终止；
(3)可行性，算法原则上能够精确地执行；
(4)拥有足够的情报。
算法效率的度量—算法复杂度：算法时间复杂度和算法空间复杂度。★★★
算法时间复杂度：指执行算法所需要的计算工作量。即算法执行过程中所需要的基本运算次数。 （时间_次数）
算法空间复杂度：指执行这个算法所需要的内存空间。（空间_内存）
1.2 数据结构的基本概念
数据结构：指相互有关联的数据元素的集合。 裴永磊文库
数据结构研究的三个方面：
(1)数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构；(原始结构)
(2)在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构; (进行时结构)
(3)对各种数据结构进行的运算。
线性结构的条件，(一个非空数据结构)：
(1)有且只有一个根结点； (2)每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。
非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。
1.3 线性表及其顺序存储结构（空间存储连续、元素衔接）
线性表的顺序存储结构具有以下两个基本特点：
(1)线性表中所有元素所占的存储空间是连续的；
(2)线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。
顺序表的运算：查找、插入、删除。
1.4线性链表
数据结构中的每一个结点对应于一个存储单元，这种存储单元称为存储结点，简称结点。
小学六年级数学知识点归纳整理
小学六年级数学知识点归纳整理
小学六年级数学知识点一、算术
1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：a + b = b + a
3、乘法交换律：a × b = b × a
4、乘法结合律：a × b × c = a ×(b × c)
5、乘法分配律：a × b + a × c = a × b + c
6、除法的性质：a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c)
7、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，商不变。
O除以任何不是O的数都得O。 简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。
8、有余数的除法： 被除数=商×除数+余数
二、方程、代数与等式
等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数，等式仍然成立。
方程式：含有未知数的等式叫方程式。
一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
代数： 代数就是用字母代替数。
代数式：用字母表示的式子叫做代数式。如：3x =ab+c
三、分数
分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
分数大小的比较：同分母的.分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较;若分子相同，分母大的反而小。
分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
数据融合各种算法整理汇总
数据融合各种算法及数学知识汇总
粗糙集理论
理论简介
面对日益增长的数据库，人们将如何从这些浩瀚的数据中找出有用的知识？我们如何将所学到的知识去粗取精？什么是对事物的粗线条描述什么是细线条描述？
粗糙集合论回答了上面的这些问题。要想了解粗糙集合论的思想，我们先要了解一下什么叫做知识？假设有8个积木构成了一个集合A，我们记：A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，每个积木块都有颜色属性，按照颜色的不同，我们能够把这堆积木分成R1={红，黄，蓝}三个大类，那么所有红颜色的积木构成集合X1={x1,x2,x6}，黄颜色的积木构成集合X2={x3,x4}，蓝颜色的积木是：X3={x5,x7,x8}。按照颜色这个属性我们就把积木集合A进行了一个划分(所谓A的划分就是指对于A中的任意一个元素必然属于且仅属于一个分类），那么我们就说颜色属性就是一种知识。在这个例子中我们不难看到，一种对集合A的划分就对应着关于A中元素的一个知识，假如还有其他的属性，比如还有形状R2={三角,方块,圆形}，大小R3={大,中,小}，这样加上R1属性对A构成的划分分别为：
A/R1={X1,X2,X3}={{x1,x2,x6},{x3,x4},{x5,x7,x8}} （颜色分类）
A/R2={Y1,Y2,Y3}={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} （形状分类）
A/R3={Z1,Z2,Z3}={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}} （大小分类）
上面这些所有的分类合在一起就形成了一个基本的知识库。那么这个基本知识库能表示什么概念呢？除了红的{x1,x2,x6}、大的{x1,x2,x5}、三角形的{x1,x2}这样的概念以外还可以表达例如大的且是三角形的{x1,x2,x5}∩{x1,x2}={x1,x2}，大三角{x1,x2,x5}∩{x1,x2}={x1,x2}，蓝色的小的圆形({x5,x7,x8}∩{x3,x4,x7}∩{x3,x4,x6,x7}={x7}，蓝色的或者中的积木{x5,x7,x8}∪{x6,x8}={x5,x6,x7,x8}。而类似这样的概念可以通过求交运算得到，比如X1与Y1的交就表示红色的三角。所有的这些能够用交、并表示的概念以及加上上面的三个基本知识(A/R1,A/R2.A/R3)一起就构成了一个知识系统记为R=R1∩R2∩R3，它所决定的所有知识是A/R={{x1,x2},{x3,x4},{x5},{x6},{x7},{x8}}以及A/R中集合的并。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结
数值分析是计算数值解的方法和理论，它研究的是如何利用计算机对数学问题进行数值计算和数值逼近。数值分析包括了数值方法的设计、分析和实现，以及误差分析和计算复杂性分析等方面。下面是数值分析的一些重要知识点的总结。
1.数值算法：数值算法是解决数学问题的计算方法，它由一系列具体的计算步骤组成。常见的数值算法有插值、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法等。
2.数值稳定性：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对误差的敏感程度。一个数值算法如果对输入数据的微小扰动具有较大的响应，就称为不稳定算法；反之，如果对输入数据的微小扰动具有较小的响应，就称为稳定算法。
3.四舍五入误差：在浮点数计算中，由于计算机表示的限制，涉及舍入运算的计算可能会引入误差。四舍五入误差是指在进行舍入运算时，取最近的浮点数近似值所引入的误差。
4.条件数：条件数是用来衡量数值问题的不稳定性的一个指标。它描述了输入数据的微小扰动在计算结果中的放大程度。条件数的大小决定了数值算法的数值稳定性，通常越大表示问题越不稳定。
5.插值：插值是基于已知数据点，构造插值函数来近似未知数据点的方法。常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。
6. 数值积分：数值积分是用数值方法进行积分计算的一种方法。常见的数值积分方法有梯形法则、Simpson法则和Gauss-Legendre积分法等。 7.数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数的导数的一种方法。常用的数值微分方法有中心差分法和前向差分法等。
8. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的近似解。常用的常微分方程数值解法有Euler法、Runge-Kutta法和Adams法等。
9.误差分析：误差分析是对数值算法计算结果误差的研究。可以通过理论分析或实验方法来估计误差，并找到减小误差的方法。
10.计算复杂性分析：计算复杂性分析是对数值算法运行时间和计算资源的需求进行评估的方法。通过分析算法的复杂性，可以选择合适的算法来解决特定的数值计算问题。