椭圆各类题型分类汇总

椭圆各类题型分类汇总文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

椭圆经典例题分类汇总

1. 椭圆第一定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值． 例3 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．

例5 已知动圆P 过定点()03，

-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 2.焦半径及焦三角的应用

例1 已知椭圆13

42

2=+

y

x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

例2 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b y a x ，长轴

端点为

1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，

θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）．

3.第二定义应用

例1 椭圆112

162

2=+

y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

例2 已知椭圆1422

22=+b

y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距

离．

例3 已知椭圆15

92

2=+

y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．

(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22

3

PF PA +

的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用

例1 求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．

例2 (1)写出椭圆1492

2=+

y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例3 椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使

AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围． 5.相交情况下--弦长公式的应用

例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点 （2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2，求直线的方程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为

3

π

的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 6.相交情况下—点差法的应用

例1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为

AB 中点，OM 的斜率为，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点???

??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．

例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点??

?

??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1

-=?OQ OP k k ，

求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

例4 已知椭圆13

42

2=+

y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．

例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19

362

2=+

y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 椭圆经典例题分类汇总

1.椭圆第一定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，

A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11

42

2=+

y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116

42

2=+

y x ；

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2

1

=

e ，得4=k ．

当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．

由21=

e ，得4191=-k ，即4

5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45

-=k ．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

例5 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由??

?

??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明：本题易出现如下错解：由???<-<-,

03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表

示椭圆．

例6 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

解：方程可化为1cos 1sin 122=+α

αy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1

cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43

,2(

ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1

>-α，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 1

2=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中

的条件πα<≤0

例5 已知动圆P 过定点()03，

-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7342

2

=-=b 的椭圆的方程：17

162

2=+

y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 2.焦半径及焦三角的应用

例1 已知椭圆13

42

2=+

y

x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知

条件得

2=a ，3=b ，∴1=c ，2

1

=

e ．

∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：

111212x ex a MF -=-=，1122

1

2x ex a MF +=+=． ∵2

12MF MF MN ?=，∴()??

? ??+??? ??-=+112

12122124x x x ． 整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5

12

1-

=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．

例2 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，

2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用

C ab S sin 2

1

=

?求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2

221PF PF +=12PF -·

224cos c PF =α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2

得 α

cos 12221+=?b PF PF ． 故αsin 21212

1PF PF S PF F ?=? ααsin cos 12212+=

b 2

tan 2α

b =． 3.第二定义应用

例1 椭圆112

162

2=+

y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率2

1

=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e

AM 1

+

均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2

1

=e ，右准

线

8=x l ：．

过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故

MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()

332，M ．

说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，2

1

=

e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．

例2 已知椭圆1422

22=+b

y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距

离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

解法一：由142222=+b

y b x ，得b a 2=，b c 3=，23

=e ．

由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得

b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，

e d PF =1

1，1d 为P 到左准线的距离，

∴b e

PF d 3211==

，

即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵

e d PF =2

2，2d 为P 到右准线的距离，2

3==

a c e ， ∴

b e

PF d 33222==

．又椭圆两准线的距离为b c a 3

3

822=?． ∴P 到左准线的距离为

b b b 323

3

2338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

例3 已知椭圆15

92

2=+

y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．

(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22

3

PF PA +

的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：

(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由

6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴

26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组???=+=-+4595,022

2y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214

15

75,2141579(2

-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，

2PF PA +取最大值26+．

(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，

2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知3

2

2==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+

22

3

，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29

=x ．

∴A 到右准线距离为27

．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足

条件的点P 坐标)1,5

5

6(

． 说明：求21

PF e

PA +

的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段． 4.参数方程应用

例1 求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．

分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

解：椭圆的参数方程为???==.

sin cos 3θθy x ，

设椭圆上的点的坐标为

(

)

θθsin cos 3，，则点到

直线的距离为

2

63sin 226sin cos 3+??

? ??-=

+-=

θπθθd ． 当13sin -=??

?

??-θπ时，22=最小值d ．

说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

例2 (1)写出椭圆14

92

2=+

y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

解：(1) ???==θ

θ

sin 2cos 3y x )(R ∈θ．

(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设

)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π

<θ<，

则122sin 12sin 2cos 34≤=??=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

例3 椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使

AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．

分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为

P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是?

??==θθ

sin cos b y a x )0(>>b a ，

则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴

1cos sin cos sin -=-?a

a b a b θθ

θθ，

即0cos cos )(2

2

2

2

2

=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或2

22

cos b a b -=θ，

∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），112

22<-<-b a b ，又2

22c a b -= ∴2022

<

a ，∴22>e ，又10<

122<

2

(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明

5.相交情况下--弦长公式的应用

例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点 （2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()142

2=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*********

≥+-=-??-=?m m m ，解得

2

525≤≤-

m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5

221m

x x -

=+，5

1221-=m x x ．

根据弦长公式得 ：5102514521122

2

=-?

-??

? ??-?+m m ．解得0=m ．方程为x y =．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用

弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过

程．

例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为

3

π

的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，

所以椭圆方程为19

362

2=+

y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=?++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以

1337221-

=+x x ，13

8

3621?=x x ，3=k ， 从而13

48

]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为19

362

2=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．

在21F AF ?中，3

cos

22112

212122π

F F AF F F AF AF -+=，即

21362336)12(22???-?+=-m m m ；

所以346-=

m ．同理在21F BF ?中，用余弦定理得3

46+=n ，所以1348

=+=n m AB ．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=?++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．

再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB += 6.相交情况下—点差法的应用

例1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为

AB 中点，OM 的斜率为，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为1222

=+y a

x ，

由?????=+=-+1012

22y a

x y x ，得()0212

22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2

11

1a x y M M +=-=， 41

12===

a

x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14

22

=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点??

?

??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．

分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?

?

-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得

()()

02

3

21222122

2

2

=+-+--+k k x k k

x k ．

由韦达定理得2

2212122k k

k x x +-=+．

∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21

-=k ．

所以所求直线方程为0342=-+y x ．

分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：

2

12

1x x y y --． 解法二：设过??

?

??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得

①－②得02

2

2212

221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得

212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2

1

-． 所求直线方程为0342=-+y x ． 说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点??

?

??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1

-=?OQ OP k k ，

求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则

①－②得

()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．

由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()022

1212121=-+++x x y y y y x x ，

将③④代入得022

12

1

=--+x x y y y x ．⑤ （1）将21=

x ，2

1

=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为：

0342=-+y x ． ⑥

将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=-

-y y ，04

1

6436>??-=?符合题意，0342=-+y x 为所求．

（2）将

22

12

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将2

1

2121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得 ： ()

22

2

2212

221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122

22124y y y y y -=+， ⑨

将⑧⑨代入⑦得：

()

2244

242122

12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=???

??--+-x x y x x x ， 即

12

12

2

=+y x ．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例4 已知椭圆13

42

2=+

y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．

利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．

解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于

),(00y x M 点．

∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组???????

=++-=,134,41

22y

x n x y 消去y 得

0481681322=-+-n nx x ①。∴13821n x x =

+．于是13

42210n

x x x =+=，13

124100n

n x y =

+-=， 即点M 的坐标为)1312,

134(n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n

n +?=13

44．解得m n 413

-=． ②

将式②代入式①得048169261322=-++m mx x ③

∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(22>-?-=?m m ．解得

13

13

213132<<-

m ． (法2)同解法1得出m n 413-

=，∴m m x -=-=)4

13

(1340， m m m m x y 34

13

)(414134100-=--?-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --．

∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部，∴13)3(4)(2

2<-+-m m ．解得13

13

213132<<-

m ． (法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．

∵A ，B 在椭圆上，∴13

42

12

1=+y

x ，1342

22

2=+y x ．两式相减得

0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，

即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x ．∴

)(43210

0212

1x x y x x x y y ≠-=--． 又∵直线l AB ⊥，∴1-=?l AB k k ，∴14430

-=?-

y x ，即003x y = ①。 又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②。由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0>?，建立参数方程．

(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足12

020<+b

y

a x ，将0x ，0y 利用参数表

示，建立参数不等式．

例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19

362

2=+

y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或

x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出

21x x +，21x x (或21y y +，21y y )的值代入计算即得．

并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是

经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得

036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①

设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴

1

4)

24(82

21+-=

+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点，∴14)24(4242

21+-=+=

k k k x x ，2

1

-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ．

方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴

821=+x x ，421=+y y ．

又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642

222=+y x 两式相减得

0)(4)(2

22

12

22

1=-+-y y x x ，

即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴

2

1

)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --．

∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①。 36)4(4)8(22=-+-y x ② 从而A ，B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为082=-+y x ．

说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．

若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程