判定广义对角占优矩阵的一组新条件
对角占优矩阵可逆的巧妙证明
对角占优矩阵可逆的巧妙证明1.引言引言部分的概述部分可以写成以下内容：1.1 概述对角占优矩阵是一类常见的矩阵，在求解线性方程组和矩阵运算中具有重要的应用。
研究对角占优矩阵的可逆性，既是线性代数的基础内容，也是解决实际问题的关键。
本文旨在通过巧妙的证明方法，揭示对角占优矩阵可逆的条件，并探讨这种证明方法在实际应用中的意义。
通过深入研究对角占优矩阵的性质和可逆性条件，我们希望能够更好地理解矩阵的结构和特点，为解决实际问题提供更科学有效的方法。
本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的研究目的和结构，为读者提供一个整体的思路。
接下来，在正文部分，我们将详细介绍对角占优矩阵的定义和可逆性条件，并给出巧妙的证明方法。
最后，在结论部分，我们将总结这个巧妙的证明方法的重要性，并讨论对角占优矩阵可逆性的实际应用以及未来的研究方向。
通过阅读本文，读者将能够深入了解对角占优矩阵的性质和可逆性，掌握一种巧妙的证明方法，并将其应用于解决实际问题。
同时，本文也可能会激发读者对矩阵理论的兴趣，促使他们对这一领域进行更深入的研究和探索。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：本文主要包含引言、正文和结论三个部分。
引言部分介绍了文章的概述，简要说明了对角占优矩阵可逆的巧妙证明，并明确了本文的目的。
正文部分主要包括两个小节：对角占优矩阵的定义和对角占优矩阵可逆的条件。
在对角占优矩阵的定义部分，将简要介绍对角占优矩阵的概念和性质，为后续证明做基础铺垫。
在对角占优矩阵可逆的条件部分，将详细阐述对角占优矩阵可逆的证明方法，通过一系列推导和运算，以巧妙的方式证明其可逆性。
结论部分主要对本文的内容进行总结，强调了对角占优矩阵可逆的证明方法的巧妙性，并提出了实际应用和进一步研究方向的建议。
通过本文的探讨，读者将更加深入地理解对角占优矩阵可逆的原理和证明方法，并可以在实际应用中进行相关的分析和运用。
整体上，本文结构清晰，内容有层次感，引言部分引领读者对文章内容有个整体的把握，正文部分详细介绍了对角占优矩阵的定义和可逆性条件，并给出了巧妙的证明方法，结论部分对已经讨论的内容进行了总结，并提出了进一步研究的方向。
对角占优矩阵非奇异的充分必要条件
对角占优矩阵非奇异的充分必要条件
张成毅
【期刊名称】《西安工程大学学报》
【年(卷),期】2012(026)001
【摘要】提出了对角均势矩阵的定义，并通过分析对角占优矩阵的内部结构，发现对角占优矩阵是否具有对角均势主子阵是影响该类矩阵非奇异的根本原因．在此基础上，给出了该类矩阵非奇异的几个充分必要条件．
【总页数】5页(P112-116)
【作者】张成毅
【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.广义α-对角占优矩阵与非奇异H-矩阵的判定 [J], 张钟元;宋岱才
2.(广义)块对角占优矩阵的奇异与非奇异性 [J], 朱艳;黄廷祝
3.非奇异块α2-对角占优矩阵新的实用简单判据 [J], 李艳艳
4.块α-对角占优矩阵与非奇异块H-矩阵的判定条件研究 [J], 贾明辉
5.Ostrowski对角占优矩阵与非奇异H-矩阵的一个判别定理 [J], 苗晨
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矩阵可对角化的判定条件及推广
矩阵可对角化的判定条件及推广
矩阵的对角化是矩阵理论的一个重要概念，它指的是有一种转换，使给定的方阵成为一个主对角线向量组成的对角矩阵。
矩阵可对角化是一个重要的判定条件，当满足所有下列条件时，矩阵可以对角化：
1、矩阵必须是n阶可逆矩阵，且n>1，即A必须为n阶可逆方阵；
2、所有特征值都是不同的，只有不同的特征值才能保证对角矩阵的特性；
3、矩阵的特征向量必须互相垂直，它们的内积必须为零，两个向量只有在这种状态下才能够形成一个正交矩阵；
4、矩阵的特征向量必须是单位向量，这种向量的模为1，只有确保矩阵的行列式的值不为0，才能让对角矩阵与原矩阵相同。
对角化矩阵的概念可以拓展到实数矩阵，在这种情况下，矩阵可先进行置换变换，让特征值互不相同，然后进行双对角化，将原矩阵分解为两个对角矩阵的乘积，然后将每个矩阵的特征向量分别作为其特征值的正交基，最后将所有对角矩阵的特征值按照其特定顺序汇总起来，从而形成一个新的对角矩阵。
补充到此，实数矩阵也同样满足上述矩阵可对角化的四条条件。
综上所述，矩阵可对角化的判定条件是：矩阵是可逆矩阵，并且特征值各不相同，特征向量互相垂直，且为单位向量，这四条条件同时满足时，矩阵可以对角化。
此外，对角化的概念也可以拓展到实数矩阵，用置换变换与双对角化使实数矩阵可对角化，实数矩阵也必须满足上述四条条件。
严格对角占优矩阵例子
严格对角占优矩阵例子
严格对角占优矩阵是指矩阵的对角线元素绝对值大于非对角线元素之和的绝对值。
这
种矩阵在数值计算中有很重要的应用，因为它们保证了矩阵的求逆和解线性方程组的稳定性。
下面给出一个严格对角占优矩阵的例子。
假设有线性方程组：
3x + y + z = 1
2x + 4y + z = 2
x + y + 5z = 3
将其表示为矩阵形式：
[3 1 1]
[2 4 1]
[1 1 5]
这个矩阵被称为该线性方程组的系数矩阵。
我们可以看出，这个矩阵是一个三阶矩阵，有三行三列。
现在，我们需要证明这个矩阵是严格对角占优矩阵。
对于每一行，我们可以计算非对角线元素的绝对值之和：
|1| + |1| = 2
|2| + |1| = 3
|1| + |1| = 2
|3|, |4|, |5|
最后，我们可以看出，每个对角线元素的绝对值都大于相应行的非对角线元素之和的
绝对值。
因此，该矩阵是严格对角占优矩阵。
需要注意的是，虽然该矩阵是严格对角占优矩阵，但它并不一定是正定矩阵。
在实际
应用中，需要注意区分它们的性质。
对角占优矩阵的行列式大于零的证明
对角占优矩阵的行列式大于零的证明对角占优矩阵的行列式大于零的证明一、引言在线性代数中，对角占优矩阵（Diagonally Dominant Matrix）是一种常见的矩阵类型，具有很多重要的性质和应用。
其中一个重要的性质是，对角占优矩阵的行列式大于零。
在本文中，我们将探讨这个性质的证明过程，帮助读者更全面、深刻地理解对角占优矩阵的特性。
二、定义与性质回顾在开始证明之前，让我们先回顾一下对角占优矩阵的定义和一些相关性质。
1. 定义：对角占优矩阵是指矩阵的每一行（或每一列）对应的对角元素的绝对值大于等于该行（或该列）中非对角元素绝对值之和。
2. 性质1：对角占优矩阵的主对角线元素为正。
3. 性质2：对角占优矩阵的行列式大于等于零。
三、证明过程下面我们将逐步证明对角占优矩阵的行列式大于零。
1. 基本思路我们将采用矩阵的定义进行证明。
根据性质1，对角占优矩阵的主对角线元素为正，而矩阵的行列式等于各列元素的代数余子式之和。
我们只需要证明矩阵的每个列元素的代数余子式都为正，就能得出结论。
2. 证明过程考虑对角占优矩阵A的第i列元素ai，我们需要证明它对应的代数余子式Mi为正。
（1）对第i列元素ai求代数余子式Mi，可以得到一个n-1阶子矩阵。
（2）根据对角占优矩阵的定义，第i列元素的绝对值大于等于其他非对角元素的绝对值之和，即|ai| >= Σ|aij| (j ≠ i)。
（3）由于对角占优矩阵的主对角线元素为正，所以|ai| > Σ|aij| (j ≠ i)。
（4）根据代数余子式的定义，Mi的行列式为(-1)^(i+j)乘以子矩阵的行列式Di。
（5）根据（3）和（4），Mi的行列式为正乘以一个正数，因此Mi的行列式大于零。
3. 总结回顾通过逐步证明，我们得出了对角占优矩阵的每个列元素的代数余子式都为正的结论，从而证明了对角占优矩阵的行列式大于零。
四、个人观点与理解对角占优矩阵的行列式大于零的证明过程比较简洁清晰，但却要依赖于对角占优矩阵的定义和一些矩阵性质。
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是由若干个数排成的矩形阵列。
在实际应用中，矩阵广泛应用于各种数学、物理、工程和计算机科学等领域。
其中，严格对角占优矩阵是一类特殊的矩阵，它在数值计算和科学计算中具有重要的作用。
本文将详细介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用。
一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是一类具有特殊性质的矩阵。
它的定义如下：对于一个n阶矩阵A=(aij)，如果存在一个正整数p，使得对于任意的i∈[1,n]，都有|aii|>∑|aij|，其中j∈[1,n]，j≠i且j≠p，则称矩阵A是严格对角占优的。
其中，|aij|表示aij的绝对值，∑|aij|表示矩阵A第i行除去aii元素后，其余元素绝对值之和。
举个例子，下面是一个3阶的严格对角占优矩阵：A = [ 4 -1 0-1 4 -10 -1 4 ]可以看到，对于任意一个元素aii，都有|aii|>∑|aij|，其中j ≠i。
例如，当i=1时，|4|>|(-1)|+|0|=1，当i=2时，|4|>|(-1)|+|(-1)|=2，当i=3时，|4|>|(-1)|+|0|=1。
因此，矩阵A是严格对角占优的。
二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有以下性质：1.唯一性：严格对角占优矩阵是唯一的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是唯一的。
2.可逆性：严格对角占优矩阵是可逆的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是可逆的。
3.正定性：严格对角占优矩阵是正定的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它的所有特征值都是正实数。
4.稳定性：严格对角占优矩阵在数值计算中具有很好的稳定性。
也就是说，对于一个严格对角占优矩阵A，如果对其进行一些数值计算，得到的结果也是非常稳定的，不会受到舍入误差的影响。
三、严格对角占优矩阵的应用严格对角占优矩阵在数值计算和科学计算中具有广泛的应用。
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是数学中的一种重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
其中，严格对角占优矩阵是一种非常特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用这种矩阵。
一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是指矩阵的对角线元素绝对值大于非对角线元素绝对值之和的矩阵。
具体来说，设矩阵A的大小为n×n，即A=[aij]n×n，其中i和j分别表示行和列的下标，那么A是严格对角占优的，当且仅当：|aii| > ∑|aij| (j≠i)其中，∑|aij|表示对于每个i，将aij的绝对值相加得到的总和。
如果A是对角占优矩阵，即|aii| ≥∑|aij| (j≠i)，则A不是严格对角占优矩阵。
二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有很多重要的性质，这些性质使得它在数学和应用中都有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些重要的性质。
1.严格对角占优矩阵的逆矩阵存在且唯一。
如果A是严格对角占优矩阵，那么它的逆矩阵A-1也存在且唯一。
证明如下：由于A是严格对角占优矩阵，所以|aii| > ∑|aij| (j≠i)，即：|aii| > |ai1| + |ai2| + ... + |ai(i-1)| + |ai(i+1)| + ... + |ain|将上式移项并除以|aii|，得到：1 > |ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| + |ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii|因为|aij|/|aii| < 1，所以|ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| +|ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii| < n-1因此，1/(n-1) < 1/|aii|，即|aii| < n-1。
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是线性代数中重要的概念之一。
在实际应用中，矩阵的性质和特征对于问题的解决至关重要。
其中，严格对角占优矩阵是一类重要的矩阵类型，其定义和性质被广泛应用于数值计算、最优化、信号处理等领域。
定义在介绍严格对角占优矩阵之前，我们先来了解一下对角占优矩阵。
对角占优矩阵是指矩阵中每一行对应的对角元素的绝对值大于等于该行所有非对角元素绝对值之和。
即对于一个$n$阶方阵$A$，如果满足：$$|a_{ii}| geq sum_{jeq i} |a_{ij}|, quad i=1,2,dots,n$$则称$A$为对角占优矩阵。
严格对角占优矩阵是对角占优矩阵的一种特殊情况，其定义为：矩阵中每一行对应的对角元素的绝对值大于该行所有非对角元素绝对值之和。
即对于一个$n$阶方阵$A$，如果满足：$$|a_{ii}| > sum_{jeq i} |a_{ij}|, quad i=1,2,dots,n$$则称$A$为严格对角占优矩阵。
举个例子，下面的矩阵是一个对角占优矩阵，但不是严格对角占优矩阵：$$begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 -2 & 5 & -1 1 & -1 & 3end{bmatrix}$$因为第三行的对角元素$3$等于该行所有非对角元素绝对值之和$|1|+|-1|=2$。
而下面的矩阵是一个严格对角占优矩阵：$$begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 -2 & 5 & -1 0 & -1 & 3 end{bmatrix}$$因为每一行的对角元素都大于该行所有非对角元素绝对值之和。
性质严格对角占优矩阵具有以下性质：1. 非奇异性：严格对角占优矩阵是非奇异的，即存在逆矩阵。
证明：设$A$为一个严格对角占优矩阵，我们需要证明$A$的行列式不为$0$。
根据行列式的定义，有：$$begin{aligned} det(A) &= sum_{sigma in S_n}mathrm{sgn}(sigma) prod_{i=1}^n a_{i sigma_i} &>sum_{sigma in S_n} mathrm{sgn}(sigma) |a_{1 sigma_1}|prod_{i=2}^n left(frac{|a_{i sigma_i}|}{|a_{isigma_i}|+|a_{1 sigma_1}|}right) prod_{i=2}^n |a_{isigma_i}| &geq |a_{1 1}| sum_{sigma in S_n}mathrm{sgn}(sigma) prod_{i=2}^n left(frac{|a_{isigma_i}|}{|a_{i sigma_i}|+|a_{1 sigma_1}|}right)prod_{i=2}^n |a_{i sigma_i}| &> 0 end{aligned}$$其中，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$mathrm{sgn}(sigma)$表示置换$sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为置换$sigma$的逆序对个数。
广义对角占优阵的广义次对角占优阵等价条件的注记
其 次 ， 们给 出文 ［］ 论 的较 简捷 的 证 明 ． 我 １结
定义１ ］ 设Ａ＝（ ［ 口
是，阶实方阵， １ Ｉ ∑ Ｉｏ （ ：１２…， ）则称Ａ为严格对 ｚ 如果 口 ＞ ｉ ，， ，， ａＩ ｚ
，＝ Ｉ
， ｉ ≠
角 占优 阵 ； 如果 存 在 正对 角 阵 Ｄ 使 ＡＤ 为严 格 对角 占优 阵， 称 Ａ 为 广义 对角 占优 阵 ． 则
广 义 对 角 占优 阵 和 广 义 次对 角 占优 阵 等 价 条 件 的注 记
韩 俊 林 ， 刘建 州
（ 潭大学 数 学系， 南 湘潭 ４１０） 湘 湖 １ １５
摘 要 ： 出 了广义对 角占优矩阵与 广义次对 角占优矩 阵之 间的 关 系。 广义对 角 占优阵 和广 义次 对 角 占优 指 对
阵 的 一 个 等价 条件 给 出 了较 简捷 的 证 明方 法 ．
关键词 ： 广义对 角占优矩 阵 ； 广义次对 角占优 矩阵 ； 矩阵 Ｍ
中 图 分 类 号 ： ５ ．１ Ｏ１ １ ２ 文献标识 码 ： Ａ 文章 编号 ：０ ８ ６ ２ ２ ０ ）２—０ ４ —０ １０ —２６ （０ ２ ０ ０６ ３
定义２
设 Ａ＝（ 是，阶实方阵， Ｉ 一 Ｉ ∑ Ｉ Ｉｉ ，， ， ， 口） ｚ 若 口 川 ＞ 口 （ ＝１２…， ）则称Ａ为 ｚ
， ， ＋
严 格 次 以 角 占优 阵 ； 如果 存 在 正对 角 阵 Ｄ 使 ＡＤ 为严格 次 对角 占优 阵 ， 称 Ａ 为 广义 次 对角 占 优 矩 阵 ． 则
１ 广义 对角 占优 矩阵与 广义次对 角 占优矩阵 之间的关 系
文 ［ ］ ［ ］ 别 用较 长 篇 幅证 明了广 义对 角 占优 矩 阵 和 广义 次 对 角 占优 矩 阵的 一 个 等 价 条 件 ， 本 文 ， １ 、２ 分 在 我 们首 先指 出广 义对 角 占优 矩 阵与 广 义次 对 角 占优 矩 阵之 间的 关系 ， 明文 ［ ］ 结论 可 直接 由文 ［ ］ 出， 说 ２的 １推
矩阵可对角化条件与方法
矩阵可对角化条件与方法矩阵的可对角化是一个重要的概念，在线性代数中占据着重要的地位。
一个矩阵是否可对角化决定着其特征值与特征向量的性质，对于解决线性方程组、求解线性变换以及简化计算都有着重要意义。
本文将介绍矩阵可对角化的条件与方法。
一、矩阵可对角化的条件对于一个n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P使得P-1AP为对角矩阵D，则称矩阵A可对角化。
下面是矩阵可对角化的充分条件：1. 矩阵A有n个线性无关的特征向量。
2. 矩阵A的n个特征向量构成了n维空间的一组基。
3. 矩阵A的特征值都是代数重数等于几何重数的。
这三个条件是矩阵可对角化的充分条件，也是我们在判断矩阵可对角化时常常使用的条件。
二、矩阵对角化的方法1. 求特征值和特征向量的方法对于一个矩阵A，我们首先需要求解其特征值和特征向量。
求解特征值的方法是通过解方程|A-λI|=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
解得特征值后，再通过求解(A-λI)X=0，其中X为特征向量。
这个方法是最常用的求解特征值和特征向量的方法。
2. 判断矩阵可对角化的方法在求解完特征值和特征向量后，接下来需要判断矩阵是否可对角化。
常用的方法有以下几种：（1）检查特征值的代数重数与几何重数是否相等。
如果对于每个特征值的代数重数等于几何重数，则矩阵可对角化。
（2）检查特征向量的个数是否等于矩阵的秩。
如果矩阵的秩等于n 个特征向量的个数，则矩阵可对角化。
（3）判断矩阵的特征向量能否构成一组基。
根据线性代数的知识，如果矩阵A的n个特征向量能够构成一组基，则矩阵可对角化。
三、矩阵对角化的应用矩阵的可对角化在许多领域中都有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 线性方程组的求解。
对于一个矩阵可对角化的线性方程组，可以通过对角化后的矩阵求解出方程组的解。
2. 线性变换的简化。
在线性代数中，矩阵可对角化可以将线性变换转化为更简单的形式，从而简化计算。
3. 特征值问题的求解。
矩阵的特征值问题可以通过矩阵的可对角化来求解，从而得到矩阵的特征值。
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第３１卷第４期 ２０１１年１２月 数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬ ＴＨＥＯＲＹ ＡＮＤ ＡＰＰＬＩＣＡＴＩＯＮＳ Ｖ０１．３１ Ｎｏ．４
Ｄｅｃ．２Ｏ１１
Ａ Ｓｅｔ ｏｆ Ｎｅｗ Ｃｒｉｔｅｒｉａ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ Ｄｏｍｉｎａｎｔ Ｍａｔｒｉｃｅｓ
Ｗａｎｇ Ｙｏｎｇ （Ｆｅｉｘｉａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉｎｙｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｎｙｉ ２７３４００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｃｅｓ，ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｏｍｅ ｒｅｌａｔｅ ｒｅｓｕｌｔｓ．Ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｂｙ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｃｅｓ Ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ Ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ
判定广义对角占优矩阵的一组新条件 王永 （临沂大学费县分校，临沂，２７３４００）
摘要本文给出了广义对角占优矩阵的新判定条件，改进了近期的相关结果，并用数值例子 －日月了所得结 果判定范围的更加广泛性． 关键词广义对角占优矩阵严格对角占优矩阵不可约
１ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｓｕｂｊｅｃｔｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙ— ｓｉｓ，ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，ｅｔｃ．Ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏ． ｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ．Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｉｎ ｓｏｍｅ ｐａｐｅｒｓ，ｅ．ｇ．ｓｅｅ［１—８］． Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｈｅｉｒ ｗｏｋｓ，ｔｈｅ ｍａｉｎ ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ［１，３，４］，ａｎｄ ｔｏ ｐｒｏｖｉｄｅ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉ— ｃｅｓ． Ｂｙ Ｃ ｗｅ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ｃｏｍｐｌｅｘ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ．ＬｅｔＡ＝（ａ ）∈ Ｃ “，Ｒ （ ）＝
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国家自然科学基金项目（１０９６１０２＂／，７１１６１０２０） 收稿１３期：２０１１年１Ｏ月２５日 数学理论与应用 ａ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｎ Ａ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｕｓｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｎｏｔａｔｉｏｎｓ．Ｌｅｔ Ⅳ１，Ｊ７、『 ，Ｎ３ Ｎ，Ｎ１ ｕⅣ２ ｕ Ｎ３＝Ｎ，Ｎ１ ｎ Ｎ２ ｆ３Ⅳ３＝ ， Ｎ。＝｛ｉ∈Ｎ １ ０＜ｊ ａ ｌ＝Ｒｆ（Ａ）｝，Ⅳ２＝｛ｉ∈Ｎ １ ０＜Ｉ ａ ｌ＜Ｒｉ（Ａ）｝，Ｎ３＝｛ｉ∈Ｎ １ ａ １＞Ｒ （Ａ）｝
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Ａ ＇７＋（１＿’７）ｍ ａｘ。
Ａ∑Ｉ 』ＥＮｌ，≠ｉ （Ｖｉ∈Ⅳ）， ∑Ｉ ｎ Ｉ ８ｓ（Ａ）＋∑Ｉ口 ０ （Ａ） ｉＥ ｉ∈Ｎ３ Ｒｉ（Ａ）一∑ｌ口 Ｉ ’ ＪＥＮ１．≠ ＋∑Ｉ ｎ Ｉ ６ｓ（Ａ）＋ ∑Ｉ口 Ｉ ｐｓ（Ａ） ＥＮ２，≠ｆ 』∈Ｎ３，≠ｉ （Ｖ ｉ ＥⅣ）．
Ｉｔ ｉｓ ｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎ ｔｈａｔ ｉｆ Ａ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｓｔｒｉｅｄｙ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｒｏｗ，ｉ．ｅ．，Ｎ３≠咖．Ａｎｄ ｉｆＮ１ ｕ Ｎ２＝ ，ｔｈｅｎＡ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉ— ａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｕｓ ｗｅ ａｌｗａｙｓ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ Ｎ１ ｕⅣ２≠咖ａｎｄ Ｎ３≠ ．Ｗｅ ｄｅｎｏｔｅ ∑一０． ‘Ｅ西 Ｌｅｍｍａ １．１（ｓｅｅ［７］）ＬｅｔＡ＝（ａ ）∈Ｃ ．Ⅱｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｉａｇｏｎａｌ ｄｏｍｉｎａｎｔ
ｍａｔｒｉｃｅｓ Ｘ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ＡＸ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｎ Ａ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌ－ ｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ． ］＿，ｅｍｍａ １．２（ｓｅｅ［８］）ＬｅｔＡ＝（ａ ）∈Ｃ ｂｅ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ．ＩｆＡ ｉｓ ａｌｌ ｉｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｎ Ａ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ。
Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１ Ｌｅｔ Ａ＝（ａ ）∈Ｃ ．Ｓｕｐｐｏｓｅ Ａ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ： 判定广义对角占优矩阵的一组新条件 ３９ （ｉ）Ａ Ｉ口 Ｉ＞Ａ∑ｌ口 ｌ＋∑ｌ口 Ｉ ８ｉ（Ａ）＋叩 ｌ口 ｌ （Ａ），Ｖ ｉ∈Ｎ１， （１） ＪＥＮｔ，≠ｉ ＪＥ』ｖ２ ＪＥＮ３
（ｉｉ）Ｉ口 Ｉ （Ａ）＞∑ｌ ａｑ ｌ （Ａ）＋∑ｌ。 ｌ （Ａ）＋∑ｌ口 ｌ （Ａ），Ｖ ｉ∈Ｎ２ ＪＥＮｉ ＪＥＮ２，≠ｉ ｊＥＮ３
ｔｈｅｎ Ａ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ．
ＳＯ Ｐｒｏｏｆ Ｂｙ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓ，０≤ｓ＜１．Ｆｏｒ ａｎｙ ｉ∈Ⅳ３，ｗｅ ｈａｖｅ ｓＲｉ（Ａ）≥∑ｌ ｎ Ｉ＋∑ｌ口 ｌ （Ａ） ∑ｌ ０ （Ａ）， ，ＥＮｌ ｆＥＮ２ ，ＥＮ３，≠‘
。 ｌ＋ ０≤Ｐ （Ａ）≤ｓ ｆ（Ａ）＜ｒ＜１，
０ ｌ （Ａ） ｌ ａｉｉ Ｉ ｐｉ（Ａ） ａ Ｉ Ｐ （Ａ） 一ｓ∑ ＥⅣ３，≠ 一 ｒ— Ｅ ，≠ ａ Ｉ ｏ－ｉ（Ａ） ｉ ｌ ａ ｌ （Ａ） ｉ
口 Ｉ （Ａ） Ｉ ａｉ Ｉ ｐｆ（Ａ） ≤１．
（２） （３） ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，０≤叼≤１．Ｂｙ（１），ｗｅ ｈａｖｅ ０≤叼≤Ａ≤１，ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ占＞ ０ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ａ Ｉ口 Ｉ—Ａ∑Ｉ ｎ ｌ一∑Ｉ口 Ｉ （Ａ） ＥＮ１，≠ Ｅ 一
‘口 Ｉ （Ａ）＞嗡３ ・Ｖ ＥⅣ１， ＪＥ，Ｖ３ ＪＥ¨
Ｂｙ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ０ｆ叼，ｆｏｒ ａｎｙ Ｅ Ｎ３，ｗｅ ｈａｖｅ （４）
Ｉ口 Ｉ Ｐｉ（Ａ）≥∑Ｉ口 Ｉ＋∑Ｉ口 Ｉ ６ｊ（Ａ） ．∑．１口 Ｉ ｐｊ（ａ）． （５） ＥＮ１ Ｅ ＪＥＮ３， ‘
Ｌｅｔ ｐ。ｓｉｔｉｖｅ ｄｉａｇ０ｎａｌ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ Ｘ１＝ｄｉａｇ（ ｌ， ２，…， ），Ａｌ＝ＡＸ１＝（。 ），ｗｈｅｒｅ
＝Ａ，ｉ∈Ｎｌ； ＝６ｆ（Ａ），ｉ∈Ｎ２； ｉ＝ ｐｆ（Ａ）＋８，ｉ∈Ｎ３・ Ｆｏｒ ａｎｙ ｉ∈Ｎ１，Ｂｙ‘（４），ｗｅ ｇｅｔ Ｒ；（Ａ。）＝Ａ∑ｔ口 ｌ＋∑Ｉ口 Ｉ （Ａ）＋ Ｉ ｔｚ／ｊ Ｉ（孵（Ａ） ）＜Ａ Ｉ％Ｉ＝Ｉ。 ・ ，ＥⅣ１， ｉ ＪＥ ＪＥ Ｆｏｒ ａｎｙ ｉ∈Ｎ３，Ｂｙ（５），ｗｅ ｇｅｔ
Ｒｉ（Ａ ）＝Ａ∑Ｉ口 ｔ＋ ｌ口 ｌ岛（Ａ）＋ ．Ｉ口 Ｉ（ （Ａ）＋占） ＪＥⅣＩ ＪＥⅣ２ ，Ｅ ３・，‘‘
≤ Ｉ口“ （Ａ）＋ ∑Ｉ ａｉｊ Ｉ＜Ｉ口 Ｉ（ ｉ（Ａ）＋ ）＝Ｉ口 Ｉ． ＪＥ慨，≠ｉ
Ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ，Ｒｉ（Ａ１）＜Ｉ口 Ｉ，Ｖｉ∈Ｎ１ ｕⅣ３，ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒｒ＞０
ｓｕｃｈ ｔｈａｔ 数学理论与应用 。＜ 牛＜１， Ⅳ１ＵⅣ３， （６） Ｆｒ０ｍ（１）ａｎｄ（２），ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒＢ＞０ ａｎｄ ｒ＞０ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ（４）ａｎｄ （６）ｈｏｌｄ，ａｎｄ ｆｏｒ ａｎｙ ∈Ⅳ２，ｗｅ ｈａｖｅ Ａ）－ Ｚ ， ８ｊ（Ａ
Ｍ
等（ ）＋
（７） Ｌｅｔ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｉａｇｏｎａｌ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ ＝ 口ｇ｛ ・ ＝ 去— ， ∈Ⅳｔ ｕ ； ｉ＝ ， ｉ∈Ｎ２｛，Ａ２＝Ａ１Ｘ２＝（Ⅱ ’），ｆｏｒ ａｎｙ ｉ∈Ｎ１ ｕ Ｎ３，ｂｙ（６），ｗｅ ｈａｖｅ Ａ２）＝ ，
ｌ ａ １）ｌ 牢＋ １）ｌ≤Ｒ ｔ）＜ Ｉ）ｌ ・
Ｆｏｒ ａｎｙ Ｖｉ∈Ｎ２，ｂｙ（７），ｗｅ ｇｅｔ Ｒ （Ａ２）＝ ∑Ｉ ８ ＪｅＮｔ
＝∑Ａ Ｉ ｎ ＪＥＮ１
＋∑ｌ ｊｅＮ３
％Ｉ （Ａ）＋ｓ∑’ Ｉ＋丁 ｔＥ Ｊ Ａ Ｉ ａｉｉ
＋∑ｌ口 Ｉ（ｎｐｉ（Ａ）＋ ） ＪＥＮ３
±二 ｌ ”Ｉ
＋∑１ ０ ｌ （Ａ） Ｅ ，≠ｉ
Ｉ岛（Ａ）＋ ∑Ｉ Ｉ＋．ｒ ｔＥＮ３，≠ｊ Ｉ（ （』４）＋８）
＝ 肌
Ｉ口 ｌ岛（Ａ）＋
批 ｌ口 ｌ （Ａ）＋ 一 Ｉ ａ＃Ｉｌ，ＮＩ ｔ．）ｌＶ３ （ Ｉ Ｉ） ｉＥ ＵＮ ｉＥ ２，≠ｔ ｊＥ＾ｔ ’ｕ丑 ｌＥｉ ，手Ｊ
＋ Ｉ ａｏＴＩ＜ （Ａ）＝Ｉ口 ＝Ｉ。 ・