甘肃省天水一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

甘肃省天水一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 直线√3x +3y ?1=0的倾斜角是( ) A. 120° B. 135° C. 150° D. 30°

2. 如果圆锥的底面半径为r ，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的表面积为( )

A. √2πr 2

B. (√2+1)πr 2

C. 13(√2+1)πr 2

D. 2

3πr 2 3. 已知直线l 1:(3+a)x +4y =5?3a 与l 2：2x +(5+a)y =8平行，则a 等于( )

A. ?7或?1

B. 7或1

C. ?7

D. ?1

4. 下列给出的函数中，定义域为R 且在R 上为偶函数的是( )

A. f(x)=3x?1

B. g(x)=?x|x|

C. ?(x)=x 12

D. φ(x)=lg(x 2+1)

5. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )

A. m//α，n//α，则m//n

B. m//n ，m//α，则n//α

C. m ⊥α，m ⊥β，则α//β

D. α⊥γ，β⊥γ，则α//β

6. 直线ax ?y +2a =0与圆x 2+y 2=1的位置关系是( )

A. 相离

B. 相交

C. 相切

D. 不确定 7. 函数f (x )=(12

)x ?x +2的零点所在的一个区间是( ) A. (0?,1) B. (1?,2) C. (2?,3) D. (3?,4)

8. 在正三棱柱ABC ? A 1B 1C 1中(底面是等边三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱)，已知AB =1，D

在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为( )

A. √

64 B. √

34 C. √

62 D. √

9. 已知空间直角坐标系Oxyz 中，点A(1,1，3)关于z 轴的对称点为A′，则A′点的坐标为( )

A. (?1,?1,?3)

B. (1,?1,?3)

C. (?1,?1,3)

D. (?1,1，3)

10. 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，P 是棱BC 上的动

点．记直线A 1P 与平面ABC 所成的角为θ1，与直线BC 所成的角为θ2，

则θ1，θ2的大小关系是( )

A. θ1=θ2

B. θ1>θ2

C. θ1<θ2

D. 不能

确定

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

11.如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动

点，则三棱锥P?ABC的正(主)视图与俯视图的面积之比的最大值为________．

12.已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(√2,2)，则f(1?x)的单调增区间为______ ．

13.若点P(x,y)在圆C：(x?2)2+y2=3上，则y

的最大值是______ ．

14.在三棱柱ABC?A1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直，且BA=1，BC=1，BB1=2，则三棱柱

ABC?A1B1C1的外接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

15.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．

(1)求此圆的标准方程；

(2)设P(x,y)为圆C上任意一点，求点P(x,y)到直线x?y+1=0的距离的最大值和最小值．

16.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，BB1=BC，B1C∩BC1=M，N为A1B的中点．

(Ⅰ)求证：直线MN//平面ABC；

(Ⅱ)求证：BC1⊥A1C.

17.已知四棱锥P?ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，

点M、N分别是棱AD、PC的中点．

(1)证明：MB⊥平面PAD；

(2)求点A到平面PMB的距离．

18.已知圆M：2x2+2y2?4y=23，直线l0：x+y=8，l0上一点A的横坐标为a，过点A作圆

M的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，D为线段BC的中点．

(1)当a=0时，求直线l1，l2的方程；

(2)当直线l1，l2互相垂直时，求a的值；

(3)是否存在点A，使得BC长为√10？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：

本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，基本知识的考查．求出直线的斜率．然后求解直线的倾斜角．

解：直线√3x+3y?1=0的斜率为：?√3

，直线的倾斜角为α，

则tanα=?√3

，因为倾斜角的范围为［00，1800)∴α=150°．

故选C．

2.答案：B

解析：

本题考查圆锥的表面积的求法，属于基础题．

由轴截面为等腰直角三角形得到母线长是√2r，代入公式得到结果．

解：∵圆锥的底面半径为r，轴截面为等腰直角三角形，

∴圆锥的母线为√2r，侧面展开图为半径为√2r，弧长为2πr扇形，

S 表=S

底

侧

=πr2+

×√2r×2πr

=πr2+√2πr2=(√2+1)πr2．

故选B．

3.答案：C

解析：

本题考查两条直线的平行关系的运用，属于基础题．运用两条性质的平行条件建立方程即可．

解：因为两条直线平行，

所以(3+a)(5+a)=8，

解答a=?7或?1．

当a=?1时，两条直线重合，

4.答案：D

解析：

本题考查了函数的定义域和奇偶性，根据定义域和奇偶性，逐一判定即可结论．

解：对于A，f(x)=3x?1的定义域为R，但既不是奇函数也不是偶函数，故A不符合题意；

对于B，g(x)=?x|x|的定义域为R，g(?x)=x|x|=?g(x)，所以g(x)为奇函数，故B不符合题意；对于C，?(x)=x12的定义域为[0,+∞)，故C不符合题意；

对于D，φ(x)=lg(x2+1)的定义域为R，φ(?x)=lg(x2+1)=φ(x)，是偶函数，故D符合题意，故选D．

5.答案：C

解析：

本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是基础题．

对每个选项，利用线面平行的关系判断线线平行，线面平行，面面平行的判定方法，可得结论．解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；

对于B，m//n，m//α，则n//α或n?α，故B不正确；

对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；

对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．

故选C．

6.答案：D

解析：解：直线ax?y+2a=0，化为(x+2)a?y=0，即直线过定点(?2,0)，显然和圆位置关系不确定．

直线过定点(?2,0)在圆外，和圆的位置关系不确定．

本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．

7.答案：C

解析：

本题主要考查零点存在性定理的应用，属于基础题．

根据函数零点的定义解题即可．

解：由函数f(x)=(12)x ?x +2，f(x)在R 上单调递减，

所以f(2)=(12)2?2+2=14>0,

f(3)=(12)3?3+2=?78<0，则f(2)?f(3)<0，

根据零点的存在定理，可知函数f(x)=(1

2)x ?x +2的零点所在的一个区间是(2?,?3)．

故选C ． 8.答案：A

解析：

本题考查直线与平面所成的角的求法，属于中档题．

利用正三棱柱的性质找出AD 在平面AA 1C 1C 内的射影，进而得到线面角，解直角三角形求出此角的正弦值．

解：如图，取C 1A 1、CA 的中点E 、F ，

连接B 1E 与BF ，则B 1E ⊥平面CAA 1C 1，

过D作DH//B1E，则DH⊥平面CAA1C1，连接AH，则∠DAH为所求的角，

DH=B1E=√3

，DA=√2，

所以sin∠DAH=DH

DA =√6

．

故选A．

9.答案：C

解析：

本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，空间直角坐标系Oxyz中，点(x,y，z)关于z轴的对称点为(?x,?y,z)．

解：空间直角坐标系Oxyz中，

点A(1,1，3)关于z轴的对称点为A′，

则A′点的坐标为(?1,?1,3)．

故选C．

10.答案：C

解析：

本题考查直线与平面所成的角及直线与直线所成的角，由题意得θ1=∠APA1,θ2=∠A1PB，过A1做BC垂线，交点为Q，则△AA1P与△A1PQ均为直角三角形且斜边相同，由于A1A

解：由题意得θ1=∠APA1,θ2=∠A1PB，过A1做BC垂线，交点为Q，

则△AA1P与△A1PQ均为直角三角形且斜边相同，

由于A1A

∴θ1<θ2．

故选C．

11.答案：2

解析：

本题考查三视图与直观图形的关系，正确处理正射影与射影图形是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．

由题意确定棱锥P?ABC的正视图的面积，三棱锥P?ABC的俯视图的面积的最小值，即可求出三棱锥P?ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值．

解析：

解：由题意可知，P在正视图中的射影是在C?1D?1上，

AB在正视图中，在平面CDD?1C?1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA?1=2，

所以三棱锥P?ABC的正视图的面积为1

×1×2=1

三棱锥P?ABC的俯视图的面积的最小值为1

2×1×1=1

，

所以三棱锥P?ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为1

=2，

故答案为2．

12.答案：(1,+∞)

解析：解：因为幂函数f(x)=x a的图象经过点(√2,2)，

所以(√2)a=2，解得a=2，

所以，f(x)=x2，

因此f(1?x)=(1?x)2=(x?1)2，

其图象为抛物线，且开口向上，对称轴为x=1，

所以，函数f(1?x)的单调增区间为(1,+∞)，

故答案为：(1,+∞)(也可填：[1,+∞))．

先根据图象所过的点求出函数解析式f(x)=x2，再根据二次函数的图象和性质求出函数f(1?x)的单调增区间．

本题主要考查了幂函数的单调性与特殊点，涉及二次函数的图象和性质，属于基础题．

13.答案：√3

解析：解：设k=y

，即y=kx，

则∵点P(x,y)在圆C：(x?2)2+y2=3上，

∴圆心(2,0)到直线kx?y=0的距离d≤√3，

≤√3，

即

√1+k2

平方得4k2≤3+3k2，

即k2≤3，

解得?√3≤k≤√3，

故y

的最大值是√3，

故答案为：√3．

设k=y

，即y=kx，根据直线和圆相切即可得到结论．

本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式和半径之间的关系是解决本题

的关键．

14.答案：6π

解析：解：∵BA，BC，BB1两两垂直，且AB∩BC=B，∴BB1⊥平面ABC，

直角△ABC的外接圆直径为AC=√AB2+BC2=√2，

所以，该三棱柱ABC?A1B1C1的外接球直径为2R=√BB12+AC2=√6．

因此，三棱柱ABC?A1B1C1的外接球的表面积为4πR2=π×(2R)2=6π．

故答案为：6π．

先证明BB1⊥平面ABC，计算出直角△ABC的外接圆直径AC，然后利用公式2R=√BB12+AC2可计算出外接球的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．

本题考查球体表面积的计算，考查直线与平面垂直的判定，考查计算能力与推理能力，属于中等题．15.答案：解：(1)由题意，结合图(1)可知圆心为(3,0)，r=2，所以圆C的标准方程为(x?3)2+y2=4．

(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线x?y+1=0，垂足为D．

=2√2，

由点到直线的距离公式可得|CD|=

√2

又P(x,y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2．

结合图形易知点P到直线x?y+1=0的距离的最大值为2√2+2，最小值为2√2?2．

解析：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的转化能力，正确转化是关键．

(1)确定圆心坐标与半径，可求圆C的方程；

(2)点P到直线x?y+1=0的距离转化为圆心到直线x?y+1=0的距离问题．

16.答案：证明(Ⅰ)因为直三棱柱ABC?A1B1C1，

则四边形BB1C1C和AA1C1C为平行四边形，即AC//A1C1．在□BB1C1C中，BC1∩B1C=M，则M为BC1的中点，

又N为A1B的中点，所以MN为△A1BC1的中位线，

故MN//A1C1，

又A1C1//AC，所以MN//AC，

由MN?ABC，AC?ABC，

所以MN//面ABC．

(Ⅱ)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，所以BB1⊥平面A1B1C1．又BB1?平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面A1B1C1，

又因为AB⊥BC，所以A1B1⊥B1C1．

由A1B1?平面A1B1C1，B1C1为交线．

所以A1B1⊥平面B1BCC1．

又BC1?平面B1BCC1，

所以A1B1⊥BC1．

又因为BB1=BC，则侧面B1BCC1为菱形，

故B?1C⊥BC1．

又A1B1∩B1C=B1，A1B1，B1C?面A1B1C.

所以BC1⊥平面A1B1C，

又A1C?平面A1B1C，

所以BC1⊥A1C

解析：本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(Ⅰ)推导出AC//A1C1，MN为△A1BC1的中位线，MN//A1C1，从而MN//AC，由此能证明MN//平面ABC．

(Ⅱ)推导出平面B1BCC1⊥平面A1B1C1，从而A1B1⊥B1C1，进而A1B1⊥平面B1BCC1，A1B1⊥BC1，由侧面B1BCC1为菱形，得B1C⊥BC1，从而BC1⊥平面A1B1C，由此能证明BC1⊥A1C.

17.答案：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，

∴PD⊥MB，

又∵底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，

∴MB⊥AD.又AD∩PD=D，∴MB⊥平面PAD．

(2)解：∵M是AD中点，∴点A与D到平面PMB等距离．

过点D作DH⊥PM于H，

∵平面PMB⊥平面PAD，∴DH⊥平面PMB．

∴DH是点D到平面PMB的距离．

∵DH=a

×a

√5

=√5

a．

∴点A到平面PMB的距离为√5

a．

解析：(1)由已知条件推导出PD⊥MB，MB⊥AD.由此能证明MB⊥平面PAD．

(2)过点D作DH⊥PM于H，由已知条件推导出DH是点D到平面PMB的距离．由此能求出点A到平面PMB的距离．

本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

18.答案：解：(1)圆M：，圆心为M(0,1)，半径为5

√2

，A(0,8)，设切线的方程为y=kx+8，

圆心距d=7

√k2+1=5

√2

．

∴k =±√735，所求直线l 1，l 2的方程为√73x ?5y +40=0或√73x +5y ?40=0．

(2)当l 1⊥l 2时，四边形MCAB 为正方形，

∴AM =√2MB =√2×5

√2=5．

A(a,8?a)，M(0,1)，则√a 2+(7?a)2=5，

即a 2?7a +12=0，

∴a =3或a =4．

(3)若BC =√10，则BD =√102，MB =√2， ∴MD =√10，

又MB 2=MD ·MA ，

．

∵圆心M 到直线l 0的距离为

，

∴点A 不存在．

解析：

【分析】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

(1)利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，即可求直线l 1，l 2的方程；

(2)当直线 l 1，l 2互相垂直时，四边形MCAB 为正方形，即可求a 的值；

(3)BC =√10，即可求出BD ，MB ，MD ，又利用MB 2=MD ·MA ，求得MA ，利用圆心M 到直线l

的距离为

，即可得出结论．