2018年秋季八年级数学上册第十三章轴对称13.3等腰三角形13.3.2第2课时含30°角的直角三角
13.3.2 第2课时含30°角的直角三角形的性质人教版数学八年级上册同步课堂教案
第十三章轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形第2课时含30°角的直角三角形的性质一、教学目标1.掌握含有30°角的直角三角形的性质.2.经历探索含有30°角的直角三角形性质的过程，并运用其进行有关的证明和计算.二、教学重难点重点：含有30°角的直角三角形的性质.难点：运用含有30°角的直角三角形的性质进行计算和证明．三、教学过程【新课导入】[复习导入]教师带领学生复习等腰三角形和等边三角形的性质与判定，为本节课的学习做准备.【新知探究】知识点含30°角的直角三角形的性质[提出问题]用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（也即是30°角所对的直角边）与斜边的长度，你有什么发现吗？[动手操作]学生量一下自己手里的含有30°角的直角三角板，将所量得的结果记录在练习本上，由于每个学生的三角板并不完全一样，所以学生量得的结果会各不相同.教师点名5位学生回答他们的测量结果，并将测量结果写在黑板上.[课件展示]教师利用多媒体展示如下三位学生的结果：引导学生观察，斜边长与最短的直角边长存在什么关系(2倍关系）.之后再验证黑板上学生的测量结果，发现也符合这样的倍数关系.[提出问题]如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画过程：[小组讨论]学生之间讨论，教师引导学生观察，两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起是什么图形，进而得到结论.之后教师点名，由代表回答小组间讨论的结果.教师纠正.[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：如图，△ADC 是△ABC 的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD 是一个等边三角形.再由AC ⊥BD,可得BC=CD= 12 AB.[提出问题]由此我们可以得到什么结论呢？[学生回答]学生的可能回答有：生甲：30°角所对的直角边的长度是斜边长度的一半.生乙：最短的直角边的长度乘以2就是斜边的长度.对于学生的回答，只要意思对，都给予肯定，但如乙同学的回答，这里教师应强调，应加上“含30°角的直角三角形中”.[提出问题]如何验证你们的猜想呢？[课件展示]教师利用多媒体展示如下已知与求证：已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC= 12AB ．[小组讨论]学生之间讨论，之后每位学生在练习本上书写证明过程，教师巡视，及时订正学生的错误.[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：证法一：证明：在△ABC 中，∵∠C=90°，∠A=30°, ∴∠B=60°．如图，延长BC 到点D ，使BD=AB ，连接AD ，则△ABD 是等边三角形．又∵AC ⊥BD, ∴BC=12BD ．∴BC=12AB ．证法二：证明：在BA 上截取BE=BC ，连接EC.∵∠B= 60°，BE=BC.∴△BCE 是等边三角形，∴∠BEC= 60°，BE=EC.∵∠A= 30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.∴AE=EC ，∴AE=BE=BC ，∴AB=AE+BE=2BC ，即BC=12AB ．[归纳总结]在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.该性质的几何语言：在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB ．并提醒学生注意：该性质是“含有30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形没有这个性质.[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例1 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC ，DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BC,DE 要多长？解：∵DE ⊥AC,BC ⊥AC,∠A=30 °，∴BC=12AB,DE=12AD.∴BC=12×7.4=3.7(m).又AD=12AB,∴DE=12AD=12×3.7=1.85(m).答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m.例2 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°.（1）若CD=8cm ，则BC 的长度是多少？（2）若AD=3cm ，则AB 的长度是多少？解：（1）∵CD 是斜边AB 边上的高，∴∠BDC=90°.∵在Rt △BCD 中，∠B=30°，CD=8cm ，∴BC=2CD=16cm.（2）在Rt △ABC 中，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵CD 是斜边AB 边上的高，∴∠ADC=90°.∴∠ACD=30°.∵在Rt △ACD 中，∠ACD=30°，AD=3cm ，∴AC=2AD=6cm.∵在Rt △ABC 中，∠B=30°，AC=6cm ，∴AB=2AC=12cm.[归纳总结]注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例3 (2021•宣城模拟)如图，在△ABC中,∠ACB=90°，∠B=15°,DE垂直平分AB，交BC于点E,AE=6cm,则AC=( D )A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm[归纳总结]含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段之间倍分关系的重要工具，解题时，一般先是寻找30°角所在的直角三角形，得到斜边与直角边的关系，当30°角不在一个直角三角形中时，可考虑作辅助线构造含30°角的直角三角形,如：作垂线得到含30°角的直角三角形，或作等腰三角形构造顶角的邻补角为60°.当三角形中含有15°，30°，60°，120°角时，也可通过添加辅助线，构造含30°角的直角三角形求解.常见的模型有如下几种（图中所标的红色的角均为30°）：【课堂小结】【课堂训练】1.如图,在△ABC中, AD是边BC的垂直平分线，∠B=60°,BD=2 ,那么AC的长度是( D )A.1B.2C.3D.42.如图,在△ABC中，∠C=60°, AD是BC边上的高,点E为AD的中点,连接BE并延长交AC于点F .若∠AFB=90°, EF=2，则BF长为( D )A.4B.6C.8D.103.(2021•乌苏市二模)如图,在等边△ABC中, D是AB的中点，DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F ,已知AB=8,则BF的长为( C )A.3B.4C.5D.64.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝3，则PD等于( ) A．3 B．2C.1.5 D．1【解析】如图，过点P作PE⊥OB于点E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO＝15°，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO ＝15°＋15°＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.5.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC= 5 .6.如图，在△ABC中，AB=BC ,∠ABC=120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD=1 ,则CD的长度为 2 ．7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.8.求证:有一个锐角是30°的直角三角形斜边上的高把斜边分成1:3的两条线段.已知:如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°, CD⊥AB.求证:BD:AD=1:3.证明:在Rt△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC , ∠B=90-30°=60° ,∵CD⊥AB ,∴∠CDB=90° ,∴∠BCD=30° ,∴BC=2BD .∴AB=4BD,∴BD：AD=1：3.故有一个锐角是30°的直角三角形斜边上的高把斜边分成1：3的两条线段.9.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，求BC的长.解：∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC,∴∠NCM=∠BCM，∠AMN=∠NMC.∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠NMC=∠BCM.∴∠AMN=∠B=∠NMC=∠BCM=∠NCM. ∴NM=NC.∵∠ACB=∠NCM+∠BCM，∴∠ACB=2∠B.∵∠A=90°，∴∠ACB+∠B=90°，∴∠B=30°.∴∠AMN=∠B=30°.∵∠A=90°，∠AMN=30°，AN=1,∴MN=2.∵AC=AN+NC=AN+MN=3，∴BC=2AC=6.【教学反思】本节课我采用动手测量含30°角的直角三角板的最短直角边长和斜边长的方式入手，因为学生的三角尺尺寸不用，所以学生测量了不同大小的含30°的直角三角板,再将测量数据进行比较，从而直观、快捷地找出它们的关系.这样就避免了以往由于知识比较抽象学生无从下手,无法理解的情况。
人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 等腰三角形 等边三角形第2课时 含30°角的直角三角形的性质
6．(丹东中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰 好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是__3__．
7．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝10 cm，则阴影部分的面积是 ____1_2_._5_c_m_2_．
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，添加一 个你认为适当的条件，并利用此条件说明 BD＝14 AB.
解：当∠A＝30°时，BD＝14 AB，理由如下：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴ ∠B＝60°，在 Rt△ABC 中，BC＝12 AB.又 CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝ 30°，则 BD＝12 BC，∴BD＝12 ×12 AB＝41 AB
9．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点 Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，△BEN的边BN在BC上，点E在△ABC的内 部，∠E＝∠EBC＝60°，AD平分∠BAC交EN于点D，若BE＝6 cm，DE＝2 cm， 求BC的长．(提示：延长AD交BC于点M)
解：延长 AD 交 BC 于点 M，∵AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线，∴AM⊥BC，BM ＝MC＝12 BC，∵∠E＝∠EBN＝60°，∴△BEN 为等边三角形，∴EN＝BN＝BE＝6 cm， ∴DN＝6－2＝4(cm)，在 Rt△DMN 中，∠BND＝60°，∴∠MDN＝30°，∴MN＝12 DN ＝12 ×4＝2(cm)，∴BC＝2BM＝2(BN－MN)＝2×(6－2)＝8(cm)
解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC.又∵AE＝CD，∴ △ABE≌△CAD(SAS)，∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD.∴∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝ ∠BAP＋∠CAD＝∠BAC＝60°.又∵BQ⊥PQ，∴∠AQB＝90°，∴∠PBQ＝30°， ∴PQ＝12 PB，∴PB＝2PQ＝6，∴BE＝PB＋PE＝6＋1＝7，∴AD＝BE＝7
八年级上册数学第十三章 轴对称思维导图
八年级上册数学第十三章
轴对称13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
轴对称的定义
相关概念
对称轴1
对称点2
垂直平分线3
性质
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
性质
判定
13.1.3 三角形的稳定性
三角形是具有稳定性的图形
四边形没有稳定性
13.2 画轴对称图形
轴对称图形特点
做轴对称图形方法
在平面直角坐标系中做轴对称图形
在平面直角坐标系中
找带你的轴对称点
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
等腰三角形定义4
等腰三角形性质
判定方法
13.3.2 等边三角形
等边三角形定义5
推论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
13.3 课题学习 最短路径问题通过利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题
从而作出最短路径的选择
八年级上册数学总大纲
备注：
1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够于与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴
2. 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
3. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
4. 有两边相等的三角形是等腰三角形
5. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
八年级数学上册教学课件-13.3.2 等边三角形4-人教版
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴ BC = 1 AB．
B
2
证明方法： 截半法
A
E
C
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半.
A 应用格式： ∵ 在Rt△ABC 中，
证明方法： A 倍长法
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
∴ BC =1 AB． 2
B
C
D
证法2： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
解： ∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= 1 AB,
1
DE= AD.
B
2
2
∴BC= 1 AB= 1 ×7.4=3.7(m). D
22
又AD=
1
AB,
2
A
E
C
∴DE= 1 AD= 1 ×3.7=1.85 (m). 22
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
当堂练习
1.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的长为 5 ．
B
C
A
5.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
D A
B
)15 °
八年级数学人教版(上册)第2课时等腰三角形的判定
讲授新课
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形 的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限 于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形 中，此结论不一定成立．
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB
的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
∴ AC=AB. ( 等角对等边 ) B
C
即△ABC为等腰三角形. 侵权必究
讲授新课
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A 12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）.
C D
1
A2
B
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC （等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
侵权必究
讲授新课
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那：1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB
于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
C
M A DB
N
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB 边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F， 求证：△CEF是等腰三角形．
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
侵权必究
目录页
新课导入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
侵权必究
新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
学习目标
探索等腰三角形的判定定理及其应用
【精】2018八年级数学《13.3 等腰三角形》同步复习资料【2】 【含解析】
2018八年级数学《13.3 等腰三角形》同步复习资料【2】一．选择题（共15小题）1．等腰三角形三边为a，2a﹣3，3a﹣5，则等腰三角形周长为（）A．10 B．10或7 C．7或4 D．10或7或42．如图，在△ABC中，D、E为BC的三等分点，△AED为等边三角形，则∠BAC等于（）A．150°B．120°C．90°D．以上都不对3．如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=18°，∠EDC=12°，则∠DAE的度数为（）A．58°B．56°C．62°D．60°4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠DBC 等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°【2】【3】【4】5．如图，在△ABC中，AC=BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD=AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF=BD，则∠A的度数为（）A．30 B．36 C．45 D．726．如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（）A．3 B．1 C．2 D．47．如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC=BC，若∠A=70°，则∠C=（）A．100°B．110°C．115°D．120°【5】【6】【7】8．若等腰三角形一腰上高与另一腰的夹角为25°，则这个等腰三角形的顶角是（）A．25°B．65°C．115°D．65°或115°9．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图O是边长为9的等边三角形ABC内的任意一点，且OD∥BC，交AB于点D，OF∥AB，交AC于点F，OE∥AC，交BC于点E，则OD+OE+OF的值为（）A．3 B．6 C．8 D．911．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的角平分线AF与AB的垂直平分线DF交于点F，连接CF，BF，则∠BCF的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．45°12．如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B=70°．则∠BCE的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．35°【10】【11】【12】13．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直14．如图，在四边形ABCD中AC，BD为对角线，AB=BC=AC=BD，则∠ADC的大小为（）A．120°B．135°C．145°D．150°15．如图，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（）A．5 B．7.5 C．9 D．10【13】【14】【15】二．填空题（共15小题）16．等腰三角形一腰上的中线将其周长分为8和12两部分，则它的底边长是．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=°．18．如图，已知△ABC的面积为20，AB=AC=8，点D为BC边上任一点，过D作DE⊥AB于点E．作DF⊥AC于点F，则DE+DF=．19．如图，若B，D，F在AN上，C，E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF，∠A=20o，则∠FEM=．【17】【18】【19】20．已知等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，D为AC边上一点，且BD=AD，△BCD的周长为17cm，则底边BC 的长为cm．21．如图，已知AD是等腰△ABC底边BC上的中线，BC=6cm，AD=9cm，点E、F是AD的三等分点，则阴影部分的面积为．22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE 的垂直平分线上，若CE=8cm，则AB+BD=cm．23．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为钝角，BC=6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为．24．一个等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为．25．如图，在等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC 边于D，且DE长为1，则BC长为．【21】【22】【23】【25】26．如图，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．27．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是cm．28．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分别于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACE=20°，则∠EFB=度．【26】【27】【28】29．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC=20°，∠C=38°，则∠BAD=．30．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是．【29】【30】三．解答题（共5小题）31．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E、F，判断△OEF的形状，并说明理由．32．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）33．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．34．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD=DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．35．如图①，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE=∠AED．（1）试说明∠BAD=2∠CDE；（2）如图②，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．2018八年级数学《13.3 等腰三角形》同步复习资料【2】参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．等腰三角形三边为a，2a﹣3，3a﹣5，则等腰三角形周长为（）A．10 B．10或7 C．7或4 D．10或7或4【解答】解：①当a是底边时，则腰长为：2a﹣3，3a﹣5，∵三角形为等腰三角形∴2a﹣3=3a﹣5，∴a=2，∴2a﹣3=1，3a﹣5=1，∵1+1=2，∴构不成三角形；②当2a﹣3是底边时，则腰长为：a，3a﹣5，∵三角形为等腰三角形∴a=3a﹣5，∴a=，∴2a﹣3=2，∴等腰三角形的周长=7；③当3a﹣5是底边时，则腰长为：a，2a﹣3，∵三角形为等腰三角形∴a=2a﹣3，∴a=3，∴2a﹣3=3，3a﹣5=4，∴等腰三角形的周长=10，故选：B．2．如图，在△ABC中，D、E为BC的三等分点，△AED为等边三角形，则∠BAC等于（）A．150°B．120°C．90°D．以上都不对【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=120°．故选：B．3．如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=18°，∠EDC=12°，则∠DAE的度数为（）A．58°B．56°C．62°D．60°【解答】解：设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，∴∠B+18°=x°+12°，∴∠B=x°﹣6°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=x°﹣6°，∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°﹣6°+12°=x°+6°，∵AD=DE，∴∠DEA=∠DAE=x°+6°，在△ADE中，由三角形内角和定理可得x+x+6+x+6=180，解得x=56，即∠ADE=56°，∴∠DAE=62°故选：C．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠DBC 等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵从作图可知：BD=BC，∴∠C=∠BDC，∵在△ABC中，∠A=30°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=（180°﹣∠A）=75°，∴∠BDC=∠C=75°，∴∠DBC=180°﹣∠C﹣∠BDC=30°，故选：D．5．如图，在△ABC中，AC=BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD=AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF=BD，则∠A的度数为（）A．30 B．36 C．45 D．72【解答】解：∵CA=CB，∴∠A=∠B，设∠A=∠B=x．∵DF=DB，∴∠B=∠F=x，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，故选：B．6．如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（）A．3 B．1 C．2 D．4【解答】解：OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB．∵DE∥BC，∴∠OBC=∠DOB，∠EOC=∠OCB．∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO．∴DB=DO，EO=EC，DE=DO+EO=DB+EC，∵DE=5，BD=3，∴EC=5﹣3=2，故选：C．7．如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC=BC，若∠A=70°，则∠C=（）A．100°B．110°C．115°D．120°【解答】解：∵BE垂直平分AD，∴AB=DB，又∵∠A=70°，∴∠ABE=20°，∴∠ABD=40°，又∵AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD=40°，又∵DC=BC，∴∠C=180°﹣2×40°=100°，故选：A．8．若等腰三角形一腰上高与另一腰的夹角为25°，则这个等腰三角形的顶角是（）A．25°B．65°C．115°D．65°或115°【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是65°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是115°．故选：D．9．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件；当PA=PO时，可得P3满足条件；当AO=AP时，可得P4满足条件，故选：C．10．如图O是边长为9的等边三角形ABC内的任意一点，且OD∥BC，交AB于点D，OF∥AB，交AC于点F，OE∥AC，交BC于点E，则OD+OE+OF的值为（）A．3 B．6 C．8 D．9【解答】解：延长OD交AC于点G，∵OE∥CG，OG∥CE，∴四边形OGCE是平行四边形，有OE=CG，∠OGF=∠C=60°，∵OF∥AB，∴∠OFG=∠A=60°，∴OF=OG，∴△OGF是等边三角形，∴OF=FG，∵OD∥BC，∴∠ADO=∠B=60°∴梯形OFAD是等腰梯形，有OD=AF，即OD+OE+OF=AF+FG+CG=AC=9．故选：D．11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的角平分线AF与AB的垂直平分线DF交于点F，连接CF，BF，则∠BCF的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．45°【解答】解：∵AF与AB的垂直平分线DF交于点F，∴FA=FB，∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°∴∠BAF=25°，∠FBE=40°，延长∠BAC的角平分线AF交BC于点E，∴AE⊥BC，∴∠CFE=∠BFE=50°，∴∠BCF=∠FBE=40°．故选：B．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B=70°．则∠BCE的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．35°【解答】解：连接BE，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠ABC=70°，AC=AB，∴∠ACB=∠ABC=70°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=20°，∵DE垂直平分AB，∴AE=EB，∴∠ABE=∠BAE=20°，∴∠BCE=∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=70°﹣20°=50°，故选：B．13．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【解答】解：∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°，∴∠OAC=∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD，∴∠ABD=∠AOC=60°，∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°，∴∠OAC=∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD，∴∠ABD=∠AOC=60°，∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．14．如图，在四边形ABCD中AC，BD为对角线，AB=BC=AC=BD，则∠ADC的大小为（）A．120°B．135°C．145°D．150°【解答】解：∵AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵AB=BC=BD，∴∠ADB=（180°﹣∠ABD），∠BDC=（180°﹣∠CBD），∴∠ADC=∠ADB+∠BDC，=（180°﹣∠ABD）+（180°﹣∠CBD），=（180°+180°﹣∠ABD﹣∠CBD），=（360°﹣∠ABC），=180°﹣×60°，=150°．故选：D．15．如图，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（）A．5 B．7.5 C．9 D．10【解答】解：连接AO，∵在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，∴三角形ABC的面积=△ABO的面积+△ACO的面积====15，解得：OE+OF=5，故选：A．二．填空题（共15小题）16．等腰三角形一腰上的中线将其周长分为8和12两部分，则它的底边长是或4．【解答】解：设等腰三角形的腰长是x，底边是y．根据题意，得：或，解得或．所以它的底边是或4．故答案为：或4．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=45°．【解答】解：∵AE=AC，BC=BF，∴∠AEC=∠ACE=，∠BFC=∠BCF=，∴∠ECF=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB=+﹣90°=45°，故答案为：45．18．如图，已知△ABC的面积为20，AB=AC=8，点D为BC边上任一点，过D作DE⊥AB于点E．作DF⊥AC于点F，则DE+DF=5．【解答】解：连接AD，则：S△ABD+S△ACD=S△ABC，即：•8•DF+•8•DE=20可得：DE+DF=5，故答案为5．19．如图，若B，D，F在AN上，C，E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF，∠A=20o，则∠FEM=100°．【解答】解：∵∠A=20°，AB=BC，∴∠A=∠ACB=20°，∠CBD=∠A+∠ACB=20°+20°=40°；∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=40°，∴∠ECD=∠A+∠CDA=30°（外角定理）；∵CD=DE，∴∠DCE=∠DEC=60°，∴∠EDF=∠A+∠AED=80°；又∵DE=EF，∴∠EDF=∠EFD=80°，∴∠FEM=∠A+∠EFD=20°+80°=100°．故答案为100°．20．已知等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，D为AC边上一点，且BD=AD，△BCD的周长为17cm，则底边BC 的长为7cm．【解答】解：如图，∵△BCD的周长为17cm，∴BD+DC+BC=17cm，∵BD=AD，∴AD+DC+BC=17cm，∴AC+BC=17cm，∵AC=10cm，∴BC=7cm，故答案为：7．21．如图，已知AD是等腰△ABC底边BC上的中线，BC=6cm，AD=9cm，点E、F是AD的三等分点，则阴影部分的面积为9cm2．【解答】解：∵BC=6cm，AD是△ABC的中线，∴BD=DC=3cm，AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△AFC=S△AFB，∵点E、F是AD的三等分点，∴S△AFB=S△BED=S△ABD∴图中阴影部分的面积是S△ABD=××3×9=9cm2．故答案为：9cm2．22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若CE=8cm，则AB+BD=12cm．【解答】解：∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE=8，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∠B=60°．∴BD=AB=4，∴AB+BD=8+4=12cm，故答案为：1223．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为钝角，BC=6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为6．【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD=BD，AE=CE，∴L△ADE=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=6．故答案为：624．一个等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为8．【解答】解：设腰长为2x，一腰的中线为y，则（2x+x）﹣（5+x）=3或（5+x）﹣（2x+x）=3，解得：x=4，x=1，∴2x=8或2，①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理；故答案为：825．如图，在等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC 边于D，且DE长为1，则BC长为2．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵DE=1，∴AC=2．故答案为：226．如图，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是8cm．【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．故答案是：8．27．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是8cm．【解答】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM为等边三角形，∴BD=DM=BM=5，∵DE=3，∴EM=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm），故答案为8．28．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分别于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACE=20°，则∠EFB=60度．【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴BE=EC，∵BE=AC，∴CE=AC，∴△ACE是等腰三角形，∵∠ACE=20°，∴∠AEC=∠A=80°，∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=，∵BF平分∠ABC，∴∠EBF=，∴∠EFB=∠AEC﹣∠EBF=80°﹣20°=60°，故答案为：6029．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC=20°，∠C=38°，则∠BAD=58°．【解答】解：设∠ABD=α，∠BAD=β∵AD⊥BD∴∠ABD+∠BAD=90°，即α+β=90°∵BD是∠ABC得角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=2α，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180∴2α+β+38°+20°=180°，∴联立可得解得：∴∠BAD=58°故答案为：58°30．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是①②③．【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴180°﹣∠ECD=180°﹣∠ACB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），∴∠BCQ=180°﹣60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，故③小题正确；PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD=BE，AP=BQ，∴AD﹣AP=BE﹣BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．三．解答题（共5小题）31．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E、F，判断△OEF的形状，并说明理由．【解答】解：△OEF是等边三角形，∵E为BO垂直平分线上的点，且∠OBC=30°，∴BE=OE，∠EBO=∠EOB=30°，∴∠OEF=∠EBO+∠EOB=60°，同理，∠OFE=∠FCO+∠FOC=60°，∴△OEF为等边三角形，32．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）【解答】证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．∵DG∥AC，∴∠GDF=∠E，∠DGB=∠ACB．在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GD=CE．∵BD=CE，∴BD=GD，∴∠B=∠DGB=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．33．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=36°，∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE=BE，∴FE垂直平分AB，∴AF=BF，∴∠BAF=∠ABF，又∵∠ABD=∠BAD，∴∠FAD=∠FBD=36°，又∵∠ACB=72°，∴∠AFC=∠ACB﹣∠CAF=36°，∴∠CAF=∠AFC=36°，∴AC=CF，即△ACF为等腰三角形．34．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD=DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵DC‖AB，∴∠CDB=∠ABD，又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC，又∵AD=BC，∴AD=DC；（2）△DEF为等边三角形，证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点，∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形．35．如图①，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE=∠AED．（1）试说明∠BAD=2∠CDE；（2）如图②，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【解答】（1）证明：∵∠AED是△CDE的外角∴∠AED=∠ACB+∠CDE，∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠BAD+∠ABC，∵∠ADE=∠AED∴∠ACB+∠CDE+∠CDE=∠BAD+∠ABC，∵∠ABC=∠ACB，∴∠BAD=2∠CDE；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵∠ACB是△CDE的外角∴∠ACB=∠AED+∠CDE，∵∠ABC是△ABD的外角∴∠ABC=∠ADB+∠BAD，∵∠ABC=∠ACB，∴∠AED+∠CDE=∠ADB+∠BAD，∵∠AED=∠ADE=∠CDE+∠ADB∴∠CDE+∠ADB+∠CDE=∠ADB+∠BAD∴∠BAD=2∠CDE．第31页。
八年级数学上册第十三章轴对称13.3等腰三角形13.3.2等腰三角形的判定备课资料教案新人教版(2
2018年秋八年级数学上册第十三章轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等腰三角形的判定备课资料教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋八年级数学上册第十三章轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等腰三角形的判定备课资料教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋八年级数学上册第十三章轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等腰三角形的判定备课资料教案（新版）新人教版的全部内容。
第十三章 13。
3。
2等腰三角形的判定知识点:等腰三角形的判定等腰三角形的判定方法有两个:（1)定义法:有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）,即这个三角形为等腰三角形.关键提醒:“等角对等边”是识别三角形是否为等腰三角形的依据，即因为有两个角相等，进而判断出这两角所对的边也相等，从而确定这个三角形就是等腰三角形。
需要注意的是“等角对等边”也是证明线段相等的一个重要方法，但使用的范围是在同一个三角形中。
考点：等腰三角形的判定【例】如图,已知A C⊥BC，BD⊥AD,AC与BD交于O，AC=BD。
求证:（1）BC=AD;（2)△OAB是等腰三角形。
解：（1) ∵AC⊥BC，BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB=BA，AC=BD,∴△ACB≌Rt△B DA(HL） .∴BC=AD。
（2)由△ACB≌Rt△BDA得∠CAB=∠DBA,∴△OAB是等腰三角形.点拨:(1)证△ACB≌Rt△BDA ，根据全等三角形的对应边相等可得;（2）证∠OAB=∠OBA,根据等角对等边可得.。
八年级数学人教版上册第13章轴对称图形13.3.2等边三角形(图文详解)
八年级数学上册第13章轴对称
通过本课时的学习，需要我们掌握： 一.等边三角形的判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形. 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 二.定理： 如果在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么，它所对的直角边等于斜边的一半.
八年级数学上册第13章轴对称
A
想想看，等边三角形 有什么性质？
B
C
⑴三边之间 AB＿＝AC＿＝BC
⑵三角之间∠A＿＝∠B＿＝∠C
八年级数学上册第13章轴对称
等边三角形的性质 A
B ）60°
60（° C
⑴等边三角形的三边都相等；
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 60°.
八年级数学上册第13章轴对称
八年级数学上册第13章轴对称
1.如图,∠Ｃ＝90°，Ｄ是ＣＡ的延长线上一点,
1
∠ＢＤＣ＝15°，且ＡＤ＝ＡＢ，则ＢＣ=_____2 AD.
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ
八年级数学上册第13章轴对称
2.（2010·宿迁中考）数学活动课上，老师在黑板上画直 线l平行于射线AN（如图），让同学们在直线和射线上各找 一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角 形．这样的三角形最多能画______个．
【解析】分别以A 、B、 C为直角顶点,则共有3个等腰直角 三角形. 答案：3
八年级数学上册第13章轴对称
3.（2010·聊城中考）如图，在等边△ABC中，点D是BC边 的中点，以AD为边作等边△ADE，求∠CAE的度数.
A
F E
B
D
C
【解析】点D是等边△ABC中BC边的中点，故∠DAC＝ 30°;在等边△ADE中， ∠CAE=60°-30°=30°. 答：∠CAE=30°.
八年级数学上册第十三章轴对称13-3等腰三角形13-3-2等边三角形第2课时等边三角形的判定习题新版
60°， AB ＝ AC ，∴△ ABC 是等边三角形，∴选项C不
符合题意；D. ∵∠ A ＝60°， AB ＝ AC ，∴△ ABC 是等
边三角形，∴选项D不符合题意.
【答案】B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 由于木质的衣架没有柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便
1，3，则线段 AB 的长为
2
cm.
(第5题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【点拨】
∵直尺的两对边相互平行，∴∠ ACB ＝∠α＝60°.
又∵∠ A ＝60°，∴∠ ABC ＝180°－∠ ACB －∠ A ＝
180°－60°－60°＝60°.∴∠ A ＝∠ ABC ＝∠ ACB .
∴△ ABC 是等边三角形.∴ AB ＝ BC ＝3－1＝2(cm).
∵∠ MCF ＝180°－∠ ACM －∠NCB ＝180°－
60°－60°＝60°，∴∠ MCF ＝∠ ACE .
在△ CAE 和△ CMF 中，
∠＝∠，
∵ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ CAE ≌△ CMF (ASA)，∴ CE ＝ CF ，
∴△ CEF 为等腰三角形，又∵∠ ECF ＝60°，
∴∠ FMO ＝60°， MF ＝ MO .
∵△ MNE 是等边三角形，
∴∠ NME ＝60°， MN ＝ ME ，
∴∠ FMN ＋∠ NMO ＝∠ NMO ＋∠ OME ＝60°，
八年级数学上册第十三章轴对称13-3等腰三角形13-3-2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定习
∴ AE ＝ BD ；
②当点 D 在 BA 的延长线上时，同理可证
AE ＝ BD . 综上， AE ＝ BD .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 【新视角·动点探究题】已知，在等边三角形 ABC 中，
点 D 为射线 BA 上一点(点 D 与点 B 不重合)，连接 CD ，
∴∠ DCF ＝60°，∠ ACB ＝60°， AC ＝ BC ， DC
＝ FC ，
∴∠ ACD ＋∠ ACF ＝60°，
∠ BCF ＋∠ ACF ＝60°，
∴∠ ACD ＝∠ BCF .
∴△ ACD ≌△ BCF (SAS)，∴ AD ＝ BF .
又由(2)知， AE ＝ BD ，
∴ AE － BF ＝ BD － AD ＝ AB ，∴ AE ＝ AB ＋ BF .
∴ S△ ABC ＝ AB ·CD ＝9 .∵ AB ＝6，
∴ CD ＝3 .∴ m 的最小值为3 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. [2024珠海香洲区期末] 如图，在等边三角形 ABC 中， E
为 AB 上一点，过点 E 的直线交 AC 于点 F ，交 BC 的延
长线于点 D ，过 E 作 EG ⊥ AC ，垂足为 G ，若 AE ＝
11
12
3. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ BAC ＝60°，
要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角是 30° ，那么它所对 的直角边等于
斜边的一半
．
知识点 含 30° 角的直角三角形的性质 ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， CD⊥AB 1. 在△ ABC 中， 于点 D，AB＝a，则 DB 等于( C 1 A. a 2 1 C. a 4 1 B. a 3 1 D. a 8 )
2. 如图，在正方形 ABCD 内作等边△ ADP，若 AB＝ 8，则△ ABP 的面积为( B ) A．32 C. 8 B．16 D．4
3. 如图所示，△ ABC 中，∠C＝90° ，∠ABC＝60° ， BD 平分∠ABC，若 AD＝6，则 CD＝
3
．
4. 如图，已知在△ ABC 中，AB＝BC，∠B＝120° ， AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，若 AC＝6 cm，则 AD ＝ 2 cm.
∴△ADE≌△CDB(AAS)，∴AE＝CB. 又 ∵∠ABC ＝ 120° ， DB⊥BC ， ∴∠ABD ＝ 30° .在 1 1 Rt△ ABE 中，∠ABD＝30° ，∴AE＝ AB，∴BC＝ AB， 2 2 即 AB＝2BC.
1. (2017· 绥化)在等腰△ ABC 中，AD⊥BC 交直线 BC 1 于点 D，若 AD＝ BC，则△ ABC 的顶角的度数为 30° 2
2. 如图，在△ ABC 中，∠C＝90° ，∠B＝ 30° ，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D，E 为 AB 上一点，连接 DE， 则下列说法错误的是( D )
A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED
【解析】 ∵ 在 △ ABC 中， ∠C ＝ 90° ， ∠B ＝ 30° ， ∴∠CAB＝60° ，∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD ∴∠CAD＝∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD， AD＝2CD， ＝30° ， ∴BD＝2CD，根据已知不能推出 CD＝DE，即只有 D 错 误，选项 A，B，C 都正确．
(1)求∠F 的度数； (2)若 CD＝2，求 DF 的长．
解：(1)∠F ＝30° ； (2)证△ EDC 是等边三角形，ED＝DC＝2，DF＝2DE ＝4.
8. 一艘轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方 位是北偏东 75° ，又航行 7 n mile 到 B 处，测得小岛 P 的方位是北偏东 60° ，若小岛周围 3.8 n mile 内有暗礁， 则该船一直向东航行有无触礁危险？
5. 如图，OP 平分∠AOB，∠AOP＝15° ，PC∥OA， PD⊥OA 于点 D，PC＝4，则 PD＝
2
．
【解析】 作 PE⊥OB 于点 E， 根据角平分线的性质可 得 PE＝PD，根据平行线的性质可得 ∠BCP＝∠AOB＝ 1 30° ，在 Rt△ PCE 中，PE＝ PC＝2＝PD. 2
3. 如图，在△ ABC 中，∠C＝90° ，∠B＝ 15° ，DE BE＝6 cm， 垂直平分 AB，交 BC 于点 E， 则 AC＝ 3 cm ．
4. △ ABC 中，∠B＝∠C＝15° ，AB＝2 cm，CD⊥AB 交 BA 的延长线于点 D，则 CD 的长度是 1 cm ．
5. 如图所示，在等边△ ABC 中，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，且 CE＝1，则 BC＝
证明： 连接 AF， ∵EF 垂直平分 AC， ∴AF＝CF， ∵AB ＝AC，∠BAC＝120° ，∴∠B＝∠C＝30° ， ∠BAF＝90° ，在 Rt△ ABF 中，∵∠B＝30° ， 1 ∴AF＝2BF，∴BF＝2AF＝2CF.
1. 在△ ABC 中，∠B＝∠C＝75° ，AB＝2，则△ ABC 的面积是( B A．2 C．1.5 ) B．1 D．0.5
9. 如图，已知在△ ABC 中，BD 是 AC 边上的中线， DB⊥BC 于点 B，∠ABC＝120° ，求证：AB＝2BC.
解：过点 A 作 AE∥BC 交 BD 的延长线于点 E， ∵BD⊥BC(已知)， ∴∠AED＝90° .在△ ADE 和△ CDB 中，
∠AED＝∠DBC， ∵∠ADE＝∠BDC， AD＝CD，
解：依题意画示意图，则 AB＝7 n mile，过点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C，则∠PBC＝30° ， ∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30° －15° ＝15° . ∴∠PAB＝∠APB， ∴PB＝AB＝7 n mile. 1 1 ∴PC＝2PB＝2× 7＝3.5 n mile. ∵PC＜3.8 n mile， ∴该船一直向东航行有触礁的危险．
∴△BDC 为等边三角形． ∴CD＝BC＝4 cm. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90° . 1 1 在 Rt△ ADE 中，DE＝2AD, AD＝2AB， 1 ∴DE＝4AB＝2 cm.
∠BAC＝120° 7. 如图， 在△ ABC 中， 已知 AB＝AC， ， AC 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 E，交 BC 于点 F.求证： BF＝2CF.
或 150° 或 90° ． 【解析】
4
．
6. 如图 ， △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ CA ， MP⊥AB ， MN⊥BC，PN⊥AC，判断△ PMN 是 等边 三角形，若 AB＝9 cm，则 MC＝ 3 cm ．
7. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延 长线于点 F.
6. 已知 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90° ，AB＝8 cm，D 为 AB 中点，DE⊥AC 于点 E，∠A＝30° ，求 BC，CD 和 DE 的长．
解：在 Rt△ ABC 中， ∵∠ACB＝90° ，∠A＝30° ， 1 ∴BC＝2AB. ∵AB＝8，∴BC＝4 cm. ∵BC＝BD＝4 cm，∠B＝60° ，