哈工大概率论与数理统计课后习题答案四

习题四

1 ?一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字 1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放

回，再从袋中任取一球，以 X,Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求 （X,Y ）的

分布列?

解 （X,Y ）的分布列

为

12 1 4 3 6

余者类推。

2 ?将一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正 面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出

（X,Y ）的分布列及边缘分布列。

一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故 X

?B （3,丄）.

2

其中 P(X 1, Y 1)

X ”

1 2 3 1

1 1

6 12 2

1

1

1 6 6 6

1 1

3

12 6

P(X 1)P(Y 1| X 1)

P(X 1, Y 2) P(X 1)P(Y 2| X 1)

2 2

P(X 1, Y 1) P(X 1)P(Y 1|X 1) 余者类推。 3 ?设(X,Y)的概率密度为 1 (6 x y), 0 x f (x,y) 8 0 2, 2 y 4,

,其它. 又( 1) D {(x,y)|x 1,y 3}; (2) {(x,

y)|x 1 3}。求 P{(X,Y) D}

P{( x,y ) D} 解 (1) P{(X,Y) 1 8 1 6 - 2 1 8

5

24

设(X,Y)的概率密度为

D}

求(1) 1 0

x(1

C(R J x 2 y 2

),

0 2 系数C ；(2)(X,Y)落在圆x

f(x,y) (1 ) 1 C

x 2 (R , x 2 y 2 R 2

31

2 8

3 8 1 (2)设 D

(6 y)dxdxy R 3

2 R 3

3 {( x,y)|x

x)dx

x 1 8(6 1

[(3

x y)dxdy x)2

4]dx

P{(X,Y) D}

x 2

2 x 其他. 2 r (r R)的概率. R 2, y 2)dxdy C R

3 2

r ｝，所求概率

为

r 2

R

r 2drd

￡(R 、X 2

y 2)dxdy R

5 ?已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度为

求x 和Y 的联合分布函数.

解i 设(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则

f x (x) 2x,其他x I

f Y (y) 2y, 其 它 1,

0 ,其他；

0 ,其它.

边缘分布函数分别为

F X (x), F Y (y)，

则

I , x 1. 0,

y 0,

y 2, 0 y 1, 1 , y 1.

3

R 3

Rr 2

乙丄

至1兰

R 3R

F x (x) x

f x (u)du

f (x, y)

4xy, 0 x 1,0

0 ,其它.

x y

F(x, y)

f(u,v)dudv

x 0

y

4uvdudv 0 x 1,

0 y 1, x

1

0 0

4uydudy

0 x 1, y 1,

1 y

0 0 4xvdxdv x 1,

0 y 1,

0, x

2 2

x y , 0 2

x ,

0 2

y , x 1, x

1, y 1.

0 或 y 0,

x 1, 0 y 1,

x 1, y 1, 1,0 y 1,

1, y 1.

解2由联合密度可见,

X,Y 独立，边缘密度分别为

0 ,

x 0 或 y 0,

0, x x2, 0 0, x 1,

y

F Y (y) f x (v)dv

22

x

设(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则

0,

x 0 J

或 y 0, 2 2

x y , 0 x 1, 0 y 1 F(x, y) F x (x) F Y (V )

x 2,

0 x 1, y 1, 2

y ,

x 1, 0 y 1, 1, x 1, y 1.

X

设二维随机变量 (X,Y) 在区域D : 0

密度。 解 (X,Y)的概率密度为 f(x,y ) J ；, (x,y) D, 其他.

关于X 和Y 的密度为 f x

(X) f(x, y)dy X dy , X

x 0

f Y (y) o, y 1 dx, 1 y

f (x, y)dx 1 dx, 0 y

0, y 1, y 0, 1 y, 1 y 0, 1 y, 0 y 1, y 1,

0 ,其他.

1. |y|, |y| 1, 0 ,其他. 7 .设(X, Y)的概率密度为 e y

, 0 x 0 ,其他. P(X Y 1) f(x,y) y , 求边缘密度和概率 0 , x 0, f x

(x)

f (x, y)dy

y

dy, x 0;

0, x 0, e

x

, x 0.

0 ,

y

0, 0 ,

y 0,

f Y (y)

f (x, y)dx

y

\f

e 0

y

dx, y 0; ye ,

y 0.

P(X Y

1)

f(x,y)dxdy

1 1

2 0

x

x

e y

dy dx

1

°(e 0 \ x

1 X\

e e )dx

x y 1

1

1 2e

2 e 1

.

8 ?一电子仪器由两个部件组成, 已知

X,Y 的联合分布函数为：

（1）先求边缘分布函数:

间X,Y 是否独立?

解边缘密度为

0, f x (x)

f(x, y)dy

y

dy,

0；

0, 0.

f Y (y)

0 , e y ,

因为 f （x, y ） 10 ?设（X,Y ）的概率密度为

f x

（X ）

X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）

(1) (2) F(x,y) 1

0.5x

0.5y

0.5(x e e

y)

x 0, y 0 其他.

问X , Y 是否独立？为什么? 求两个部件的寿命都超过

100小时的概率.

F x (x) y lim F (x, y) 0.5x

e F Y (y)丿计 F (x, y)

0.5

y

e

0, 0. 0, 0.

F (x ,

y )

F x (x) F Y (y )

，所以 X ,Y 独立.

P(X 0.1,Y 0.1) P(X

0.05

e

9 .设(X,Y)的概率密度为

因为 (2)

0.1 P(Y 0.1)

[1

0.05

0.1

P(X 0.1)][1 P(Y 0.1)]

f(x,y)

e (x

y)

x 0, Y 其他.

0,

y 0,

y 0.

f Y(y)，所以X,Y独立.