【人教版】九年级上学期数学《期末考试试题》及答案
人教版九年级上学期期末考试
数学试卷
一、选择题
1.抛物线y=-(x+2)2+3的顶点坐标是( )
A. (-2,3)
B. (2,3)
C. (2,-3)
D. (-2,-3)
2.如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3,AC=4,则sinB的值是()
A. 1
3
B.
3
4
C.
4
5
D.
2
3
3.为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,∠ACB;②CD,∠ACB,∠ADB;
③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有()
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
4.如图点I是△ABC的内心,∠BIC=130°,则∠BAC=()
A 65°
B. 50°
C. 80°
D. 100° 5.已知二次函数2115
y x 7x 22
=-
-+,若自变量x 分别取x 1,x 2,x 3,且0<x 1<x 2<x 3,则对应的函数值y 1,y 2,y 3的大小关系正确的是( ) A y 1>y 2>y 3
B. y 1<y 2<y 3
C. y 2>y 3>y 1
D. y 2<y 3<y 1
6.如图,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,PA=10cm ,C 是劣弧AB 上的点(不与点A 、B 重合),过点C 的切线分别交PA 、PB 于点E 、F ,则△PEF 的周长为( )
A. 10cm
B. 15cm
C. 20cm
D. 25cm
7.如图是小李上学用的自行车,型号是24英吋(车轮的直径为24英吋,约60厘米),为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上,他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮(两个阴影部分分别是以C 、D 为
圆心的两个扇形),量出四边形ABCD 中∠DAB=125°、∠ABC=115°,那么预计需要的铁皮面积约是( )
A. 300πcm 2
B. 600πcm 2
C. 900πcm 2
D. 1200πcm 2
8.抛物线2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为
()2
y x 14=--,则b 、c 的值为
A. b=2,c=﹣6
B. b=2,c=0
C. b=﹣6,c=8
D. b=﹣6,c=2
9.若二次函数y =x 2+mx 的图象的对称轴是直线x =3,则关于x 的方程x 2+mx =7的解为( ) A. x 1=0,x 2=6
B. x 1=1,x 2=7
C. x 1=1,x 2=-7
D. x 1=-1,x 2=7
10.如图,A 点在半径为2的⊙O 上,过线段OA 上的一点P 作直线l ,与过A 点的⊙O 的切线交于点B ,且∠APB =60°,设OP =x ,则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
二.填空题
11.把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a(x﹣h)2+k的形式______.
12.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB=________.
13.如图,某涵洞的截面是抛物线型,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O到水面的距离CO=2.4m,在图中直角坐标系内涵洞截面所在抛物线的表达式是______________.
14.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,图中阴影部分的面积为2
123cm,则⊙O的半径为______.
15.如图,△ABC为等边三角形,AB=6,动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周,速度为1个长度单位每秒,以O3△ABC的边第二次相
切时是出发后第 秒.
三、解答题
16.(1)计算(
)
4-tan 603213?+-+-
(2)解方程2241x x =+
17.已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示,它与x 轴的一个交点坐标为(﹣1,0),与y 轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出b ,c 的值,并写出此二次函数的解析式;
(2)根据图象,写出函数值y 为正数时,自变量x 的取值范围.
18.如图,在△ABC 中,AB =BC =2,以AB 为直径的⊙O 分别交BC ,AC 于点D ,E ,且点D 是BC 的中点.
(1)求证:△ABC 为等边三角形. (2)求DE 的长.
19.如图,在△ABC 中,∠A =∠B =30°,过点C 作CD ⊥AC ,交AB 于点D .
(1)作⊙O ,使⊙O 经过A 、C 、D 三点(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由.
20.网上销售已成为产品销售的一种重要方式,很多大学生也在网上开起了网店,某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机,手机每部进价为1000元,经过试销发现:售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系.
(1)求出y 与x 之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W 与销售价x 之间的函数关系式.若你是网店老板,会将价格定为多少,使每天获得的利润最大,最大利润是多少?
21.某游乐场部分平面图如图所示,C ,E ,A 在同一直线上,D ,E ,B 在同一直线上,测得A 处与E 处的距离为80 m ,C 处与D 处的距离为34 m ,∠C =90°,∠ABE =90°,∠BAE =30°.(2≈1.4,3≈1.7) (1)求旋转木马E 处到出口B 处的距离;
(2)求海洋球D 处到出口B 处的距离(结果保留整数).
22.如图,已知:AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,CD 是⊙O 的切线,AD ⊥CD 于点D ,E 是AB 延长线上一点,CE 交⊙O 于点F ,连接OC 、AC . (1)求证:AC 平分∠DAO ; (2)若∠DAO=105°,∠E=30° ①求∠OCE 的度数;
②若⊙O 半径为22,求线段EF 的长.
23.如图,已知抛物线223y x x =--与x 轴的交点为A 、D(A 在D 的右侧),与y 轴的交点为C .
(1)直接写出A、D、C三点
的坐标;(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点
的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案与解析
一、选择题
1.抛物线y=-(x+2)2+3的顶点坐标是( )
A. (-2,3)
B. (2,3)
C. (2,-3)
D. (-2,-3)
【答案】A
【解析】
根据y=a(x-h)2+k中,顶点坐标为(h,k)可得:
∵抛物线的解析式为y=-(x+2)2+3,
∴其顶点坐标为(-2, 3).
故选C.
2.如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3,AC=4,则sinB的值是()
A. 1
3
B.
3
4
C.
4
5
D.
2
3
【答案】D
【解析】
【详解】解:连接AO并延长交圆于E,连CE.
∴∠ACE=90°(直径所对的圆周角是直角);
在直角三角形ACE中,AC=4,AE=6,
∴sin∠E=
2
3 AC
AE
;
又∵∠B=∠E(同弧所对的圆周角相等),
∴sin B
=2
3
.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义.在求锐角三角函数值时,一般是通过作辅助线构造直角三角形,在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可.
3.为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,∠ACB;②CD,∠ACB,∠ADB;
③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有()
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
【答案】C
【解析】
此题比较综合,要多方面考虑:
①∵知道∠ACB和BC的长,∴可利用∠ACB的正切直接求AB的长;
②可利用∠ACB和∠ADB的正切设方程组
AB
tan ACB=
CB
{
AB
tan ADB=
CD+CB
∠
∠
求出AB;
③∵△ABD∽△EFD,∴可利用相似三角形对应边成比例
EF FD
AB BD
=,求出AB;
④无法求出A,B间距离.
因此共有3组可以求出A,B间距离.故选C.
4.如图点I是△ABC的内心,∠BIC=130°,则∠BAC=()
A. 65°
B. 50°
C. 80°
D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角形的外接圆得到∠ABC=2∠IBC ,∠ACB=2∠ICB ,根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB ,求出∠ACB+∠ABC 的度数即可. 【详解】解:∵点I 是△ABC 的内心, ∴∠ABC=2∠IBC ,∠ACB=2∠ICB , ∵∠BIC=130°,
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠CIB=50°, ∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°, ∴∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC )=80°. 故选C .
【点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心,三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握,能求出∠ACB+∠ABC 的度数数解此题的关键. 5.已知二次函数2115
y x 7x 22
=-
-+,若自变量x 分别取x 1,x 2,x 3,且0<x 1<x 2<x 3,则对应的函数值y 1,y 2,y 3的大小关系正确的是( ) A. y 1>y 2>y 3 B. y 1<y 2<y 3
C. y 2>y 3>y 1
D. y 2<y 3<y 1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据x 1、x 2、x 3与对称轴的大小关系,判断y 1、y 2、y 3的大小关系: 【详解】∵二次函数2115
y x 7x 22=-
-+, ∴此函数的对称轴为:
b
7
x===7
12a
22--
--??
?- ???
. ∵7<0<x 1<x 2<x 3,三点都在对称轴右侧,a <0, ∴对称轴右侧y 随x 的增大而减小. ∴y 1>y 2>y 3.
故选:A
6.如图,PA、PB分别切⊙O于A、B,PA=10cm,C是劣弧AB上的点(不与点A、B重合),过点C的切线分别交PA、PB于点E、F,则△PEF的周长为()
A. 10cm
B. 15cm
C. 20cm
D. 25cm
【答案】C
【解析】
【详解】解:∵PA,PB是圆的切线.∴PA=PB,
同理,AE=EC,FC=FB.
三角形PEF的周长=PE+EF+PF=PE+PF+CF+EC=PE+AE+PF+FB=PA+PB=2PA=20cm.
故选C.
【点睛】本题考查切线长定理.
7.如图是小李上学用的自行车,型号是24英吋(车轮的直径为24英吋,约60厘米),为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上,他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮(两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形),量出四边形ABCD中∠DAB=125°、∠ABC=115°,那么预计需要的铁皮面积约是()
A. 300πcm2
B. 600πcm2
C. 900πcm2
D. 1200πcm2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求得∠ADC+∠BCD=120°,车轮的半径为30cm,由扇形的面积公式求得两个扇形的面积和,即可求得预计需要的铁皮面积.
【详解】解:四边形ABCD中,∵∠DAB=125°,∠ABC=115°,
∴∠ADC+∠BCD=360°-∠DAB-∠ABC=120°,
∵车轮的直径为60cm,
∴半径R=30cm,
∴两个扇形的面积和为2
12030=300360
ππ??平方厘米,
∴预计需要的铁皮面积=3002=600ππ?平方厘米. 故选B .
【点睛】本题考查了扇形的面积计算,是实际应用类题目,解题时注意运用四边形内角和360°、两个车轮半径相等、铁皮为面积两倍等条件.
8.抛物线2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为
()2
y x 14=--,则b 、c 的值为
A. b=2,c=﹣6
B. b=2,c=0
C. b=﹣6,c=8
D. b=﹣6,c=2
【答案】B 【解析】
【详解】函数()2
y x 14=--的顶点坐标为(1,﹣4), ∵函数()2
y x 14
=--的
图象由2
y x bx c =++的图象向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到,
∴1﹣2=﹣1,﹣4+3=﹣1,即平移前的抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣1). ∴平移前的抛物线为()2
y x 11=+-,即y=x 2+2x . ∴b=2,c=0.故选B .
9.若二次函数y =x 2+mx 的图象的对称轴是直线x =3,则关于x 的方程x 2+mx =7的解为( ) A. x 1=0,x 2=6 B. x 1=1,x 2=7
C. x 1=1,x 2=-7
D. x 1=-1,x 2=7
【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线的对称轴,可求得m=6-,然后将m=6-代入方程得到关于x 的一元二次方程,最后的方程的解即可.
【详解】解:∵二次函数y =x 2+mx 的图象的对称轴是直线x =3,
∴322
b m
a -=-=, ∴6m =-,
把6m =-代入27x mx +=,得
2670x x --=,
∴(1)(7)0x x +-=, ∴x 1=-1,x 2=7; 故选:D .
【点睛】本题考查了二次函数的性质,以及解一元二次方程,解题的关键是正确求出m 的值.
10.如图,A 点在半径为2的⊙O 上,过线段OA 上的一点P 作直线l ,与过A 点的⊙O 的切线交于点B ,且∠APB =60°,设OP =x ,则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
利用AB 与⊙O 相切,得到△BAP 是直角三角形,把直角三角形的直角边表示出来,从而用x 表示出三角形的面积,根据函数解析式确定函数的图象即可. 【详解】解:∵AB 与⊙O 相切, ∴∠BAP=90°, ∵OP=x ,则AP=2-x , ∵∠BPA=60°,
∴()()tan 2tan 6032AB AP BPA x x =∠=-?=-,
∴△APB 面积()())2
1132322222
y AP AB x x x =
=--=-,
(0≤x ≤2). ∴△PAB 的面积y 关于x 的函数图像是经过(2,0)的抛物线在0≤x ≤2的部分. 故选:D
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,切线的性质等知识,综
合性较强,解题的关键是根据题意得到y与x的函数关系式.
二.填空题
11.把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a(x﹣h)2+k的形式______.
【答案】y=(x﹣6)2﹣36
【解析】
【分析】
将二次项系数化为1,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式.
【详解】y=2x2-12x =2(x2?6x+9)?18=2(x?3)2 ?18,即y=2(x?3)2 ?18.
故答案为y=2(x-3)2-18
【点睛】本题考查了二次函数表达式三种形式的互化,掌握转化的技巧是解题的关键.
12.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB=________.
【答案】23
【解析】
【分析】
通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD 的长求出,通过垂径定理可求出AB的长.
【详解】解:过点O作OD⊥AB交AB于点D,连接OA,
∵OA=2OD=2cm,
∴AD=22
-=22
OA OD
-=3(cm),
21
∵OD⊥AB,
∴AB=2AD=23cm.
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用,正确应用勾股定理是解题关键.
13.如图,某涵洞的截面是抛物线型,现测得水面宽AB =1.6m ,涵洞顶点O 到水面的距离CO =2.4m ,在图中直角坐标系内涵洞截面所在抛物线的表达式是______________.
【答案】y =-154
x 2
【解析】
【详解】解:设涵洞所在抛物线的解析式为y=ax 2,
由题意可知点B 坐标为(0.8,-2.4),代入得-2.4=a×
0.82 解得a=-15
4, 所以y=-15
4
x 2
故答案为:y =-
154
x 2
【点睛】本题考查二次函数的应用.
14.已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,图中阴影部分的面积为2123cm ,则⊙O 的半径为______.
【答案】4cm 【解析】 【分析】
连接OA ,交BE 与G ,连接OF ,OB ,求出1
123433
ABF S ==△OA =AF =a ,分别表示出BF ,AG ,利用面积公式即可求解.
【详解】解:连接OA ,交BE 与G ,连接OF ,OB , ∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,
∴,AB BC CD DE EF FA ===== 120FAB C E ∠=∠=∠=?, OA ⊥BF ,360606
AOF ?
∠==?, ∴ABF EFD CDB △≌△≌△ ,
∴1
123433
ABF S =?
=△, ∵,60OA OF AOF =∠=?, ∴AOF 是等边三角形, ∵AB BF =,120FAB ∠=? ∴30AFB ABF ∠=∠=? , 设OA =AF =a , 则AG =
1122AF a =,FG =3cos 2
AF AFB a ∠=, ∵ OA ⊥BF , ∴BF =2FG =3a ,
∴1
432BF AG = 即11
34322
a a =, ∴4a =
故答案为:D
【点睛】本题考查正多边形和圆,熟知正六边形的性质,得出ABF 面积是解题的关键.
15.如图,△ABC 为等边三角形,AB=6,动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿着A→C→B→A 的路线匀速运动一周,速度为1个长度单位每秒,以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相
切时是出发后第 秒.
【答案】4 【解析】
【详解】解:根据题意,则作O D BC '⊥于D ,则3O D '=.
在直角三角形O CD '中,∠C=60°,3O D '= ∴2O C '=, ∴624O A '=-=,
∴以O 3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第4秒. 故答案为4.
三、解答题
16.(1)
4-tan 603213?++-
(2)解方程2241x x =+ 【答案】(1)2;(2)26
x ±= 【解析】 【分析】
(1)先计算算术平方根,特殊角的三角函数值,零指数幂,绝对值,然后合并同类项,即可得到答案; (2)先移项,然后利用公式法解一元二次方程,即可得到答案. 【详解】解:(1)
4tan 603213?++
=23131+ =2;
(2)2241x x =+, ∴22410x x --=,
∴2
(4)42(1)240?=--??-=>,
∴424
x ±=
,
∴26
2
x ±=
; 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,解一元二次方程,零指数幂,化简绝对值,解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
17.已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示,它与x 轴的一个交点坐标为(﹣1,0),与y 轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出b ,c 的值,并写出此二次函数的解析式;
(2)根据图象,写出函数值y 为正数时,自变量x 的取值范围.
【答案】(1)b=2,c=3,y=-x 2+2x+3;(2)13x
【解析】 【分析】
(1)把抛物线上的两点代入解析式,解方程组可求b 、c 的值;(2)令y=0,求抛物线与x 轴的两交点坐标,观察图象,求y >0时,x 的取值范围.
【详解】解:(1)将点(-1,0),(0,3)代入y=-x 2
+bx+c 中,得10
3b c c --+=??
=?
解得2
3b c =??
=?
. ∴2y x 2x 3=-++
(2)当y=0时,解方程2230x x -++=, 得121,3x x =-=, 又∵抛物线开口向下, ∴当-1<x <3时,y >0.
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式,根据抛物线与x 轴的交点,开口方向,可求y >0时,自变量x 的取值范围.
18.如图,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,且点D是BC的中点.
(1)求证:△ABC为等边三角形.
(2)求DE的长.
【答案】(1)详见解析;(2)DE=1.
【解析】
【分析】
(1)连接AD,利用直径所对的圆周角为直角及垂直平分线的性质得到相等的线段AB=AC,联立已知的AB=BC,即可证得△ABC是等边三角形;
(2)连接BE,利用直径所对的圆周角为直角,得到BE⊥AC,然后利用等腰三角形三线合一的性质得出E 为AC的中点,继而利用三角形中位线的数量关系求得DE的长度.
【详解】(1)连接AD.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.
∵点D是BC的中点,∴AD是线段BC的垂直平分线,∴AB=AC.
∵AB=BC,∴AB=BC=AC,∴△ABC为等边三角形.
(2)连接BE.
∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC.
∵△ABC是等边三角形,∴AE=EC,即E为AC的中点.
∵D是BC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE=1
2
AB=
1
2
×2=1.
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形中位线定理.证明△ABC为等边三角形是解题的关键.
19.如图,在△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC,交AB于点D.
(1)作⊙O,使⊙O经过A、C、D三点(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)作图见解析;(2)BC与⊙O相切,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)分别作线段AC、CD的垂直平分线,即可得到⊙O的圆心,从而可以作图图形;
(2)连接CO,先根据圆的基本性质求得∠COB的度数,即可求的∠OCB的度数,从而可以作出判断.【详解】解:(1)如图所示:
(2)BC与⊙O相切.
理由如下:
连接CO.
∵∠A=∠B=30°,
∴∠COB=2∠A=60°.
∴∠COB+∠B=30°+60°=90°.
∴∠OCB=90°,即OC⊥BC.
又BC经过半径OC外端点C,
∴BC与⊙O相切.
【点睛】本题考查确定圆的条件,切线的判定,作图题是初中数学学习的重要题型,是中考常见题,一般难度不大,需熟练掌握.
20.网上销售已成为产品销售的一种重要方式,很多大学生也在网上开起了网店,某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机,手机每部进价为1000元,经过试销发现:售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W 与销售价x 之间的函数关系式.若你是网店老板,会将价格定为多少,使每天获得的利润最大,最大利润是多少?
【答案】(1)y =-0.1x +180.(2)售价定为1400元/部时,每天最大利润为16000元. 【解析】
试题分析:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b (k≠0),根据所给函数图象列出关于kb 的关系式,求出k 、b 的值即可;
(2)把每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式,由此关系式即可得出结论.
试题解析:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b (k≠0),由所给函数图象可知,
130050
150030k b k b +??
+?
==, 解得:0.1
180k b -??
?==
. 故y 与x 的函数关系式为y=-0.1x+180; (2)∵W=(x-100)y =(x-1000)(-0.1x+180) =-0.1x 2+280x-180000 =-0.1(x-1400)2+16000, 当x=1400时,W 最大=16000,
∴售价定为1400元/件时,每天最大利润W=16000元.
21.某游乐场部分平面图如图所示,C ,E ,A 在同一直线上,D ,E ,B 在同一直线上,测得A 处与E 处的距离为80 m ,C 处与D 处的距离为34 m ,∠C =90°,∠ABE =90°,∠BAE =30°2≈1.43 (1)求旋转木马E 处到出口B 处的距离;
(2)求海洋球D 处到出口B 处的距离(结果保留整数).