离散数学作业
离散数学作业布置第1次作业（P15）设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
解：（1）p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)=（0↔1）∧(1∨1)=0∧1 =0（3）（﹁p∧﹁q∧r）↔(p∧q∧﹁r)=（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)=0(4)（r∧s）→(p∧q)=（0∧1）→(1∧0)=0→0=1判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外只有6能被2整除，6才能被4整除。
”解：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(﹁q→﹁p)（5）(p∧r) ↔ (﹁p∧﹁q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)解：（4）p q p→q q p q→p (p→q)→( q→p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式，最后一列全为1（5）公式类型为可满足式（方法如上例），最后一列至少有一个1（6）公式类型为永真式（方法如上例，最后一列全为1）。
第2次作业（P38）用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ﹁(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)解：(1) ﹁(p∧q→q) ⇔﹁(﹁(p∧q) ∨q) ⇔(p∧q) ∧﹁q⇔p∧(q ∧﹁q) ⇔ p∧0 ⇔0所以公式类型为矛盾式(2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ⇔ (﹁p∨(p∨q))∨(﹁p∨r) ⇔﹁p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3) (p∨q) → (p∧r) ⇔￢(p∨q) ∨ (p∧r) ⇔ (￢p∧￢q) ∨(p∧r)易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111P q r ￢p∧￢q p∧r (￢p∧￢q) ∨(p∧r)0 0 0 1 0 10 0 1 1 0 10 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1所以公式类型为可满足式用等值演算法证明下面等值式：(2) ( (p→q)∧(p→r) ) ⇔ (p→(q∧r))(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔( ﹁p∨q)∧(﹁p∨r)⇔﹁p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔(p∨(﹁p∧q)) ∧(﹁q∨(﹁p∧q) )⇔ (p∨﹁p)∧(p∨q)∧(﹁q∨﹁p) ∧(﹁q∨q)⇔1∧(p∨q)∧(﹁p∨﹁q)∧1⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)第3次作业（P38）求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( ￢p→q) →(￢q∨p)(2) (￢p→q) ∧q∧r(3)(p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)(4) ￢(p→q) ∧q∧r解：(1)(￢p→q) →(￢q∨p)⇔￢(p∨q) ∨(￢q∨p)⇔￢p∧￢q ∨￢q ∨p⇔￢q ∨p (吸收律)⇔ (￢p∨p)∧￢q ∨p∧(￢q∨q)⇔￢p∧￢q∨p∧￢q ∨p∧￢q ∨p∧q⇔m0∨m2∨m2∨m3⇔m0∨m2∨m3成真赋值为00, 10, 11.(2) (￢p→q) ∧q∧r⇔ (p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨(￢p ∨p) ∧q∧r⇔p∧q∧r∨￢p ∧q∧r∨p∧q∧r⇔m3∨m7成真赋值为011，111.(3) (p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)⇔￢(p∨(q∧r)) ∨(p∨q∨r)⇔￢p∧￢(q∧r) ∨(p∨q∨r)⇔￢p∧(￢q∨￢r)∨(p∨q∨r)⇔￢p∧￢q∨￢p∧￢r∨p∨q∨r⇔￢p∧￢q∧(r∨￢r)∨￢p∧(q∨￢q)∧￢r∨p∧(q∨￢q) ∧(r∨￢r) ∨ (p∨￢p) ∧q∧(r∨￢r)∨(p∨￢p) ∧(q∨￢q) ∧r⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式.(4) ￢(p→q) ∧q∧r⇔￢(￢p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧￢q) ∧q∧r⇔ p∧(￢q ∧q)∧r⇔0主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.第4次作业（P38）求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1) ￢(q→￢p) ∧￢p(2)(p∧q) ∨ (￢p∨r)(3)(p→(p∨q)) ∨r解：(1) ￢(q→￢p) ∧￢p⇔￢(￢q∨￢p) ∧￢p⇔q∧p ∧￢p⇔q∧0⇔0⇔M0∧M1∧M2∧M3这是矛盾式. 成假赋值为00, 01, 10, 11.(2)(p∧q) ∨ (￢p∨r)⇔(p∧q) ∨￢p∨r⇔(p∨￢p)∧(￢p ∨q)∨r⇔ (￢p ∨q)∨r⇔￢p ∨q∨r⇔M4, 成假赋值为100.(3)(p→(p∨q)) ∨r⇔(￢p∨(p∨q)) ∨r⇔(￢p∨p)∨q ∨r⇔1主合取范式为1, 为重言式.用消解原理证明下述公式是矛盾式:(1) (￢p∨q) ∧ (￢p∨r) ∧ (￢q∨￢r) ∧ (p∨￢r) ∧r(2) ￢((p∨q) ∧￢p→q)解：(1) (￢p∨q) ∧ (￢p∨r) ∧ (￢q∨￢r) ∧ (p∨￢r) ∧r第一次循环S0=Φ, S1=｛￢p∨q,￢p∨r,￢q∨￢r,p∨￢r,r｝, S2=Φ由￢p∨r, p∨￢r消解得到λ输出“no”，计算结束(2) ￢((p∨q) ∧￢p→q)⇔￢(￢((p∨q) ∧￢p) ∨q)⇔((p∨q) ∧￢p) ∧￢q⇔ (p∨q) ∧￢p ∧￢q第一次循环S0=Φ, S1=｛p∨q,￢p, ￢q｝, S2=Φ由p∨q,￢p消解得到q,由q, ￢q消解得到λ,输出“no”，计算结束用消解法判断下述公式是否可满足的:(1) p∧ (￢p∨￢q) ∧q(2) (p∨q) ∧(p∨￢q) ∧(￢p∨ r)解：(1) p∧ (￢p∨￢q) ∧q第一次循环S0=Φ, S1=｛p, ￢p∨￢q, q｝, S2=Φ由p, ￢p∨￢q消解得到￢q,由q, ￢q消解得到λ,输出“no”，计算结束(2) (p∨q) ∧(p∨￢q) ∧(￢p∨ r)第一次循环S0=Φ, S1=｛p∨q, p∨￢q, ￢p∨ r｝, S2=Φ由p∨q, p∨￢q消解得到p,由p∨q, ￢p∨ r消解得到q ∨r,由p∨￢q, ￢p∨ r消解得到￢q ∨r,由p, ￢p∨ r消解得到r,S2=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝第二次循环S0=｛p∨q, p∨￢q, ￢p∨ r｝, S1=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝, S2=Φ由p∨q, ￢q ∨r消解得到p∨r,由p∨￢q, q ∨r消解得到p∨r,由p∨￢q, q ∨r消解得到p∨r,由￢p∨ r, p 消解得到r,S2=｛p∨r｝第三次循环S0=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝, S1=｛p∨r｝, S2=ΦS2=Φ输出“yes”，计算结束判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提, 结论, 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给出)和判断过程(至少给出两种判断方法):(1)若今天是星期一, 则明天是星期三；今天是星期一. 所以明天是星期三.(2)若今天是星期一, 则明天是星期二；明天是星期二. 所以今天是星期一.(3)若今天是星期一, 则明天是星期三；明天不是星期三. 所以今天不是星期一.(4)若今天是星期一, 则明天是星期二；今天不是星期一. 所以明天不是星期二.(5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. 今天是星期一. 所以明天是星期二.(6)今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一. 所以明天不是星期三.设p: 今天是星期一, q: 明天是星期二, r: 明天是星期三.(1)推理的形式结构为(p→r) ∧p→r此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧p⇒r所以推理正确.(2)推理的形式结构为(p→q) ∧q→p此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(3)推理形式结构为(p→r) ∧￢r→￢p此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧￢r⇒￢p故推理正确.(4)推理形式结构为(p→q) ∧￢p→￢q此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(5)推理形式结构为(p→(q∨r) )∧p →q它不是重言式, 故推理不正确.(6)推理形式结构为(p↔r) ∧￢p→￢r此形式结构为重言式, 即(p↔r) ∧￢p⇒￢r故推理正确.推理是否正确, 可用多种方法证明. 证明的方法有真值表法, 等值演算法. 证明推理正确还可用构造证明法.下面用等值演算法和构造证明法证明(6)推理正确.1. 等值演算法(p↔r) ∧￢p→￢r⇔(p→r) ∧(r→p)∧￢p→￢r⇔￢((￢p∨r) ∧(￢r∨p)∧￢p) ∨￢r⇔￢(￢p∨r) ∨￢(￢r∨p) ∨p ∨￢r⇔(p∧￢r)∨(r∧￢p)∨p ∨￢r⇔ (r∧￢p)∨p ∨￢r 吸收律⇔ (r∧￢p)∨￢（￢p ∨r）德摩根律⇔1即(p↔r) ∧￢p⇒￢r故推理正确2.构造证明法前提: (p↔r), ￢p结论: ￢r证明:①p↔r 前提引入②(p→r) ∧(r→p) ①置换③r→p ②化简律④￢p 前提引入⑤￢r ③④拒取式所以, 推理正确.第7次作业（P53-54）在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p→(q→r), s→p, q结论: s→r(2)前提: (p∨q) →(r∧s), (s∨t) →u结论: p→u(1)证明:①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理(2)证明:①P 附加前提引入②p∨q ①附加③(p∨q) →(r∧s) 前提引入④r∧s ②③假言推理⑤S ④化简⑥s∨t ⑤附加⑦(s∨t) →u 前提引入⑧u ⑥⑦假言推理在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→￢q, ￢r∨q, r∧￢s结论: ￢p(2)前提: p∨q, p→r, q→s结论: r∨s(1)证明:①P 结论否定引入②p→￢q 前提引入③￢q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ③④析取三段论⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简规则⑧￢r∧r ⑤⑦合取引入规则⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明:①￢(r∨s) 结论否定引入②p∨q 前提引入③p→r 前提引入④q→s 前提引入⑤(p→r) ∧(q→s) ∧(p∨q) ②③④合取引入规则⑥r∨s ⑤构造性二难⑦(r∨s) ∧￢(r∨s) ④⑤合取引入规则⑦为矛盾式, 所以推理正确.第8次作业（P65-66）在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(2)有的火车比有的汽车快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.解：因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是轮船, H(x,y):x 比y 快.(2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是汽车, H(x,y):x 比y 快.(3) ￢∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y)))或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧￢H(x,y)))其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 快.(4) ￢∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧￢H(x,y) )其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 慢. 给定解释I 如下:(a)个体域为实数集合R.(b)特定元素a=0.(c)特定函数-f(x,y)=x-y, x,y∈R.(d)谓词-F(x,y): x=y,-G(x,y): x<y, x,y∈R.给出下列公式在I 下的解释, 并指出它们的真值:(1) ∀x∀y(G(x,y) →￢F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →￢F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))解：(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x-y=0) →(x<y)), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x-y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x-y<0) → (x=y)), 真值为0.第9次作业（P79-80）给定解释I如下:(a) 个体域D={3,4}；(b)-f(x)：-f(3)=4,-f(4)=3；(c)-F(x,y)：-F(3,3)=-F(4,4)=0,-F(3,4)=-F(4,3)=1.试求下列公式在I下的真值:(1) ∀x∃yF(x,y)(2) ∃x∀yF(x,y)(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))解：(1)∀x∃yF(x,y)⇔ (F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))⇔ (0∨1)∧(1∨0) ⇔ 1(2)∃x∀yF(x,y)⇔ (F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))⇔ (0∧1)∨(1∧0) ⇔ 0(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))⇔ (F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧(F(4,4)→F(f(4),f(4)))⇔ (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0) ⇔1求下列各式的前束范式.(1)∀xF(x)→∀yG(x, y)(3)∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)(5) ∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→￢∃x2G(x1, x2)).解：前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x)→∀yG(x, y)⇔∃x (F(x)→∀yG(t, y))⇔∃x∀y(F(x)→G(t, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)⇔ (∀xF(x, y)→∃xG(x, y))∧(∃xG(x, y)→∀xF(x, y))⇔ (∀xF(x, y)→∃uG(u, y))∧(∃xG(x, y)→∀vF(v, y)) ⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀x∀v(G(x, y)→F(v, y))⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀w∀v(G(w, y)→F(v, y)) ⇔∃x∃u∀w∀v ((F(x, y)→G(u, y))∧(G(w, y)→F(v, y))) (5)∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→￢∃x2G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→∀x2￢G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→∀x2(F(x1)→￢G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→￢G(x4, x2))⇔∀x1(F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→￢G(x4, x2)))⇔∀x1∀x2 (F(x1, x3)→(F(x4)→￢G(x4, x2)))第10次作业（P79-80）在自然推理系统F L中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)),∃xF(x) 结论:∃xR(x).(2) 前提:∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))),∃xF(x)结论:∃x(F(x)∧R(x))(3) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),￢∃xG(x)结论:∃xF(x)(4) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),∀x(￢G(x)∨￢R(x)),∀xR(x)结论: ∃xF(x)(1)证明:①∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) 前提引入②∃xF(x) 前提引入③∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理④(F(c)∨G(c))→R(c) ③全称量词消去规则⑤F(c) ①存在量词消去规则⑥F(c) ∨G(c) ⑤附加⑦R(c) ④⑥假言推理⑧∃xR(x) ⑦存在量词引入规则(2) 证明:①∃xF(x) 前提引入②F(c) ①存在量词消去规则③∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入④F(c)→(G(a)∧R(c)) ④全称量词消去规则⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理⑥R(c) ⑤化简⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入⑧∃x(F(x)∧R(x)) ⑦存在量词引入规则(3) 证明:①￢∃xG(x) 前提引入②∀x￢G(x) ①置换③￢G(c) ②全称量词消去规则④∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入⑤F(c)∨G(c) ④全称量词消去规则⑥F(c) ③⑤析取三段论⑦∃xF(x) ⑥存在量词引入规则(4) 证明:①∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入②F(y)∨G(y) ①全称量词消去规则③∀x(￢G(x)∨￢R(x)) 前提引入④￢G(y) ∨￢R(y) ③全称量词消去规则⑤∀xR(x) 前提引入⑥R(y) ⑤全称量词消去规则⑦￢G(y) ④⑥析取三段论⑧F(y) ②⑦析取三段论⑥∃xF(x) ⑧存在量词引入规则第11次作业（P96）. 设F 表示一年级大学生的集合, S 表示二年级大学生的集合, M表示数学专业学生的集合, R 表示计算机专业学生的集合, T表示听离散数学课学生的集合, G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合, H 表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合. 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么? 请从备选的答案中挑出来.(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课.(2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉.(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.(4)这个音乐会只有大学一, 二年级的学生参加.(5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.备选答案:①T⊆G∪H ②G∪H⊆T ③S∩R⊆T④H＝G∪T ⑤T∩G＝∅⑥F∪S⊆G⑦G⊆F∪S ⑧S-(R∪M) ⊆G ⑥G⊆S-(R∩M)解:(1) ③S∩R⊆T(2) ④H=G∪T(3) ⑤T∩G=∅(4) ⑦G⊆F∪S(5) ⑧S-(R∪M)⊆G. 确定下列命题是否为真:(1) ∅⊆∅(2) ∅∈∅(3) ∅⊆{∅}(4)∅∈{∅}(5){a, b}⊆{a, b, c, {a, b, c}}(6){a, b}∈{a, b, c, {a, b }}(7){a, b}⊆{a, b, {{a, b}}}(8){a, b}∈{a, b, {{a, b}}}解:(1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假第12次作业（P130-131）. 已知A={∅,{∅}},求A×P(A).解:A×P(A)= {∅,{∅}}×{∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}}={<∅, ∅>,<∅,{∅}>,<∅,{{∅}}>,<∅,{∅,{∅}}>,<{∅},∅>,<{∅},{∅}>,<{∅},{{∅}}>, <{∅},{∅,{∅}}>}. 列出集合A={2, 3, 4}上的恒等关系I A, 全域关系E A, 小于或等于关系L A, 整除关系D A.解:I A={<2,2>,<3,3>,<4,4>}E A=A×A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}L A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}D A={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}.设A={0, 1, 2, 3}, R 是A 上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉}给出R 的关系矩阵和关系图.解:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010110100001001第13次作业（P131）.设A = {〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉}B = {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈4, 2〉}求A ∪B , A ∩B , dom A , dom(A ∪B ), ran A , ran B , ran(A ∩B ), fld(A −B ).解:A ∪B={〈1,2〉, 〈1,3〉, 〈2,4〉, 〈3,3〉, 〈4,2〉} A∩B={〈2,4〉} domA={1,2,3}dom(A ∪B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4}ranB={3,4,2}ran(A∩B)={4} fld(A−B)={1,2,3}.设A={〈∅,{∅,{∅}}〉,〈{∅},∅〉}求A −1,A 2,A 3,A ↾{∅},A[∅],A↾∅,A ↾{{∅}},A[{{∅}}]. 解:A −1={〈{∅,{∅}},∅〉,〈∅,{∅}〉},A 2={〈{∅},{∅,{∅}}〉},A 3=∅,A ↾{∅}={〈∅,{∅,{∅}}〉}, A[∅]={∅,{∅}},A ↾∅=∅,A ↾{{∅}}={〈{∅},∅〉},A[{{∅}}]=∅.设A={a,b,c,d}, R1,R2 为A 上的关系, 其中R 1={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,d〉}R 2={〈a,d〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}求R 1○R 2, R 2○R 1,R 12,R 23.解: R 1○R 2={〈a,a〉,〈a,c〉,〈a,d〉}, R 2○R 1={〈c,d〉},R 12={〈a,a〉,〈a,b〉,〈a,d〉},R 23={〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉} 0 1 23.设A={a,b,c}, 试给出A 上两个不同的关系R 1和R 2,使得 R 12=R 1, R 23=R 2. 解:R 1={〈a,a〉,〈b,b〉},R 2={〈b,c〉,〈c,b〉}第14次作业（P131-133）. 设A={1，2，…,10},定义A 上的关系R={<x,y>|x,y ∈A ∧x+y=10}说明R 具有哪些性质并说明理由。
《离散数学》试题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，则A∩B的结果是（）A. {1,2,3,4,5}B. {2,4}C. {1,3,5}D. {1,2,3,4,5,6,8,10}答案：B2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. ≤B. ≠C. |D. ≠答案：A3. 设图G有5个顶点，每两个顶点之间都有一条边相连，则图G的边数是（）A. 5B. 10C. 15D. 20答案：C4. 下列哪一个图是欧拉图？（）A. 无向图B. 有向图C. 树D. 环答案：D5. 下列哪一个命题是正确的？（）A. 若p→q为真，则p为真B. 若p∧q为假，则p为假C. 若p∨q为真，则q为真D. 若p→q为假，则p为假答案：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 设集合A={a,b,c,d}，B={c,d,e}，则A-B=________。
答案：{a,b}2. 设p是命题“今天是晴天”，q是命题“我去公园玩”，则命题“如果今天不是晴天，那么我不去公园玩”可以表示为________。
答案：¬p→¬q3. 设图G有n个顶点，e条边，则图G的度数之和为________。
答案：2e4. 一个连通图至少有________个顶点。
答案：25. 设图G的邻接矩阵为A，则A的转置矩阵表示________。
答案：图G的转置图三、判断题（每题5分，共25分）1. 离散数学是研究离散结构的数学分支。
（）答案：正确2. 两个集合的笛卡尔积是这两个集合的直积。
（）答案：正确3. 有向图中，顶点u和顶点v之间的长度为2的路径是指路径上有3条边。
（）答案：错误4. 树是一种无向图。
（）答案：正确5. 哈夫曼编码是一种贪心算法。
（）答案：正确四、应用题（每题25分，共50分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，C={3,6,9,12,15}，求A∪(B∩C)。
离散数学作业标准答案
离散数学作业一、选择题1、下列语句中哪个就是真命题(C )。
A.我正在说谎。
B.如果1+2=3,那么雪就是黑色的。
C.如果1+2=5,那么雪就是白色的。
D.严禁吸烟！2、设命题公式))((r q p p G →∧→=,则G 就是( C )。
A 、 恒假的B 、 恒真的C 、 可满足的D 、 析取范式 3、谓词公式),,(),,(z y x yG x z y x F ∃∀→中的变元x ( C )。
A.就是自由变元但不就是约束变元 B.既不就是自由变元又不就是约束变元 C.既就是自由变元又就是约束变元 D.就是约束变元但不就是自由变元4、设A={1,2,3},则下列关系R 不就是等价关系的就是(C ) A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>}D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>,<2,1>,<3,1>,<3,2>} 5、设R 为实数集,映射σ=R →R,σ(x)= -x 2+2x-1,则σ就是( D )。
A.单射而非满射B.满射而非单射C.双射D.既不就是单射,也不就是满射 6、下列二元运算在所给的集合上不封闭的就是( D ) A 、 S={2x-1|x ∈Z +},S 关于普通的乘法运算 B 、 S={0,1},S 关于普通的乘法运算 C 、 整数集合Z 与普通的减法运算D 、 S={x | x=2n ,n ∈Z +},S 关于普通的加法运算7、*运算如下表所示,哪个能使({a,b},*)成为含幺元半群( D )b b b a a a b a * a b b b a a b a *8( A )A B C D 9、下列各组数中,能构成无向图的度数列就是( D ) A.1,1,1,2,4 B.1,2,3,4,5 C.0,1,0,2,4 D.1,2,3,3,510、一棵树有2个4度顶点,3个3度顶点,其余都就是树叶,则该树中树叶的个数就是( B )A 、8B 、9C 、 10D 、 11 11、“所有的人都就是要死的。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
离散数学集合练习题
离散数学集合练习题
1. 集合的表示和运算
- 列出集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的并集、交集和差集。
- 给定集合C={x|x是小于10的正整数}，求集合C与集合A的交集。
2. 子集和幂集
- 确定集合D={a,b,c}的所有子集。
- 计算并列出集合D的幂集。
3. 集合的包含关系
- 判断集合E={1,2}是否是集合F={1,2,3,4}的子集。
- 若集合G={x|x是偶数}是集合H={2,4,6,8}的子集，求集合G和集合H的交集。
4. 集合的相等性
- 给定集合I={x|x是2的倍数且x<10}和集合J={2,4,6,8}，判断这两个集合是否相等。
5. 集合的笛卡尔积
- 计算集合K={1,2}和集合L={a,b}的笛卡尔积，并列出结果。
6. 集合的元素个数
- 确定集合M={x|x是5的倍数且1≤x≤20}中元素的个数。
7. 集合的运算性质
- 证明对于任意集合P和Q，有P∪(P∩Q)=P。
- 证明对于任意集合R和S，有R∩(R∪S)=R。
8. 集合的表示法
- 使用描述法表示集合T={x|x是3的倍数且x在10到30之间}。
- 使用列举法表示集合U={x|x是小于20的素数}。
9. 集合的划分
- 将集合V={1,2,3,4,5,6}划分为两个非空子集，使得每个子集中的元素之和相等。
10. 集合的闭包
- 给定集合W={x|x是小于7的正整数}，求集合W在模3同余关系下的闭包。
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例3 对任意两个集合A, B,试证 A (A B) A B
证明 对于任意的x
x A (A B)
x {x x A x ( A B)} x {x x A (x A B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A x B}
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例10 求图的最小生成树
A 1B34 Nhomakorabea5
2 E
6
1A 2
B
E
4
6
C7 D
C
D
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例11
• 无向树T有7片树叶, 3个3度顶点,其余的 都是4度顶点，则T有几个4度顶点？
• 解:设T有x个4度顶点 顶点度数之和： 7+3*3+4x 由树的性质可得总边数： 7+3+x-1 由握手原理可得： 7+3*3+4x=2(7+3+x-1)
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
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例12 求复合函数
X {1,2,3}, Y {p, q}, Z {a,b} f { 1, p , 2, p , 3, q } g { p,b , q,b }
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
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例: 求幺元、零元、逆元
x A B 因为 x 是任意的,所以有
x ((x A (A B)) (x A B)) 的真值为T,
因此 A ( A B)课件 A B
例4 判断关系的性质
R1 { a, a , a,b , b,b , c,c }
a
1 1 0
M R 1 0 1 0
0 0 1
离散数学作业册
离散数学作业册第一章命题逻辑1.1 命题与逻辑联结词1.判断下列语句是否是命题，不是划“×”，是划“√”，且指出它的真值.(1)所有的素数都是奇数. ( ) 其真值( )(2)明天有离散数学课吗？ ( ) 其真值( )(3)326+>． ( ) 其真值( )(4)实践出真知. ( ) 其真值( )(5)这朵花真好看呀！ ( ) 其真值( )(6)5x=． ( ) 其真值( )(7)太阳系外有宇宙人． ( ) 其真值( )2.将下列命题符号化．(1)如果天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.(3)我们不能既划船又跑步．(4)大雁北回，春天来了.3.将下列复合命题分解成若干个原子命题，并找出适当的联结词.(1)天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.1.2 命题公式1. 判断下列各式是否是命题公式，不是的划“×”，是的划“√”．(1)(Q→R∧S). ( )(2)((R→(Q→R)→(P→Q)). ( )(3) (P∨QR)→S. ( )(4)((?P→Q)→(Q→P)). ( )2．写出五个常用命题联结词的真值表.1.3 真值表与等价公式1.指出下列命题的成真赋值与成假赋值．(1)?(P∨?Q).(2)?P→(Q→P).2.构造真值表，判断下列公式的类型．(1)(P∧Q)∧?(P∨Q).(2) P→(P∧┑Q))∨R.3.用等值演算法验证下列各等价式．(1) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)?T.(2)P→(Q∧R)?(P→Q)∧(P→R).(3)?(P∨Q)∨(?P∧Q)??P．1.4 蕴涵式及其他联结词1.试证明下列各式为重言式．(1)(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)．(2) (P→Q)→Q?P∨Q．(3)?(P↓Q)??P↑?Q．2.将下列公式化成与之等价且仅含{┑，∨}中联结词的公式．(1) (P∨Q)∧┑P(2) (P→(Q∨┑R))∧(┑P∧Q)3.证明{?，∧}是最小全功能联结词组.4.设A、B、C为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？(1)若A∧C?B∧C，则A?B．(2)若?A??B，则A?B．(3)若A→C?B→C，则A?B．1.6 对偶与范式1.试给出下列命题公式的对偶式．(1)T∨(P∧Q)．(2)?(P∧Q)∧(?P∨Q)．2.试求下列各公式的主析取范式和主合取范式．(1) (P→(Q∧R))∧(┑P→(┑Q→R))．(2)(?(P→Q)∧Q)∨R．(3)(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R)).3.试用将公式化为主范式的方法，证明下列各等价式．(1) (┑P∨Q)∧(P→R)?P→(Q∧R)(2) ┑(P?Q)?(P∧┑Q)∨(┑P∧Q)1.7 推理理论1.试用推理规则，论证下列各式．(1) ┑(P∧┑Q),┑Q∨R,┑R?┑P(2) P∨Q,Q→R,P→S,┑S?R∧(P∨Q)(3) ┑P∨Q,┑Q∨R,R→S?P→S(4) P∨Q,P→R,Q→S?R∨S第二章谓词逻辑2.1 词的概念与表示1.用谓词表达写出下列命题．(1)高斯是数学家，但不是文学家.(2)小王既是运动员也是大学生.(3)张宁和李强都是三好学生.(4)若是x奇数，则2x不是奇数.2.2 命题函数与量词1.用谓词表达式写出下列命题．(1)每个计算机系的学生都学离散数学.(2)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B.(3)不存在既是奇数又是偶数的自然数.(4)没有运动员不是强壮的.(5)有些有理数是实数但不是整数.(6)所有学生都钦佩某些教师.2.3 谓词公式与变元的约束1.利用谓词公式翻译下列命题． (1)没有一个奇数是偶数.(2)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数.2. 设个体域为自然数集N ，令P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数；O(x)：x 是奇数；D(x ，y)：x 整除y ．将下列各式译成汉语．(1)?x(E(x)∧D(x ，6))．(2)?x(O(x)→?y(P(x)→?D(x ，y)))．3.指出下列表达示中的自由变元和约束变元，并指明量词的辖域．(1)()()(,)()()x F x Q x y xP x R x ?∧→?∨．(2)?x(P(x ，y)∨Q(z))∧?y(R(x ，y)→ ?zQ(z))．4.设个体域为A ＝{a ，b ，c}，消去公式?xP(x)∧?xQ(x)中的量词．2.4 谓词演算的等价式与蕴含式1.试证下列等价式或蕴涵式,其中A(x),B(x)表示含x自由变量的公式,A,B 表示不含变量x（不论是自由的还是约束的）的公式.(1)（?x A(x)→B）?(?x(A(x)→B))．(2)（?x A(x)→B）??x(A(x)→B)．2.试将下列公式化成等价的前束范式．(1)?x（（┑?yP(x,y)）→(?zQ(z)→R(x))）．(2)?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))．2.5 谓词演算的推理理论1.证明下列推理．(1)所有有理数都是实数，某些有理数是整数。
离散数学
1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个，其中有( )单射，( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子，F (x ): x 是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合，则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( )，零元是( )，P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 6阶非Abel 群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图，当n ≥ ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图. 二、单选题1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}. (C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}. 2. 设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃RR 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对 3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧. (C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝. 4.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有 (A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、设A 和B 是集合，使B B A =-成立的充要条件是什么，并给出理由.四、设R 和S 是集合A 上的对称关系，证明S R 对称的充要条件是R S S R =. 五、分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.六、设G 是(n , m )无向图，若n m ≥，证明G 中必存在圈.1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ，{a }( )B ，{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. 在同构意义下，3阶群有( )个，4阶群有( )个，5阶群有( )个.4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构，其元素个数为( ), 其中( )是B 的所有原子组成的集合.5. 不同构的5阶无向树有( )棵，不同构的5阶根树有( )棵. 二、单选题1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ，则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车，B (x ): x 是汽车，F (x , y ): x 比y 快，则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ). (A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃. (B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃. (C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀. (D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). (A)域 (B)域和整环 (C)整环 (D) 有零因子环5.设G 是简单图，G 是G 的补图，若G G ≅，则称G 为自补图. 5阶不同构的自补图个数为( ). (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、设C B g B A f →→:,:, 若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射. 四、设A = {a , b , c , d }上的关系R = {(a , b ), (b , d ), (c , c ), (a , c )}, 画出R 的关系图，并求出R 的自反闭包r (R )、对称闭包s (R )和传递闭包t (R ).五、设G 是(6，12) 的简单连通平面图，则G 的面由多少条边围成，为什么？ 六、任意6个人中，一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.G SG R1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A – B = { }, B – A = { }, A ⊕ B = { }.2. 实数集合R 关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z (x ): x 是整数，O (x ): x 是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定 ( )连通图，其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ). 二、单选题1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律. 2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的等价关系共有( )个. (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 3.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 4. 下列偏序集，( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射，证明g 是满射，并举例说明f 不一定是满射. 四、在整数集合Z 上定义关系R 如下：对于任意∈y x , Z ，y yx xR y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性. 五、利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.六、将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K 3或蓝色的K 3.1. 集合A 上的等价关系R 必满足( 、 、 ).2. 任意6阶群的平凡子群一定是( )群.3. 设集合A = {1, 2, 3}，则A 上的置换共有( )个.4. 设集合A 关于*满足( 、 )，则(A , *)构成独异点.5. ( )无向图称为无向树. 二、单选题1. 设集合A 中有99个元素，则A 的子集有( )个. (A)299. (B)99. (C) 2100. (D)100.2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的划分共有( )个. (A)13 (B)14 (C)15 (D)163.设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(x , y )|x , y ∈ A 且x + y = 6}，则R 的性质是( ). (A) 自反的. (B) 对称的. (C) 对称的、传递的. (D) 反自反的、传递的.4.下列联结词中，不满足交换律的是( ).(A)∧. (B)∨. (C)⊕. (D) →.5.谓词公式)())()((x R y yQ x P x →∃∨∀中，x ∀的辖域为( ).(A)))()((y yQ x P x ∃∨∀. (B))(x P . (C))()(y yQ x P ∃∨. (D))(x P 和)(x R . 三、设),(≤A 是偏序集，定义函数)(:A P A f →如下：对于任意A a ∈，},|{)(a x A x x a f ≤∈=.证明f 是单射，且当b a ≤时有)()(b f a f ⊆.四、(1)列出与非联结词“↑”的运算表.(2)仅使用与非联结词“↑”分别表示∨∧⌝,,.五、求))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃→∃∧∃∀∀的前束范式. 六、 (1)给出(n , m )连通平面图的面数r 计算公式.(2)若(n , m )连通平面图的每个面至少由5条边围成，给出n 和m 所满足的关系式. (3)证明：Petersen 图不是平面图.1. 对于任意集合A , 若|A | = n , 则A 的幂集合P (A )有( )个元素.2. 整数集合Z 上的小于关系“<”具有( ).3. 联结词集合},{→⌝( )功能完备的.4. 设Q 是有理数集合，Q 关于数的乘法运算“⋅”能构成( ).5. 设≤是非空集合L 上的偏序，若L 中的任意两个元素均存在( )，则称(L ,≤)是格. 二、单选题1. 设A = ∅，B = {∅, {∅}}，则B – A 为( ).(A){{∅}}. (B){∅}. (C) {∅, {∅}}. (D) ∅. 2. 设R 和S 是集合A 上的关系，则下述命题成立的有( ). (A)若R 和S 是自反的，则S R ⋂是自反的. (B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的. (C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的. (D)若R 和S 是传递的，则S R ⋃是传递的. 3.设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃RR 是( )关系.(A) 偏序. (B) 等价. (C) 相容. (D) 线性序.4.令A (x ): x 是人，B (x ): x 犯错误，则“没有不犯错误的人”符号化为( ). (A)))()((x B x A x ∧∀. (B)))()((x B x A x ⌝→⌝∃. (C)))()((x B x A x ∧⌝∃. (D)))()((x B x A x ⌝∧⌝∃.5.在任意n 阶连通图中，其边数( ).(A)至多n – 1条. (B)至少n – 1条. (C)至多n 条. (D) 至少n 条. 三、设R 为实数集合，定义f : R ⨯ R → R ⨯ R 为),()),((y x y x y x f -+=.(1)证明f 是双射. (2)求f 的逆函数1-f .(3)计算f f1-及f f .四、设集合},,{c b a A =，在A 上的关系)},(),,(),,{(c b b a a a R =，求)(),(),(R t R s R r . 五、用构造法证明：)))()(()((x R y Q x P x ∧→∀，⇒∀)(x xP ))()(()(x R x P x y Q ∧∀∧.六、证明：阶数2≥的任意无向树中的最长路径的端点都是树叶，即度数为1.一、填空题1. 设全集为整数集合Z ，且}30|{2<=xx A ，}20,|{<=x x x B 是素数，}5,3,1{=C ，则=⋃-C A B )({ }.2. 设集合A 为同一平面内的所有直线组成的集合，R 表示两直线的垂直关系，则R 2表示( )关系.3. 命题公式)(r q p ⌝∧∨的成真赋值(p , q , r )为( ).4. 设G = {1, 5, 7, 11}, “12⋅”为模12的乘法运算，则群),(12⋅G 中元素5的阶为( ).5. 图1所示的图G 的色数=)(G χ().二、单选题1. 设集合X ≠ ∅，则P (X )关于集合的⋃运算的单位元为( ). (A)X . (B) ∅. (C) P (X ). (D)以上答案均不成立.2. 令Z (x ): x 是整数，N (x ): x 是负数，S (x , y ): y 是x 的平方，则“任何整数的平方均非负”可符号化为( ).(A)())(),()(y N y x S x Z y x ⌝→∧∀∀.(B)())(),()(y N y x S x Z y x ⌝→∧∃∀.(C)())(),()(y N y x S x Z y x ⌝∧→∀∀ . (D)())(),()(y N y x S x Z x ⌝→∧∀. 3.设),(≤L 是格，G 为),(≤L 到自身的格同态映射组成的集合，则G 关于映射的复合“ ”运算构成( ).(A) 群. (B) 环. (C) 格. (D) 独异点. 4.给定下列序列，可构成简单无向图的节点度数序列的为( ). (A)(1, 3, 4, 4, 5). (B)(0, 1, 3, 3, 3). (C)(1, 1, 2, 2, 2). (D) (1, 1, 2, 2, 3). 5.设G 是n 阶简单无向图，则其最大度)(G ∆( ). (A) < n . (B) ≤ n . (C) > n . (D) ≥ n .三、设R 是实数集合，f : R ×R → R ×R , f (x , y ) = (x + y , x - y ).(1) 证明f 是双射. (2) 求出f 的逆函数f -1、f f1-和f f .四、图2给出的是集合A = {1，2，3，4，5，6}上关系R 的关系图，试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.五、利用真值表求命题公式()())()(p q r r q p →→↔→→的主析取范式和主合取范式.六、求赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树.图2一、1. 32，0，30.2.))()(())()((x G x F x x F x G x ⌝∧∃∧→∀.3.∅，X ，X .4. 3，1，0.5.n 为奇数，3，4≤n .二、1(C); 2(B); 3(D); 4(D); 5(A). 三、证 ==⇔=-B A B B A ∅. (⇐)显然.(⇒)因为B A B A ⋂=-，根据B B A =-得B B B B A ⋂=⋂⋂)(，于是B = ∅，进而A = ∅. 四、解 由于R 和S 是对称的，所以S SR R==--11,.(⇐)因为R S S R =，两边取逆得11)()(--=R S S R ，而S R SRR S ==---111)(.所以S R S R =-1)(，因此S R 是对称关系.(⇒)由于S R 对称，所以S R S R =-1)(. 而R S RSS R ==---111)(，因而R S S R =. 五、解 (1)等值演算法 A 的主合取范式:))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝= = ))(())((r q p p q r ∨∨⌝→∨⌝∨⌝= )())((r q p p q r ∨∨⌝∨∨⌝∨⌝⌝ = )()(r q p p q r ∨∨⌝∨⌝∧∧ = r q p ∨∨⌝(由吸收律得到). 于是，A 的主析取范式为))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝== ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p )()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.(2)真值表法由表可知，))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主合取范式为r q p A ∨∨⌝=.A 的主析取范式为A = ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p )()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.七、证(反证)假设G 中不含圈. 设G 有k (k ≥ 1)个连通分支k G G G ,...,,21，其节点个数分别为k n n n ,...,,21，其边数分别为k m m m ,...,,21. 这时，iG为树，根据树的基本性质有1-=i i n m )1(k i i ≤≤. 进而n k n n m m ki i ki i <-=-==∑∑==)1(11，与已知n m ≥矛盾. 证毕.一、1. ∈，∈，⊆.2.{(1,5), (3, 2), (2, 5)}, {(4, 2), (3, 2), (1, 4)}, {(1, 2), (2, 2)}.3. 1, 2, 1.4. ,,,),((⋂⋃X P ∅, X ), 2n , n .5. 3, 9.二、1(D); 2(B); 3(A); 4(C); 5(C).三、证 对于任意A x x ∈21,，若)()(21x f x f =，则))(())((21x f g x f g =，于是))(())((21x f g x g f =. 由于g f 是单射，所以21x x =，因此f 是单射.例如，A = {a , b }, B = {1, 2, 3}, C = {α, β, γ}, f = {(a , 1), (b , 2)}, g = {(a , α), (b , β), (c , β)}, 这时)},2(),,1{(βα=g f ，它是A 到C 的单射，但g 不是单射.四、解 R 的关系图如下：}),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(d d b b a a c a c c d b b a R r =, }),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(a c b d a b c a c c d b b a R s =. }),(),,(),,(),,(),,{()(d a c a c c d b b a R t =.五、证 根据Euler 公式，G 的面数为r = 12 – 6 +2 = 8. 由握手定理知，∑=⋅=vv 24122)deg(，而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成，所以G 的每个面恰由3条边围成.六、证 用6个节点分别表示这6个人，可得6阶完全无向图6K . 若两个人认识，则在相应的两个节点所在的边上涂上红色，若两个人不认识，则在相应的两个节点所在的边上涂上蓝色.对于任意的6K 的节点v ，因为5)deg(=v ，与v 邻接的边有5条，当用红、蓝颜色去涂时，至少3条边涂的是同一种颜色，不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ，32v v ，31v v 是红色，则存在红色3K，这意味着有3个人相互认识; 若21v v ，32v v ，31v v 都是蓝色，则存在蓝色3K，这意味着有3个人相互不认识. 结论成立.abd一、1.{1, 3, {1, 2}, {3}}；{{2, 3}, {1}}；{1, 3, {1, 2}, {3}, {2, 3}, {1}}.2.0，1，0.3. ))()((x O x Z x →⌝∀.4. p n , p 为素数，n 为正整数.5. 是，3，10.二、1(B); 2(C); 3(D); 4(C); 5(A).三、证 对于任意C z ∈，由于g f 是满射，必存在A x ∈，使得z x f g x g f ==))(())(( . 令B x f y ∈=)(，有z y g =)(，因此，g 是满射.设},,{c b a A =，}3,2,1{=B ，},{βα=C ，令B A f →:，,:C B g → 3)(,3)(,2)(===c f b f a f ,βαβ===)3(,)2(,)1(g g g .这时，α==))(())((a f g a g f ，β==))(())((b f g b g f ，显然有},{)(ran βα=g f ，g f 是满射. 而ran f = {2, 3}，f 不是满射. 四、证 (1)对于任意x ∈ Z , 由于x xx x+=+22, 所以(x , x ) ∈ R , 即R 是自反的.(2)因为(0, 0) ∈ R , 因此R 不是反自反的. (3)对于任意x , y ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R , 则y yx x +=+22, 于是x xy y+=+22, 进而(y , x ) ∈ R , 即R是对称的.(4)因为(2, -3) ∈ R 且(-3, 2) ∈ R ，因此R 不是反对称的. (5)对于任意x , y , z ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R 且(y , z ) ∈ R , 则y yx x +=+22且z zy y+=+22，于是z zx x+=+22，所以(x , z ) ∈ R , 即R 是传递的.综上所述，知R 是自反的、对称的和传递的.五、解 命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的真值表如下：A 的主析取范式为：)()(q p q p A ⌝∧∨∧=.A 的主合取范式为：)()(q p q p A ∨∧⌝∨=.六、证 对于任意的6K 的节点v ，因为5)deg(=v ，与v 邻接的边有5条，当用红、蓝颜色去涂时，至少3条边涂的是同一种颜色，不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ，32v v ，31v v 是红色，则存在红色3K ; 若21v v ，32v v ，31v v 都是蓝色，则存在蓝色.一、1.自反性、对称性和传递性.2. Abel.3. 6.4. 封闭性和结合性.5. 不含圈的连通.二、1(A); 2(C); 3(B); 4(D); 5(C).三、证 对于任意A b a ∈,，假定)()(b f a f =. 由于≤是偏序，于是a a ≤，所以)(a f a ∈，进而)(b f a ∈，根据定义知b a ≤. 同理可证，a b ≤. 根据偏序的反对称性有b a =，因此f 是单射.当b a ≤时，对于任意)(a f x ∈，于是a x ≤. 根据偏序的传递性有b x ≤，即)(b f x ∈，故)()(b f a f ⊆.四、证 (1) 与非联结词“↑”的运算表如下：(2)p p p p p ↑=∧⌝=⌝)(.)()()())((q p q p q p q p q p ↑↑↑=↑⌝=∧⌝⌝=∧. )()()()()(q q p p q p q p q p ↑↑↑=⌝↑⌝=⌝∧⌝⌝=∨.五、解 ))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃→∃∧∃∀∀=))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃∨⌝∃∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y vQ u x Q u z y x zP y x ∃∨⌝∀∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y Q u x Q v u z y x zP y x ∨⌝∃∀∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y Q u x Q z y x P v u z y x ∨⌝∧∃∀∃∀∀ 六、证 (1)根据Euler 公式，有2+-=n m r . (2)31052)2(5-≤⇒≤+-n m m n m .(3) 若Petersen 图是平面图，由于其每个面至少5条边围成，于是由(2)知3105-≤n m . 因为在Petersen图中，m = 15, n = 10, 于是31010515-⋅≤，矛盾.一、1. 2n 2. 反自反、反对称、传递 3. 是 4. 独异点 5. 上确界和下确界.二、1(C); 2(A); 3(B); 4 (D); 5(B).三、(1)证 对于任意∈),(),,(2211y x y x R ⨯ R ，若)),(()),((2211y x f y x f =，于是),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+，进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-. 由此可得，2121,y y x x ==，因而),(),(2211y x y x =，故f 是单射.对于任意∈),(q p R ⨯ R ，取2,2q p y q p x -=+=，容易得知),(),()),((q p y x y x y x f =-+=.由上可知，f 是双射. (2)解 由上的证明过程知，⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2)),((1y x y x y x f.(3)解 很显然If f=- 1R ⨯R ，即),()),)(((1y x y x f f=- .)2,2())()(),()(()),(()),)(((y x y x y x y x y x y x y x f y x f f =--+-++=-+= .四、解 }),(),,(),,(),,(),,{()(c c b b c b b a a a I R R r A=⋃=.}),(),,(),,(),,(),,{()(1b c a b c b b a a a RR R s =⋃=-.}),(),,(),,(),,{()(c a c b b a a a R t =. 五、证(1))(x xP ∀ P (2)P (c ) US(1) (3))))()(()((x R y Q x P x ∧→∀ P (4)))()(()(c R y Q c P ∧→ US(3) (5))()(c R y Q ∧ T(2)(4)I (6)Q (y ) T(5)I (7)R (c ) T(5)I (8))()(c R c P ∧ T(2)(7)I (9)))()((x R x P x ∧∀ UG(8) (10)))()(()(x R x P x y Q ∧∀∧ T(6)(9)I六、证 设G 是一棵阶数2≥的无向树，k k v v v v L 121...:-是G 中的最长路径. `若1v 和k v 至少有一个不是树叶，不妨设k v 不是树叶，即2)deg(≥k v ，则k v 除与1-k v 邻接外，还存在1+k v 与k v 邻接. 若1+k v 在L 上，则G 中存在圈，不可能. 若1+k v 不在L 上，则G 中存在一条比L 长1的路径1121...+-k k k v v v v v ，与L 是G 中最长路径矛盾.一、1. 1,3,5,7,11,13,17,19.2. 平行.3. 010, 100, 101, 110, 111.4. 2.5. 3.二、1(B); 2(A); 3(D); 4(C); 5(A). 三、(1)证任意∈),(),,(2211y x y x R ×R , 若),(),(2211y x f y x f =，则),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+，进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-，于是21x x =且21y y =，从而f 是单射.任意∈),(q p R ×R , 取⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22qp y q p x , 通过计算易知),(),(q p y x f =，因此f 是满射. 故f 是双射.(2) 解 由上面的证明知，f 存在逆函数且⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2),(1y x y x y x f.又()()),(2,2,1y x y x y x f y x ff=⎪⎭⎫⎝⎛-+=- ，即If f=- 1R ×R ,而()()())2,2())()(),()((,,y x y x y x y x y x y x y x f y x ff=--+-++=++= .四、解 R 的传递闭包t (R )的关系图如下：于是，有t (R ) = {(1, 3), (3, 1), (2, 3), (4, 3), (4, 5), (6, 5), (1, 1), (3, 3)，(2,1)，(4,1)}. 五、解 首先写出命题公式()())()(p q rr q p A →→↔→→=的真值表如下：从真值表可得命题公式A 的主析取范式为：∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧=)()()(r q p r q p r q p A)()()(r q p r q p r q p ⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝.命题公式A 的主合取范式为：)()(r q p r q p A ∨⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨=.七、解 对于2, 3, 5, 7, 8，先组合两个最小的权2+3 = 5, 得5, 5, 7, 8；在所得到的序列中再组合5+5 = 10, 重新排列后为7, 8, 10；再组合7+8 =15, 得10, 15；最后组合10+15 = 25.2515108710875587532所求的最优2叉树树如下：。
离散数学考试题目及答案
离散数学考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 函数f: X→Y是一个双射，当且仅当：A. f是单射且满射B. f是单射C. f是满射D. f是双射答案：A3. 命题p: "x是偶数"，命题q: "x是3的倍数"，下列逻辑运算中，表示"x是6的倍数"的是：A. p∧qB. p∨qC. ¬p∧¬qD. ¬p∨¬q答案：A4. 有向图G中，若存在从顶点u到顶点v的有向路径，则称顶点u可达顶点v。
若G中任意两个顶点都相互可达，则称G为：A. 强连通图B. 弱连通图C. 无向图D. 有向无环图答案：A5. 在二进制数系统中，下列哪个数的值最大？A. 1010B. 1100C. 1110D. 1101答案：C6. 布尔代数中，逻辑或运算符表示为：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：B7. 有限自动机中，状态q0是初始状态，状态q1是接受状态。
若存在从q0到q1的ε-转移，则该自动机：A. 仅在输入为空时接受B. 仅在输入非空时接受C. 无论输入为何都接受D. 无法确定是否接受答案：C8. 命题逻辑中，若命题p和q都为真，则p∧q的真值是：A. 真B. 假C. 可能为真，也可能为假D. 无法确定答案：A9. 集合{1,2,3}的子集个数为：A. 4B. 6C. 7D. 8答案：D10. 若关系R在集合A上是自反的，则对于A中的任意元素a，有：A. (a,a)∈RB. (a,a)∉RC. (a,a)是R的自反对D. (a,a)不是R的自反对答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 集合A={1,2,3}的幂集包含__个元素。
答案：82. 若函数f: X→Y是满射，则对于Y中的任意元素y，至少存在X中的一个元素x，使得f(x)=__。
《离散数学》作业
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不能确定
18．设无向图 G 有 16 条边且每个顶点的度数都是 2，则图 G 有(D )个顶点。
A. 10
B. 4
C. 8
D. 16
19．Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：(A)
A. A B，B C=> A C
B. A B，B C=> A∈B C. A∈B，B∈C=> A∈C
（3），（4）
（6） Q→S
前提
（7） S
（5），（6）
（8） R S
CP，（1），（8）
2．A→(C B)，B→ A，D→ C => A→ D
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证明：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
A. m-n+2
B. n-m-2
C. n+m-2
D. m+n+2。
24．设无向图 G 有 18 条边且每个顶点的度数都是 3，则图 G 有( D )个顶点。
A. 10
B. 4
C. 8
D. 12
25、A，B，C 是三个集合，则下列哪个推理正确?( 1 )
(1) A B，B C A C
(2) A B，B C A B
D. xy(y=2x) ( T )
3．有 n 个结点的树，其结点度数之和是( 2n-2
)。
4．举出集合 A 上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( IA ) 5．群<G,*>的等幂元是( 单位元 )，有( 1 )个。
6．下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( A )。
离散数学形成性考核作业2答案
1. 若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. {a，{a}}AB. {1，2}AC. {a}AD. A2. 设A、B是两个任意集合，侧A-B = Ø⇔( )．A. A=BB. A⊆BC. A⊇BD. B=Ø3. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x<y且x, y A}，则R的性质为（）．A. 不是自反的B. 不是对称的C. 传递的D. 反自反的4. 设集合A={1,2,3,4},R是A上的二元关系，其关系矩阵为则R的关系表达式是( )．A. {<1, 1>，<1, 4>，<2, 1>，<3, 4>，<4,1>}B. {<1, 1>，<1, 2>，<1, 4>，<4, 1>，<4, 3>}C. {<1, 1>，<2, 1>，<4, 1>，<4, 3>，<1, 4>}D. {<1, 1>，<1, 2>，<2, 4>，<4, 1>，<4, 3>}5. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包．A. 自反B. 传递C. 对称D. 自反和传递6. 设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．A. 8、2、8、2B. 8、1、6、1C. 6、2、6、2D. 无、2、无、27. 若集合A＝{ a，{a}}，则下列表述正确的是( )．A. {a}AB. {{{a}}}AC. {a，{a}}AD. A8. 若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A. 1024B. 10C. 100D. 19. 集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y<10且x, y A}，则R的性质为（）．A. 自反的B. 对称的C. 传递且对称的D. 反自反且传递的10. 设集合A={a}，则A的幂集为( )．A. {{a}}B. {a，{a}}C. {，{a}}D. {，a}11. 设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <b，2>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A. R1B. R2C. R3D. R1和R312. 如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A. 0B. 2C. 1D. 313. 若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. A B，且A BB. B A，且A BC. A B，且A BD. A B，且A B14. 设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A. {{1}, {a}}B. {,{1}, {a}}C. {{1}, {a}, {1, a }}D. {,{1}, {a}, {1, a }}15. 设A ={a，b，c}，B ={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为．A. 2B. 3C. 6D. 816. 若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A. {a，{ a }}∈AB. Ø∈AC. {2}∈AD. { a }⊆A17. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A的子集B = {3, 4, 5}，则元素3为B的（）．A. 下界B. 最小上界C. 最大下界D. 最小元18. 若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. {a，{a}}AB. {1，2}AC. {a}AD. A19. 设函数f：N→N，f(n)=n+1，下列表述正确的是（）．A. f存在反函数B. f是双射的C. f是满射的D. f是单射函数20. 设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1, 2>，<2, 1>，<3, 3>}，g = {<1, 3>，<2, 2>，<3, 2>}，h = {<1, 3>，<2, 1>，<3, 1>}，则h=（）．A. f◦gB. g◦fC. f◦fD. g◦g21. 设集合A ={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A上的整除关系，则偏序集<A，≤>上的元素5是集合A的（）．A. 最大元B. 最小元C. 极大元D. 极小元。