北师大版高中数学选修1-1命题同步练习

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北师大版高中数学选修1-1测试题及答案

高二文科数学周练试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x …，则（）A ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x …B ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x …C ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x > 2．“p ∨q 为真”是“⌝p 为假”的（）A ．充分不必要条件.B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“220x x +-=”成立的一个充分而不必要条件是（）A ．1x =．B ．1x =-．C ．1x =或2x =-．D ．1x =-或2x =4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5．椭圆x 2m + y 24 = 1 的焦距为2,则m 的值等于（）A ．5或3B ．8C ．5D ．35或6．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，那么丁是甲的（） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1 、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|P F 1 |=3，则|P F 2|= （）A ．7B ．6C ．5D ．3 8．△ABC 一边的两个顶点为B （-3，0），C （3，0）另两边所在直线的斜率之积为λ （λ 为常数），则顶点A 的轨迹不．可能落在下列哪一种曲线上（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 9.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（） A.(1,0); B.(2,8); C.(1,0)和(－1,－4); D.(2,8)和(－1,－4)10.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对11.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.563； B.665 ； C.56 ； D.6512、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A 、7米/秒B 、6米/秒C 、5米/秒D 、8米/秒二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y x =2的焦点到准线的距离为______________.14．命题“若a =1, 则a 2=1”的逆命题是______________.15．设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是____________________16．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bxy 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 .三、解答题 17、（本小题满分12分）设命题:p “方程012=++mx x 有两个实数根”，命题:q “方程244(2)10x m x +-+=无实根”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．18、已知双曲线与椭圆2216439x y +=共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线的标准方程和离心率19、（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x x x =+ （Ⅰ）、求这个函数的导数()f x ' （Ⅱ）、求这个函数在1x =处的切线方程20、抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线16322=-y x 的右焦点重合，过点P （2，0）且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点。

【精讲优练】高中数学北师大选修1-1课时练：1.1.1 命题与四种命题(含答案解析)

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课时提升作业一命题与四种命题一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2016·临汾高二检测)“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”，这个命题的逆否命题是()A.若一个数是负数，则它的平方是正数B.若一个数的平方不是正数，则它不是负数C.若一个数的平方是正数，则它是负数D.若一个数不是负数，则它的平方是非负数【解析】选C.命题的逆否命题是其逆命题的否命题.2.(2016·泰安高二检测)命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是()A.若α≠，则tanα≠1B.若α=，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α=【解析】选C.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.3.(2016·青岛高二检测)命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A.这个数能被2整除B.这个数能被3整除C.这个数既能被2整除，也能被3整除D.这个数是6的倍数【解析】选C.“若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除，所以该命题的结论是这个数既能被2整除，也能被3整除.【误区警示】解答本题易出现分不清条件和结论而错选A或B的错误.4.(2016·宜宾高二检测)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A.若l⊥m，mα，则l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，mα，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】选B.选项A中l与α也可能倾斜相交或lα或l∥α，选项B正确；选项C中l 与m也可能为异面直线；选项D中l与m位置不确定.5.有下列四个命题：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤-1，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；④“若A∪B=B，则A=B”的逆否命题.其中真命题是()A.①②B.②③C.①③ D.③④【解题指南】先分别写出相应的各命题，再进行判断.【解析】选C.①若x，y互为倒数，则xy=1，真命题；②不相似的三角形周长不相等，假命题；③若方程x2-2bx+b2+b=0无实根，则b>-1.因为Δ=4b2-4(b2+b)<0，所以b>0，所以命题为真命题；④若A≠B，则A∪B≠B，假命题.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016·九江高二检测)原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______________.【解析】原命题：假命题；逆命题：设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b，真命题.否命题：设a，b，c∈R，若a≤b，则ac2≤bc2，真命题.逆否命题：设a，b，c∈R，若ac2≤bc2，则a≤b，假命题.答案：27.有下列命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等的三角形面积相等”的否命题；③“若q<0，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).【解析】①若x，y互为相反数，则x+y=0，真命题；②不全等的三角形的面积不相等，假命题；③若x2+2x+q=0无实根，则q≥0，由Δ=4-4q<0，得q>1，真命题.答案：①③8.命题“若x∈R，则x2+(a-1)x+1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________. 【解题指南】由条件知x2+(a-1)x+1≥0恒成立，然后利用Δ≤0即可求出a的范围.【解析】由题意得Δ=(a-1)2-4≤0，即-1≤a≤3.答案：[-1，3]三、解答题(每小题10分，共20分)9.把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.(1)平面内，两条平行线不相交.(2)已知x，y为正整数，当y=x+1时，y=3，x=2.(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分所对的弧.【解析】(1)在平面内，若两条直线平行，则这两条直线不相交，真命题.(2)已知x，y为正整数，若y=x+1，则y=3，x=2，假命题.(3)若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧，真命题.10.(2016·开封高二检测)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.【解析】原命题：已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.判断如下：抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上，判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7，因为a<1，所以4a-7<0，即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点，故x2+(2a+1)x+a2+2>0恒成立，所以不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集，是真命题.一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2016·青岛高二检测)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若mβ，α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ【解题指南】根据空间直线与平面的位置关系的定义，以及判定定理、性质定理，逐一分析四个选项中命题的正误即可.【解析】选C.若mβ，α⊥β，则m与α的夹角不确定，故A错误；若α∩γ=m，β∩γ=n，则α与β可能平行，也可能相交，故B错误；若m∥α，则存在直线nα，使m ∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，故α⊥β，故C正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ的夹角不确定，故D错误.2.(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根，则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根，则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根，则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根，则m≤0【解析】选D.“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x-m=0没有实根”；“m>0”的否定即“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根，则m≤0”.二、填空题(每小题5分，共10分)3.设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线，则α平行于β.(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行.(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直.上面命题中，真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号).【解析】(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线，则α∥β是真命题.(2)由线面平行判定定理知(2)正确，为真命题.(3)由α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，不能推出α和β垂直，故(3)不正确，为假命题.答案：(1)(2)4.(2016·临川高二检测)命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是______命题(填“真”或“假”).【解析】原命题的否命题为“若实数a满足a>2，则a2≥4”，这是真命题.答案：真【误区警示】a2≥4包含两层含义，a2>4或a2=4，本题易出现由a>2，只能得到a2>4，而判断为假命题的错误.三、解答题(每小题10分，共20分)5.判断下列命题的真假.①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π.②在同一坐标系内，函数y=sinx的图像和y=x的图像有三个交点.③函数y=sin在[0，π]上是减少的.【解析】命题①中y=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x，显然最小正周期为π，故①为真命题.②在同一坐标系中，作出y=sinx的图像与y=x的图像，观察可知只有在原点处有一个交点，故②为假命题.③函数y=sin=-cosx，在[0，π]上是增加的，故③为假命题.6.在公比为q的等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S m，S m+2，S m+1成等差数列，则a m，a m+2，a m+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题.(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题，然后根据等差数列的性质判断逆命题何时为真命题，何时为假命题.【解析】(1)逆命题：在公比为q的等比数列{a n}中，前n项和为S n，若a m，a m+2，a m+1成等差数列，则S m，S m+2，S m+1成等差数列.(2)由{a n}为等比数列，所以a n≠0，q≠0.由a m，a m+2，a m+1成等差数列，得2a m+2=a m+a m+1，所以2a m·q2=a m+a m·q，所以2q2-q-1=0.解得q=-或q=1.当q=1时，a n=a1(n=1，2，…)，所以S m+2=(m+2)a1，S m=ma1，S m+1=(m+1)a1，因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1，即2S m+2≠S m+S m+1，所以S m，S m+2，S m+1不成等差数列.即q=1时，原命题的逆命题为假命题.当q=-时，2S m+2=2·，S m+1=，S m=，所以2S m+2=S m+1+S m，所以S m，S m+2，S m+1成等差数列.即q=-时，原命题的逆命题为真命题.关闭Word文档返回原板块。

高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版高二选修1-1数学试题

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版选修1-1一、选择题1．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则( )A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p、q均为假[答案] A[解析]x>2⇒x2>4，x2>4⇒/x>2，故p为假命题；由ac2>bc2⇒a>b，故q为真命题，∴p或q为真，p且q为假，故选A.2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．(¬p)或q B．p且qC．(¬p)或(¬q) D．(¬p)且(¬q)[答案] C[解析]命题p：所有有理数都是实数为真命题．命题q：正数的对数都是负数是假命题．¬p为假命题，¬q是真命题，(¬p)或(¬q)是真命题，故选C.4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．“¬p”为假D．“¬q”为真[答案] A[解析]∵p为假，q为真，∴“p且q”为假，“p或q”为真，“¬p”为真，“¬q”为假，故选A.5．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若p 或q 为真，则p 、q 一真一假或p 、q 均为真，若q 且p 为真，则q 、p 均为真，故选B.6．已知命题p ：∀x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则( ) A ．¬p 是假命题 B ．p ∨q 是真命题 C ．¬q 是真命题 D ．(¬p )∧(¬q )是真命题[答案] B[解析] 当x ＝13时，9x 2－6x ＋1＝0，所以p 为假命题；当x 0＝π4时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．二、填空题7．p ：ax ＋b >0的解集为x >－ba；q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p 且q 是________命题(填“真”或“假”)． [答案] 假[解析]p 中a 的符号未知，q 中a 与b 的大小关系未知，因此命题p 与q 都是假命题． 8．若命题p ：x ∈(A ∩B )，则命题“¬p ”是________． [答案]x ∉A 或x ∉B[解析] 命题p ：x ∈(A ∩B )，即为x ∈A 且x ∈B ，故“¬p ”是x ∉A 或x ∉B . 三、解答题9．(1)分别写出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)已知命题p ：王茹是共青团员，q ：王茹是三好学生，用自然语言表述命题p 且q ，p 或q .[解析] (1) p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分；p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．(2)p 且q ：王茹既是共青团员，又是三好学生；p 或q ：王茹是共青团员或是三好学生．10．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增；命题q ：函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值X 围．[答案]m ≥3或1<m <2[解析] 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则－m ≤－2， ∴m ≥2，即p ：m ≥2，函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方；则不等式g (x )>0恒成立，故Δ＝8(m －2)2－8<0. 解得1<m <3，即q ：1<m <3.若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值X 围是{x |m ≥3或1<m <2}.一、选择题 1．下列命题：①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”； ②“菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形”； ③方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ⑤集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．①、③、⑤为真命题．2．由命题p ：“函数y ＝1x是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( )A ．p 或q 为真，p 且q 为假B ．p 或q 为假，p 且q 为假C ．p 或q 为真，p 且q 为假D ．p 或q 为假，p 且q 为真 [答案] B[解析]∵p 为假，q 为假， ∴p 或q 为假，p 且q 为假．3．已知命题p ：m <0，命题q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数x 恒成立，若p 且q 为真命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <0[答案] D[解析]q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数恒成立， ∴Δ＝m 2－4<0， ∴－2<m <2.p ：m <0，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<m <2m <0，∴－2<m <0.4．(2014·某某师大附中期中)下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件 [答案] B[解析] 由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A 为真命题；p 且q 为假命题时，p 假或q 假，故B 错误；由“非”命题的定义知C 正确；∵x >2时，x 2－3x ＋2>0成立，x 2－3x ＋2>0时，x <1或x >2，∴D 正确．二、填空题5．命题p ：“若a 、b 、c 成等比数列，则b 2＝ac ”，则¬p 为________． [解析]p 的否定¬p ：存在三数a 、b 、c 成等比数列，但b 2≠ac .6．(2014·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx＋1>0恒成立，若p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，则m 的取值X 围是________．[答案]m ≤－2或－1<m <2[解析]p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．已知命题p ：函数y ＝－x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递减；命题q ：函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求m 的取值X 围．[答案] (－2，－14)[解析] 函数y ＝－x 2＋mx ＋1图像的对称轴为x ＝m 2，由条件m2≤－1，∴m ≤－2，即命题p ：m ≤－2；∵函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴命题p ：m <－14，∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 真q 假或p 假q 真，p 真q 假时，无解；p 假q 真时，－2<m <－14，∴m 的取值X 围是(－2，－14)．8．给定两个命题，p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：a 2＋8a －20<0，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，某某数a 的取值X 围．[答案] (－10,0)∪[2,4) [解析]ax ＋ax ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式恒成立，满足题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.故0≤a <4.q ：a 2＋8a －20<0，∴－10<a <2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4a ≤－10或a ≥2，∴2≤a <4.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－10<a <2，∴－10<a <0.综上可知，实数a 的取值X 围是(－10,0)∪[2,4)．。

高中数学第一章常用逻辑用语 3.3 全称命题与特称命题的否定学案(含解析)北师大版选修1-1-北

3．3 全称命题与特称命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题和特称命题否定的方法．知识点一全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．一般地，全称命题“所有的x∈A，使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A，使p(x)不成立”．知识点二特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．一般地，特称命题“存在x∈A，使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A，使p(x)不成立”．1．若命题p是含一个量词的命题，则p与其否定真假性相反．( √)2．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( ×)3．从全称命题的否定看，既要把全称量词转换为存在量词，又要把p(x)否定．( √)题型一全称命题的否定例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任意n∈Z，则n∈Q；(2)等圆的面积相等，周长相等；(3)偶数的平方是正数．考点全称命题的否定题点全称命题的否定解(1)存在n∈Z，使n∉Q，这是假命题．(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．反思感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．2．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.考点全称命题的否定题点全称命题的否定解(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)存在x∈Z，x2的个位数字等于3.题型二特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定：(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．考点特称命题的否定题点含存在量词的命题的否定解(1)任意x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．反思感悟与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.考点特称命题的否定题点含存在量词的命题的否定解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定：“任意x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”． ∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题．题型三全称命题、特称命题否定的应用例3 已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对于任意x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围．考点全称命题与特称命题的否定题点由全称命题与特称命题的真假求参数的范围解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4>m ，若p (x )为真命题，则m <－ 2. ∵p (x )为假命题，∴m ≥－2，①由q (x )为真命题，得Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2，② 由①②可得－2≤m <2.引申探究若例3中“如果对于任意x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题”改为“如果对于任意x ∈R ，p (x )与q (x )有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解由例3知p (x )为真命题时，m <－2，q (x )为真命题时，－2<m <2.由题意知p (x )与q (x )两命题有一真一假，当p (x )为真，q (x )为假时，⎩⎨⎧m <－2，m ≤－2或m ≥2，得m ≤－2.当p (x )为假，q (x )为真时，⎩⎨⎧m ≥－2，－2<m <2，得－2≤m <2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．反思感悟若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．跟踪训练3 已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围解在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2p －2－2p 2－p ＋1≤0，4－2p －2－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.∴p ≥32或p ≤－3.故p 的取值范围是－3<p <32.1．命题“任意x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x <0 D ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0 考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 C解析全称命题的否定是特称命题． 2．下列命题的否定为假命题的是( ) A ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 B ．任意x ∈R ，lg x ＜1C ．所有能被3整除的整数都是奇数D ．任意x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1 考点特称命题的否定题点含有一个量词的命题真假判断答案 D解析对于选项A ，因为x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1＞0，所以存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B ，因为当x ＞10时，lg x ＞1，所以任意x ∈R ，lg x ＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C ，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D ，显然成立，因此其否定是假命题．3．若“存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x cos x >m ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析由题意知，对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x cos x ≤m 为真命题；又∵sin x cos x ＝12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴m ≥12.4．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根； (2)有些三角形的三条边相等； (3)余弦值为负数的角是钝角．考点含有量词的命题的否定的应用题点全称命题与特称命题的否定及真假判断解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m ，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根．其否定：存在一个实数m ，使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根，因为该方程的判别式Δ＝m 2＋4>0恒成立，故为假命题．(2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题． (3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题为“对任意的x∈A,2x∈B”，则该命题的否定是( )A．对任意x∈A,2x∉BB．对任意x∉A,2x∉BC．存在x∉A,2x∈BD．存在x∈A,2x∉B考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 D解析原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 C解析由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.4．已知命题p：任意x>0，总有(x＋1)e x>1，则命题p的否定为( )A．存在x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．存在x>0，使得(x＋1)e x≤1C．任意x>0，总有(x＋1)e x≤1D．任意x≤0，总有(x＋1)e x≤1考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 B解析“任意x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“存在x>0，使得(x＋1)e x≤1”．故选B. 5．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则命题p的否定为( ) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根考点特称命题的否定题点含存在量词命题的否定答案 C解析命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即为对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．6．已知命题p：存在x∈R，x2＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( ) A．[0,4] B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)考点全称命题与特称命题的否定的应用题点由全称命题与特称命题的真假求参数范围答案 A解析∵p是假命题，∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.7．下列命题中是假命题的是( )A ．存在m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·243m m x－＋是幂函数，且在(0，＋∞)上是减少的B ．任意a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．存在α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β D ．任意φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断答案 D解析 ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1， ∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上是减少的，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴对任意a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．8．已知函数f (x )＝|2x －1|，若命题“存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( ) A ．a ≥0B．a <0C ．b ≤0D．b >1 答案 B解析函数f (x )＝|2x －1|的图像如图所示．由图可知f (x )在(－∞，0]上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的，所以要满足存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)为真命题，则必有a <0，故选B.9．已知二次函数f (x )＝2x 2－(a ＋6)x －2a 2－a ，若在区间[0,1]内至少存在一个实数b ，使f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围答案 A解析考虑原命题的否定，即在区间[0,1]内的所有的实数b ，使f (b )≤0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f 0≤0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ≥0，a 2＋a ＋2≥0，解得a ≤－12或a ≥0，故若在区间[0,1]内至少存在一个实数b ，使f (b )>0，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 二、填空题10．命题“存在x ∈{x |x 是正实数}，使x <x ”的否定为________命题．(填“真”或“假”) 考点存在量词的否定题点含一个量词的命题真假判断答案假解析命题“存在x ∈{x |x 是正实数}，使x <x ”是真命题，则该命题的否定是假命题． 11．命题“任意x >0，x ＋1x≥1”的否定为________________________．考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案存在x >0，x ＋1x<112．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．考点全称命题与特称命题的否定的应用题点由全称命题与特称命题的真假求参数的范围答案 [3,8)解析因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，故实数m 的取值范围是[3,8)．三、解答题13．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)任意α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)存在x ，y ∈Z ,3x －4y ＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断解 (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β. (2)真命题．命题的否定为：任意x ，y ∈Z ,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．14．已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是假命题，求实数a 的取值范围．考点全称命题题点由命题的真假求参数的范围解因为全称命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”的否定形式为：“存在x 0∈R ，x 20＋ax 0＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象(图略)易知，Δ＝a 2－4>0，解得a <－2或a >2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．15．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1,0)，是否存在常数a ，b ，c ，使不等式x ≤f (x )≤1＋x22对一切实数x 均成立？解假设存在常数a ，b ，c ，使题设命题成立．因为f (x )的图像过点(－1,0)，所以a －b ＋c ＝0.因为x ≤f (x )≤1＋x22对一切x ∈R 均成立，所以当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故有a ＋b ＋c ＝1. 所以b ＝12，c ＝12－a .所以f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a .故应x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22对一切x ∈R 成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2－12x ＋12－a ≥0，1－2a x 2－x ＋2a ≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 14－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≤0，1－8a 1－2a ≤0，a >0，1－2a >0.所以a ＝14，所以c ＝12－a ＝14. 所以存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．。

高二数学北师大版选修1-1同步精练：2.1椭圆第2课时 Word版含答案

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 2．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ． (5，＋∞)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)3．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 2；④c 1a 1＜c 2a 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④4．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程为( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0 5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP的最大值为( ) A ．2B ．3C ．6D ．86．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．8．如图，把椭圆x225＋y216＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝__________.9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标．11．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.12．已知椭圆长轴|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝42，过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M，N两点，设∠MF1F2＝α(0≤α≤180°)，问α取何值时，|MN|等于椭圆短轴长？参考答案1. 解析：∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，∴c a ＝33，∴a ∶b ∶c ＝3∶6∶ 3. 又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点， △AF 1B 的周长为43， ∴4a ＝43，∴a ＝ 3.∴b ＝2，∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1，选A.答案：A2. 解析：直线y －kx －1＝0恒过点(0,1)，仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，∴1m≤1，且m ＞0，得m ≥1.又m ≠5，故选C.答案：C3. 解析：由题意知，a 1＞a 2，c 1＞c 2，故①错误．对于轨道Ⅰ有|PF |＝a 1－c 1；对于轨道Ⅱ有|PF |＝a 2－c 2， ∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确． ∵a 1－c 1＝a 2－c 2， a 1＞a 2， ∴a 1－c 1a 1＜a 2－c 2a 2，即1－c 1a 1＜1－c 2a 2， ∴c 1a 1＞c 2a 2，即c 1a 2＞c 2a 1，∴③正确，④错误．答案：B4. 解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则⎩⎨⎧x 216＋y 215＝1，x 226＋y225＝1，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，∴23(x 1－x 2)－25(y 1－y 2)＝0， ∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53.∴过点P 的弦所在的直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0.答案：A5. 解析：由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP ·FP ＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 23＝1.∴OP ·FP ＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2，∴OP ·FP的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6. 答案：C6. 解析：由已知，得a ＝2b ，c ＝23，又a 2－b 2＝c 2，故b 2＝4，a 2＝16，又焦点在x 轴上，故椭圆方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝17. 解析：如图所示，e ＝c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝2a －|PF 2||PF 2|＝2a|PF 2|－1.∵|PF 2|＜a ＋c ， ∴e ＝2a |PF 2|－1＞2a a ＋c －1，即e ＞21＋e－1， ∴e 2＋2e －1＞0.又∵0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1. 答案：(2－1,1)8. 解析：设F 1是椭圆的另一个焦点，则根据椭圆的对称性，知|P 1F |＋|P 7F |＝|P 1F |＋|P 1F 1|＝2a ，同理，|P 2F |＋|P 6F |＝|P 3F |＋|P 5F |＝2a .又|P 4F |＝a ，∴|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋|P 4F |＋|P 5F |＋|P 6F |＋|P 7F |＝7a ＝35. 答案：359. 解析：由题设，知2a ＝12，c a ＝32，∴a ＝6，c ＝3 3.∴b ＝3.答案：x 236＋y 29＝110. 解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1(m ＞0)．∵m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，∴m ＞m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 11. 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知a ＝2b ，① 且椭圆过点(2，－6)，从而有22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1.②由①②，得a 2＝148，b 2＝37，或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.(2)如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且OF=c ，A 1A 2=2b ，∴c=b=3.∴a 2=b 2+c 2=18. 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.12. 解法1：如图所示，建立平面直角坐标系，则a=3，b=1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.当直线MN 斜率不存在时，得|MN |＝23，不合题意．故可设过F 1的直线方程为y ＝k (x ＋22)．∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋22)， ①x 29＋y 2＝1. ②①代入②，整理可得(1＋9k 2)x 2＋362k 2x ＋72k 2－9＝0， ∴x 1＋x 2＝－362k 21＋9k 2，x 1·x 2＝72k 2－91＋9k 2.代入|MN |＝[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](1＋k 2)，可得 |MN |＝6(k 2＋1)1＋9k 2.∵6(k 2＋1)1＋9k 2＝2，∴k ＝±33，即tan α＝±33，∴α＝π6或α＝56π.解法2：如图所示建立平面直角坐标系，由已知可得a ＝3，c ＝22，b ＝1. 令|F 1M |＝x ，则|F 2M |＝6－x ，|F 1F 2|＝42，在△MF 1F 2中利用余弦定理得x ＝13－22cos α，若令|F 1N |＝y ，则|F 2N |＝6－y ，|F 1F 2|＝42，在△NF 1F 2中利用余弦定理得y ＝13＋22cos α，∴|MN |＝x ＋y ＝13＋22cos α＋13－22cos α＝69－8cos 2α，∴69－8cos 2α＝2， cos α＝±32， ∴α＝π6或α＝56π.。

2018-2019数学北师大版选修1-1 第一章1 命题作业1

2018-2019数学北师大版选修1-1 第一章1 命题作业1[基础达标]1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为()A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2b C．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a ＜2b解析：选B.把条件和结论分别加以否定．2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D.x＞1x＞2，故选D.3.给出下列命题：①a＞|b|⇒a2＞b2；②a＞b⇒a3＞b3；③|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的个数是()A．0 B．2C．1 D．3解析：选 B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交③不是命题，因为无法判断其真假．④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假．⑤不是命题，因为它是疑问句．⑥不是命题，因为它是祈使句．答案：①②①②7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅8.有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．答案：①②③9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，∵PO⊥π，aπ，∴PO⊥a，又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，∴a⊥平面PAO，又c平面PAO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．[能力提升]1.(2019·衡水高二检测)下列命题正确的个数为()①已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则3x－y的范围是[1，7]；②若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的范围是(7－12，3＋12)；③如果正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab 的取值范围是[8，＋∞)；④a＝log132，b＝log123，c＝(13)0.5的大小关系是a ＞b ＞c .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.对①，令3x －y ＝λ(x ＋y )＋μ(x－y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，得⎩⎨⎧λ＋μ＝3λ－μ＝－1，∴⎩⎨⎧λ＝1，μ＝2.∴(3x －y )min ＝1×(－1)＋2×1＝1，(3x －y )max ＝1×1＋2×3＝7，∴3x －y ∈[1，7]，①正确；对②，令f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，由题意f (m )＜0在[－2，2]上恒成立，即⎩⎨⎧－2（x 2－1）－2x ＋1＜02（x 2－1）－2x ＋1＜0，解得7－12＜x ＜3＋12，②正确；对③，∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，由ab ＝a ＋b ＋3，得ab ≥2ab ＋3.即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍)，∴ab ≥9，③不正确；对④，∵a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴④不正确．2. 设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论：①|a＋b|＜|a|＋|b|.②a·b＝|a|·|b|.③(a·b)c－(a·c)b与a垂直．④(a·b)c＝a(b·c)．其中，使命题“若p，则q”为真命题的所有序号是________．解析：由于p：平面向量a，b，c互不共线，则必有|a＋b|＜|a|＋|b|，①正确；由于a·b＝|a||b|cos θ＜|a||b|，②不正确；由于[(a·b)c－(a·c)b]·a＝(a·b)(c·a)－(a·c)(b·a)＝0，所以(a·b)c－(a·c)b与a垂直，③正确；由于平面向量的数量积不满足结合律，且a，b，c互不共线，故(a·b)c≠a(b·c)，④不正确．综上可知真命题的序号是①③.答案：①③3.求证：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.p2＋q2＝12[(p＋q)2＋(p－q)2]≥12(p＋q)2.∵p＋q＞2，∴(p＋q)2＞4，∴p2＋q2＞2. 即p＋q＞2时，p2＋q2≠2成立．∴若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.4．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋x24＜1，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．解：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎨⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4. 所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。

高中数学1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版选修1-1

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版选修1-1一、选择题1．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则( )A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p、q均为假[答案] A[解析]x>2⇒x2>4，x2>4⇒/x>2，故p为假命题；由ac2>bc2⇒a>b，故q为真命题，∴p或q为真，p且q为假，故选A.2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．(¬p)或q B．p且qC．(¬p)或(¬q) D．(¬p)且(¬q)[答案] C[解析]命题p：所有有理数都是实数为真命题．命题q：正数的对数都是负数是假命题．¬p为假命题，¬q是真命题，(¬p)或(¬q)是真命题，故选C.4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．“¬p”为假D．“¬q”为真[答案] A[解析]∵p为假，q为真，∴“p且q”为假，“p或q”为真，“¬p”为真，“¬q”为假，故选A.5．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若p 或q 为真，则p 、q 一真一假或p 、q 均为真，若q 且p 为真，则q 、p 均为真，故选B.6．已知命题p ：∀x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则( ) A ．¬p 是假命题 B ．p ∨q 是真命题 C ．¬q 是真命题 D ．(¬p )∧(¬q )是真命题[答案] B[解析] 当x ＝13时，9x 2－6x ＋1＝0，所以p 为假命题；当x 0＝π4时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．二、填空题7．p ：ax ＋b >0的解集为x >－ba；q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p 且q 是________命题(填“真”或“假”)． [答案] 假[解析] p 中a 的符号未知，q 中a 与b 的大小关系未知，因此命题p 与q 都是假命题． 8．若命题p ：x ∈(A ∩B )，则命题“¬p ”是________． [答案] x ∉A 或x ∉B[解析] 命题p ：x ∈(A ∩B )，即为x ∈A 且x ∈B ，故“¬p ”是x ∉A 或x ∉B . 三、解答题9．(1)分别写出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)已知命题p ：王茹是共青团员，q ：王茹是三好学生，用自然语言表述命题p 且q ，p 或q .[解析] (1) p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分；p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．(2)p 且q ：王茹既是共青团员，又是三好学生；p 或q ：王茹是共青团员或是三好学生．10．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增；命题q ：函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．[答案] m ≥3或1<m <2[解析] 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则－m ≤－2， ∴m ≥2，即p ：m ≥2，函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方；则不等式g (x )>0恒成立，故Δ＝8(m －2)2－8<0. 解得1<m <3，即q ：1<m <3.若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值范围是{x |m ≥3或1<m <2}.一、选择题 1．下列命题：①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”； ②“菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形”； ③方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ⑤集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．①、③、⑤为真命题．2．由命题p ：“函数y ＝1x是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( )A ．p 或q 为真，p 且q 为假B ．p 或q 为假，p 且q 为假C ．p 或q 为真，p 且q 为假D ．p 或q 为假，p 且q 为真 [答案] B[解析] ∵p 为假，q 为假， ∴p 或q 为假，p 且q 为假．3．已知命题p ：m <0，命题q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数x 恒成立，若p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <0[答案] D[解析] q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数恒成立， ∴Δ＝m 2－4<0， ∴－2<m <2.p ：m <0，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<m <2m <0，∴－2<m <0.4．(2014·辽宁师大附中期中)下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件 [答案] B[解析] 由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A 为真命题；p 且q 为假命题时，p 假或q 假，故B 错误；由“非”命题的定义知C 正确；∵x >2时，x 2－3x ＋2>0成立，x 2－3x ＋2>0时，x <1或x >2，∴D 正确．二、填空题5．命题p ：“若a 、b 、c 成等比数列，则b 2＝ac ”，则¬p 为________． [解析] p 的否定¬p ：存在三数a 、b 、c 成等比数列，但b 2≠ac .6．(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx＋1>0恒成立，若p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．已知命题p ：函数y ＝－x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递减；命题q ：函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求m 的取值范围．[答案] (－2，－14)[解析] 函数y ＝－x 2＋mx ＋1图像的对称轴为x ＝m 2，由条件m2≤－1，∴m ≤－2，即命题p ：m ≤－2；∵函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴命题p ：m <－14，∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 真q 假或p 假q 真，p 真q 假时，无解；p 假q 真时，－2<m <－14，∴m 的取值范围是(－2，－14)．8．给定两个命题，p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：a 2＋8a －20<0，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[答案] (－10,0)∪[2,4) [解析] ax ＋ax ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式恒成立，满足题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.故0≤a <4.q ：a 2＋8a －20<0，∴－10<a <2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4a ≤－10或a ≥2，∴2≤a <4.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－10<a <2，∴－10<a <0.综上可知，实数a 的取值范围是(－10,0)∪[2,4)．。

【一线教师精品】高中数学北师大版选修1-1同步精练：4.2导数在实际问题中的应用(含答案)

1．已知 f ( x ) ＝ 2x 3－ 6x 2 ＋m ( m 为常数 ) 在[ － 2,2] 上有最大值3，那么此函数在[ － 2,2]上的最小值为 ()A ．－ 37B ．－ 29C ．－ 5D ．－ 112．函数 f ( x ) ＝x (1 － x 2) 在 [0,1] 上的最大值为 ()232 2 323 A.9B.9C.9D.83．将一段长为 100 的铁丝截成两段，一段折成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆的面积之和最小时，圆的周长为 ()100π100πA ． 50B.4＋ πC.2＋ πD ． 254．把函数 f ( x ) ＝x 3－ 3x 的图像 c 1向右平移 u 个单位长度，再向下平移 v 个单位长度后获得图像 c . 若对随意 u ＞ 0，曲线 c 与 c 至多有一个交点，则 v 的最小值为 ()212A ． 2B ． 4C ． 6D ． 85．定义在 (0 ，＋∞ ) 上的函数 f ( x ) ＝ ( ax 2＋ bx )( ax －2＋ bx －1)( ab ＞ 0) ，则 f ( x )() A ．有最大值 ( a ＋ b ) 2，没有最小值B ．有最小值 ( a ＋ b ) 2，没有最大值C ．有最大值 ( a ＋ b ) 2，有最小值 ( a －b ) 2D ．没有最值6．某企业生产某种产品，每年固定成本为20 000 元，每生产一单位产品，成本增添100元，已知总收益 R 与年产量 x的关系是R ＝12400x －2x ，0≤ x ≤400，，x >400，则总收益最大时，每年生产产品的产量是()A ． 100B ． 150C ． 200D ． 3007．函数f ( x ) ＝ax 4－4ax3＋ ( ＞0)， ∈[1,4] ，f ( x ) 的最大值为 3，最小值为－ 6，则b axa ＋b ＝ ______.8．内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱体的高为______ ．9．用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，假如所制作容器的底面一边比另一边长 0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．10．已知函数 f ( x ) ＝ ax 3－ 12x ， f ( x ) 的导函数为 f ′(x ) ．(1) 求函数 f ( x ) 的单一区间；(2) 若 f ′(1) ＝－ 6，求函数 f ( x ) 在 [ － 1,3] 上的最大值和最小值．11．设函数 f ( x ) ＝ x 4＋ ax 3＋2x 2＋ b ( x ∈R) ，此中 a ， b ∈ R.10(1) 当 a ＝－ 3 时，议论函数 f ( x ) 的单一性； (2) 若关于随意的a ∈[ － 2,2] ，不等式 f ( x ) ≤1 在 [ － 1,1] 上恒建立，求b 的取值范围．参照答案1. 分析： f ′(x ) ＝ 6x 2－ 12x ， x ∈[ － 2,2] ，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝ 0 或 x ＝2. 可得 f ( x )在 [ － 2,0] 上递加，在 [0,2]上递减，故 f ( x ) max ＝ f (0) ＝ m ＝3，所以 f ( － 2) ＝－ 37， f (2) ＝－ 5. 故 f ( x ) 的最小值为－ 37.答案： A2. 分析： f ( x ) ＝ x － x 3， f ′(x ) ＝ 1－3x 2，3令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝± 3 .f23 －3 2 3(0) ＝ 0， f (1) ＝ 0，3 ＝， f ＝－， f393 9所以 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值为 f2 33＝.39答案： A3. 分析：设圆的周长为 x ，则正方形的周长为 100－ x ，且 0＜x ＜ 100，所以圆的半径 rxx1 2x 2 4＋ π225＝ 2π ，正方形的边长为 25－ 4. 所以面积和 S ( x ) ＝ 4π x ＋ 25－4 ＝ 16π · x － 2 x ＋625(0 ＜ x ＜100) ．令 S ′(x ) ＝ 0，得 x ＝ 100π.4＋ π答案： B4. 分析： f ′(x ) ＝ 3x 2－ 3.令 f ′(x ) ＞ 0，得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.x( －∞，－ 1)－ 1 ( － 1,1)1 (1 ，＋∞)′( )＋－＋fxf ( x )2 － 2由此依据图像c 1 可得 v min ＝ 4.答案： B12 21x 2－ 15. 分析： f ( x ) ＝ ab x ＋ x ＋ ( a ＋ b ) ，f ′(x ) ＝ ab 1－ x 2 ＝ ab · x 2 . ∵ ∈(0 ，＋∞ ) ，∴当 x ∈(0,1) 时， ′( ) ＜0，当 x ∈(1 ，＋∞ ) 时， f ′( ) ＞0.xfxx∴ f ( x)在(0,1)上是减少的，在(1 ，＋∞ ) 上是增添的， f ( x)有最小值 f (1)＝( a＋b)2，无最大值．答案： B6. 分析：由题意知总成本为C＝20 000＋100x，所以总收益为＝－＝300x－x2－ 20 000 ，0≤x≤400，－ 100x，x>400.P R C2P{300－ x，0≤ x≤400，－100，x>400.′＝令 P′＝0，当0≤x≤400时，得 x＝300；当 x＞400时， P′＜0恒建立，易知当x＝300时，总收益最大．答案： D7.分析： f ′(x)＝4ax3－12ax2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝3.由 f ( x)的单一性可知 f ( x)的最小值为 f (3)＝ b－27a.又 f (1)＝ b－3a， f (4)＝b，所以 f (4)为最大值，即{b＝3， b－27a＝－6，1所以＋＝10解得 a＝， b＝3.3 a b 3.10答案：38.分析：设圆柱体的高为2h，则底面半径为R2－ h2，所以圆柱体的体积V＝π( R2－22322323 h )·2h＝2πRh－2π h ，则V′＝2π R－6πh .令 V′＝0，得h＝3 R，即当2h＝3R 时，圆柱体的体积最大．2 3答案：3R9.解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为 ( x＋ 0.5)m，高为14.8 － 4x－4( x＋ 0.5)＝ (3.2 － 2x) m.4由 3.2 － 2x＞ 0 和x＞ 0，得 0＜x＜1.6.设容器的容积为y m3，则有y＝ x(0.5＋ x)·(3.2－ 2x) ＝－ 2x3＋ 2.2 x2＋ 1.6 x(0 ＜x＜1.6) ．所以 y′＝－6x2＋4.4 x＋1.6.令 y′＝0，有－2＝1，x＝－46x ＋ 4.4 x＋ 1.6 ＝0，解得 x15( 不合题意，舍去 ) ．12由函数的单一性可知，当x＝1时， y 取最大值， y 最大＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为 3.2 －2×1＝ 1.2(m) ．所以当高为 1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为 1.8 m 3.10.解：(1)f′(x)＝3ax2－12＝3(ax2－4)．当 a≤0时， f ′(x)＜0，f ( x)在(－∞，＋∞)上递减．当 a＞0时， x 变化时， f ′(x)， f ( x)的变化状况以下表：x222222－∞，－－－，a a，＋∞a a a a′( )＋0－0＋fxf ( x)极大值极小值此时， f ( x)在－∞，－2222，，＋∞上递加，在－，上递减．a a a a(2) 由f ′(1) ＝ 3 － 12＝－ 6，得a＝ 2.a由 (1) 知，f ( x) 在 ( － 1，2) 上递减，在 (2， 3) 上递加．由于 f (－1)＝10， f (2)＝－82，f (3)＝ 18，所以 f ( x)在[－1,3]上的最大值为18，最小值为－ 8 2. 11.解：(1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)．当 a＝－10时，3f′(x)＝ x(4 x2－10x＋4)＝2x(2 x－1)( x－2)．令 f ′(x)＝0，解得 x1＝0， x2＝1， x3＝2. 2当 x 变化时， f ′(x)， f ( x)的变化状况以下表：x ( －∞，111(2 ，＋0)00，222，22∞)f ′(x)－0＋0－0＋f ( x)极小值极大值极小值11所以 f ( x)在0，2， (2 ，＋∞ ) 内是增添的，在(－∞，0)，2， 2内是减少的．(2) 由条件a∈[ － 2,2] 可知＝ 9a2－ 64＜ 0，进而 4x2＋3ax＋ 4＞0恒建立．当 x＜0时， f ′(x)＜0；当 x＞0时， f ′(x)＞0.所以函数 f ( x)在[－1,1]上的最大值是 f (1)与 f (－1)二者中的较大者．为使对任意的a∈[－2,2]，不等式 f ( x)≤1在[－1,1]上恒成立，当且仅当f (1)≤1，b≤－2－ a，在 a∈[－2,2]上恒建立．即b≤－2＋ af (－1)≤1，所以 b≤－4，所以知足条件的 b 的取值范围是(－∞，－4]．。

北师大版高中数学选修1-1单元优选卷-命题

单元优选卷（1）命题1、下列命题中,是真命题的是( ) A. 0R x ∃∈,0e 0x ≤ B. R x ∀∈,22x x > C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 1a >,1b >是1ab >的充分条件 2、下列4个命题1p :()110,,23x xx ⎛⎫⎛⎫∃∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2p :()11230,1,log log x x x ∃∈>;3p :()1210,,log 2xx x ⎛⎫∀∈+∞> ⎪⎝⎭;4p :13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

其中的真命题是( ) A. 13,p p B. 14,p p C. 23,p p D. 24,p p3、下列命题中,真命题是( ) A.对于任意2,2x x R x ∈>B.若p 且q 为假命题, ,p q 均为假命题C.“平面向量,a b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是“0a b ⋅<”D.存在m R ∈,使()243()1mm f x m x -+=-是幂函数,且在()0,+∞是递减的4、下列命题中为真命题的是( ) A.0是{0,1,2}的真子集B.关于x 的方程2||60x x +-=有四个实数根C.设,,a b c 是实数,若a b >,则22ac bc >D.若0a ≠,则2242(1)1a a a +>++ 5、给出下列命题:①函数sin y x =的最小正周期是π; ②函数32y x =是指数函数;③一次函数1y x =+的图象与x 轴的交点为(1,0)-; ④2()f x x =在R 上是增函数. 其中假命题的个数为() A.1B.2C.3D.46、下列命题中,为真命题的是( ) A.若21x =,则1x =B.若一个球的半径变为原来的2倍,则其体积变为原来的8倍C.若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等D.直线10x y ++=与圆221x y +=相切 7、给出下列语句:①三角函数难道不是函数吗? ②和为有理数的两个数均为有理数. ③一条直线与一个平面不是平行就是相交. ④作'''A B C ABC ≅△△. ⑤这是一棵大树.. ⑦二次函数的图象太美啦！ ⑧4是集合{}1,2,3,4中的元素. 其中命题的个数为( ) A.3B.4C.6D.78、“若2280x x --<，则p ”为真命题，那么p 是( )A.24x -<<B.24x <<C.4x >或2x <-D.4x >或2x <9、已知不等式30x +≥的解集是A ，则使得a A ∈是假命题的实数a 的取值范围是( ) A.[)3,-+∞B.(3,)-+∞C.(],3-∞-D.(,3)-∞-10、命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( ) A.两个平面 B.—条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线11、下列命题是真命题的是___________. ①空集是任何一个集合的真子集; ②函数2(N)y x x =∈的图象是一条直线;③若()f x M >(M 为常数),则函数()y f x =的最小值为M ; ④若函数()f x 的定义域为[0,2],则函数(2)()1f xg x x =-的定义域为[0,1).12、已知命题p :函数()f x =R,若p 是真命题,则实数m 的取值范围为______________.13、已知命题p :实数x 满足26x x -≥或26x x -≤,命题q :实数x 满足Z x ∈.若p 假q 真,则实数x 的取值集合为_____________.14、命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”的条件p 是_______________________,结论q 是________________________________________.15、已知命题:sin cos ,R p x x m x +>∈，命题2:10,R q x mx x ++>∈，若p 和q 都是真命题，则实数m 的取值范围是__________.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：由于指数函数x y a =得函数值0y >,所以A 项错误;取2x =时, 22x x =,故B 项错误;当0a b ==时,1ab=-不成立,故C 项错误;由于1a >,1b >1ab ⇒>,但1ab >⇒1a >,1b >,故1a >,1b >是1ab >的充分条件。

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命题同步练习
一,选择题:
1.下面的命题正确的是： ( )
（1）220,xyxy“若、不全为零”的否命题。（2）“正多边形都相似”的逆命题。
（3）.",,0"的逆否命题则若adacdca
（4）“若a+5是有理数，则a是无理数”的逆否命题。
A．（1）（2）（3） B．(1)(4) C．(2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
2．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的
真假情
况是
（）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
3．命题：“若a2+b2=0（a , b∈R），则a=b=0”的逆否命题是
（）
A．若a≠b≠0（a , b∈R），则a2+b2≠0
B．若a=b≠0（a , b∈R），则a2+b2≠0
C．若a≠0且b≠0（a , b∈R），则a2+b2≠0
D．若a≠0或b≠0（a , b∈R），则a2+b2≠0
4.给出以下四个命题:（1）若0232xx，则21xx或
（2）若0)3)(2(,32xxx则;(3) 若0yx，则022yx
(4)若x、yN，yx是奇数，则x、y中一个是奇数，一个是偶数. 则（）
A.（1）的逆命题真 B.（2）的否命题真
C.（3）的逆否命题假 D.(4)的逆命题假
5．下列四个命题中是真命题的是（）
A.BA，则A或B
B.两条对角线相等的四边形是正方形

C.UBUAUUBA或则为全集),(
D．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角互补.
6.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程20(0)axbxca有有理根,那

么
abc、、
中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是: ( )
A．假设abc、、都是偶数 B．假设abc、、至多有个是偶数
C．假设abc、、都不是偶数 D．假设abc、、至多有两个是偶数
7．命题“若a=0,则ab=0”的逆否命题是
（）
A、若ab=0,则a=0 B、若a≠0，则ab≠0
C、若ab=0,则a≠0 D、若ab≠0，则a≠0

8．若x2－3x+2≠0是x≠1的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么A是B的（）
A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
10.设命题甲：|x－2|＜3：命题乙：0＜x＜5；那么甲是乙的
( )
A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.给定两个命题p、q，则可组成四个复合命题“┐p”、“┐q”、“p或q”、“p且q”,
这四
个复合命题中，真命题的个数为a，假命题的个数为b，则a、b的大小关系是（）
A．a>b B．a12. 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”与它的逆命题、否命题、
逆否命题中，真命题有（）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
13. “p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

14．下列命题

①“等边三角形的三内角均为60°”的逆命题
②若k>0，则方程x2+2x－k=0有实根“的逆命题
③“全等三角形的面积相等”的否命题
④“若ab≠0，则a≠0”的逆否命题，其中真命题的个数是（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15. 如图电路中，规定“开关A的闭合”为条件M，“灯泡B亮”为结论N，观察以
下图1和图2，可得出的正确结论分别是
（）
A．M是N的充分而不必要条件. B。M是N的必要而不充分条件.
C．M是N的充要条件. D。M是N的既不充分也必要不条件.
16．已知函数f(x)=3472kxkxkx，若Rx，则k的取值范围是（ A ）
A．0≤k<43 B．043 D．0

二.填空题
17．在空间中，（1）若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；（2）若两条直
线没有公共点，则这两条直线是异面直线.这两个命题中逆命题为真命题的是
18．命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是

19．若用反证法证明命题：“过平面内一点能且只能作一条直线与已知直线垂直”，
则所作的反设是
20.命题”a,b是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是

答案:
1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.B 10.B 11.C 12.A 13.A 14.C 15.A 16.A
17.(2) 18.若a,b都不等于0,则ab≠0 19, 过平面内一点能作不止一条直线与
已知直线垂直 20, a+b不是偶数,则a,b不是偶数.

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