简单相关分析与简单线性回归分析
线性相关与回归(简单线性相关与回归、多重线性回归、Spearman等级相关)
4.剔除强影响点（Influential cases；或称为突出点， outliers）
通过标准化残差（Standardized Residuals）、学生氏残 差（Studentlized Residuals）来判断强影响点 。当指标 的绝对值大于3时，可以认为样本存在强影响点。
删除强影响点应该慎重，需要结合专业知识。以下两种情 况可以考虑删除强影响点：1.强影响点是由于数据记录错 误造成的；2.强影响点来自不同的总体。
r r t sr 1 r2 n2
只有当0时，才能根据|r|的大小判断相关 的密切程度。
4.相关与回归的区别和联系 （1）相关与回归的意义不同 相关表达两个变量 之间相互关系的密切程度和方向。回归表达两个变 量之间的数量关系，已知X值可以预测Y值。从散点 图上，散点围绕回归直线的分布越密集，则两变量 相关系数越大；回归直线的斜率越大，则回归系数 越大。 （2）r与b的符号一致 同正同负。
5.自变量之间不应存在共线性（Collinear）
当一个（或几个）自变量可以由其他自变量线性表示时，称 该自变量与其他自变量间存在共线性关系。常见于：1.一个 变量是由其他变量派生出来的，如：BMI由身高和体重计算 得出 ；2.一个变量与其他变量存在很强的相关性。 当自变量之间存在共线性时，会使回归系数的估计不确定、 预测值的精度降低以及对y有影响的重要自变量不能选入模 型。
P值
截距a 回归系数b sb 标准化回归系数 t值 P值
3.直线回归的预测及置信区间估计
给定X＝X0， 预测Y
3.直线回归的预测及置信区间估计
因变量
自变量
保存（产生新变量，保 存在当前数据库） 统计
3.直线回归的预测及置信区间估计
线性回归与相关分析
线性回归与相关分析一、引言线性回归和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
线性回归用于建立两个或多个变量之间的线性关系，而相关分析则用于衡量变量之间的相关性。
本文将介绍线性回归和相关分析的基本原理、应用场景和计算方法。
二、线性回归线性回归是一种建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是通过找到最佳拟合直线来描述自变量与因变量之间的关系。
线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。
线性回归的目标是最小化观测值与模型预测值之间的差异，常用的优化方法是最小二乘法。
线性回归的应用场景非常广泛。
例如，我们可以利用线性回归来分析广告费用和销售额之间的关系，或者分析学生学习时间和考试成绩之间的关系。
线性回归还可以用于预测未来趋势。
通过建立一个合适的线性回归模型，我们可以根据历史数据来预测未来的销售额或者股票价格。
在计算线性回归模型时，我们首先需要收集相关的数据。
然后，可以使用统计软件或者编程语言如Python、R等来计算最佳拟合直线的参数。
通过计算截距和斜率，我们可以得到一个最佳拟合线，用于描述自变量和因变量之间的关系。
此外，我们还可以借助评价指标如R 平方来衡量模型的拟合程度。
三、相关分析相关分析是一种用于衡量两个变量之间相关性的统计方法。
它可以帮助我们判断变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数是表示相关性的一个指标，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于测量两个连续变量之间的线性关系，其取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加。
当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减小。
当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
斯皮尔曼相关系数适用于测量两个有序变量之间的单调关系，其取值范围也在-1到1之间。
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析导言回归分析与相关分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系。
在本文中，我们将对回归分析和相关分析进行详细探讨，并介绍它们的原理、应用和实例。
一、回归分析回归分析是通过建立一个数学模型来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们预测因变量的取值，并理解自变量对因变量的影响程度。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最常见的一种方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合直线，从而预测因变量的取值。
1.2 多元线性回归多元线性回归是对简单线性回归的拓展，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳的多元回归方程，从而预测因变量的取值。
1.3 逻辑回归逻辑回归是回归分析在分类问题上的一种应用。
它能够根据自变量的取值，预测因变量的类别。
逻辑回归常用于预测二分类问题，如预测一个学生是否会被大学录取。
二、相关分析相关分析是研究两个或多个变量之间相关关系的一种方法。
它可以帮助我们了解变量之间的关联程度，以及一个变量是否能够作为另一个变量的预测因子。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是一种衡量两个连续变量之间线性相关程度的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量无相关关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种衡量两个变量之间的非线性相关程度的统计量。
它的取值范围也在-1到1之间，但它适用于衡量非线性关系和顺序关系。
斯皮尔曼相关系数广泛应用于心理学和社会科学领域。
应用实例为了更好地理解回归分析与相关分析的应用，让我们通过一个实际案例来说明。
假设我们想研究某个国家的人均GDP与教育水平之间的关系。
我们收集了10个州的数据，包括每个州的人均GDP和受教育程度指数。
我们可以利用回归分析来建立一个数学模型，从而预测人均GDP与受教育水平之间的关系。
简要说明相关分析与回归分析的区别
相关分析与回归分析的区别和联系
一、回归分析和相关分析主要区别是：
1、在回归分析中,y被称为因变量,处在被解释的特殊地位,而在相关分析中,x与y处于平等的地位,即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是一致的；
2、相关分析中,x与y都是随机变量,而在回归分析中,y是随机变量,x 可以是随机变量,也可以是非随机的,通常在回归模型中,总是假定x是非随机的；
3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度,而回归分析不仅可以揭示x对y的影响大小,还可以由回归方程进行数量上的预测和控制.
二、回归分析与相关分析的联系：
1、回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
2、在专业上研究上：
有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题,需进行直线相关分析和回归分析。
3、从研究的目的来说：
若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向,宜选用线性相关分析；若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程,宜选用直线回归分析.
三、扩展资料：
1、相关分析是研究两个或两个以上处于同等地位的随机变量间的相关关系的统计分析方法。
例如，人的身高和体重之间；空气中的相对湿度与降雨量之间的相关关系都是相关分析研究的问题。
2、回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
第四讲简单线性相关与回归(共36张PPT)
相关系数的意义
散点较为密集地分布在第II和第IV象限。
– -1 r 1 它是一个系数，不受变量值水平和 根据给定的显著性水平 和自由度 和 是两个参数，其数值可根据样本值来估计，e是随机变量，一般假定 e ~ N(0, 2) 还可以将变量加以变换（例如，采用对数形式）；
计量单位的影响。 且样本容量越小其随机性越大。
总变差=回归变差+剩余变差 因为在缺少其他信息的情况下，我们根本不知道在观察数据范围以外，该估计方程的函数形式是否还同样有效。 0 |r| 0.
D-W检验量：检验有–无正r自<相0关,出现负。 相关。散点较为密集地分布在第II和 第IV象限。
相关系数的值
• r的值越接近1，表示线性相关程度越高。
– 0 |r| 0.3
第四讲简单线性相 关与回归
本讲主题
• 简单线性回归模型 The Simple Linear Regression Model
• 最小二乘法 The Least Squares Method • 确定性系数 The Coefficient of
Determination • 模型假设及显著性检验 Model
• 相关系数测量变量之间关系的密切程度，如果已 知两变量显著相关，我们就希望能从一个变量的 取值来推算出另一个变量的取值范围。这就是回 归分析。
回归的种类
• 一元回归与多元回归
• 线性回归与非线性回归
回归分析涉及的内容
• 1）从一组数据出发，分析变量间存在什么样的 关系，建立这些变量的关系式（回归方程），并 对关系式的可信程度进行统计检验；
• 2）利用回归方程式，根据一个或几个变量的值， 预测或控制另一个变量的取值；
回归分析的内容（2）
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析回归分析是通过建立一个数学模型来研究自变量对因变量的影响程度。
回归分析的基本思想是假设自变量和因变量之间存在一种函数关系，通过拟合数据来确定函数的参数。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系，非线性回归是指自变量和因变量之间存在非线性关系。
回归分析可用于预测、解释和控制因变量。
回归分析的应用非常广泛。
例如，在经济学中，回归分析可以用于研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用于研究生活方式与健康之间的关系。
回归分析的步骤包括确定自变量和因变量、选择合适的回归模型、拟合数据、检验模型的显著性和解释模型。
相关分析是一种用来衡量变量之间相关性的方法。
相关分析通过计算相关系数来度量变量之间的关系的强度和方向。
常用的相关系数有Pearson相关系数、Spearman相关系数和判定系数。
Pearson相关系数适用于连续变量，Spearman相关系数适用于顺序变量，判定系数用于解释变量之间的关系。
相关分析通常用于确定两个变量之间是否相关，以及它们之间的相关性强度和方向。
相关分析的应用也非常广泛。
例如，在市场研究中，相关分析可以用于研究产品价格与销量之间的关系；在心理学研究中，相关分析可以用于研究学习成绩与学习时间之间的关系。
相关分析的步骤包括确定变量、计算相关系数、检验相关系数的显著性和解释相关系数。
回归分析与相关分析的主要区别在于它们研究的对象不同。
回归分析研究自变量与因变量之间的关系，关注的是因变量的预测和解释；相关分析研究变量之间的关系，关注的是变量之间的相关性。
此外，回归分析通常是为了解释因变量的变化，而相关分析通常是为了量化变量之间的相关性。
综上所述，回归分析和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
回归分析用于确定自变量与因变量之间的关系，相关分析用于测量变量之间的相关性。
回归分析和相关分析在实践中有广泛的应用，并且它们的步骤和原理较为相似。
相关和回归的数学模型区别和联系
相关和回归的数学模型区别和联系在统计学和数据分析领域，相关和回归是两种常用的数学模型，用以揭示变量之间的关系。
本文将详细阐述相关和回归的数学模型的区别与联系，帮助读者更好地理解这两种模型的应用场景和特点。
一、相关和回归的数学模型概述1.相关分析相关分析是指衡量两个变量之间线性关系紧密程度的统计分析方法。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
相关分析主要用于描述两个变量之间的相关性，但不能确定变量间的因果关系。
2.回归分析回归分析是指研究一个或多个自变量（解释变量）与一个因变量（响应变量）之间线性或非线性关系的方法。
根据自变量的个数，回归分析可分为一元回归和多元回归。
回归分析可以用于预测因变量的值，并分析自变量对因变量的影响程度。
二、相关和回归的数学模型区别1.目的性区别相关分析的目的是衡量两个变量之间的线性关系程度，但不能判断因果关系；回归分析的目的则是建立变量间的预测模型，分析自变量对因变量的影响程度，并预测因变量的值。
2.数学表达区别相关分析通常使用相关系数（如皮尔逊相关系数）来表示两个变量之间的线性关系程度；回归分析则使用回归方程（如线性回归方程）来描述自变量与因变量之间的关系。
3.结果解释区别相关分析的结果是一个介于-1和1之间的数值，表示两个变量之间的线性相关程度；回归分析的结果是一组回归系数，表示自变量对因变量的影响程度。
三、相关和回归的数学模型联系1.研究对象相同相关分析和回归分析都是研究两个或多个变量之间关系的统计分析方法，可以揭示变量间的相互作用。
2.数据类型相似相关分析和回归分析通常应用于数值型数据，且都需要满足一定的数据分布特征，如正态分布、线性关系等。
3.相互补充在实际应用中，相关分析和回归分析可以相互补充。
通过相关分析，我们可以初步判断变量间是否存在线性关系，进而决定是否采用回归分析建立预测模型。
四、总结相关和回归的数学模型在研究变量关系方面有着广泛的应用。
回归分析与相关性分析的基本原理与应用
回归分析与相关性分析的基本原理与应用数据分析是现代社会中非常重要的一个领域，在各个行业和领域中都有广泛的应用。
而回归分析和相关性分析是数据分析中经常使用的两种方法，本文将探讨回归分析和相关性分析的基本原理和应用。
一、回归分析的基本原理与应用回归分析是用来研究变量之间关系的一种统计方法，主要用于预测一个变量（因变量）与其他变量（自变量）之间的关系。
具体来说，回归分析可以帮助我们确定自变量对因变量的影响程度以及预测因变量的取值。
回归分析的基本原理是基于线性回归模型，即通过建立一个线性方程来描述因变量和自变量之间的关系。
简单线性回归模型的表达式为：Y = α + βX + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，α和β为回归系数，ε为误差项。
在应用回归分析时，我们需要确定自变量与因变量之间的关系强度以及回归系数的显著性。
这可以通过计算相关系数、拟合优度等统计指标来实现。
此外，回归分析还可以通过预测因变量的取值来进行决策和规划，例如销量预测、市场需求预测等。
二、相关性分析的基本原理与应用相关性分析是用来研究变量之间线性相关关系的一种统计方法，主要用于衡量变量之间的相关性程度。
相关性分析可以帮助我们理解变量之间的相互关系，以及在研究和预测中的应用。
相关系数是用来衡量两个变量之间相关性的指标，最常用的是皮尔逊相关系数。
皮尔逊相关系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关性。
通过计算相关系数可以判断两个变量之间是否存在线性关系，以及线性关系的强弱程度。
在应用相关性分析时，我们可以利用相关系数来进行综合评价和比较。
例如，在市场研究中，我们可以通过相关性分析来确定产品特性与客户购买意愿之间的关系，以指导产品开发和市场推广策略。
三、回归分析与相关性分析的比较回归分析和相关性分析都是研究变量之间关系的统计方法，但它们在方法和应用上存在一些区别。
首先，回归分析主要关注自变量对因变量的影响程度和预测，而相关性分析主要关注变量之间的相关程度。
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本章架構
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 簡單相關分析 簡單線性迴歸分析 簡單線性迴歸方程式的估計—最小平方法 迴歸方程式的適合度 迴歸方程式的檢定 利用估計線性迴歸方程式進行預測 殘差分析
14.1 簡單相關分析
14.1.1 14.1.2 14.1.3 14.1.4 共變異數的意義 相關係數的意義 相關係數的估計 相關係數的檢定
相關係數應用實例一 歐亞股市與美股連動性
計算至2003/3/24 資料來源：Bloomberg 整理：怡富投顧
相關係數應用實例二
我國在漸邁入高齡化社會的同時， 整體社會每年平均花在醫 療保健上的費用， 將益為提高。由此可看出 ： 年齡是影響 個人每年花在醫療保健費用多寡的原因之一。 個人每年花在醫療保健費用和個人總財富累積這兩個因素， 同時受年齡的影響，才使得醫療保健費用和個人總財富累積 兩個變數間間接地具高度線性相關，而其實醫療保健費用和 個人總財富累積兩個變數間並不具有因果關係。但是，如果 醫療保健費用和總財富累積兩個變數， 都去除掉年齡的影響 後， 將發現這兩個因素呈低度線性相關。也就是說， 去除 掉年齡的影響後， 醫療保健費用和總財富累積的偏相關係數 變得很接近 0。“只要常看病, 口袋裏的孫中山就會愈多” 的奇怪推論, 在去除幕後的藏鏡人—年齡之後， 自可迎刃而 解。 (資料來源︰易得太資訊(統計桃花源) )
第十四章 簡單相關分析與簡單線性迴歸分析 資料來源:智高圖書出版社 楊富龍老師
學習目標
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 瞭解簡單相關分析的意義。 使用相關分析的時機。 瞭解共變異數的計算與意義。 瞭解相關係數的計算與檢定程序。 瞭解簡單迴歸分析的意義。 學習估計與檢定迴歸係數。 利用估計的迴歸方程式作預測。 檢定迴歸方程式的適合性。
14.1.1 共變異數的意義
共變異數(covariance) 測量兩個數值變數間的線性關係。 線性關係 當一個變數變動時，另一變數則呈同方向或相反方 向變動。
14.1.1共變異數的意義(續)
母體共變異數
XY Cov( X , Y )
樣本共變異數
S XY
X
i 1
相關係數的性質: 1. 相關係數的值介於 –1 與 1 之間。 2. 當ρXY=1，表示X與Y為完全正相關，亦即當X變 動時， Y亦以相同方向變動；反之，亦然。 3. 當ρXY= –1 ，表示X與Y為完全負相關，亦即當 X變動時， Y亦以相反方向來變動；反之，亦然。 4. 當ρXY= 0 ，代表X與Y完全沒有線性關係，不過 並不代表兩者之間沒有其他型態關係(如拋物線 關係)存在。
4. X與Y的共變異數等於零，表示兩變數間沒有「線 性」關係，但並不表示兩者之間沒有其他關係存在。
14.1.1共變異數的意義(續3)
當兩變數與的共變異數大於零時，可以看出與大部 分落於第一與第三象限，也就是兩者移動的方向是 一致的，亦即正的線性關係。 (如圖14.1之左上圖) 當兩變數與的共變異數小於零時，可以看出與大部 分落於第二與第四象限，也就是兩者移動的方向是 相反的，亦即負的線性關係。(如圖14.1之右上圖) 當兩變數與的共變異數等於零時，可以看出與均勻 落於所有四個象限，而看不出兩者間線性移動的關 係，但卻可能存在其他非線性關係。 (如圖14.1之下 方二圖)
14.1.2 相關係數的意義(續)
母體相關係數
X X E X Y Y Y
XY
XY XY
其中μX，σX為隨機變數X的平均數與標準差； μY，σY為隨機變數Y的平均數與標準差； σXY為隨機變數X與Y之共變異數。
14.1.1共變異數的意義(續2)
圖14.1：不同共變異數值情況下X與Y的散佈圖
例14.1 停留時間與消費額的關係
某遊樂區經理想了解遊客停留時間與消費額的關係，於是蒐 集了10位遊客的資料如表14.1 表14.1 10位遊客的停留時間與消費額
續例14.1
由表14.1可知
S XY
(X
14.1 簡單相關分析(續)
相關分析(correlation analysis) 探討數值變數間線性關係的程度與方向的方法，共 變異數(covariance)與相關係數是用來瞭解兩變數間 線性關係的工具。 如果變數間無法區分出所謂的依變數(dependent variable)與自變數(或獨立變數)(independent variable) 時，則使用相關分析來探討變數間的線性關係；如 果變數是可以區分的話，則使用線性迴歸分析來探 討變數間的線性關係。
i 1
n
i
X )(Yi Y ) n 1
775 / 10 1 866.11
14.1.2 相關係數的意義
相關係數（correlation coefficient)乃是指皮爾生相關 係數（Pearson correlation coefficient) ，其用途在於 測量兩個數值變數間的線性關係。 當兩變數有相關存在，並不代表兩者一定存在因果 關係，但是當相關程度高的時候，彼此的預測能力 也高。
14.1.2 相關係數的意義(續1)
若X與Y為成對資料則母體相關係數可表為 1 N X i X Yi Y N i 1 XY N 1 N 1 2 2 X Y i X N i Y N i 1 i 1
14.1.2 相關係數的意義(續2)
N
i
X Yi Y N其中N代表母體總數。 Nhomakorabea X
n i 1
i
X Yi Y n 1
其中n代表樣本數。
14.1.1共變異數的意義(續1)
共變異數的性質
1. 共變異數的值介於-到之間。 2. X與Y的共變異數大於零，表示X與Y同方向變動。
3. X與Y的共變異數小於零，表示X與Y反方向變動。