基于主动滑模控制实现一类含有非匹配不确定混沌系统的同步

z = Te = In - m
M 11 M 12 M 21 M 22
T
- B1B2
Im
R
n× n
正定的充要条件为
0
e
( 9)
M 11 > 0, M 22 - M 12 M 11 M 12 > 0
- 1
使得误差系统式 ( 7 ) 变为
z1 z2
或
z1 z2
=
A 11 ( n - m ) ×( n - m ) A12 ( n - m ) × m A 21m ×( n - m ) A22m × m
+ T
1 T T y E Ey ε
( 19 )
( t) , s ( e) > 0 ( t) , s ( e) < 0
- 1
对任意向量 x, y 和常数 ε > 0 成立 , 其中 D 和 E 是 适当维数常矩阵 引理 3 ( Schur补定理 ) 矩阵 M =M =
T
( 8)
设 B = [B 1 B 2 ] ,且 det (B 2 ) ≠0,则存在非奇异变换
[3]
( 1)
其中 : x = ( x1 , x2 , …, xn ) ∈ R 是状态向量 , A ∈
R
是常数矩阵 , Δ A ( t) 表示参数摄动矩阵 , f ( x ) :
n
、 反馈控制法
[7]
[ 4, 5 ]
、 自适应同步法
[ 9, 10 ]
[6]
、 基于神经
R →R 是驱动系统的非线性部分
e = ( A +Δ A ( t) ) e + f ( y ) - f ( x ) + u ( t) ( 3)
其混沌同步控制问题就是寻找一个合适的控制输 入 u ( t) , 使得响应系统输出跟踪上驱动系统输出 , 即
t→∞
lim ‖e‖ = ‖y - x ‖ = 0
( 4)
其中 ‖・‖ 表示向量的 Euclid 范数 .
2008 2 09 2 04 收到第 1 稿 , 2008 2 09 2 28 收到修改稿 . 3 国家自然科学基金项目 ( 60774017) ,扬州大学自然科学基金资助项目 ( KK0513109, 2006CXJ005)
第 4期
胡冯仪等 :基于主动滑模控制实现一类含有非匹配不确定混沌系统的同步
T
2008 年第 6 卷
2
把 ( 24 ) 式和 ( 25 ) 式代入 ( 23 ) 式 , 可得
V ≤z1 [ P ( A11 + A12 C ) + ( A11 + A12 C ) P +
2 - 1 T ε P +ε I +ε 1μ 1 2 PD 2 D Pz 1 + - 1 T T ε 2 z 1 ( E2 C ) E2 C ] z 1
其中 : y = ( y1 , y2 , …, yn ) ∈ R 是状态向量 , A ∈
R
是常数矩阵 , f ( y ) : R →R 是响应系统的非线
T n 性部分 , u ( t) = ( u1 ( t) , u2 ( t) , …, un ( t) ) ∈R 是
控制输入 若令误差向量 e = y - x, 则误差系统可表示为
2 主动控制器的设计
把式 ( 3 ) 写成以下形式
e = ( A +Δ A ( t) ) e + f ( x, y ) + u ( t) ( 5)
其中 : F ( x, y ) = f ( y ) - f ( x ) 根据主动控制思想 , 控制输入 u ( t) 消除误差系统 中的非线性部分 , 可设计如下控制输入
第 6 卷第 4 期 2008 年 12 月 1672 2 6553 /2008 /06 ⑷ /316 2 6
动力学与控制学报
JOURNAL OF DYNAM ICS AND CONTROL
Vol . 6 No. 4 Dec. 2008
基于主动滑模控制实现一类含有非匹配 3 不确定混沌系统的同步
胡冯仪 郑永爱 马明
( A11 + A12 C ) P + P ( 43;ε 1μ 2 PD 2 D 2 P +ε 2 I ( A11 + A12 C ) P + P ( A11 + A 12 C ) +ε P +ε 1μ 2
2 x D F ( t) Ey Φεx DD x +
T T T
式中 , B ∈ R
n× m
是控制增益 , 且满足 ( A, B ) 可控 ,
m
rank [B , Δ A ( t ) ] ≠ rank [ B ], B 为列满秩 , 即 rank ( B ) = m , w ( t) ∈R 为重新设定的控制输入且满足 w ( t) = w w
F1 ( t) F1 ( t) Φ I, F2 ( t) F2 ( t) Φ I
T T
( 22 )
式中 , P 为对称正定矩阵 对 V1 关于时间 t求导得
V 1 = z1 P z1 + z1 Pz1 = z1 [ P ( A11 + A12 C ) + ( A11 +
T T Δ A 12 C ) P ] z1 + 2 z1 P A11 ( t) z1 + T ΔA12 ( t) Cz1 2 z1 P T
T 2 - 1 T ε μz1 P z1 +ε 1 z 1 z 1
式中 , C ∈R
m ×( n - m )
为待确定常系数矩阵 , Im 是 m ×
( 16 )
m 单位矩阵 , 当误差系统到达滑模面时 , s = 0, 可得 z2 = Cz1
( 24 )
2
式中 ,μ = ‖D 1 ‖ ・‖E1 ‖
2
引理 1 x, y 为适当维数的实向量 , 对于任意 r > 0, 有
- 1 T T T T ε ε 2 z 1 ( E2 C ) E2 Cz 1 ≤ 2 z 1 PD 2 D 2 Pz 1 + - 1 T T ε 2 z 1 ( E2 C ) E2 Cz 1
( 25 )
318
动 力 学 与 控 制 学 报
2 1
<0
即
z1 = ( A11 +Δ A11 ( t) ) z1 + ( A12 +Δ A12 ( t) ) z2 ( 11 ) z2 = ( A21 +Δ A 21 ( t) ) z1 + ( A22 +Δ A22 ( t ) ) z2 + B 2 w ( t) ( 12 )
( 21 )
可使得滑动模态方程 ( 17 ) 是稳定的 , 即滑模面是 稳定的 . 证明 : 选取如下 Lyapunov函数
T T T ΔA11 ( t ) z1 Φ ε Δ 2 z1 P A11 ( t ) Δ A11 ( t ) Pz1 + 1 z 1 P
选取滑模面函数
s = [ - C Im ] z = - Cz1 + z2 ( 15 )
- 1 T T T ε 1 z 1 z 1 =ε 1 z 1 P ( D 1 F1 ( t ) E1 ) ( D 1 F1 ( t ) E1 ) Pz 1 + - 1 T T 2 2 - 1 T ε ε 1 z 1 z 1 ≤ 1 z 1 P ‖D 1 ‖ ・‖ E1 ‖ Pz 1 +ε 1 z 1 z 1 =
(A11Q +A12 Y) +A11Q +A12 Y + ε μI Q D2 (E2 Y) 1
T T
Δ Δ A 21 ( t) m ×( n - m ) A 22 ( t) m × m
w ( t)
Q D2 E2 Y
T
ε 2 0 0 1 I ε 0 2 0 2 I ε 0 0 2 2I
( 13 )
式中 , k1 , k2 > 0, , D 1 、 D2 、 E1 、 E2 为相应维数的常数
( 14 )
・
T
T
T
( 23 )
3 滑模控制设计
3. 1 基于 LM I设计滑模面
T 使用引理 1 和引理 2, 和 F1 ( t) F1 ( t) Φ I, F2 ( t) F2
( t) Φ I
(扬州大学信息工程学院 ,扬州 225009)
摘要 讨论了一类非匹配不确定混沌系统的同步问题 . 基于主动控制思想 ,提出了一种主动滑模控制策略 , 使得从任意初始条件出发的不确定混沌系统在有限时间内到达滑模面 . 利用线性矩阵不等式 ( LM I) 技术设 计了一个鲁棒稳定的滑模面 ,以降低非匹配不确定对系统的影响 . 给出了线性矩阵不等式形式的稳定滑模 面存在的充分条件 . 通过对 R ssler系统的同步仿真 ,验证了该方法的可行性 . 关键词 主动滑模控制 , 非匹配不确定性 , 线性矩阵不等式 , 同步
V1 ( z1 ) = z1 Pz1
T
假设 1 非匹配不确定矩阵满足 Δ A11 ( t) = D 1 F1 ( t) E1 ,Δ A12 ( t) = D 2 F2 ( t) E2 , Δ ΔA22 ( t) ‖Φ k2 ‖ A21 ( t) ‖Φ k1 , ‖ 矩阵 , 且 F1 ( t) , F2 ( t)满足
317
u ( t) = Bw ( t) - F ( x, y )
( 6) ( 7)
式 ( 5 )可重新写成
e = ( A +Δ A ( t) ) e + Bw ( t)
2 x y ≤ rx x +
T
T
1
r
y y
T
T