有标题 对角占优矩阵的性质及其应用
本科生毕业论文(设计)
题 目：
对角占优矩阵的性质及其应用
学生姓名： 付 艳
学 号： ************
指导教师： * * *
专业班级： 数学与应用数学
完成时间： 2012年5月 目 录
0引言……………………………………………………………………………1
1主要结果……………………………………………………………………2
1.1 对角占优矩阵奇异性………………………………………………2
1.2对角占优矩阵行列式………………………………………………3
1.3对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性……………………………………4
1.4对角占优矩阵其他相关性质……………………………………………5
1.5关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用………………………9
1.6关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用………11结论………………………………………………………………14
参考文献…………………………………………………………………14
致谢……………………………………………………………………………15
对角占优矩阵的性质及其应用
1
对角占优矩阵的性质及其应用
数学与应用数学专业学生：付艳
指导教师：邹庆云
摘要：本文根据严格对角占优矩阵、不可约对角占优等概念，讨论了对角占优矩阵的若
干性质及其应用，而对角占优矩阵有强、弱之分，本文主要以严格对角占优矩阵为研究
对象，适当的给出了不可约对角占优矩阵的一些性质。本文主要研究了对角占优矩阵的
奇异性、行列式、特征值、以及其逆矩阵的对角占优性，同时研究了矩阵对角占优性在
利用迭代法求解线性方程组，以及进行矩阵LU分解等方面的应用。
关键词：对角占优矩阵，奇异性，迭代收敛性，行列式，特征值。
Abstract：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominant
concepts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and
diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict
diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of
some of the dominant matrix. This article on the diagonally dominant matrix of singularity,
the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant,
while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations,
as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the application.
Keywords：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant;
eigenvalue.
0 引言
各类对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，19世纪末，人们
在研究行列式的性质和值的计算时，就注意到“对角占优”这一性质，而对于对角占优
矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解方面具有重要作用，因此，对对角占优矩阵性质 对角占优矩阵的性质及其应用
2 及其应用的探讨成为许多国内外学者的主要研究课题。
定义1 若A是nn矩阵，且满足iiijjiaa ()iiijjiaa（1,2,,in…），则称A为
对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。
定义2 设n阶矩阵,ijAa当1n时，若A的惟一的元素不为0，则称A为不可约，否
则称为可约；当2n时，把正整数1,2,,n…的全体记为N，若存在一个非空集合K，
它是N的真子集合（即KN,但K≠N）使0ija,当ik,jk.则称A为可约矩阵，否则
称为不可约矩阵。
定义3 设n阶矩阵()ijijAa满足下面三个条件：
（1）A为对角占优矩阵，
（2）A为不可约矩阵，
（3）严格不等式iiijjiaa至少对一个下标iN成立，
则称A为不可约对角占优矩阵。
1 主要结果
1.1 关于对角占优矩阵奇异性研究
定理1 A为严格对角占优矩阵，则A为非奇异。
证明:用反证法。假设有非零向量12(,,)nxxxx…，满足
10,1,2,nijjjaxi…,n,
则存在正整数k≤n,使得1max0kjjnxx且
1,njkkkjjjkkxaax
由此得
1,1,nnjkkkjkjjjkjjkkxaaax 对角占优矩阵的性质及其应用
3 这与A严格对角占优的性质矛盾。
定理2若矩阵A为不可约按行（或列）对角占优矩阵，则A非奇异。
证明：仅考虑结论对不可约按行对角占优矩阵成立。
设矩阵A为不可约按行对角占优矩阵，如果A奇异，则存在非零向量x，使得0Ax，
记|,iIixx显然0x且I非空，则
1,1,1,,nnniiiiiijjijjijjjijjijjiaxaxaxaxaxiI （1）
如果1,2,INn…，，则
1,,1,2,,niiijjjkaain…，
与对角占有性矛盾。
如果IN，令/JNI，则J非空，且
,IJNIJ
由对角占优性以及（1）
1,1,,,nnijijjjjijjiaxaxiI
即
1,0,.nijjjjiaxxiI
当jI即jJ时jxx，故由上式立即得到0ija，因此
0,ijaJ，iI,j
与矩阵A不可约矛盾。证毕。
1.2 关于对角占优矩阵行列式的研究
定理3设nnijAaR是（行或列）严格对角占优矩阵，则detA和A的主对角元素之
积
1122nnaaa 对角占优矩阵的性质及其应用
4 同号。而且，当A是行严格对角占优时，
1detniiijjiiAaa。
当A是列严格对角占优时，
1detnjjijijjAaa。
证明:由假设知
0,1,2,,iiain…。
记
sgn,1,2,,;,nniiiiijainBaR…
于是
12detAdetBn…。
注意到B的对角元素是正实数：
0,1,2,,.iiiiiaain…
则B的所有特征值具有正实部。这样，由于B是实的，复特征值必共轭成对出现，其积是正实数，而实特征值必为正实数，从而detB—等于B的所有特征值（按代数重数计）之积—必大于零。因此有
121122sgndetsgnnnnAaaa……，证毕。
1.3 关于对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性的研究
定理4设nnijAaR是行严格对角占优矩阵，则1A是列元素严格对角占优矩阵。
证明:由于A对角占优，则A可逆。令
1,ijijAaAα
则
det()1,,1,2,,detijijijAijnAα… 对角占优矩阵的性质及其应用
5 因此，只须证明
detdet,1,2,,.iiijAAin…
不失一般性，为了方便，取1,2.ij
从而我们可得知
11det0.B
注意到
11111212detdet,detdet.BABA
为了完成定理的证明，只须证明
1112detdet0.BB
事实上，
2222232222122322332333333313333311122313detdetdetdetnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaBBaaaaaa……………………………………
22221223223323133333213detnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa…………………
此式中最后的行列式是正的，因为其矩阵是行严格对角占优且对角元素全大于零，证毕。
1.4 对角占优矩阵其他相关性质
定理5设nnijAaC行严格对角占优矩阵，则对于任何nnijBbC成立
1111,max.nijjniniiijjjibABaa
大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵
大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵
1. 简介
大规模稀疏矩阵求解是计算数学领域中的一个重要问题，涉及到各种领域的应用，如工程、科学计算、机器学习等。在许多实际问题中，待求解的矩阵往往是稀疏的，而且具有严格对角占优的性质。本文将重点讨论如何有效地求解严格对角占优的稀疏矩阵，包括其特点、求解方法以及相关算法优化技巧。
2. 稀疏矩阵的特点
稀疏矩阵是指矩阵中绝大部分元素为0，只有少数非零元素的矩阵。它在实际问题中的应用非常广泛，比如有限元法中的刚度矩阵、图像处理中的图像采样矩阵等。稀疏矩阵的特点是存储和计算效率低下，因为大部分元素都是0，而且通常会导致内存访问的不连续性。
3. 严格对角占优矩阵
严格对角占优矩阵是一类重要的矩阵，具有良好的性质，对于稀疏矩阵求解也有很大的帮助。严格对角占优矩阵是指矩阵的每一行对应的绝对值最大的元素都在对角线上，这保证了矩阵的对角线元素对整个矩阵的影响最大。严格对角占优矩阵在实际问题中也很常见，比如常用的有限差分方法就会生成严格对角占优的矩阵。
4. 求解方法 对于严格对角占优的稀疏矩阵，通常可以采用迭代法来求解。其中最经典的算法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和预条件共轭梯度法。这些算法都充分利用了矩阵的特殊性质，尤其是对角占优性质，从而能够有效地收敛到精确解。
5. 算法优化技巧
考虑到稀疏矩阵的存储和计算效率问题，我们还可以采用一些算法优化技巧，来进一步提高求解速度。比如可以采用稀疏矩阵存储格式来降低内存占用和提高计算效率，还可以利用并行计算来加速迭代过程。针对特定的实际问题，还可以设计一些特定的加速算法，比如多重网格方法、预处理技术等。
6. 结论
大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵是一个具有挑战性的问题，但是通过充分利用特殊的矩阵结构和采用适当的求解方法，我们可以有效地解决这一问题。未来，随着计算机硬件和算法技术的不断发展，相信在大规模稀疏矩阵求解领域一定会有更多的创新和突破。对于大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵的问题，研究者们在过去的几十年中做出了许多重要的成果，使得这一领域的理论和实践都得到了显著的发展。然而，随着科学技术的不断进步和实际应用需求的不断增加，我们仍然面临着一些挑战和机遇。
局部双对角占优矩阵及其应用
第４８卷第３期 ２０１０年５月 吉林大学学报（理学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．４８ ＮＯ．３ Ｍａｖ ２０１０
局部双对角占优矩阵及其应用
王信存 ，关玉景
（１．辽东学院师范学院，辽宁丹东１１８００１；２．吉林大学数学学院，长春１３００１２）
摘要：利用矩阵分块和矩阵分析方法，给出一类局部双对角占优矩阵为广义严格对角占优矩
阵及其比较阵为Ｍ．矩阵的充分条件，拓展了广义严格对角占优矩阵的判定准则． 关键词：广义严格对角占优矩阵；非奇异Ｍ一矩阵；判定
中图分类号：Ｏ１５１．２１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－５４８９（２０１０）０３－０４０１－０５
Ｌｏｃａｌ Ｄｏｕｂｌｅ Ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ Ｄｏｍｉｎａｎｔ Ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ＷＡＮＧ Ｘｉｎ—ｃｕｎ ，ＧＵＡＮ Ｙｕ－ｊｉｎｇ （１．Ｎｏｒｍａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｅａｓｔｅｒｎ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｎｄｏｎｇ １１８００１，Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００１２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｐａｒｔｉｔｉｏｎｉｎｇ ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ ｍａｔｒｉｘ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｓｏｍｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｌｏｃａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ，ｉ．ｅ．ｉｔｓ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ Ｍ—ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ—
广义S-α1_型块对角占优矩阵的判定及其谱分析
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(8), 3619-3630
Published Online August 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.128360
文章引用: 朱开心, 庹清, 黄琦. 广义S-α
1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析[J]. 应用数学进展, 2023, 12(8):
3619-3630. DOI: 10.12677/aam.2023.128360
广义S-α
1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析
朱开心，庹 清*
，黄 琦
吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首
收稿日期：2023年7月18日；录用日期：2023年8月8日；发布日期：2023年8月17日
摘 要 利用G-函数的性质研究了一类新的广义块对角占优矩阵及其判定方法。同时，利用该判定方法给出了分
块矩阵特征值新的包含域。最后，用数值算例说明了该判定方法的优越性。
关键词
块H-矩阵，G-函数，特征值，广义S-α
1型块对角占优矩阵
The Determination and Spectrum
of Generalized S-α
1 Block Diagonally
Dominant Matrices
Kaixin Zhu, Qing Tuo
*, Qi Hung
College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou Hunan
Received: Jul. 18th
, 2023; accepted: Aug. 8th
, 2023; published: Aug. 17th
, 2023
Abstract
A new class of generalized block diagonally dominant matrix and its determination method are
广义严格对角占优矩阵的判定
第３Ｏ卷第１１期 ２０１３年１１月 吉 林 化 工 学 院 学 报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＪＩＬＩＮ ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ ＯＦ ＣＨＥＭＩＣＡＬ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖ０ｌ＿３０ Ｎｏ．１１ ＮＯＶ． ２Ｏ１３
文章编号：１００７－２８５３（２０１３）１１－０１３２－０３
广义严格对角占优矩阵的判定
杨春瑜 （吉林化２１２学院理学院，吉林吉林１３２０２２）
摘要：给出了广义严格对角占优矩阵的若干判定条件． 关键词：广义严格对角占优矩阵；正对角矩阵； 一对角占优矩阵 中图分类号：０ １５１．２１ 文献标志码：Ａ
本文用Ａ＝（ｏ ）…∈Ｃ ，表示ｎ阶复矩阵Ｎ＝ １，２，Ｌ ｎ｝前ｎ个自然数的集合，且记Ｒ ＝∑ Ｊ＝１ ≠ｉ Ｉ Ｉ，Ｐ ＝∑Ｉ Ｉ，Ｖ ｉ∈Ｎ＝｛１，２，Ｌ ｎ｝，若１ ０ Ｉ＞Ｐ 则称Ａ为严格对角占优矩阵，记为Ａ∈Ｄ． Ｊ １ ≠ｉ 若存在正对角矩阵Ｘ使ＡＸ∈Ｄ，则称Ａ为广义严格对角占优矩阵，也称４为非奇异Ｈ矩阵，记为Ａ∈ Ｄ ．若存在０∈［０，１］，使Ｉ口 Ｉ＞ Ｐ ＋（１一ＯＬ）Ｒ ，Ｖ ｉ∈Ｎ，则称Ａ为严格 对角占优矩阵，记为Ａ∈ Ｄ（ＯＬ）． 本文再记Ｎ１＝｛ｉ∈Ｎ Ｉ ２ １ ０ Ｉ＞Ｐ ＋Ｒ ｝，Ｎ２＝｛ｉ∈Ｎ Ｉ ２ Ｉ ｎ Ｉ≤Ｐ ＋Ｒ ｝ 且约定Ｐ ≠０，Ｒ ≠０． 弓Ｉ理１¨ ：设Ａ＝（ａｉ ） ∈Ｃ “，若Ａ∈Ｄ（仅），贝０ Ａ∈Ｄ ． 定理１：设Ａ：（口 ）…．若Ｖｊ∈Ⅳ２， －＞（ ． ＋ ， （１）
则Ａ∈Ｄ ． 证明：因为Ｖ ｉ∈Ｎｌ，有２ Ｉ口 Ｉ＞Ｐ ＋Ｒ ，由式知存在０＜ ＜１， 使Ｖ ｉ∈Ｎ ，Ｖ ∈Ⅳ２有 。＜ 字＜
２ 一 一 一 － ， （３）
做正对角矩阵Ｄ＝ｄｉａｇ（ｄ ，ｄ：，Ｌ ｄ ）． 其中 』 字， ∈Ⅳ１ 【１， ∈ 令Ｂ＝ＡＤ＝（ｂ ） …且记Ｒ （Ｂ）
Ｖ ｉ∈Ｎ ，由（２）式知 Ｐ （Ｂ）＋Ｒ （Ｂ）≤Ｐ ＋Ｒ ＜Ｐ ＋Ｒ ＋ｓ＝２ １ ０“ Ｐｔ＋Ｒｔ＋。 ２ Ｉ。 ＝２ Ｉ ｂ
广义对角占优矩阵的新判据
２０１０年２月 Ｆｅｂ．２０１０ 华南师范大学学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＯＵＴＨ ＣＨＩＮＡ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ （ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥ ＥＤＩＳＯＮ） ２０１０年第１期 Ｎｏ．１，２０１０
文章编号：１０００—５４６３（２０１０）０１—００２４—０４
广义对角占优矩阵的新判据
江 如
（广东海洋大学理学院，广东湛江５２４Ｏ８８）
摘要：利用 一对角占优矩阵的性质，通过对矩阵元素下标集的划分，给出了广义对角占优矩阵的若干新判据．
关键词：广义对角占优矩阵； 一对角占优矩阵；不可约矩阵；非零元素链 中图分类号：０１５１．２１ 文献标志码：Ａ
广义对角占优矩阵是矩阵分析和数值代数中研
究的重要课题之一．它们在数学物理、控制论、电力
系统理论、经济学等众多领域中都有广泛应用，但要
对其进行实际判定却是困难的．许多学者对此进行
了深入研究，并取得了不少成果（见文献［１］－［６］
等）．本文提出一些新的判据，推广了文献［１］、［２］
的主要结果．
用Ｃ “和尺 分别表示所有 阶复矩阵及实
矩阵的集合，定义Ｎ＋＝｛１，２，…，ｎ｝．对Ａ：（ｎ ）∈
ｃ ，记Ｒ （Ａ）＝∑Ｉ口 Ｉ，Ｓｉ（Ａ）＝∑Ｉ ｎ ｌ， 』≠ ≠ ｉ ｊ∈ ．
定义ｌ若存在Ⅳ１，Ⅳ２，…， ｃＮ＋，满足 ｎ
：（２ｊ，ｉ≠ ，Ｖｉ，Ｊ∈Ｎ＋，ｕ ： ＝Ｎ＋，则称Ⅳ】，Ⅳ２，
…， 为集合Ｎ＋的划分，记为Ｎ＋＝Ｎ１０Ⅳ２０…０ ．
定义２设Ａ＝（口 ）∈Ｃ ，若ｌ ｏ Ｉ＞Ｒ （Ａ），
Ｖ ｉ∈Ｎ＋，则称Ａ为严格对角占优矩阵；若存在正对
角矩阵 ，使得Ａ 是严格对角占优的，则称Ａ为
广义对角占优矩阵，记为Ａ∈ＧＤ． 定义３ 设Ａ＝（口 ）∈Ｃ ，若存在 ∈［０，
１］，使得ｊ ｊ＞ 尺 （Ａ）＋（１一 ）Ｓ （Ａ），Ｖｉ∈
Ｎ＋，则称Ａ为严格 一对角占优矩阵；若存在正对
角矩阵 ，使得Ａ 是严格 一对角占优的，则称Ａ
对称局部双对角占优矩阵及其应用
第２２卷第２期 ２Ｏ１３年６月 湖 南 城 市 学 院 学 报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｃｉｔｙ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） 、，０ｉ．２２ Ｎｏ．２ Ｊｕｎ．２０１ ３ 对称局部双对角占优矩阵及其应用 成红艳，郭志军 （湖南城市学院数学与计算科学学院，湖南益阳４１３０００） 摘要：引进了２类对称局部双对角占优矩阵，利用这一概念获得了非奇Ⅳ矩阵的２个新的充分条件，并 用数值例子说明了所得结果的有效性． 关键词：对称局部双对角占优矩阵；矩阵；非奇 矩阵 中图分类号：Ｏ１５１＿２１ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７２．７３０４．２０１３．０２．０１０ 文章编号：１６７２—７３０４（２０１３）０２－－００３９￣）３ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ Ｌｏｃａｌ Ｄｏｕｂｌｅ Ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ Ｄｏｍｉｎａｎｔ Ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ＣＨＥＮＨｏｎｇ－ｙａｎ，ＧＵＯ Ｚｈｉ－／ｕｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｓ＆Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｎａｎ Ｃｉｔｙ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｙａｎｇ，Ｈｕｎａｎ ４１３０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ｔｗｏ ｋｉｎｄｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｌｏｃａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｂｏｕｔ ｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒ Ｈ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｌｏｃａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ；Ｍ—ｍａｔｒｉｘ；ｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒＨ—ｍａｔｒｉｘ． 非奇日矩阵不仅在对称正定矩阵， 矩阵 的判定及矩阵特征值分布等方面具有很强的理论 价值，而且在计算数学、数学物理、控制理论、 弹性力学、经济数学等许多领域中有着重要的实 用价值．文献［１—７】给出了非奇 矩阵的一些充分 条件，本文则定义了两类对称局部双对角占优矩 阵，并由此得到了非奇Ｈ矩阵的２个新的充分条 件，推广了文献【３—６】的判定范围． 设Ａ：（ａ，，）∈Ｃ ”（ ）为ｎ阶复（实）矩 阵，Ｒｉ（ ）＝∑ ｆ， ∈Ⅳ＝｛１，２，…， ），若 ｊ＊ｉ ｌ口，ｆ１ Ｒ （ ），Ｖｉ∈Ｎ，则称 为对角占优矩阵， 记为Ａ∈Ｄ ；若不等式中每个不等号都是严格 的，则称 为严格对角占优矩阵，记为Ａ∈Ｄ； 若存在正对角矩阵 ，使得 ∈Ｄ，则称 为 广义严格对角占优矩阵，即非奇 矩阵，记为 Ａ∈Ｄ ；我们称 （ ）为矩阵 的比较矩阵， 其中 ＝ ）∈ ，ｍｉｌ＝ｌａｉｉｌ，ｍ ＝－￣ａｉ／，Ｊ≠ｆ． ｒ １ 记 Ⅳｌ＝｛ｆ∈Ｎ：０＜２１ Ｉ ∑０ ｌ＋１ａｊｉＩ）｝ ， Ｌ ≠ Ｊ ｒ ， ］ Ⅳ ＝｛ｆ∈Ⅳ：２１ａ ｌ＞∑ ＋ｌａｊｉｌ）｝ ， 记 Ｂ＝ （ ）＋ （ ） 为实对称矩阵，不失一般性， 设本文中的Ｎ ，Ｎ２均为非空集，显然 Ⅳ１ ｕ Ｎ２＝Ｎ，Ｎ１ ｒ＾、Ｎ２＝ ，且记 为正实数 ∑㈦＋ ） 集， （Ａ）＝ ２ｌ口ｆ ｒｌ ‘ １定义及结论 定义１ 设Ａ＝（ａｆ，）∈Ｃ似 ， ， ∈Ｒ ，若 不等式 ［ －＋， ｒ 一吾ｃ－ 一＋一 ， ［２ Ｉ一 （Ｉ＋Ｉ Ｉ）］八 。 Ｊ ｆ∑［ａ ｉｔＩ＋Ｉ ｆ）］ ｆ∑（Ｉ。 ｝＋ａａ ｑＩ） ，（ ）］ ， ： （ ＋ （ ）Ｊ， Ｖｉ∈Ｎ１，Ｊ∈Ｎ２ （１） 成立，则称 为第一类对称局部双对角占优矩 阵，记为Ａ∈ＳＬ１Ｄ０；若式（１）中的不等式都是严 格的，则称 为第一类严格对称局部双对角占优 矩阵，记为Ａ∈ＳＬｌＤ． 定义２设Ａ＝（ａ ）∈Ｃ ， ， ∈Ｒ ，若 不等式 收稿日期：２０１３－０４—２０ 基金项目：湖南省教育厅科研基金资助项１￣１（１２Ｃ０５７７）；益阳市科技计划科研基金资助项１￣（２０１２ＪＺ１４） 作者简介：成红艳（１９６８一），女，湖南益阳人，副教授，硕士，主要从事数学教育研究．
主对角线上具有非零元素链矩阵的对角占优性
第１０卷第１期 ２ ０ ０ ８年３月 辽宁师专学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ＶＯＩ．１０ Ｎ０．１ Ｍａｌ－．２ ０ ０ ８
【基础理论研究】
主对角线上具有非零元素链矩阵的对角占优性
张 晶
（抚顺师专，辽宁抚顺１１３００６）
摘 要：引入对角占优矩阵的一系列相关概念，在系统分析矩阵的非零元素链对角占优性的基础上，做进
一步的推广，旨在为矩阵论的应用开辟更广阔的空间． 关键词：对角占优矩阵；非奇异Ｈ一矩阵；非零元素链 中图分类号：０１５１．２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—５６８８（２００８）Ｏ１—０００１一Ｏ１
１具非零元素链弱对角占优矩阵
定义１设矩阵Ａ对任意的ｉ，Ｊ∈Ｎ有ｌ ｌ ｌ ｎ 』≥∑』ｎ ｌ∑ｌ ｎ业ｌ，则称Ａ为弱对角占优矩阵，记
为Ａ∈ＬＤ 若上式得不等号严格成立，则称矩阵Ａ为严格弱对角占优矩阵，记为Ａ∈ＬＤ．
定义２若 （ ）阶矩阵Ａ满足条件：（１）对于任意ｉ， ∈Ｎ， ≠ ，有』ｎ 』』 』≥∑』ｎ 』∑』ａｊｋ』；（２） ＾≠ｉ ≠Ｊ Ｓ＝｛ｉ∈Ｎ ｌ对于任意 ∈Ｎ均有ｌ ｎ ｌ ｌ ｎ ｌ＞∑』ｎ ｌ∑ｌ ｎ ｌ｝≠ ；（３）对于任意ｉ∈Ｎ，ｉ Ｓ必定存在
非零元素链ｎ ｎ ，…ｎ…其中ｓ∈Ｓ，则称矩阵Ａ为具非零元素链弱对角占优矩阵，记为Ａ∈ＬＣＤ．
根据定义可以看出它是具非零元素链对角占优矩阵的一种推广，二者的性质可以平行的移植，这里给
出几条性质，主要是特征值与谱半径．
定理１ 若Ａ∈ＣＤ，贝０ Ａ∈ＬＣＤ． 定理２若Ａ∈ＬＣＤ，则对任意ｉ∈Ｎ有ａ ≠０，即Ａ的对角元均为非零．
定理３若Ａ∈ＬＣＤ，则Ｊａｃｏｂｉ迭代矩阵和Ｓｄｄｅｌ迭代矩阵的谱半径均小于１，即ｐ（Ｂ ）＜１，ｐ（Ｂ ）＜１．
定理４若Ａ∈ＬＣＤ，且ａ ＞０，ｉ∈Ｎ．，则Ａ的特征值具有正实部．
２具非零元素链双对角占优矩阵
定义３ 设矩阵Ａ若使得ｌ ａｉｉ口， ｌ≥Ｒ （Ａ）Ｒ，（Ｂ），Ｖ ｉ，Ｊ∈Ｎ，ｉ≠ 成立，其中Ｒ （Ａ）＝ ：ｌ口 ｌ， ‘再
对称正定和严格对角占优的关系
对称正定和严格对角占优的关系
1. 引言
大家好！今天我们来聊聊线性代数中的两个重要概念：对称正定矩阵和严格对角占优矩阵。听起来是不是有点深奥？别担心，我们来轻松地探讨一下这两个小家伙的关系。想象一下，在数学的世界里，它们就像两个好朋友，各自有自己的特点，却又有许多共同之处，互相呼应，互相支持。
2. 什么是对称正定矩阵？
2.1 定义
首先，让我们来解锁“对称正定矩阵”这个概念。简单来说，若一个矩阵是对称的，就意味着它的转置等于它自己，像个爱美的人，总是希望自己看起来一模一样。再说到“正定”，它的意思是，对任何非零向量，经过这个矩阵的变换后，结果的内积都是正数。就像是说：“我绝对不会让你失望！”
2.2 特性
对称正定矩阵还有很多有趣的特性。比如说，所有特征值都是正数，就像是总有阳光普照的日子，绝不让阴云笼罩。而且，这样的矩阵总是可以找到一个“友好的”下三角矩阵，帮助我们进行简单的运算。好比说，有人给你提供了一个绝佳的通行证，让你畅行无阻，真是太贴心了！
3. 什么是严格对角占优矩阵？
3.1 定义
接着，我们来聊聊“严格对角占优矩阵”。这个名字听起来复杂，其实它的意思挺简单的：一个矩阵如果对角线上的元素大于同一行其他元素的绝对值之和，那它就被称为
严格对角占优矩阵。就像是班级里的学霸，总是高高在上，成绩遥遥领先，其他同学也只能仰望。
3.2 特性
严格对角占优矩阵的一个重要特性是，它总是可逆的。想想看，如果一个班级里有个学霸，他肯定能带动大家一起进步；同样地，这个矩阵也能帮助我们找到稳定的解。并且，在数值计算中，严格对角占优的矩阵一般能保证收敛速度快，让人倍感轻松。真是个好伙伴啊！
4. 对称正定与严格对角占优的关系
好啦，接下来我们要进入今天的重头戏：这两个概念到底有什么关系呢？嘿嘿，这就有趣了！首先，如果一个对称矩阵是严格对角占优的，那么它一定是正定的。就像是学霸不仅成绩好，性格也特别好，大家都愿意跟他交朋友。
α-对角占优矩阵的等价表征及其应用
第３２卷第４期 长春工业大学学报（自然科学版） Ｖｏｌ＿３２ ＮＯ．４ 笙 ！ ｏｆ Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ａｕ ２０１ １
一对角占优矩阵的等价表征及其应用
邰志艳 ， 胡 硕
（１．吉林医药学院公共卫生系，吉林吉林１ ３２０１３
２．北华大学数学学院，吉林吉林 １３２０１３）
摘 要：利用ａ一对角占优矩阵的概念给出了判定ａ一对角占优矩阵的一个充要条件，进而利用
这个条件给出若干判定非奇异Ｈ一矩阵的充分条件。这些条件都非常简单实用，推广了一些已
有的结论。
关键词： 对角占优矩阵；非零元素链；非奇异Ｈ一矩阵
中图分类号：（）ｌ５１．２ｌ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７４—１３７４（２０１１）０４—０３５４—０３
Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉＯｎ ｏｆ —ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ
ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌ ｉｃａｔｉｏｎ
ＴＡＩ Ｚｈｉ—ｙａｎ ， ＨＵ Ｓｈｕｏ
（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｕｂｌｉｃ Ｈｅａｌｔｈ，Ｊｉｌｉｎ Ｍｅｄｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉｌｉｎ １３２０ｌ３，Ｃｈｉｎａ ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｂｅｉｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｌｉｎ １３２０１３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ａ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ，ａ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
ｆｏｒ ｊ ｕｄｇｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｈｅｒｅ．Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ
ｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒ Ｈ—ｍａｔｒｉｘ ａｒｅ ｗｏｒｋｅｄ ｏｕｔ．Ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｂｅ ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃａ１．
广义严格对角占优矩阵的充分条件
第４２卷第４期 ＶｏＩ．４２ Ｎｏ．４ 时代农机 ＴＩＭＥ５ ＡＧＲＩＣＵＬ ＲＡＬ ＭＡＣＨＩＮＥＲＹ ２０１５年４月 Ａｐｒ．２０１ ５ 广义严格对角占优矩阵的充分条件 程薇薇 （齐齐哈尔工程学院，黑龙江齐齐哈尔 １６１０００） 摘要：文章给出了判定广义严格对角占优矩阵的几个充分条件。广义对角占优矩阵是计算数学和矩阵理论研究 的重要课题之一。文章中改进了近期一些结果，对广义严格对角占优矩阵的判定问题进行了进一步的推广。 关键词：严格对角占优矩阵；广义严格对角占优矩阵；非零元素链；正对角矩阵；充分条件 中图分类号： 文献标识码：Ａ 文章编号：２０９５—９８０Ｘ（２０１５）０４—０１４９一Ｏｌ Ｔｈｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ ． ＣＨＥＮＧ Ｗｅｉ－ｗｅｉ （Ｑｉｑｉｈａｒ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｑｉｑｉｈａｒ，Ｈｅｉｌｏｎ￣ｉａｎｇ １６１０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｔｈｅ ａｒｔｉｃｌｅ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ． Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｉｍｐｏ￣ａｎｔ ｈｏｔ ｔｏｐｉｃ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅ ａｒｔｉｃｌｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｏｎ ｓｏｍｅ ｒｅｃｅｎｔ ｒｅｓｕｌ￣．Ａ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｆｏｒ ｆｕｒｔｈｅｒ ｐｒｏｍｏｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ；Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘ．Ｎｏｎｚｅｒｏ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｃｈａｉｎ；Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｉａｇｏｎａｌ ｍａｔｒｉｘ；Ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ １ 引言 定义１对于ｎ阶方阵Ａ＝（ａｉＪ 如果存在一组正数ｄｉ， 使得Ｉａｉｊ Ｉｄ ＞∑Ｉａｉｊ ｌｄ ，Ｄ＝ｄｉａｇ｛ｄ，，ｄ２’……ｄ ）则称Ａ是广义 ｊ≠ｅ 严格对角占优矩阵，记作Ａ∈ＧＳＤ 。 定义２设Ａ＝（ 若ｌ Ｉ≥ 则称Ａ是对角占优矩 阵，记作Ａ Ｄ ；若ｌａｉｊ Ｉ＞Ａ 则称Ａ是严格对角占优矩阵，记 作Ａ Ｅ ＳＤ ；引入下列符号：Ｎｌ＝｛ｉ∈Ｎ／ｌａｌｊ ｌ≤Ａ ），Ｎ２＝ ｆｉｅＮ／［ａｉｊ Ｉ Ａ ｝；Ａｉ＝∑ｌ ＩＡ ＝∑ｌａ Ｉ 。 引理１若Ａ ｅＧＳＤ ，则存在ｉ ｅ Ｎ，使得Ｉ ａｉｊ Ｉ＞∑Ｉ ａｌｊ Ｊ≠ｅ 引理２若下列条件之一成立，则是广义严格对角占优 矩阵 。 ； ＜ｔ，ｐ，ｑ＞－； ＋｝ －； …ｉ耋 ７１理３设Ｖｉ∈Ｎ，Ｉａｉｊ ｆ≥Ａ ，则Ａ Ｅ ＧＳＤ 铮Ｊ（Ａ）＝ ｛ｉ∈Ｎ／Ｉａｉ￣Ｉ＞Ａ ｝，≠ ，Ｖｉ∈Ｎ，Ｊ（Ａ）有ａｌｉ，ａ …… 。ｊ≠ｏ，使得 ｛∈Ｊ（Ａ）。 收稿日期：２０１５—０２—１５ 作者简介：程薇薇（１９８２一），女。吉林辽源人，硕士，讲师，主要研 究方向：矩阵代数。 引理４（Ｈｏｌｄｅｒ不等式）设ｙｉＩ＞０，ｚｉ１＞０，Ｖｉ∈Ｎ，Ｐ，ｑ＞１， Ｐ ＋１ ＝１，则∑ｙ ｚ ≤（∑ ） （∑ｚ ） ，且上式等号成立甘存在 Ｕ ｉ＝１ ｉ １ ｉ＝１