管理运筹学

第三章 运输问题
3.1 运输问题的数学模型 3.2 表上作业法 3.3 不平衡的运输问题 3.4 运输问题的实际案例
概 述： 运输问题(The Transportation Problem, TP)是 运输问题 是 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 运输问题可用单纯形法来求解。 运输问题可用单纯形法来求解。由于运输问题 数学模型具有特殊的结构， 数学模型具有特殊的结构，存在一种更简便的 计算方法 表上作业法——实质仍是单纯形法。 实质仍是单纯形法。 表上作业法 实质仍是单纯形法 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。
3.1 运输问题的数学模型
运输问题的数学模型； 运输问题的数学模型； 运输问题数学模型的特点； 运输问题数学模型的特点； 运输问题解的情况. 运输问题解的情况
一、运输问题的数学模型 1、实际案例 、 设某种物资有3个产地 设某种物资有 个产地 A1，A2，A3， 生产量分别 个销地B 为9，5，7;有4个销地 1，B2，B3，B4 ，销售量分 ， ， 有 个销地 别为3， ， ， 已知从 已知从A 别为 ，8，4，6 ;已知从 i到Bj 物资的单位运价见 下表。求总运费最小的调运方案。 下表。求总运费最小的调运方案。 B1 A1 A2 A3 销量 2 1 8 3 B2 9 3 4 8 B3 10 4 2 4 B4 7 2 5 6 产量 9 5 7
x11 x12 x1n 1 1 1 D= Ａ= 1 1 1
x21 x22 x2n ... xm1 xm2 xmn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a1 a2 am b 1 b2 bn
约束矩阵的列向量： 约束矩阵的列向量的系数矩阵，它可从 去掉最后 一列得出。 一列得出。 Pij表示Ａ的对应于 ij的列向量 显然： 的对应于x 的列向量,显然 显然： 用
∑a = ∑b
i=1 i j =1
m
n
j
） Bn c1n c2n … cmn bn 产量 a1 a2 … am
A1 A2 … Am 销量
B2 c12 c22 … cm2 b2
… … … … … …
运输问题的数学模型为： 运输问题的数学模型为：
min z = ∑∑cij xij
i=1 j =1
m
n
n ∑xij = ai , i =1,2,, m j=1 m st.∑xij = bj , j =1,2,, n . i=1 xij ≥ 0
一、确定初始基可行解 运输问题是一种特殊的线性规划问题（ 运输问题是一种特殊的线性规划问题（大型稀疏矩 阵的处理） 它的初始基的确定具有一定的难度 它的初始基的确定具有一定的难度. 阵的处理）,它的初始基的确定具有一定的难度 运输问题的初始方案的确定主要有三种方法： 运输问题的初始方案的确定主要有三种方法： １.西北角法 西北角法 ２.最小元素法 最小元素法 ３.伏格尔法 伏格尔法
西 北 角 法 计 算 2
A1 A2 A3 销量 B1 3 0 0 3/0 B2 6 B3 0 B4 0 产量 9/6 9/6/0 5 7
8/2 8
4
6
为基变量， 令x12为基变量，则 x12 = min{6,8} = 6 产地A 的产量6全供给销地 全供给销地B 产地 1的产量 全供给销地 2，所以 为非基变量。 x13=x14=0，x13与x14为非基变量。 ， 填到调运方案表中第1行第 列上. 行第2列上 将x12 ＝6 填到调运方案表中第 行第 列上 画去运输数据表中第1行 画去运输数据表中第 行，B2 的销量还要 8-6 =2.得到新的产销平衡运输表 得到新的产销平衡运输表. 得到新的产销平衡运输表
西 北 角 法 计 算 4
A1 A2 A3 销量 B1 3 0 0 3/0 B2 6 2 0 8/2/0 B3 0 3 4/1 4 B4 0 0 6 产量 9/6/0 5/3/0 5/3 7
xij = m ai , bj } in{
然后划去产销平衡运输表中的一行或一列得到一个 新的产销平衡运输表； 新的产销平衡运输表；再重复上述过程直至得到问 题的运输方案。 题的运输方案。 具体的算法过程如下： 具体的算法过程如下：
西 北 角 法 计 算 1
例如对于前面的例子： 例如对于前面的例子：
西北角法（ １.西北角法（左上角法） 西北角法 左上角法） 西北角法每次都从运价表的左上角确定基变量。 西北角法每次都从运价表的左上角确定基变量。算 为基变量， 法的每一步都取最左上角的元素（ 法的每一步都取最左上角的元素（如xij）为基变量， 其取值是相应行列产销量的最小者， 其取值是相应行列产销量的最小者，即
2、运输问题一般表述： 、运输问题一般表述： 设某种物资有m个产地 设某种物资有 个产地 A1,A2,…,Am ,生产量分别为 生产量分别为 a1，a2,…,am ; n个销地 B1,B2,…,Bn，销售量分别为 个销地 地的单位运价。 b1,b2,…, bn ;cij 表示 i 地往 j 地的单位运价。在产销 平衡条件下，求总运费最小的调运方案。 平衡条件下，求总运费最小的调运方案。 产销平衡： （产销平衡： B1 c11 c21 … cm1 b1
给定下列运输问题. 例1 给定下列运输问题
A1 A2 A3 销量 B1 2 1 8 3 B2 9 3 4 8 B3 10 4 2 4 B4 7 2 5 6 产量 9 5 7
分析： 分析： 由于总产量是9+5+7=21，总销量是 由于总产量是 ，总销量是3+8+4+6=21， ， 产销平衡。 故产销平衡。 该问题有3个产地 个产地， 个销地 个销地， 该问题有 个产地，4个销地，故基可行解含有 3+4-1=6个基变量。 个基变量。 个基变量
综合上述分析， 综合上述分析，得到本案例的数学模型
min z = 2x11 + 9x12 +10x13 + 7x14 + x21 + 3x22 + 4x23 +2x24 + 8x31 + 4x32 + 2x33 + 5x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x + x + x + x = 5 21 22 23 24 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 st. . x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 x ≥ 0, i =1,2,3; j =1,2,3,4 ij
二、运输问题数学模型的特点 约束方程的增广矩阵
x11 x12 x1n x21 x22 x2n ... xm1 xm2 xmn 1 1 1 1 1 1 D= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a1 a2 am b1 b2 bn
满足产销平衡要求的调运方案把各个产地的产量 都能调运完，保障供给， 都能调运完，保障供给，即 对于A 对于 1成立 对于A 对于 2成立 对于A 对于 3成立
x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x21 + x22 + x23 + x24 = 5 x31 + x32 + x33 + x34 = 7
P = (0,,1,0,,1,,0) ij
第i行 行
T
↑
第m+j行 行
↑
§3.2 表上作业法
表上作业法是求解运输问题的一种简便而有效的方法， 表上作业法是求解运输问题的一种简便而有效的方法， 其求解工作在运输表上进行。 其求解工作在运输表上进行。 实质是单纯形法. 实质是单纯形法 它是一种迭代法，迭代步骤为： 它是一种迭代法，迭代步骤为：先按某种规则找出一个 迭代法 初始解(初始调运方案 再对现行解作最优性判别； 初始调运方案)， 初始解 初始调运方案 ，再对现行解作最优性判别；若 这个解不是最忧解，就在运输表上对它进行调整改进， 这个解不是最忧解，就在运输表上对它进行调整改进， 得出一个新解；再判别，再改进； 得出一个新解；再判别，再改进；直至得到运输问题的 最优解为止。 最优解为止。 迭代过程中得出的所有解都要求是运输问题的基可行解。 迭代过程中得出的所有解都要求是运输问题的基可行解。 下面用例子加以说明。 下面用例子加以说明。
另外从A 运输物资的调运量不能为负， 另外从 i到Bj 运输物资的调运量不能为负，即
xij ≥ 0, i =1,2,3; j =1,2,3,4
调运方案的总费用为
min z = 2x11 + 9x12 +10x13 + 7x14 + x21 + 3x22 + 4x23 +2x24 +8x31 + 4x32 + 2x33 + 5x34
分析： 分析： 本问题是产销平衡的，即总产量等于总销量： 本问题是产销平衡的，即总产量等于总销量： 9+5+7=3+8+4+6=21 表示从A 的调运量， 令x i j 表示从 i到B j 的调运量，则运输方案可由 3×4=12 × 个决策变量组成： 个决策变量组成： B1 A1 A2 A3 销量 x11 x21 x31 3 B2 x12 x22 x32 8 B3 x13 x23 x33 4 B4 x14 x24 x34 6 产量 9 5 7
西 北 角 法 计 算 3
A1 A2 A3 销量 B1 3 0 0 3/0 B2 6 2 0 8/2/0 8/2 4 6 B3 0 B4 0 产量 9/6/0 5/3 5 7