2020年数学中考 专题复习 万能解题模型(二) 与角平分线有关的基本模型
角平分线的几种辅助线作法与三种模型
一、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线→等腰三角形如图1，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作PE ∥OB ，交OA 于点E ，则EO=EP. AA A E P C E C D F E PO B B C O F B 图1 图2 图3例1 如图2，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形如图3，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作EF ⊥OC ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，则OE=OF ，PE=PF.例2 如图4，BD 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BD ，垂足为D ，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，沿角平分线AD 将△ABD 往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD ≌△AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.D A EA P /BCD B / B C 图5 图6例3如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
求证：1()2BE AC AB =-2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．21FEDCBAABDCE F图二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC于D ，AB ＋BC=2BD 。
求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(二)非全等类
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）4231DAEFCB4321DACBMA．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO∠∠AMO，△DCO∠∠NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．（1）证明：∠∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∠∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠∠OAC=1 2∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∠∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∠∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC=90°+12∠ABC；（2）解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∠∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∠∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在∠AEO和∠AMO中，AE AMEAO MAOAO AO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEO∠∠AMO，同理∠DCO∠∠NCO，∠∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∠∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∠∠MON=∠MOA=45°，过M作MK∠AD于K，ML∠ON于L，∠MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∠AOMMONSAOON S∆∆=，∠AOMMONS AMS MN∆∆=，∠AO AMON MN=，∠AO=3OD，∠31 AOOD=，∠31 AO AMON MN==，∠AN=43AM=43AE，∠AN+NC=AC，∠43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=1 2∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12ᵯ；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．【答案】(1)120°，30°，60°(2)见解析(3)70°【分析】（1）由∠A的度数，在∠ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；（2）由∠A的度数，在∠ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．（1）①在图1中：∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∠∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB∠∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠BAC）=12（180°-60°）=60°∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°；②在图2中：∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACD∠∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD∠∠ACD=∠ABC+∠A∠∠OCD=12（∠ABC+∠A）∠∠OCD=∠OBC+∠O∠∠O=∠OCD-∠OBC=12∠ABC+12∠A-12∠ABC=12∠A=30°．③在图3中：∠BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∠∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠BCD∠∠OBC+∠OCB=12（∠EBC+∠BCD）=12（∠A+∠ACB+∠BCD）=12（∠A+180°）=12（60°+180°）=120°∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=60°．故答案为：120°，30°，60°．（2）证明：∠OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ， ∠∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∠O =180°-（∠OBC +∠OCB ）=180°-12（∠ABC +∠ACB ）=180°-12（180°-∠A ）=90°+12∠A ．（3）设∠ABO 2=∠O 2BO 1=∠O 1BC =α，∠ACO 2=∠BCO 2=β， ∠2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°解得：α=20°，β=25° ∠∠ABC +∠ACB =3α+2β=60°+50°=110°，∠∠A =70°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线） 【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
角平分线四大基本模型
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例题4 （1）在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交 于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若 BD+CE=9，则线段DE之长为________
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（2）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB， DE//AB，FD//AC，如果BC=6，求△DEF的周长
【提示】“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
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例题3 （1）已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC， BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证： BD=2CE
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（2）在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于 点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE
角平分线四大基本模型 角平分线在初中几何中常见， 现总结以下四种基本类型 已知P是∠MON平分线上一点
2
【模型1】 若PA⊥OM于点A，可过P作PB⊥ON于点B，则 PB=PA 口诀：“图中有角平分线，可向两边作垂线”
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【模型2】 若点A是射线OM上任意一点，可在ON上截取OB=OA，连接PB， 构造△OPB≌△OPA 口诀：“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
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ห้องสมุดไป่ตู้
4
【模型3】 若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造等腰 △AOB，OP是底边AB垂线，进而利用三线合一 口诀：“角平分线加垂线，三线合一试试看”
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【模型4】 若过点P作PQ//ON交OM于点Q，从而构造等腰△POQ 口诀：“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
2020届九年级贵阳中考数学复习课件：第1部分 第4章 解题方法突破篇——角平分线四大模型(共22张PPT)
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模型 3 角平分线＋垂线构造等腰三角形 如图，P 是∠MON 平分线上的一点，AP⊥OP 于点 P，延长 AP 交 ON 于点 B. 结论：△AOB 是等腰三角形．
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针对训练 2．如图，在△ABC 中，已知∠A＝2∠B，CD 是∠ACB 的平分线．证 明：BC＝AD＋AC.
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证明：如答图，在 BC 边上截取 EC＝AC，连接 DE，则 BC＝BE＋ EC＝BE＋AC.
∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠DCE＝∠DCA.
EC＝AC，
在△CDE 和△CDA 中，∠DCE＝∠DCA， CD＝CD，
3
【解答】如答图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵BC＝9 cm，BD＝6 cm， ∴CD＝3 cm.∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3 cm.
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针对训练 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，CD＝1.5， BD＝2.5，求 AC 的长．
第一部 分教材同步复习
第四章 三角形 解题方法突破篇——角平分线四大模型
模型 1 过角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 平分线上的一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A， PB⊥ON 于点 B. 结论：PB＝PA.
【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距 离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件， 进而可以快速找到解题的突破口．
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也 可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等．这个 模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来．
2021年山西省中考数学重点题型讲解——角平分线问题四大模型
1
2020年山西中考专题讲解2——角平分线
问题四大模型
模型一、过角平分线上的点向两边作垂线 （一）模型总结
（二）针对训练
1.如图，点P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，PD=2，M 为OP 的中点，则点M 到射线OB 的距离为________.
2.如图，点P 是∠BAC 的平分线上一点，PB ⊥AB 于点B ，且PB=4，PC=5,AC=12,则△ABP 的面积是________.
模型二、利用角平分线构造对称图形
（一）模型总结
（二）针对训练
模型三、作角平分线的垂线构造等腰三角形
（一）模型总结
（二）针对训练
模型四、作角的一边的平行线构造等腰三角形
（一）模型总结
（二）针对训练
综合提升。
初中数学解题模型专题讲解2---角平分线的四大模型—角平分线上的点向两边作垂线
初中数专题2模型模型 1 1 ：：角平分线上的点向如图，P 是∠MON 的平分线上结论：PB=PA。
模型证明模型证明：：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP；又 PA⊥OM ，PB⊥ON，∴∠OAP=∠OBP=90°；OP=OP；∴RT△OAP≌RT△OBP,初中数学解题模型专题讲解2 角平分线的四大模型的点向两边作垂线的点向两边作垂线分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ONON 于点 B。
∴PB=PA。
模型分析利用角平分线的性质：角平分为边相等、角相等、三角形全突破口。
模型实例模型实例（1）如图①，在△ABC 中到直线 AB 的距离是_____（2）如图②，∠1=∠2，∠求证：AP 平分∠BAC。
解析解析：（：（1）由角平分线模型知（2）如图分别做AB ∴AP 平分∠BAC角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么___；∠3=∠4。
模型知模型知，，D 到AB 的距离等于DC=2AB 、BC 、AC 三边的高三边的高，，由题意易得三边高相等由题意易得三边高相等，，模型， 到解题的 那么点 D ，模型练习1．如图，在四边形 ABCD 求证：∠BAD+∠BCD=180°证明证明：：如图延长BA ，过D 作DE 、DF ∵BD 平分∠ABC∴DE=DF,又AD=DC∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD∴∠BAD+∠BCD=180°2．如图，△ABC 的外角∠P，若∠BPC=40°，则∠CAP=CD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。
°。
垂直BA 延长线延长线、、BC 于E 、F 两点两点，， DFC°∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP CAP= 。
角平分线的几种辅助线作法与三种模型
一、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线→等腰三角形如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP.AAAEPCECDFEPOBBCOFB图1图2图3例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.模型二：角平分线+垂线→等腰三角形如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.例2 如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.模型三：角平分线+翻折→全等三角形在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.D AE AP/BCDB /BC 图5图6例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
求证：1()2BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。
求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
21F EDCBANPEDCBA ABDCE F图三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠22、2、如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED 3、（四（2））四、以角的平分线为对称轴构造对称图形例1如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ． 求证：AB=AC+CD ．2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．五、利用角的平分线构造等腰三角形1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．G21PFECBAAG CHDEF图2BB ACDE图1ABDECBA C D E 图。
全等模型-角平分线模型—2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)(解析版)
全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1 图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==， ∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．八年级校联考期中）如图，ABC中，ACF∠A．①②B．①③C．②③④D．①②③④【答案】D【分析】过点P作PD AC⊥于D，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明()Rt Rt HLPAM PAD≌，()Rt Rt HLPCD PCN≌，得出APM APD∠=∠，CPD CPN∠=∠，进而得到2MPN APC∠=∠，再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论．【详解】解：①如图，过点P作PD AC⊥于D，BP 平分ABC ∠，PM BE ⊥，PN BF ⊥，PM PN ∴=， AP 平分EAC ∠，PM BE ⊥，PD AC ⊥，PM PD ∴=，PN PD ∴=，PN BF ⊥，PD AC ⊥，CP ∴平分ACF ∠，①结论正确；②PM BE ⊥，PD AC ⊥，PN BF ⊥，90PMA PDA PNB ∴∠=∠=∠=︒，在Rt PAM 和Rt PAD △中，PM PD PA PA =⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL PAM PAD ∴≌，APM APD ∴∠=∠，同理可得，()Rt Rt HL PCD PCN ≌，CPD CPN ∴∠=∠，()22MPN APM APD CPD CPN APD CPD APC ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠，360ABC PNB MPN PMA ∠+∠+∠+∠=︒，360180ABC MPN PNB PMA ∴∠+∠=︒−∠−∠=︒，2180ABC APC ∴∠+∠=︒，②结论正确；③AP 平分EAC ∠， 2CAE MAP ∴∠=∠，CAE ABC ACB ∠=∠+∠，MAP ABP APB ∠=∠+∠，()2ABC ACB ABP APB ∴∠+∠=∠+∠， BP 平分ABC ∠，2ABC ABP ∴∠=∠，222ABP ACB ABP APB ∴∠+∠=∠+∠，2ACB APB ∴∠=∠，③结论正确； ④由②可知，Rt Rt PAM PAD ∴≌，Rt Rt PCD PCN ≌，PAM PAD SS ∴=，PCD PCN S S =， PAC PAD PCD S S S =+，PAC PAM PCN S S S =+APM CPN APC S S S ∴+=△△△，④结论正确，∴正确的结论是①②③④，故选：D【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABDC 中，90D ABD ∠=∠=︒，点O 为BD 的中点，且OA平分BAC ∠．(1)求证：OC 平分ACD ∠；(2)求证：OA OC ⊥；(3)求证：AB CD AC +=．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）过点O 作OE AC ⊥于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得OB OE =，从而求出OE OD =，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；（2）利用HL ，证明Rt Rt ABO AEO ≌，根据全等三角形对应角相等，可得AOB AOE ∠=∠，同理可得COD COE ∠=∠，然后求出=90AOC ∠︒，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得AB AE =，CD CE =，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．【详解】（1）证明：过点O 作OE AC ⊥于E ，∵90ABD Ð=°，OA 平分BAC ∠∴OB OE =，∵点O 为BD 的中点，∴OB OD =，∴OE OD =，又∵90D Ð=°，∴OC 平分ACD ∠；（2）证明：在Rt ABO △和Rt AEO △中，AO AO OB OE =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABO AEO △≌△，∴AOB AOE ∠=∠，在Rt CEO △和Rt CDO △中，CO CO OE OD =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL CEO CDO ≌，∴COD COE ∠=∠，∴1180902AOC AOE COE ∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴OA OC ⊥；（3）证明：∵Rt Rt ABO AEO ≌，∴AB AE =，∵Rt Rt CEO CDO ≌，∴CD CE =，∵AE CE AC +=，∴AB CD AC +=．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，∴∠MCN=30°+30°=60°，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。
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万能解题模型(二)与角平分线有关的基本模型
前言：
“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节
从小学到初中，学生们经历了无数次考试。
通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。
但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。
结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。
这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。
做好试卷分析和总结是十分有必要的。
那么，怎样做好试卷分析呢？我认
为，应从下面两点做起：
一．失分的原因主要有如下四方面：
（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；
（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；
（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；
（4）解题基本功：答题规范性差。
只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。
二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？
（1）怎样做出来的？——想解题方法；
（2）为什么这样做？——思考解题原理；
（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；
（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；
（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；
（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。
转变，让我们从一轮复习开始。
按照上面两点认真完成后面练习题。
希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。
一、三角形中角平分线的夹角问题 模型1 两内角平分线的夹角
如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，则∠BGC 与∠A 之间的关系为：∠BGC ＝90°＋1
2
∠A ．
解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．
模型2 一个内角和一个外角平分线的夹角
如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点P ，则∠P 与∠A 之间的关
系为：∠P ＝1
2
∠A ．
解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半． 模型3 两外角平分线的夹角
如图，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线，则∠O 与∠A 之间的关系为：∠O ＝90°－1
2∠A ．
解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．
模型4 内角平分线和高线的夹角
如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线(AE 可能在AD 的左侧或右侧)，则∠EAD ＝1
2
|∠B －∠C|．
1．(2019·大庆)如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E.若∠A ＝60°，则∠BEC ＝(B)
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
2．(2018·黄石)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC ＝60°，则∠EAD ＋∠ACD ＝(A)
A ．75°
B ．80°
C ．85°
D ．90°
3．(2018·深圳改编)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，AD ，BE 相交于点F ，且AF ＝4，EF ＝2，则AE ＝10．
4．如图，在△ABC 中，∠A ＝α，△ABC 的两外角平分线交于点D 1，∠CBD 1的平分线与∠BCD 1的平分线交
于点D 2，∠CBD 2的平分线与∠BCD 2的平分线交于点D 3，则∠D 3＝157.5°－1
8
α(用含α的代数式表示)．
二、与角平分线有关的图形和辅助线作法 模型1 角平分线＋平行线→等腰三角形 常见模型有以下四种：
解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．
5．(2019·陕西)如图，OC 是∠AOB 的平分线，l ∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为(C) A ．52° B ．54° C ．64° D ．69°
6．(2018·淄博)如图，在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB 交AB 于点M ，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC.若AN ＝1，则BC 的长为(B)
A ．4
B ．6
C ．4 3
D ．8
7．(2019·安顺节选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点．若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．
解：结论：AB ＝AF ＋CF.
证明：延长AE 交DF 的延长线于点G . ∵E 是BC 的中点，∴CE ＝BE.
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.
又∵∠AEB＝∠GEC，BE＝CE，
∴△AEB≌△GEC(AAS)．
∴AB＝GC.
∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG.
∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG.
又∵CG＝CF＋FG，∴AB＝AF＋CF.
模型2利用角平分线，作辅助线构造全等三角形
①过角平分线上的点作角两边的垂线
如图1，BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，则OE＝OF，△BEO≌△BFO.
图1 图2
②过角平分线上任意一点作角平分线的垂线
如图2，BO是∠ABC的平分线，EF⊥BO，则△BEO≌△BFO.
③采用截长补短法构造全等三角形
图3
如图3，在△ABC中，BC>BA，BO是∠ABC的平分线．
(截长法)在BC上取线段BE＝BA，连接OE，则△BEO≌△BAO；
(补短法)延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD，则△BDO≌△BCO.
解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段(截长或补短)构造全等三角形．
8．(2019·陕西)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为(A)
A．2＋ 2
B.2＋ 3
C．2＋ 3
D．3
9．(2019·永州)已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝4．
10．(2019·威海改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，且EC平分∠BED.连接BE.若AB＝6，则CD＝3．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD.
证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接DE. ∵AB ＝AE ，∠1＝∠2，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AED(SAS)．∴∠B ＝∠E. ∵∠ACD ＝∠E ＋∠CDE ，∠ACD ＝2∠B ， ∴∠ACD ＝2∠E.∴∠E ＝∠CDE.
∴CD ＝CE.∴AB ＝AE ＝AC ＋CE ＝AC ＋CD.
12．感知：如图1，AD 平分∠BAC.∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°，易知：DB ＝DC. 探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°，求证：DB ＝DC.
应用：如图3，在四边形ABCD 中，∠B ＝45°，∠C ＝135°，DB ＝DC ＝a ，则AB －AC 用含a 的代数式表示)．
,图1)
,图2) ,图3)
证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ，∠F ＝∠DEB ＝90°. ∵∠EBD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠EBD ＝∠FCD.
在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠F ＝∠DEB ，
∠FCD ＝∠EBD ，DF ＝DE ，
∴△DFC ≌△DEB(AAS)．∴DC ＝DB.。