新教材高中数学第11章解三角形11.2第2课时正弦定理2课件苏教版必修第二册

2．三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝12bcsin
1
1
A＝__2_a_c_s_in__B__＝__2_a_b_si_n_C___，即任意三角形
的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝12ah，其中 a 为△ABC 的一边长，而 h 为该边上的高的 长．
(2,2 2) [由 asin B<b<a，得 22x<2<x，∴2<x<2 2.]
三角形的面积
【例 2】 在△ABC 中，若 a＝2，C＝π4，cos B2＝2 55，求△ABC 的面积 S.
[思路点拨] 根据 C＝π4及 cos B2＝25 5.利用 sin A＝sin(B＋C)求 出 sin A 的值．然后利用正弦定理sina A＝sinc C求出 c 值．利用 S＝12acsin B 求解．
(1)定理内容：
a sin
A＝
b sin
B
＝sinc
C＝2R(R
为外接圆半径)．
(2)正弦定理的常见变形：
①sin A∶sin B∶sin C＝_a_∶__b_∶_c_；
②sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
Hale Waihona Puke C＝2_R_；③a＝__2_R_s_in_A__，b＝_2_R_s_i_n_B__，c＝_2_R_s_i_n_C__；
(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A， ∴bsin A<a<b，∴三角形有两解． 由正弦定理得
sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当 B1＝60°时，C1＝90°，c1＝assiinn AC1＝2 s3insi3n09°0°＝4 3； 当 B2＝120°时，C2＝30°，c2＝assiinn AC2＝2 s3insi3n03°0°＝2 3. ∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4 3；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝ 2 3.
[解] ∵cos B2＝2 55，
∴cos B＝2cos2 B2－1＝35.
∴B∈0
2π，∴sin B＝45.
∵C＝π4，∴sin A＝sin (B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝7102.
∵sina A＝sinc C，
∴c＝assiinnAC＝7
2
× 2
22＝170.
10
三角形面积公式解决较为复杂的三
数学运算素养.
角形问题．(难点)
情景 导学 探新 知
在△ABC 中，分别根据所给条件作图，求满足条件的△ABC 的 个数．
(1)∠A＝60°，b＝4，a＝2， (2)∠A＝60°，b＝4，a＝3. 思考：∠A＝60°，b＝4，a 为何值时，作出的三角形是唯一的？
1．正弦定理及其变形
第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第2课时 正弦定理(2)
学习目标
核心素养
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形 公式，解决三角形中的问题．(重点)
1.通过三角形个数判断的学 习，体现了数学运算和逻辑
2．能根据条件，判断三角形解的个
推理的素养．
数．
2．借助求解三角形面积及
3．能利用正弦定理、三角恒等变换、正弦定理的综合应用，提升
∴S＝12acsin B＝12×2×170×45＝87.
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式
为 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A．
[跟进训练] 2．(1)在△ABC 中，若 a＝3 2，cos C＝13，S△ABC＝4 3，则 b＝ ________. (2)在△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，B＝30°，则△ABC 的面积等 于________．
合作 探究 释疑 难
三角形解的个数的判断
【例 1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三 角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
[解] (1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， 讨论如下： ∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10 3， ∴a<bsin A，∴本题无解．
a
b
c
④sin A＝__2_R___，sin B＝__2_R___，sin C＝__2_R___.
思考：在△ABC 中，已知 acos B＝bcos A．你能把其中的边 a，b 化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
提示： 可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式 sin Acos B－cos Asin B＝0.
1．在△ABC 中，sin A＝sin C，则△ABC 是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
B [由正弦定理可得 sin A＝sin C⇒2aR＝2cR，即 a＝c，所以△ABC
为等腰三角形．]
2．在△ABC 中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解
(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)＝12rl，其中 r，l 分别为△ABC 的内切圆半 径及△ABC 的周长．
(4)S△ABC＝ pp－ap－bp－c，其中 p 为△ABC 的半周长，即 p＝12(a＋b＋c)．该公式称为海伦－秦九韶公式，适用于三角形三边 为有理数时，计算三角形的面积比较简便．
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角 的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定 该角有一个值还是两个值，或者根据该正弦值(不等于 1 时)在 0°～ 180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理 矛盾，就是所求.
[跟进训练] 1．△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则 x 的 取值范围是________．
B．两解
C．无解
D．无法确定
A [由 b<a 和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]
3．在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a＝4，
b＝3，C＝60°，则△ABC 的面积为( )
A．3 B．3 3
C．6
D．6 3
B [由 S＝12absin C＝12×4×3× 23得 S＝3 3，故选 B．]