离散数学作业

离散数学作业布置

第1次作业（P15）

设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

解：（1）p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0

（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)=（0↔1）∧(1∨1)=0∧1 =0

（3）（﹁p∧﹁q∧r）↔(p∧q∧﹁r)=（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)=0

(4)（r∧s）→(p∧q)=（0∧1）→(1∧0)=0→0=1

判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也

是无理数。另外只有6能被2整除，6才能被4整除。”

解：p: π是无理数 1

q: 3是无理数0

r: 2是无理数 1

s:6能被2整除 1

t: 6能被4整除0

命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。用真值表判断下列公式的类型：

（4）(p→q) →(﹁q→﹁p)

（5）(p∧r) ↔ (﹁p∧﹁q)

（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)

解：（4）

p q p→q q p q→p (p→q)→( q→p)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

所以公式类型为永真式，最后一列全为1

（5）公式类型为可满足式（方法如上例），最后一列至少有一个1

（6）公式类型为永真式（方法如上例，最后一列全为1）。

第2次作业（P38）

用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.

(1) ﹁(p∧q→q)

(2)(p→(p∨q))∨(p→r)

(3)(p∨q)→(p∧r)

解：(1) ﹁(p∧q→q) ⇔﹁(﹁(p∧q) ∨q) ⇔(p∧q) ∧﹁q⇔p∧(q ∧﹁q) ⇔ p∧0 ⇔0

所以公式类型为矛盾式

(2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ⇔ (﹁p∨(p∨q))∨(﹁p∨r) ⇔﹁p∨p∨q∨r⇔1

所以公式类型为永真式

(3) (p∨q) → (p∧r) ⇔￢(p∨q) ∨ (p∧r) ⇔ (￢p∧￢q) ∨(p∧r)

易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111

P q r ￢p∧￢q p∧r (￢p∧￢q) ∨(p∧r)

0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 1 1

所以公式类型为可满足式

用等值演算法证明下面等值式：

(2) ( (p→q)∧(p→r) ) ⇔ (p→(q∧r))

(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)

证明（2）(p→q)∧(p→r)

⇔( ﹁p∨q)∧(﹁p∨r)

⇔﹁p∨(q∧r))

⇔p→(q∧r)

（4）(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔(p∨(﹁p∧q)) ∧(﹁q∨(﹁p∧q) )

⇔ (p∨﹁p)∧(p∨q)∧(﹁q∨﹁p) ∧(﹁q∨q)

⇔1∧(p∨q)∧(﹁p∨﹁q)∧1

⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)

第3次作业（P38）

求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:

(1)( ￢p→q) →(￢q∨p)

(2) (￢p→q) ∧q∧r

(3)(p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)

(4) ￢(p→q) ∧q∧r

解：

(1)(￢p→q) →(￢q∨p)

⇔￢(p∨q) ∨(￢q∨p)

⇔￢p∧￢q ∨￢q ∨p

⇔￢q ∨p (吸收律)

⇔ (￢p∨p)∧￢q ∨p∧(￢q∨q)

⇔￢p∧￢q∨p∧￢q ∨p∧￢q ∨p∧q

⇔m0∨m2∨m2∨m3

⇔m0∨m2∨m3

成真赋值为00, 10, 11.

(2) (￢p→q) ∧q∧r

⇔ (p∨q) ∧q∧r

⇔ (p∧q∧r) ∨q∧r

⇔ (p∧q∧r) ∨(￢p ∨p) ∧q∧r

⇔p∧q∧r∨￢p ∧q∧r∨p∧q∧r

⇔m3∨m7

成真赋值为011，111.

(3) (p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)

⇔￢(p∨(q∧r)) ∨(p∨q∨r)

⇔￢p∧￢(q∧r) ∨(p∨q∨r)

⇔￢p∧(￢q∨￢r)∨(p∨q∨r)

⇔￢p∧￢q∨￢p∧￢r∨p∨q∨r

⇔￢p∧￢q∧(r∨￢r)∨￢p∧(q∨￢q)∧￢r∨p∧(q∨￢q) ∧(r∨￢r) ∨ (p∨￢p) ∧q∧(r∨￢r)∨(p∨￢p) ∧(q∨￢q) ∧r

⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式.

(4) ￢(p→q) ∧q∧r

⇔￢(￢p∨q) ∧q∧r

⇔ (p∧￢q) ∧q∧r

⇔ p∧(￢q ∧q)∧r

⇔0

主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.

第4次作业（P38）

求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:

(1) ￢(q→￢p) ∧￢p

(2)(p∧q) ∨ (￢p∨r)

(3)(p→(p∨q)) ∨r

解：

(1) ￢(q→￢p) ∧￢p

⇔￢(￢q∨￢p) ∧￢p

⇔q∧p ∧￢p

⇔q∧0

⇔0

⇔M0∧M1∧M2∧M3

这是矛盾式. 成假赋值为00, 01, 10, 11.

(2)(p∧q) ∨ (￢p∨r)

⇔(p∧q) ∨￢p∨r

⇔(p∨￢p)∧(￢p ∨q)∨r

⇔ (￢p ∨q)∨r

⇔￢p ∨q∨r

⇔M4, 成假赋值为100.

(3)(p→(p∨q)) ∨r

⇔(￢p∨(p∨q)) ∨r

⇔(￢p∨p)∨q ∨r

⇔1

主合取范式为1, 为重言式.