山西省2018届高考考前适应性测试(理数)
山西省2018届高考考前适应性测试
数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填
写在答题卡指定区域内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求. 1．已知单元素集合(){}
2|210A x x a x =-++=，则a =
A ． 0
B ． -4
C ． -4或1
D ．-4或0
2．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖
地，则不同的分工共有
A ．6种
B ． 12种
C ．18种
D ．24种 3．已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
4．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==u u u r u u u r
，则
向量BF =u u u r
A ．1233a b +
B ．1233a b --
C ．1233a b -
D ．1233
a b -+
5．已知抛物线2
:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若
0
A ．()0,1
B ．(),0-∞
C ．()1,+∞
D ．{}1
6．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底
面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相 对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与 底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四
面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，51==AC AA ，
4,3==BC AB ，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是
A ．25π
B ． 50π C. 100π D ．200π
7．若,x y 满足约束条件44030
y x x y x y ≤?
?
+-≥??+-≤?
，则1x y +的取值范围是
A ．5,113?????? B
．13,115???
??? C ．3,115?????? D ．15,113??
????
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是10，则与输出结
果S 的值最接近的是
A ．55e
B ．45e
C ．36e
D ．28e 9．在ABC ?中，点D 为边AB 上一点，若23,=⊥AC CD BC ，
3
3
sin ,3=
∠=ABC AD ，则ABC ?的面积是 A ．922 B ．1522 C ．62 D ．122
10．某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A 站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A 站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A 站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是
A ．
512 B ．13 C ．14 D ．16
11．如图，Rt ABC ?中，,6,2AB BC AB BC ⊥==，若其顶点A 在x
轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动.设顶点C 的横坐标非负，纵 坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数()y f θ=的图象大致是
12．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,01
22,1
x
x x f x x ?-+≤<=?-≥?，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 A ．
13 B ．13- C ． 1
2
- D ．-1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上。
13．在复平面内，复数()
228z m m m i =+--对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围
是 ． 14．已知tan 24πα??
+=-
???
，则1sin 2cos 2αα-= ． 15．过双曲线()22
22:10,0x y E a b a b
-=>>的右焦点，且斜率为
2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率
的取值范围是 ．
16．一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长
为1，则该正方体的体积是 ．
三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）
已知等比数列{}n a 中，*112
11120,,,64n n n n a a n N a a a ++>=-=∈. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2
2)(log )1(n n n a b ?-=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .
18．（12分）
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元.该公司包裹重量（单位：kg ）
1 2 3 4 5 包裹件数 43
30
15
8
4
包裹件数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500 包裹件数（近似处理）
50 150 250 350 450 天数
6
6
30
12
6
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目
前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
19．（12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，
//,AF DE AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD .
（1）求证：AF CD ⊥； （2）若01
60,2
BAD AF AD ED ∠===
，求二面角 A FB E --的余弦值.
20．（12分）
已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点21,2? ??，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的方程；
（2）若,,A B P 为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，
且OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
，求证：四边形OAPB 的面积为定值. 21．（12分）
已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈. （1）当1
2
m =-
时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围； （2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，
作答时请用2B 铅笔在答题卡将所选题号的方框涂黑。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θ
θ
=??
=?（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲
线1C 经过伸缩变换：3x x
y '=???'=??得到曲线2C .
（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；
（2）若直线cos :sin x t l y t α
α
=??
=?（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且21AB =-，求α的
值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数()()1f x x a a R =--∈.
（1）若()f x 的最小值不小于3，求a 的最大值；
（2）若()()2g x f x x a a =+++的最小值为3，求a 的值.
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5: DBDDA 6-10: BCCCD 11、12：AB
二、填空题
13. ()2,0- 14. 1
2
-
15. (
16. 4
三、解答题
17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为
12112n n n a a a ++-=，所以11
111112
n n n a q a q a q -+-=， 因为0q >，解得2q =， 所以17*1
22,64
n n n a n N --=
?=∈； （2）()()()(
)()()2
2
2
7221log 1log 217n
n
n
n n n b a n -=-=-=--g g g ，
设7n c n =-，则()()2
1n
n n b c =-g ，
()()()()()()222222212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --????=++++++=-++-+++-+????
L L
()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++L
()()2123421226272132132
n n n n c c c c c c n n n n --+-????
=++++++=
=-=-L .
18.解：（1）样本中包裹件数在101400:之间的天数为48，频率484
605
f ==， 故可估计概率为
45
， 显然未来3天中，包裹件数在101400:之间的天数X 服从二项分布，
即43,5X B ?? ???:，故所求概率为2
23414855125
C ????=
???； （2
故样本中每件快递收取的费用的平均值为
104315302015258304
15100
?+?+?+?+?=（元）
， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.
②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加1
1553
?=（元）
， 包裹件数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500 包裹件数（近似处理）
50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 频率
0.1 0.1 0.5
0.2
0.1
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数（近似处理）
50 150 250 350 450 实际揽件数Y
50 150 250 350 450 频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
EY
500.11500.12500.53500.24500.1260?+?+?+?+?=
故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数（近似处理）
50 150 250 350 450 实际揽件数Z
50 150 250 300 300 频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
EY
500.11500.12500.53000.23000.1235?+?+?+?+?=
故公司平均每日利润的期望值为（元）
因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.
19.（1）证明：
连接AC ，由四边形ABCD 为菱形可知AC BD ⊥， ∵平面BED ⊥平面ABCD ，且交线为BD ， ∴AC ⊥平面BED ，∴AC ED ⊥， 又//AF DE ，∴AF AC ⊥，
∵,AC AD A AF AD ⊥=I ，∴AF ⊥平面ABCD ， ∵CD ?平面ABCD ，∴AF CD ⊥；
（2）解：设AC BD O =I ，过点O 作DE 的平行线OG ， 由（1）可知,,OA OB OG 两两互相垂直， 则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
设()1
202
AF AD ED a a ==
=>，则)
()()
()3,0,0,0,,0,3,0,2,0,,4A a B a F a a E a a -， 所以()
()())
3,,0,0,0,2,0,2,4,3,,2AB a a AF a BE a a BF a a a =-==-=
-u u u r u u u r u u u r u u u r ，
设平面ABF 的法向量为(),,m x y z =u r ，则00
m AB m AF ?=??=??u r u u u r
g u r u u u r
g ，即30
20x y z ?+=??=??，
取y =
()
m =u r
为平面ABF 的一个法向量，
同理可得()0,2,1n =r
为平面FBE 的一个法向量.
则cos ,m n =
= 又二面角A FB E --
的平面角为钝角，则其余弦值为5
-
. 20.解：（1
）由已知得1,2c a ===
∴1a b ==，则E 的方程为2
212
x y +=； （2）当直线AB 的斜率不为零时，可设:AB x my t =+代入2
212
x y +=得： ()2
222220m
y mty t +++-=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则212122222
,22
mt t y y y y m m -+=-=++，
()2282m t ?=+-，
设(),P x y ，由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
，得
()1212121222
24,222
mt t
y y y x x x my t my t m y y t m m =+=-
=+=+++=++=++， ∵点P 在椭圆E 上，∴()()222
22221641222t m t m m +=++，即()()222
24212t m m +=+，∴2242t m =+，
AB ===
原点到直线x my t =
+的距离为d =
∴四边形OAPB
的面积：1222OAB
S S AB d ?==??=
==. 当AB
的斜率为零时，四边形OAPB
的面积112222
S =?
?=，
∴四边形OAPB 的面积为定值
2
21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，
当12
m =-时，()2
ln g x a x x =+，所以()222a x a g x x x x +'=+=，
①当0a =时，()2,0g x x x =>时无零点，
②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，
取1
0a
x e -=，则2
1110a
a g e e --????=-+< ? ?????
，
因为()11g =，所以()()010g x g ③当0a <时，令()0g x '=，解得x = 当0x <<()0g x '<，所以()g x 在? ?上单调递减； 当x >()0g x '>，所以()g x 在?+∞??? 上单调递增. 要使函数()f x 有一个零点，则02 a g a ==即2a e =-， 综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >； （2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x --'=-++ =， ①若102m << ，则1,2x m ??∈+∞ ???时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ?? +∞ ??? 上是增函数，且()1,2h x h m ?? ??∈+∞ ? ? ???? ，所以不符题意. ②若1 2 m ≥ ，则()1,x ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且 ()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意. ③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤. 综上，m 的取值范围是[]1,0-. 22.解：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥， 把,3x x y y ''==代入上述方程得，()22 103 y x y '''+=≥， ∴2C 的方程为()2 2 103 y x y +=≥， 令cos ,sin x y ρθρθ==， 所以2C 的极坐标方程为[]()222223 0,3cos sin 2cos 1 ρθπθθθ= =∈++； （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈， 由1ρθα=??=? ，得1A ρ=， 由22 32cos 1ρθθα?=?+??=? ，得B ρ=， 11=，∴1 cos 2 α=± ， 而[]0,απ∈，∴3 π α= 或 23 π. 23.解：（1）因为()()min 1f x f a ==-，所以3a -≥，解得3a ≤-，即max 3a =-； （2）()()212g x f x x a a x x a =+++=-++， 当1a =-时，()310,03g x x =-≥≠，所以1a =-不符合题意， 当1a <-时，()()()()()()()12,12,112,1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-??=--+≤<-??---+ ，即()312,12,1312,1 x a x a g x x a x a x a x -+≥-?? =---≤<-??-+- 所以()()min 13g x g a a =-=--=，解得4a =-， 当1a >-时，同法可知()()min 13g x g a a =-=+=，解得2a =， 综上，2a =或-4.