2018年辽宁省沈阳市和平区初中学生学业水平(升学)第二次模拟考试(解析版)
2018年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分） 1．（2分）在：0，﹣2，1，这四个数中，最小的数是（ ） A ．0
B ．﹣2
C ．1
D ．
2．（2分）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm ，0.0007用科学记数法表示为（ ） A ．0.7×10﹣3
B ．7×10﹣3
C ．7×10﹣4
D ．7×10﹣5
3．（2分）下列计算正确的是（ ） A ．a ?a 2＝a 3
B ．（a 3）2＝a 5
C ．a +a 2＝a 3
D ．a 6÷a 2＝a 3
4．（2分）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．（2分）一元二次方程x 2+2x +4＝0的根的情况是（ ） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根
6．（2分）估计的值在（ ） A ．2和3之间
B ．3和4之间
C ．4和5之间
D ．5和6之间
7．（2分）右图是某市10月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”．在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A ．13，13
B ．14，14
C ．13，14
D ．14，13
8．（2分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A ．255分
B ．84分
C ．84.5分
D ．86分
9．（2分）如图，已知⊙O 的周长等于6πcm ，则它的内接正六边形ABCDEF 的面积是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．27
10．（2分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，P 是AB 边上一动点，PD ⊥
AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连结CE ．P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E
到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况
是（）
A．一直减小B．一直不变
C．先增大后减小D．先减小后增大
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）＝．
12．（3分）某同学的身高为1.4m，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m．此时，与他相邻的一棵小树的影长为3.6m，这棵树的高度为m．
13．（3分）若点（x
1，y
1
）、（x
2
，y
2
）和（x
3
，y
3
）分别在反比例函数y＝﹣的图象上，
且x
1＜x
2
＜0＜x
3
，则y
1
，y
2
，y
3
的大小关系是．
14．（3分）按一定规律排列的一列数依次为，，，，……，按此规律排列下去，这列数的第10个数是．
15．（3分）如图所示是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行且与地面成37°角的楼梯AD，BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝4.8m，引桥水平跨度AC＝8m．则水平平台DE的长度约为m（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2），其中a＝﹣1，b＝1．18．（8分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．19．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F在对角线上，BE＝DF，连接AF，CE，且AF＝CE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）某校为了调查学生书写规范汉字的能力，从七年级1000名学生中随机抽选了
部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图（尚不完整）．学生书写规范汉字的能力测试成绩统计表
组别成绩x分频数（人数）
第1组x＜60 4
第2组60≤x＜70 a
第3组70≤x＜80 20
第4组80≤x＜90 b
第5组90≤x＜100 10
请结合图表完成下列各题：
（1）表中a的值为，b的值为；扇形统计图中表示第1组所对应的圆心角度数为度；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校七年级学生中随机抽查一个学生，他的测试成绩为优秀的概率是；
（3）若测试成绩在60?80分之间为合格，请你估计该校七年级学生的测试成绩为合格的人数．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为上的点，且＝，延长AD，BC相交于点E，连接OD交AC于点F．
（1）求证：△ABC≌△AEC；
（2）若OA＝3，BC＝4，求AD的长．
五、（本题10分）
22．（10分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种玩具共50件，且总费用不超过1000元，求甲种玩具至少要购买多少件？
六、（本题10分）
23．（10分）如图1，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中E，F在AB上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图2所示），形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒，设GF＝x（cm）．
（1）请直接写出线段BF的长（用含x的代数式表示）；
（2）若折成的长方体盒子的底面面积为1250cm2，求长方体盒子的高；
（3）若某广告商要求折成的长方体盒子侧面积S（cm2）最大，求上盖中四个全等的等腰直角三角形的腰长．
七、（本题12分）
24．（12分）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、
E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC；
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，点A（m，n）是抛物线y＝x2上的任意一点（m＞0）．直线y＝kx+b经过点A，交y轴于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，∠ABO的平分线交x轴于点D，交AC 延长线于点E，且AD⊥BE．
（1）求证：AB＝AE；
（2）求点D的坐标（用含m的代数式表示）并求OB的长；
（3）若60°≤∠BAE＜90°，且n是整数．
①直接写出满足条件的所有k的值；
②当k取最大值时，在x轴上找一点P，使tan∠APB＝，直接写出此时OP的长．
2018年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）在：0，﹣2，1，这四个数中，最小的数是（）
A．0 B．﹣2 C．1 D．
【分析】根据有理数大小比较的法则解答．
【解答】解：∵在0，﹣2，1，这四个数中，只有﹣2是负数，
∴最小的数是﹣2．
故选：B．
【点评】本题很简单，只要熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数即可．2．（2分）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（）A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0007＝7×10﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2分）下列计算正确的是（）
A．a?a2＝a3B．（a3）2＝a5C．a+a2＝a3D．a6÷a2＝a3
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a?a2＝a3，正确；
B、应为（a3）2＝a3×2＝a6，故本选项错误；
C、a与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误
D、应为a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
4．（2分）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：x＞3，
在数轴上表示不等式组的解集为：
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式（组）的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集．
5．（2分）一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
6．（2分）估计的值在（）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】估算确定出范围即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
则的值在3和4之间，
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
7．（2分）右图是某市10月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”．在这组数据中，众数和中位数分别是（）
A．13，13 B．14，14 C．13，14 D．14，13
【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：温度为14℃的有2天，最多，故众数为14℃；
7天温度排序为：10，11，12，13，14，14，15，
位于中间位置的数是13，故中位数为13℃，
故选：D．
【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8．（2分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）
A．255分B．84分C．84.5分D．86分
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：85×+80×+90×＝17+24+45＝86（分），
故选：D．
【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．
9．（2分）如图，已知⊙O的周长等于6πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）
A ．
B ．
C ．
D ．27
【分析】首先过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OB ，由⊙O 的周长等于6πcm ，可得⊙O 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案． 【解答】解：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OB ， ∴AH ＝AB ，
∵⊙O 的周长等于6πcm ， ∴⊙O 的半径为：3cm ，
∵∠AOB ＝×360°＝60°，OA ＝OB ， ∴△OAB 是等边三角形， ∴AB ＝OA ＝3cm ， ∴AH ＝cm ， ∴OH ＝＝（cm ），
∴S 正六边形ABCDEF ＝6S △OAB ＝6××3×＝（cm 2）． 故选：C ．
【点评】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 10．（2分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，P 是AB 边上一动点，PD ⊥
AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连结CE ．P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E
到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况是（ ）
A ．一直减小
B ．一直不变
C ．先增大后减小
D ．先减小后增大
【分析】设PD ＝x ，AB 边上的高为h ，想办法求出AD 、h ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2， ∴AB ＝＝＝2，设PD ＝x ，AB 边上的高为h ，
h ＝＝，
∵PD ∥BC ， ∴＝，
∴AD＝2x，AP＝x，
∴S
1+S
2
＝?2x?x+（2﹣1﹣x）?＝x2﹣2x+4﹣＝（x﹣1）2+3﹣，
∴当0＜x＜1时，S
1+S
2
的值随x的增大而减小，
当1≤x≤2时，S
1+S
2
的值随x的增大而增大．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）＝ 4 ．
【分析】直接利用求出立方根求解即可．
【解答】解：∵4的立方为64，
∴64的立方根为4
∴＝4．
【点评】本题考查的是简单的开立方问题，注意正负号即可．
12．（3分）某同学的身高为1.4m，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m．此时，与他相邻的一棵小树的影长为3.6m，这棵树的高度为 4.2 m．
【分析】设这棵树高度为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关于h的方程，求出h的值即可．
【解答】解：设这棵树高度为hm，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，
解得h＝4.2．
故答案为：4.2．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
13．（3分）若点（x
1，y
1
）、（x
2
，y
2
）和（x
3
，y
3
）分别在反比例函数y＝﹣的图象上，
且x
1＜x
2
＜0＜x
3
，则y
1
，y
2
，y
3
的大小关系是y
3
＜y
1
＜y
2
．
【分析】根据k＝﹣2＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大判断y
1与y
2
的大小以及y
3
的符号，判断即可．【解答】解：∵k＝﹣2，
∴x
1＜x
2
＜0时，0＜y
1
＜y
2
，
∵x
3
，＞0，
∴y
3
＜0，
∴y
3＜y
1
＜y
2
，
故答案为：y
3＜y
1
＜y
2
．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．（3分）按一定规律排列的一列数依次为，，，，……，按此规律排列下去，这列数的第10个数是．
【分析】分析题中数据可知第n个数的分子为n2+1，分母为（n+1）2﹣1．故可求得第n个数是，于是得到结论．
【解答】解：第一个数的分子为12+1＝2，分母为22﹣1；
第二个数的分子为22+1＝5，分母为32﹣1；
第三个数的分子为32+1＝10，分母为42﹣1；
第n个数的分子为n2+1，分母为（n+1）2﹣1．
所以第n个数是，
∴这列数的第10个数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．分别得到分子和分母与数序之间的关系．
15．（3分）如图所示是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行且与地面成37°角的楼梯AD，BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝4.8m，引桥水平跨度AC＝8m．则水平平台DE的长度约为 1.6 m（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【分析】如图，延长BE交AC于M．设DE＝xm．在Rt△BCM中求出CM，再根据AC＝8，构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长BE交AC于M．设DE＝xm．
∵AD∥EM，DE∥AM，
∴DE＝AM＝x（m），
在Rt△BCM中，∵tan37°＝，
∴CM＝＝6.4（m），
∵AC＝8m，
∴x+6.4＝8，
∴x＝1.6（m），
故答案为1.6．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为1或．
【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，得出AM＝BN＝AD＝1，由勾股定理得到A′N＝0，求得A′M＝1，再由勾股定理解得A′E即可；
②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′＝30°，由三角函数求出AE＝A′E
＝A′B×tan30°；即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴AM＝BN＝AD＝1，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，
∴A′N＝＝0，即A′与N重合，
∴A′M＝1，
∴A′E2＝EM2+A′M2，
∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，
解得：A′E＝1，
∴AE＝1；
②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B＝2PB，
∴∠PA′B＝30°，
∴∠A′BC＝30°，
∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；
综上所述：AE的长为1或；
故答案为：1或．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2），其中a＝﹣1，b＝1．
【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式的法则去括号，然后合并同类项，把原式化成最简式，最后把a、b的值代入求解即可．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2），
＝a2﹣b2+b2﹣2b，
＝a2﹣2b，
当a＝﹣1，b＝1时，
原式＝（﹣1）2﹣2×1＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
18．（8分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F在对角线上，BE＝DF，连接AF，CE，且AF＝CE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】利用全等三角形的性质证明∠ABF＝∠CDE，推出AB∥CD即可解决问题．
【解答】证明：∵DF＝BE，
∴DF+BD＝BE+DE，
即BF＝DE，
在△AFB和△CED中，
，
∴△AFB≌△CED（SSS），
∴∠ABF＝∠CDE，
∴AB∥CD，∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）某校为了调查学生书写规范汉字的能力，从七年级1000名学生中随机抽选了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图（尚不完整）．学生书写规范汉字的能力测试成绩统计表
组别成绩x分频数（人数）
第1组x＜60 4
第2组60≤x＜70 a
第3组70≤x＜80 20
第4组80≤x＜90 b
第5组90≤x＜100 10
请结合图表完成下列各题：
（1）表中a的值为 3 ，b的值为13 ；扇形统计图中表示第1组所对应的圆心角度数为28.8 度；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校七年级学生中随机抽查一个学生，他的测试成绩为优秀的概率是46% ；
（3）若测试成绩在60?80分之间为合格，请你估计该校七年级学生的测试成绩为合格的人数．
【分析】（1）根据3组的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以第4组所占的百分比求出b；再用总的人数减去其它组的人数求出a；用360°乘以第一小组所占的百分比，即可得出第一小组所对应的圆心角度数；
（2）利用概率公式直接计算结果即可；
（3）先求出随机调查不合格人数的概率，再乘以总人数即可得到答案．
【解答】解：（1）抽查的学生总人数是：20÷40%＝50（人），
b＝50×26%＝13，
a＝50﹣4﹣20﹣13﹣10＝3；
第一小组所对应的圆心角度数为：×360°＝28.8°；
故答案为：3，13，28.8°；
（2）根据题意得：×100%＝46%，
故答案为46%；
（3）随机调查不合格人数的概率为×100%＝8%，
估计该校七年级学生规范汉字书写不合格的人数为8%×1000＝80（人）．
【点评】本题考查了频数分布直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为上的点，且＝，延长AD，BC相交于点E，连接OD交AC于点F．
（1）求证：△ABC≌△AEC；
（2）若OA＝3，BC＝4，求AD的长．
【分析】（1）根据ASA证明即可．
（2）连接BD交OC于K，作OH⊥BC于H．求出OK的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵AB是直径，
∠ACB＝∠ACE＝90°，
∵AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（ASA）．
（2）连接BD交OC于K，作OH⊥BC于H．
∵OH⊥BC，
∴CH＝HB＝2，
∵OB＝3，
∴OH＝＝，
∵＝，
∴OC⊥BD，DK＝KB，
∵?BC?OH＝?OC?BK，
∴BK＝，
∴OK＝＝，
∵OA＝OB，DK＝KB，
∴AD＝2OK＝．
【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考常考题型．
五、（本题10分）
22．（10分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种玩具共50件，且总费用不超过1000元，求甲种玩具至少要购买多少件？
【分析】（1）设每件甲种玩具的进价为x元，则每件乙种玩具的进价为（40﹣x）元，根据数量＝总价÷单价结合用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买甲种玩具m件，则购买乙种玩具（50﹣m）件，根据总费用＝单价×数量结合总费用不超过1000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设每件甲种玩具的进价为x元，则每件乙种玩具的进价为（40﹣x）元，依题意，得：＝，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴40﹣x＝25．
答：每件甲种玩具的进价为15元，每件乙种玩具的进价为25元．
（2）设购买甲种玩具m件，则购买乙种玩具（50﹣m）件，
依题意，得：15m+25（50﹣m）≤1000，
解得：m≥25．
答：甲种玩具至少要购买25件．
【点评】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．六、（本题10分）
23．（10分）如图1，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中E，F在AB上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图2所示），形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒，设GF＝x（cm）．
（1）请直接写出线段BF的长（用含x的代数式表示）；
（2）若折成的长方体盒子的底面面积为1250cm2，求长方体盒子的高；
（3）若某广告商要求折成的长方体盒子侧面积S（cm2）最大，求上盖中四个全等的等腰直角三角形的腰长．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可得出EF的长，再结合BF＝（AB﹣EF）即可求出线段BF的长（用含x的代数式表示）；
（2）由底面的面积可求出GH的长，由GH＝FP可得出FP的长，利用等腰直角三角形的性质可求出BF的长，结合（1）的结论可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，此问得解；
（3）由（1）的结论结合等腰直角三角形的性质可得出FP的长，利用矩形的面积公式可得出S＝﹣4x2+120x，配方后可得出当x＝15时S取得最大值，将x的值代入BF＝30﹣中即可求出结论．
【解答】解：（1）∵△GEF为等腰直角三角形，GF＝xcm，
∴EF＝xcm．
又∵BF＝AE，AB＝60cm，
∴BF＝（AB﹣EF）＝（60﹣x）＝30﹣（cm）．
＝1250cm2，
（2）∵S
正方形GHMN
∴GH＝＝25cm，
∴FP＝25cm．
∵△BFP为等腰直角三角形，
∴BF＝FP＝25cm，
∴（60﹣x）＝25，
解得：x＝5．
∴当折成的长方体盒子的底面面积为1250cm2时，长方体盒子的高为5cm．
（3）∵BF＝（30﹣）cm，△BFP为等腰直角三角形，
∴FP＝BF＝（30﹣x）cm，
∴S＝4GF?FP＝﹣4x2+120x＝﹣4（x﹣15）2+1800．
∵﹣4＜0，
∴当x＝15时，S取得最大值，此时BF＝30﹣＝15cm．
∴当长方体盒子侧面积S（cm2）最大时，上盖中四个全等的等腰直角三角形的腰长为15cm．
【点评】本题考查了列代数式、等腰直角三角形、正方形的性质、解一元一次方程、二次函数的最值以及长方体的侧面积，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质，用含x的代数式表示出EF；（2）利用等腰三角形的性质及正方形的面积，找出BF的长；（3）利用二次函数的性质，找出当长方体盒子侧面积S取最大值时x的值．
七、（本题12分）
24．（12分）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、
E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC；
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．
【分析】（1）根据SAS即可证明；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
（3）如图4中．取AC的中点M．利用相似三角形的性质证明DM＝AD，推出BD+AD＝BD+DM，推出当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）．
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝2，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝+1．
②如图3中，当点E，F在边AB上时．