2015年广州市一测文科试题及参考答案
2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题精美Word版
试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文科）2013.3本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式 121()(),,()nii i nii xx y y b ay b x xx ==--==--∑∑ 其中,x y 表示样本均值. 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位,，则复数12i -的虚部为（ ） A.2B.1C.1-D.2-2.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5},{2,4}A B ==，则( ) A.U A B =⋃B.()U U A B =⋃ðC.()U U A B =⋃ðD. ()()UUU A B =⋃痧3.直线3490x y +-=与圆22(1)1x y -+=的位置关系是（ ） A.相离B.相切C.直线与圆相交且过圆心D.直线与圆相交但不过圆心4.若函数()y f x =是函数2xy =的反函数，则(2)f 的值是（ ） A.4B.2C.1D.05.已知平面向量(2,),a m b =-= 且()a b b -⊥，则实数m 的值为（ ）A.-B.C.D.6.已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.3-B.0C.1D.3 7.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是（ ） A.2B.1C.23D.138已知.函数()2f x x =，为了得到函数()sin 2cos 2g x x x =+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A.向右平移4π个单位长度 B. 向左平移4π个单位长度C. 向右平移8π个单位长度 D. 向左平移8π个单位长度9.“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.设函数()f x 的定义域为D ，如果,x D y D ∀∈∃∈，使()()(2f x f y C C +=为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C.给出下列四个函数：①3y x =，②1()2xy =；③ln y x =，④2sin 1y x =+，则满足在定义域上均值为1的个数是（ ） A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题(9～13题)11.函数()ln(1)f x x =-的定义域是 .12.某工厂的某种型号机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有下表的统计资料：根据上表可得回归方程 1.23y x a=+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）13.已知经过同一点的*(,3)n n N n ∈≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()f n 个部分，则(3)f = ，()f n = . (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点3(2,)2A π，点B 在直线c o s s i n 0ρθθ+=上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图2,AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D,若163,,5B C A D ==则AB 的长为 .三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()sin()(4f x A x πω=+其中,0,0)x R A ω∈>>的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点P,Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点，求cos POQ ∠的值.A沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ）,获得的恩德数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间上(45,50]的果树株数是产量在区间上(50,60]的果树株的43倍.（1）求,a b 的值；（3）从样本中产量在区间(50,60]上的果树随机抽取两株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率。
2024广东高考文科综合试题及答案
2024年一般高等学校招生全国统一考试文科综合实力测试留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
20世纪80年头起先，长江三角洲地区某县村办企业涌现，形成“村村冒烟”现象。
2024年该县起先实施村集体经济“抱团飞地”发展模式：由县、镇统筹，整合腾退的村办企业建设用地指标和补贴资金，各村以股份合作形式（抱团）在发展条件优越的城镇（飞地）联合建设创新创业中心，并建立保证各村收益的机制。
据此完成1～3题。
1．“村村冒烟”主要指的是当时该县村办企业A．燃料来源分散B．空间布局分散C．原料来源分散D．产品市场分散2．实施“抱团飞地”发展模式，可以①弥补劳动力不足②缓解建设用地惊慌③提升基础教化水平④壮大集体经济实力A．①③B．②③C．①④D．②④3．“抱团飞地”发展模式，主要体现了A．城乡统筹创新B．生活方式创新C．农业发展创新D．科学技术创新图1示意2024年欧盟境内欧盟籍和非欧盟籍的人口结构。
据此完成4～5题。
图14．与欧盟籍相比，2024年非欧盟籍A．男性人口数量较多C．劳动人口比例较大B．25～50岁女性比例较小D．50岁以上人口比例较大5．近些年来，非欧盟籍人口占欧盟总人口比例持续加大，使欧盟A．人均消费剧增C．人均收入剧降B．老龄化进程趋缓D．劳动力供应过剩图2示意我国东北某区域铁路途的分布，该区域铁路修建的年头较早，近些年几乎废弃。
据此完成6～8题。
图26．该区域铁路途主要沿A．等高线分布B．河谷分布C．山脊线分布D．山麓分布7．该区域修建铁路主要是为了运输A．原木B．农产品C．工业品D．石材8．近些年来，该区域铁路几乎废弃的主要缘由是A．设施陈旧B．运速太慢C．线路过密D．运输需求太小黄河小北干流是指黄河禹门口至潼关河段。
2015二模文综(政治)参考答案
长春市普通高中2015届高三质量监测（二）文科综合能力测试（政治）参考答案12．【命题立意】本题以西方经济学的机会成本为切入点，考查学生现场学习能力以及获取和解读信息的能力。
【试题解析】由材料中“机会成本是指在面临多方案择一决策时，被舍弃的选项中的最高价值者”可知，养猪的机会成本是养鸭的8万元，养鸡、养鸭的机会成本为养猪的9万元，所以①②正确，③④错误。
【参考答案】A13．【命题立意】本题以CPI的回落为背景考查考生调动和运用知识的能力。
【试题解析】该题为传导型的设问，依题意可知，由于“物价走低”导致“不利于中国经济合理增长”，在四个题肢中，物价首先影响企业盈利，故④是起点；依据价值规律可知，盈利减少企业就会缩小生产，故传导到①；由于生产决定分配，企业生产放缓会导致职工收入难以增长，故传导到②；因为收入是影响消费的因素，故③消费需求不足是终点。
【参考答案】D14．【命题立意】本题以我国发电企业的发展遇到的问题为切入点，考查考生获取和解读信息、调动和运用知识的能力。
【试题解析】消费者的用电需求弹性很小，电企不应通过刺激需求谋求发展，①说法不当且不符合科学发展观的要求；③做法不符合材料中“旧疾新伤”的要求，应排除；②④说法正确且与题意相符。
【参考答案】C15．【命题立意】本题以第一家互联网银行微众银行的事例为切入点，考查考生获取和解读信息、调动和运用知识的能力。
【试题解析】互联网银行为金融业的发展助力，②说法正确；在互联网银行的发展中，信息技术发挥了重要作用，③说法正确；① “发展互联网银行是金融改革的主攻方向”，说法不符合实际情况，应排除；微众银行主要为中小企业和个人创业者提供资金，④“为各类企业大规模融资”说法不准确。
【参考答案】B16．【命题立意】本题以中央经济工作会议为背景，考查中国共产党的相关知识与考生调动和运用知识的能力。
【试题解析】材料是关于党对经济工作的领导，②强调执政为民与材料内容不符合，③是政府的职能，主体不符，都应排除。
广州市高三二模数学试题及答案(文科)
试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2010．4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,4A =，{}2,5B =，则()U BA =A.{}5B. {}125，，C. {}12345，，，，D.∅2. 已知i 为虚数单位，若复数()()211a a -++i 为实数，则实数a A ．1- B ．0 C ．13. 在长为3m 的线段AB 上任取一点P , 则点P 与线段两 端点A 、B 的距离都大于1m 的概率是A.14 B.13 C. 12 D.234. 如图1的算法流程图, 若()()32,xf xg x x ==,则()2h 的值为(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” 或“：=”)A. 9B. 8C. 6D. 4 图15. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数6. 设变量,x y 满足约束条件2,, 2.x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为A. 6B. 4C. 3D. 2 7. 若0x <且1xxa b >>, 则下列不等式成立的是A. 01b a <<<B. 01a b <<<C. 1b a <<D. 1a b << 8. 函数()cos sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12-是 A. 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为π的奇函数9. 高8m 和4m 的两根旗杆笔直地竖在水平地面上, 且相距10m , 则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 10. 已知函数()sin f x x x =-,若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()()120f x f x +>,则下列不等式中 正确的是A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +>D. 120x x +< 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．已知向量a ,b 满足1=a ,b =2, a b 1=, 则a 与b 的夹角大小是 .12. 已知双曲线C :()2222100x y a ,b a b-=>>的离心率2e =, 且它的一个顶点到相应焦点的距离为1, 则双曲线C 的方程为 . 13.图2是一个有n 层()2n ≥的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…,第n 层每边有n 个点,则这个点阵的点数共有 个图3（二）选做题（14~ 15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为1,42.x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t ∈R ),圆C 的参数方程为2cos 2,2sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩(参数[]0,2θπ∈),则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O 的两条弦 AD 和BC 相交于点P , ,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16. （本小题满分12分）已知1sin 0,,tan 523⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭πααβ. (1) 求tan α的值; (2) 求()tan 2+αβ的值.某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀． （1）根据上表完成下面的2×2列联表(单位:人)：数学成绩优秀数学成绩不优秀合 计物理成绩优秀 物理成绩不优秀合 计20 关系？（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门 不优秀的概率. 参考数据:① 假设有两个分类变量X 和Y ,它们的值域分别为{}12,x x 和{}12,y y ,其样本频数列联表(称 为22⨯列联表)为:则随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++为样本容量；②独立检验随机变量2K 的临界值参考表：序号12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83 物理成绩 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 861y 2y合计1x a b a b +2xcd c d + 合计a c +b d +a b c d +++()20P K k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828NMB 1C 1D 1A 1DCBA在长方体1111ABCD A B C D -中, 11,2AB BC AA ===, 点M 是BC 的中点,点N 是1AA 的中点. (1) 求证: //MN 平面1A CD ;(2) 过,,N C D 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.19. （本小题满分14分）我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的.某市用水收费标准是：水费=基本费+超额费+定额损耗费,且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元.(1) 求每户每月水费y（元）与月用水量x（立方米）的函数关系；(2) 该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m,n,a的值.20. （本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线22:4C y x =的焦点重合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，25||3PF =.圆3C 的圆心T 是抛物线2C 上的动点, 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =. （1）求椭圆1C 的方程；（2）证明:无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点.21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =,且对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-. (1) 判断数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列, 并说明理由; (2) 证明: ()111n nn n a b ++>.2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分， 满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．3π12. 2213y x -=13. 2331n n -+ 14. 515.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正切等知识, 考查化归与转化的数学思想方法 和运算求解能力) (1) 解:∵sin 0,,52⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭παα ∴ cos ===α. …2分 ∴sin 1tan cos 25===ααα. …4分(2)解法1:∵1tan 3=β, ∴22tan tan 21tan βββ=- …6分2123113⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭34=. …8分 ∴()tan tan 2tan 21tan tan 2++=-αβαβαβ…10分132413124+=-⨯ 2=. …12分 解法2: ∵1tan 3=β, ∴()tan tan tan 1tan tan ++=-αβαβαβ…6分112311123+=-⨯1=. …8分 ∴()()()tan tan tan 21tan tan +++=-+αββαβαββ …10分1131113+=-⨯2=. …12分P NMB 1C 1D 1A 1DCBA17．（本小题满分12分）(本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法， 以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：2×2列联表为(单位:人):…4分 （2）解：提出假设0H ：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系.根据列联表可以求得22121214720(5)8.8027.879136K ⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=≈>. …6分当0H 成立时，2(7.879)0.005P K >=.所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系. …8分 （3）解：由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为5人，则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为15人. …10分 故从20名学生中抽出1名,抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为153204=. …12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法， 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证法1：设点P 为AD 的中点，连接,MP NP .∵ 点M 是BC 的中点, ∴ //MP CD .∵ CD ⊂平面1A CD ,MP ⊄平面1A CD , ∴ //MP 平面1A CD . …2分 ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ 1//NP A D .∵ 1A D ⊂平面1A CD ,NP ⊄平面1A CD ,∴ //NP 平面1A CD . …4分PNMB 1C 1D 1A 1DCBAQN MB 1C 1D 1A 1DCB A∵ MP NP P =,MP ⊂平面MNP ,NP ⊂平面MNP ,∴ 平面//MNP 平面1A CD . ∵ MN ⊂平面MNP ,∴//MN 平面1A CD . …6分 证法2: 连接AM 并延长AM 与DC 的延长线交于点P , 连接1A P , ∵ 点M 是BC 的中点, ∴ BM MC =.∵ BMA CMP ∠=∠, 90MBA MCP ︒∠=∠=, ∴ Rt MBA ≅Rt MCP . …2分∴ AM MP =. ∵ 点N 是1AA 的中点,∴ 1MN //A P . …4分∵ 1A P ⊂平面1A CD ,MN ⊄平面1A CD ,∴ //MN 平面1A CD . …6分(2) 解: 取1BB 的中点Q , 连接NQ ,CQ , ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ //NQ AB . ∵ //AB CD , ∴ //NQ CD .∴ 过,,N C D 三点的平面NQCD 把长方体1111ABCD A B C D -截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBC -NAD , 另一部分几何体为直四棱柱1111B QCC A NDD -. …8分 ∴ 11111222QBC S QB BC ∆==⨯⨯=, ∴ 直三棱柱QBC -NAD 的体积112QBC V S AB ∆==, …10分 ∵ 长方体1111ABCD A B C D -的体积112V =⨯⨯2=, ∴直四棱柱1111B QCC A NDD -体积2132V V V =-=. …12分∴ 12V V =1232=13.∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为13. …14分(说明:213V V =也给分) 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：依题意，得()()()909a,x m,y n x m a,x m.+<≤*⎧⎪=⎨+-+>**⎪⎩其中05a <≤. …2分（2）解：∵05a <≤，∴9914a <+≤.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米. …4分 将417x ,y =⎧⎨=⎩和523x ,y =⎧⎨=⎩分别代入()**，得()()1794,2395.n m a n m a =+-+⎧⎪⎨=+-+⎪⎩…6分两式相减, 得6n =.代入()1794n m a,=+-+得616a m =-. …8分 又三月份用水量为2.5立方米，若25m .<，将2511x .,y =⎧⎨=⎩代入()**，得613a m =-，这与616a m =-矛盾. …10分 ∴25m .≥，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超最低限量.将 2.5,11x y =⎧⎨=⎩代入()*，得119a =+，由616119a m ,a.=-⎧⎨=+⎩ 解得23a ,m .=⎧⎨=⎩ …13分答：该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量，且362m ,n ,a ===. …14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识, 考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数 与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解法1：∵抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)， …1分∴点2F 的坐标为(1,0).∴椭圆1C 的左焦点1F 的坐标为1(1,0)F -，抛物线2C 的准线方程为1x =-. 设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,∵253PF =, ∴1513x +=，解得123x =.由211843y x ==，且10y >,得1y =∴点P 的坐标为23,⎛⎝. …3分 在椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>中，1c =.122||||4a PF PF =+=+=.∴2,a b === ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …6分 解法2：∵抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)， …1分∴点2F 的坐标为(1,0).∴ 抛物线2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+, ∵253PF =,∴1513x +=，解得123x =. 由211843y x ==，且10y >得1y = ∴点P的坐标为2(3. …3分在椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>中，1c =.由222221424199c ,a b c ,.ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩解得2,a b == ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …6分 （2）证法1: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ， ∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =, ∴||4MN ==.∴r =∴圆3C 的方程为222000()()4x x y y x -+-=+. ()* …8分∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点, ∴ 2004y x =(00x ≥).∴20014x y =. 把20014x y =代入()* 消去0x 整理得:22200(1)2()024x y yy x y +---+=.()** …10分方程()**对任意实数0y 恒成立，∴2210,220,40.xy x y ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎩解得2,0.x y =⎧⎨=⎩ …12分∵点(2,0)在椭圆1C :22143x y +=上, ∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. …14分 证法2: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2004y x =(00x ≥). …7分∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =, ∴||4MN ==. ∴r =∴ 圆3C 的方程为222000()()4x x y y x -+-=+.()*** …9分令00x =,则2004y x =0=,得00y =.此时圆3C 的方程为224x y +=. …10分由22224,1,43x y x y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得2,0.x y =±⎧⎨=⎩ ∴圆3C :224x y +=与椭圆1C 的两个交点为()2,0、()2,0-. …12分分别把点()2,0、()2,0-代入方程()***进行检验，可知点()2,0恒符合方程()***，点()2,0-不恒符合方程()***.∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. …14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. …1分理由如下:∵对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-, ∴12211111n n n n n n na b a a a a a +-===--+. ∴1111n na a +=+,即1111n n a a +-=. …3分 ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公差为1的等差数列. …4分 (2) 证明: ∵11a b =, 且111a b +=, ∴11a b =12=. 由(1)知()1211nn n a =+-=+. ∴ 11n a n =+, 11n n n b a n =-=+. …6分 所证不等式()111n nn n a b ++>,即111111n nn n n +⎛⎫⎛⎫+> ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭, 也即证明111111n nn n +⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭. 令()()ln 11xf x x x =>-, 则()'21ln (1)x xx f x x --=-. 再令()1ln x g x x x-=-, 则()'211g x x x =-21x x-=. …8分当1x >时, ()'0g x <,∴函数()g x 在[)1,+∞上单调递减. ∴当1x >时,()()10g x g <=,即1ln 0x x x--<.∴当1x >时, ()'21ln (1)x xx f x x --=-0<.∴函数()ln 1xf x x =-在()1,+∞上单调递减. …10分 ∵111111n n<+<++,∴11111f f n n ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ∴11ln 1ln 111111111n n n n⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭>+-+-+. …12分∴111ln 1ln 11n nn n +⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭.∴111111n nn n +⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ∴()111n n n n a b ++>成立. …14分。
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学
试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文 科） 2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集{1,2,3,4,5,6,7},{1,2,3,4,5},{3,4,5,6,7},U P Q === ()U P C Q 则=（ ）A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,6,7}D ．{1,2,3,4,5} 2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是（ ）x 50<<x105<≤x1510<≤x2015≤≤xy2345A ．]5,2[B ．}5,4,3,2{C ．]20,0(D ．N3. 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 （ ）.A ．（－1，0） B ．（1e，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 4. 已知数列}{n a 是公差为2的等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则2a = （ ）A ． －2B. －3C ． 2D ． 35. 平面向量|2|,1||),0,2(,120b a b a b a +==︒则的夹角为与=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．36. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．1)37()3(22=-+-y x B ． 1)1()2(22=-+-y xC.1)3()1(22=-+-y x D. 1)1()23(22=-+-y x7.设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则122011x x x ⋅⋅⋅ 的值为（ ）A.12010 B. 20092010 C. 12012 D. 201020118. 一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）A. 18 B .116C. 127D. 27649. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10πC ．11πD ．12π10. 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有俯视图 正(主)视图 侧(左)视图2 32 2y xO6π 2 512π min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，， （min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
湖北省荆门市龙泉中学2015届高三第一次周测文科综合试题 Word版含答案
荆门市龙泉中学2015届高三第一次周测文科综合试卷时限：150分钟 满分：300分 考试时间：2014年11月9日14:40-17:10本卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）本卷共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
分析下列材料，完成1—2题1．结合以上图示，下列有关图中钙化池形成过程的描述正确的是A ．富含矿物质的地下水从断层出露地表—钙化沉淀—悠久的岁月—钙化池B ．富含矿物质的地下水从断层出露地表—从人们修建的“鱼鳞坑”流过—边缘钙化C ．富含矿物质的河流—经过梯形岩层—侵蚀、沉积D ．地下水化学溶蚀—地下溶洞—坍塌出露地表2．结合图二，下列有关该地地质地貌形成过程的描述正确的是A ．地壳抬升—断层—风蚀洼地B ．断层—形成喀斯特地貌—外力侵蚀、沉积C ．形成喀斯特地貌—地震形成断层—人们在山坡开垦梯田D ．浅海地区钙等化学物质沉积—地壳抬升、断层—流水的化学溶蚀、沉积读图3，完成3—4题3．从图中的珊瑚礁的分布判断珊瑚虫的生活习性正确的是A ．岛屿周围的大陆架海区B ．热带和亚热带的浅海海域C ．远离大陆海岸的海域D ．需要矿物质和饵料丰富的海域4．下列有关珊瑚礁的开发利用方式不恰当的是A ．环礁中是船只躲避海上台风的良好海区B ．环礁内海洋鱼类资源丰富C ．是优良的海洋旅游资源D ．采集珊瑚礁可以烧石灰读长江中游某支流某河段分布图（图4）和该河段河水水位年变化曲线图（图5），完成下列5—7题图1某地地貌分布图2为甲乙间的地质剖面 图三为钙化池实景图片5．下列有关图4的叙述正确的是A．图4中A等高线的值是70米B．甲地区修建公路平时有利人们游览，汛期有利于防汛物资的运输C．丙处的人们可以看见河里的行船D．丙处夏季地下水补给河水6．下列有关图4中河流地貌的说法正确的是A．乙地为冲积扇 B．甲为三角洲 C．丁处有沙洲 D．丙处为堆积平原7．结合图4和图5分析下列有关乙地开发利用的说法合理的是A．利用荒地植树造林 B．地势低平，水源便利、种植水稻C．开辟为季节性河边浴场 D．可以种植油菜图6为两种地质现象示意图，图7为华北某地区等高线地形图。
2016年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科参考答案
2015～2016学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 2 14. 3π 16. 3 16. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(Ⅰ)当1n =时,1112121a S a =-=-,解得11a =；……………………1分 当2n ≥时,21n n a S =-,1121n n a S --=-,两式相减得12n n n a a a --=,…………………3分 化简得1n n a a -=-,所以数列{}n a 是首项为1,公比为1-的等比数列.…………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()111n n a -=⨯-,所以()()1211n n b n -=+⋅-,下提供三种求和方法供参考: ………6分[错位相减法]()()()()()121315171211n n T n -=⋅-+⋅-+⋅-+++⋅-n T -= ()()()()()()1213151211211n nn n -⋅-+⋅-++-⋅-++⋅- …………………8分两式相减得()()()()()12123212121211n nn T n -=+⋅-+⋅-++⋅--+⋅- …………………9分()()()()1113221111n n n -⎡⎤---⎣⎦=+⨯-+⋅---…………………10分()()12212n n -=+⋅-+,…………………11分所以数列{}n b 的前n 项和n T ()()1111n n -=+⋅-+.…………………12分[并项求和法]当n 为偶数时,12n n b b -+=-,()22n nT n =⨯-=-；…………………9分 当n 为奇数时,1n +为偶数,()()111232n n n T T b n n n ++=-=-+--+=+⎡⎤⎣⎦；………………11分综上,数列{}n b 的前n 项和n T ,2,n n n n -⎧=⎨+⎩为偶数为奇数.…………………12分[裂项相消法] 因为()()()()()11211111n n nn b n n n --=+⋅-=⋅--+⋅-……………9分所以()()()()011211212131n T ⎡⎤⎡⎤=⋅--⋅-+⋅--⋅-+⎣⎦⎣⎦()()()1111n nn n -⎡⎤+⋅--+⋅-⎣⎦GMHDC 1B 1A 1CBA()()()()()01111111nnn n =⋅--+⋅-=--⋅+ 所以数列{}n b 的前n 项和n T ()()1111n n -=+⋅-+.…………………12分18.【解析】(Ⅰ)训练后成绩中位数为:9.59.79.62+=环, ……1分 总成绩为:7.88.89.09.39.69.79.89.810.410.895+++++++++=环 ……3分 平均成绩为:9.5环, ………… ……4分方差为:()()()()22222222221.70.70.50.200.20.30.30.9 1.30.6410-+-+-+-++++++=,……6分标准差为:0.8环. ………………7分(Ⅱ)[答案一]因为9.759.65>,95.195>,中位数与总成绩训练前都比训练后大,而这是衡量一个人平均射击水平的主要指标,……9分 可见训练前的平均水平还比训练后的平均水平要好, ………………………………11分 故此训练计划对该射击爱好者射击水平的提高没有帮助. ………………………………12分 [答案二]尽管中位数与总成绩训练后都比训练前稍小,但相差并不大,并无显著差异, ………9分 而0.8 1.09<,训练后的标准差比训练前的标准差要小很多,成绩稳定性显著提高了,说明该射击爱好者心理素质更稳定了,这也是射击水平提高的表现. ………………………………11分 故此训练计划对该射击爱好者射击水平的提高有帮助. …………………………………12分 19.【解析】(Ⅰ)连结1AC ,因为1ACC ∆为正三角形,H 为棱1CC 的中点, 所以1AH CC ⊥,从而1AH AA ⊥,又面11AAC C ⊥面11ABB A , 面11AAC C面11ABB A 1AA =,AH ⊂面11AAC C ,所以AH ⊥面11ABB A ,又1A D ⊂面11ABB A ,所以AH ⊥1A D …①,……2分设AB =,由1AC AA =,所以12AC AA a ==,1DB a =,111111DB A B B A AA ==,又111190DB A B A A ∠=∠=︒,所以1111A DB AB A ∆∆,所以1111B AA B A D ∠=∠,又11190B A D AA D ∠+∠=︒, 所以11190B AA AA D ∠+∠=︒, 设11AB A D O =,则11A D AB ⊥…②,…………………5分由①②及1AB AH A =,可得1A D ⊥平面1AB H .…………………6分(Ⅱ)方法一:取1AA 中点M ,连结1C M ,则1//C M AH ,所以1C M ⊥面11ABB A .…………7分所以1111111133C AB A AB A V S C M -∆=⋅==,…………………10分 所以三棱柱111ABC A B C -的体积为1113C AB A V -=…………………12分 方法二:取11A C 中点G ,连结AG ,因为11AA C ∆为正三角形,所以11AG A C ⊥, 因为面11AAC C ⊥面11ABB A ,面11AACC 面11ABB A 1AA =,11A B ⊂面11ABB A ,111A B AA ⊥,所以11A B ⊥面11AAC C ,又AG ⊂面11AAC C ,所以11A B AG ⊥,又11111AC A B A =,所以AG ⊥平面111A B C ,所以AG 为三棱柱111ABC A B C -的高,……9分经计算AG =111111111222A B C S A B AC ∆=⋅==………………11分 所以三棱柱111ABC A B C -的体积111A B C V S AG ∆=⋅==………………12分20.【解析】(Ⅰ)依题意,a =,1c =,…………………1分解得22a =,21b =,所以椭圆Γ的标准方程为2212x y +=.…………………3分 (Ⅱ)设()()1122,,,A x y B x y ,所以()()()()112212122,2,22PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+,当直线l 垂直于x 轴时,121x x ==-,12y y =-且2112y =,此时()13,PA y =-,()()213,3,PB y y =-=--, 所以()2211732PA PB y ⋅=--=.…………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l :()1y k x =+,由()22122y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得()2222124220k x k x k +++-=, 所以2122412k x x k +=-+,21222212k x x k -=+,…………………8分所以()()()21212122411PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++()()()2221212124k x x k x x k =++-+++()()22222222241241212k k k k k k k -=+⋅--⋅++++2217221k k +==+()217131722221k -<+.……………11分 要使不等式PA PB λ⋅≤(λ∈R )恒成立,只需()max172PA PB λ≥⋅=,即λ的最小值为172.……12分 21.【解析】(Ⅰ)()()()22211x x x a f x x x +-'=-+()()322221x a x ax a x x +---=+………………2分 当34a =时,()()()()()23222149345634141x x x x x x f x x x x x -+++--'==++ ……………4分 由于0x >时,()22493041x x x x ++>+,故当01x <<时,()0f x '<,()f x 递减,当1x >时,()0f x '>,()f x 递增, 即当1x =时,()f x 取极小值即最小值()112f =.……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()()()322221x a x ax af x x x +---'=+,令()()3222g x x a x ax a =+---,要证()f x 有唯一的极值点,即证()g x 在()0,+∞上有唯一的变号零点.…………………7分 事实上,()()23422g x x a x a '=+--,DC BAP令()0g x '=,解得1x =2x =…………………9分其中10x <,20x >.因为()020g a '=-<,且()g x '的图像是开口向上的抛物线, 故在区间()20,x 上,()0g x '<,()g x 递减,所以()()200g x g a <=-<, 在区间()2,x +∞上,()0g x '>,()g x 递增,因为()()3222g x x a x ax a =+---()()22x x a x x a a =-+--, 所以()()()()221121120g a a a a a a +=+++-=+++>, 所以()()210g x g a ⋅+<,即()g x 在()0,+∞上有唯一零点. 即()f x 在()0,+∞上有唯一的极值点,且为极小值点.……12分 22.【解析】(Ⅰ)因为四边形ABCD 是圆内接四边形, 所以PAD PCB ∠=∠,…………1分又APD CPB ∠=∠,所以APD CPB ∆∆,PD ADPB CB=,…3分 而2BP BC =,所以2PD AD =,又AB AD =,所以2PD AB =.……………5分(Ⅱ)依题意24BP BC ==,设AB t =,由割线定理得PD PC PA PB ⋅=⋅,……………7分即()2544t t ⨯=-⨯,解得87t =,即AB 的长为87.……………10分23.【解析】(Ⅰ)直线l :4y x =+,圆C :()2224x y +-=,……………………1分联立方程组()22424y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得22x y =-⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩,……………………3分对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭,4,2π⎛⎫⎪⎝⎭.………………………………………………5分 (Ⅱ)[方法1]设()2cos ,22sin P θθ+,则14d πθ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,d取得最大值2……………………………………10分 [方法2]圆心()0,2C 到直线l=,圆的半径为2,所以P 到直线l 的距离d的最大值为2+……………………………………10分 24.【解析】(Ⅰ)不等式()()f x g x a <+即24x x -<+,………………………2分 两边平方得2244816x x x x -+<++,解得1x >-, 所以原不等式的解集为()1,-+∞.………………………5分(Ⅱ)不等式()()2f xg x a +>可化为224a a x x -<-++,………………………7分又()()24246x x x x -++≥--+=,所以26a a -<,解得23a -<<,所以a 的取值范围为()2,3-.………………………10分。
2017届广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科试题及答案
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，{}21,Z B b b n n ==-∈，则A B =∩（ ） A ．{}1,3- B ．{}0,3 C ．{}1,0,3- D ．{}1,0,3,5- 2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则z =（ ）A ．46i +B ．42i +C ．42i --D ．26i +3．已知命题p ：R x ∀∈，220x ax a ++≥（R a ∈），命题q ：*0N x ∃∈，20210x -≤，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．()p q ⌝∨ D ．()()p q ⌝⌝∧4．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-A ．B ．C ．D ．5．函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（ ）6．在区间[]1,5-上随机地取一个实数a ，则方程22430x ax a -+-=有两个正根的概率为（ ） A ．23 B ．12 C ．38 D ．137．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为（ ） A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭8．已知两点()1,1A -，()3,5B ，点C 在曲线22y x =上运动，则AB AC ⋅uu u r uuu r 的最小值为（ ） A ．2 B ．12 C ．2- D ．12- 9．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A ．2 B ．8 C ．92 D ．9810．数列{}n a 满足22a =，()121n n n a a +++-()11n=+-（*N n ∈），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则100S （ ）A ．5100B ．2550C ．2500D ．2450 11．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点， 则ω的取值范围为（ ） A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．83 B ．163 C ．323D ．16第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线22212x y a -=（0a >）的离心率为2，则a 的值为 ． 14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，已知12a =，2222144n n n a a a +++=，则数列{}n a 的通项公式n a = ．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个．16．已知函数()33,,x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩0,0,x x ≥<，若()()318f a f a -≥，则实数a 的取值范围为三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b C b C a +=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值. 18．某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅲ）现从身高在[]175,185这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率.19．如图，ABCD 是边长为a 的正方形，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，2EB FD ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求三棱锥E FAC -的体积.20．已知定点()0,1F ，定直线l ：1y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切.（Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与曲线C 相交于A,B 两点，分别过点A,B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB V 外接圆面积的最小值. 21．已知函数()21ln 2f x a x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()4g x f x x =+存在极小值点0x ， 且()2001202g x x a -+>，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB V 的面积最大时，求点P 的坐标及PAB V 的最大面积. 23．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5: CDBAA 6-10:CDDCB 11、12：CB二、填空题13．122n + 15．23 16．[)1,1,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U三、解答题17．解：（Ⅰ）因为cos sin b C b C a +=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得 sin cos sin sin B C B C +sin A =.因为A B C π++=，所以sin cos sin sin B C B C +()sin B C =+.即sin cos sin sin B C B C +sin cos cos sin B C B C =+.因为sin 0C ≠则sin cos B B =.因cos 0B ≠，则tan 1B =.因()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）设BC 边上的高线为AD ，则14A D a =.因4B π=，则14B D A Da ==，34CD a =.所以AC ==，AB =.由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅=.所以cos A 的值为18．解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高15081602017016180650x ⨯+⨯+⨯+⨯=164=.所以估计这50名学生身高的方差为2s =()()()()222281501642016016416170164618016450-+-+-+-80=.所以估计这50名学生身高的方差为80.（Ⅲ）记身高在[]175,185的4名男生为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B .从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，{},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B , {},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B ,{},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共20个基本事件.其中至少抽到1名女生的情况有：{},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B , {},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共16个基本事件.所以至少抽到1名女生的概率为164205=.19．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC FD ⊥. 因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥.所以B ，D ，F ，E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥. （Ⅱ）设A C B D O =I ，连接EO ，FO .由（Ⅰ）知，AC ⊥面BDFE ，则AC ⊥面FEO .因为面FEO 将三棱锥E FAC -分为两个三棱锥A FEO -和C FEO -， 则E FAC A FEO C FEO V V V ---=+.因为正方形ABCD 的边长为a ，2EB FD ==，所以FO a ==，2EO a ==.取BE 的中点G ，连接DG ，则FE DG ==2a =.所以等腰三角形FEO 的面积为12FEO S =V 234a =. 所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+1133FEO FEO S AO S CO =⨯+⨯V V13FEO S AC =⨯V 21334a =⨯=34a .所以三棱锥E FAC -的体积为34a .20．解：（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =.设(),M x y =1y +得24x y =.则点M 的轨迹C 的方程为24x y =.（Ⅱ）设AB l ：1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-.所以AB =()21241x x k ⋅-=+.因为C ：24x y =，即24x y =，所以2xy '=.所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222xk =. 因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB V 为直角三角形. 所以PAB V 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.21．解：（Ⅰ）因为函数()21ln 2f x a x x =-，所以其定义域为()0,+∞. 所以()af x x x'=-2x a x -=-.当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在区间()0,+∞上单调递减.当0a >时，()f x '=(x x x--.当x >()0f x '<，函数()f x在区间)+∞上单调递减.当0x <<()0f x '>，函数()f x在区间(上单调递增.综上可知，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(，单调递减区间为)+∞.（Ⅱ）因为()()4g x f x x =+21ln 42a x x x =-+， 所以()4ag x x x'=-+=24x x a x ---（0x >）.因为函数()g x 存在极小值点，所以()g x '在()0,+∞上存在两个零点1x ，2x ，且120x x <<.即方程240x x a --=的两个根为1x ，2x ，且120x x <<，所以12121640,40,0.a x x x x a ∆=+>⎧⎪+=>⎨⎪=->⎩，解得40a -<<.则()24x x a g x x --'=-=()()12x x x x x---.当10x x <<或2x x >时，()0g x '<，当12x x x <<时，()0g x '>， 所以函数()g x 的单调递减区间为()10,x 与()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x .所以1x x =为函数()g x 的极小值点0x .由20040x x a --=，得02x =由于()2001202g x x a -+>等价于2000ln 420a x x x a -++>.由20040x x a --=， 得2004x x a -=，所以0ln 0a x a +>.因为40a -<<，所以有0ln 10x +<，即01ex <.因02x =12e -<得241e e a >-+则a 的取值范围为241,0e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=. 将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=.解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ，所以AB ==（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB V 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大.设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+.将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=.令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±.将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB V 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为d ==.PAB V 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=.11 23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ≥++.因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613c +≥. （Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立.当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立则122a -≥得52a ≥. 综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。
2013届广州市高三年级调研测试数学(文科)试题及参考答案详解
广州市2013届高三年级调研测试数 学（文 科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数1+i （i 为虚数单位）的模等于AB ．1 CD ．122．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19 C ．9- D ．19- 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．145．已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦ 6．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα 7．如图1，程序结束输出s 的值是A ．30B ．55C ．91D ．140 8．已知函数()()212fx x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数图29．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x轴上且离心率小于2的椭圆的概率为 A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 10．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是A. 17,⎡⎤-⎣⎦B. (3,⎤-∞⎦C. (7,⎤-∞⎦D. ()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11．已知()fx 是奇函数, ()()4g x f x =+, ()12g =, 则()1f -的值是 .12．已知向量a ，b 都是单位向量，且 a b 12=，则2-a b 的值为 . 13．设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N *，若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++= ，则sin A 的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图2，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是 . 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .侧视D CBAP 图5图4图3625x 0611y 11988967乙甲三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）若43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值. 17．（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦， 其中12nx x x x n+++= .18．(本小题满分14分)已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. （1）求证：AD PC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分14分） 已知()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行. （1）求()fx 的解析式；（2）是否存在t ∈N *，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；(2) 若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.2013届广州市高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．2 12.13. 1 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x cos sin =+ …………… 1分22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………… 3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ …………… 4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z . …………… 5分∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z . ………… 6分 （2）解：由（1）可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()sin παα-==，得13sin α=. …………… 8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ …………… 9分2cos α= …………… 10分()212sin α=- …………… 11分9=…………… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=. …………… 1分∴5x =. …………… 2分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴3y =. …………… 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=. …… 5分 （3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分FE D CBAP记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710. ……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ， 则PE ⊥平面ABCD . …………… 2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AD PE ⊥. …………… 3分 ∵AD CD ⊥，CD PE E CD ,=⊂ 平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . …………… 5分 ∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥. …………… 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==， 在R t △PED中，PE ==，…………… 7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥. …………… 8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E = ，∴AB ⊥平面PEF . …………… 9分 ∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥. …………… 10分 依题意得2EF AD ==. …………… 11分 在R t △PEF 中，3PF ==， …………… 12分∴△PAB 的面积为162S AB PF == . ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6. …………… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S . …………… 1分 ∴12)1(11-⋅+=-n n a S .从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . …………… 3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . …………… 4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， …………… 5分 ∴=1a 1.∴12-=n n S . …………… 6分 当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . …………… 7分 ∵11=a 符合12-=n n a ，∴12-=n n a . …………… 8分（2）解：∵12n n na n -=，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++. ① …………… 9分21231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++.② …………… 10分 ①-②得2112222n n n T n --=++++- …………… 11分12212nn n -=-- …………… 12分 =()121nn -- . …………… 13分∴()121nn T n =-+ . …………… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5fx ax x =-，0a >. …………… 1分∴25f x ax a /()=-. …………… 2分∵函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-. …………… 3分 ∴256a a -=-，解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210fx x x x x =-=-. …………… 5分解法2：设()2fx ax bx c =++， ∵不等式()0fx <的解集是()05,，∴方程20ax bx c ++=的两根为05,.∴02550c a b ,=+=. ① …………… 2分 ∵2f x ax b /()=+. 又函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-.∴26a b +=-. ② …………… 3分由①②,解得2a =,10b =-. …………… 4分 ∴()2210fx x x =-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370fx x+=等价于方程32210370x x -+=.…………… 6分设()h x=3221037x x -+，则()()26202310hx x x x x /=-=-. …………… 7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ……… 8分 当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， …………… 12分∴方程()0h x=在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根. …………… 13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分21.（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-， 设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=， 解得023x =. …………… 1分∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =.∴点P 的坐标为2,33⎛ ⎝⎭. …………… 2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分 解法2: 抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，设点P 的坐标为()00x y ,,0000x y ,>>. ∵53PF =,∴()22002519x y -+=. ① …………… 1分 ∵点P 在抛物线22:4C y x =上,∴2004y x =. ②解①②得023x =,03y =.∴点P 的坐标为2,33⎛ ⎝⎭. …………… 2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分 又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分 (2)解法1：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=- .∴()12122,FM FN x x y y +=+-+ .∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① …………… 6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ …………… 7分 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线， ∴MN AQ k k =, 即121221312y y y y x x x x -==+-++. ④ …………… 8分 把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+， 化简得()2243430y x x +++=. …………… 9分 当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分 解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =+， 由()221143y k x x y ,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=. 设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则2122834k x x k+=-+, ()()()1212122611234k y y k x k x k x x k +=+++=++=+.…6分 ∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=- .∴()12122,FM FN x x y y +=+-+ .∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ∴21228134k x x x k+=+=-+, ① 2634k y k=+. ② …………… 7分 ①÷②得()314x k y +=-， ③ …………… 8分 把③代入②化简得()2243430y x x +++=. (*) …………… 9分 当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-,依题意, 可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分(3)解: 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=, 即()224343y x x =-++, 由20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-. …………… 11分 ∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=…………… 12分 ∴当3x =-时,4RFmax =, …………… 13分 此时,415RTmax =+=. …………… 14分。
2014届广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题(一)(含答案详解)
2014年广州市普通高中毕业班综合测试一文科数学试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2014.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式ShV 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,-+∞D.()1,+∞ 2.已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（ ）A.2-B.2±C. D.2 3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则cb为（ ） A.2sin C B.2cos B C.2sin B D.2cos C 4.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ） A.()()22211x y -+-= B.()()22121x y ++-= C.()()22211x y ++-= D.()()22121x y -++=5.已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.2 6.函数()21xf x x =+的图象大致是（ ）7.已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ） A.M N B.M N C.M D.N 8.任取实数a 、[]1,1b ∈-，则a 、b 满足22a b -≤的概率为（ ）A.18 B.14 C.34 D.789.设a 、b是两个非零向量，则使a b a b ⋅=⋅ 成立的一个必要非充分的条件是（ ）A.a b =B.a b ⊥C.()0a b λλ=>D.//a b10.在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin2n n n a a π++-=，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.1009第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，，每小题5分，满分20分）11.执行如图1所示的程序框图，若输出7S =，则输入()k k N*∈的值为 .12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是 .图2侧（左）视图正（主）视图13.由空间向量()1,2,3a = ，()1,1,1b =- 构成的向量集合{},A x x a kb k Z ==+∈，则向量x 的模x 的最小值为 .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B两点，若AB =a 的值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 .三、解答题 （本大题共6小题，满分80分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过了保质期. （1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率.17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a 的值；（2）设()()22g x f x =-⎡⎤⎣⎦，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间.18.（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F BF =. （1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求此时1C G 的长； （3）求几何体ABFED 的体积.图4D 1C 1B 1A 1FE DCBA19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值.）20.（本小题满分14分）已知函数()32693f x x x x =-+-.（1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知双曲线()222:104x y E a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅= .（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M、N的点H，满足PM MHPN HN=，证明点H恒在一条定直线上.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分）（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解：记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件A，从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法．因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件A包含4种情形．则()4263 P A==．所以从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为2 3．（2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x，y，则),(yx表示第一瓶抽到的是x，第二瓶抽到的是y，则),(yx是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4，已过保质期的饮料为a，b，则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：() 1,2，()1,3，()1,4，()1,a，()1,b，()2,1，()2,3，()2,4，()2,a，()2,b，() 3,1，()3,2，()3,4，()3,a，()3,b，()4,1，()4,2，()4,3，()4,a，()4,b，(),1a，(),2a，(),3a，(),4a，(),a b，(),1b，(),2b，(),3b，(),4b，(),b a．共30种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B包含的基本事件有：() 1,a，()1,b，()2,a，()2,b，()3,a，()3,b，()4,a，()4,b，(),1a，(),2a，(),3a，(),4a，(),a b，(),1b，(),2b，(),3b，(),4b，(),b a．共18种基本事件．则183 ()305P B==．所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为3 5．解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ，则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ，()3,4， ()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共15种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共9种基本事件．则93()155P B ==．所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为35．17．（本小题满分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即022a -+=．解得a =（2）由（1）得，()sin f x x x =+12sin 2x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以函数()x f 的最小正周期为2π．因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π2π232k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增，即5ππ2π2π66k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增．所以函数()x f 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．18．（本小题满分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111AC B D ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以111AC DD ⊥．因为1111B D DD D = ，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D，所以11AC ⊥平面11BB D D．因为EF ⊂平面11BB D D，所以11EF AC ⊥．（2）解：取1C C的中点H ，连结BH ，则BH AE ．在平面11BB C C中，过点F 作FG BH ，则FG AE ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a===， 所以1C G 116C C CH HG a =--=． 故当1C G 16a=时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）解：因为四边形EFBD 是直角梯形，所以几何体ABFED 为四棱锥A EFBD -．因为()2113222EFBDa a BF DE BD S ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===，点A 到平面EFBD的距离为122h AC ==，所以231153312236A EFBD EFBD V S h a a -==⨯⨯=． 故几何体ABFED 的体积为3536a ．19．（本小题满分）（本小题主要考查等差数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+．所以62n n nb a n=-22n n =-．（2）由（1）知()()2228n n b a n n n -=--+()(24822n n n n ⎡⎤⎡⎤=--=+-+⎣⎦⎣⎦，因为526<+，所以当5n ≤时，n n a b >，当5n >时，n nb a >． 所以{}max ,n n nc a b =228,5,2, 5.n n n n n +≤⎧=⎨->⎩当5n ≤时，123n n S c c c c =++++ 123na a a a =++++()10121428n =+++++()10282n n++=⨯29n n =+． 当5n >时，123n nS c c c c =++++()()12567n a a a b b b =+++++++()()()()()222225956267278282n n ⎡⎤=+⨯+-⨯+-⨯+-⨯++-⨯⎣⎦()()2222706782678n n ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦()()()()22222222265701231234522n n n +-⎡⎤=+++++-++++-⎢⎥⎣⎦()()()()1217055656n n n n n ++⎡⎤=+--+-⎢⎥⎣⎦3211545326n n n =--+．综上可知，n S 2329,5,11545,5.326n n n n n n n ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩20．（本小题满分）（本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）解：（1）因为()32693f x x x x =-+-，所以()23129f x x x '=-+()()313x x =--．令'()0f x =，可得1x =或3x =． 则'(),()f x f x 在R 上的变化情况为：所以当1x =时，函数()f x 有极大值为1，当3x =时，函数()f x 有极小值为3-．（2）假设函数()f x 在()3,+∞上存在“域同区间”[],s t ()3s t <<，由（1）知函数()f x 在()3,+∞上单调递增．所以()(),.f s s f t t =⎧⎪⎨=⎪⎩即3232693,693.s s s s t t t t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩也就是方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根．设32()683g x x x x =-+-()3x >，则2()3128g x x x '=-+． 令()g x '0=，解得123x =<，223x =+>．当23x x <<时，()g x '0<，当2x x >时，()g x '0>，所以函数()g x 在区间()23,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增．因为()3 60g =-<，()()230g x g <<，()5120g =>，所以函数()g x 在区间()3,+∞上只有一个零点．这与方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x 在()3,+∞上不存在“域同区间”．21．（本小题满分）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得225 4.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =．（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()00,Q x y ，因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭ ．所以()00433ty x =-．因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-．所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，由（2）知()2211455y x =-，()2222455y x =-．设PM MHPN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--．整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．）。
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1 图17432109
878
试卷类型：A 2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（文科） 2015.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式ShV31，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集1,2,3,4,5U, 集合3,4,5M,1,2,5N, 则集合1,2可以表示为
A．MN B．()UMNð C．()UMNð D．()()UUMN痧 2．已知向量3,4a=，若5a，则实数的值为 A．15 B．1 C．15 D．1 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数， 叶为个位数，则这组数据的中位数是 A. 91 B. 91.5 C. 92 D. 92.5
4．已知i为虚数单位，复数izab,abR的虚部b记作Imz，则Im11i A．12 B．1 C．12 D．1 2
22222
222
侧视图正视图22222
2
5. 设抛物线:C24yx上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是 A．4 B．5 C．6 D．7
6. 已知△ABC的三边,,abc所对的角分别为,,ABC,且sinsin2BAab, 则cosB的值为 A. 32 B. 12 C. 12 D. 32 7. 已知数列na为等比数列，若4610aa，则713392aaaaa的值为 A.10 B. 20 C.100 D. 200
8. 若直线3yx上存在点,xy满足约束条件40,280,,xyxyxm 则实数m的取值范围是
A. 1, B. 1, C. ,1 D. ,1 9. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，
其体积为233，则该锥体的俯视图可以是 图2
A. B. C. D. 10．已知圆O的圆心为坐标原点，半径为1，直线:(lykxtk为常数，0)t与圆O 相交于,MN两点，记△MON的面积为S，则函数Sft的奇偶性为 A．偶函数 B．奇函数 C．既不是偶函数，也不是奇函数 D．奇偶性与k的取值有关
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11. 函数ln2fxx的定义域为 . 3
图3OADECB
12. 已知e为自然对数的底数，则曲线2yex在点1,2e处的切线斜率为 . 13. 已知函数11fxx，点O为坐标原点, 点,(nAnfnnN*)， 向量0,1i，
n是向量nOA与i的夹角，则201512122015coscoscossinsinsin的值为 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为cossin,(cossinxy为参数)
和2,(xttyt为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C与2C的交点的极坐标．．．为 . 15. （几何证明选讲选做题） 如图3，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E， 使得22BCCE，过E作圆O的切线，A为切点， BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数sincos6fxxx.
（1）求函数fx的最小正周期； （2）若是第一象限角，且435f，求tan4的值. 4 图4OF
EDCBA
图5FE
P
ODBA
17．（本小题满分12分） 从广州某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位: cm)情况如表1:
表1 （1）求,,abc的值； （2）按表1的身高组别进行分层抽样, 从这100名学生中抽取20名担任广州国际马拉松 志愿者, 再从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作, 求这2名 担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm的概率.
18.（本小题满分14分） 如图4，在边长为4的菱形ABCD中，60DAB，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA,PB,PD，得到如图5的五棱锥PABFED，且10PB. （1）求证：BD平面POA； （2）求四棱锥PBFED的体积.
分组 频数 频率
160,165
5 0.05
165,170
a c
170,175
35 0.35
175,180
b 0.20
180,185
10 0.10
合计 100 1.00 5
19.（本小题满分14分） 已知数列na的前n项和为nS，且满足11a, 1112nnnnnSnS, nN*. （1）求2a的值； （2）求数列na的通项公式； （3）是否存在正整数k，使ka，2kS， 4ka成等比数列? 若存在，求k的值； 若不存 在，请说明理由.
20.（本小题满分14分） 已知椭圆1C的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12xCy的顶点，直线20xy与椭圆1C交于A，B两点，且点A的坐标为(2,1)，点P是椭圆1C上
异于点A,B的任意一点，点Q满足0AQAP，0BQBP，且A，B，Q三点不共线. (1) 求椭圆1C的方程；
(2) 求点Q的轨迹方程； (3) 求ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.
21.（本小题满分14分） 已知t为常数，且01t，函数1102tgxxxx的最小值和函数
222hxxxt
的最小值都是函数32fxxaxbx(,abR)的零点.
（1）用含a的式子表示b，并求出a的取值范围； （2）求函数fx在区间1,2上的最大值和最小值. 6
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. 2, 12. 2e 13. 20152016 14. 2,4 15. 3
说明: 第14题答案可以是2,2,4kkZ. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：sincos6fxxx
sincoscossincos66xxx „„„„„„„„„„1分
31sincos22xx „„„„„„„„„„2分
sincoscossin66xx „„„„„„„„„„3分
sin6x
. „„„„„„„„„„4分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A B C C A C A