曲线的凹凸性
曲线的凹凸 极值
曲线的凹凸极值曲线是数学中一个重要的概念，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域都有广泛的应用。
曲线的凹凸性和极值是曲线分析的重要内容，它们有助于我们更好地理解和把握曲线的性质和规律。
在之前的文章中，我们讨论了曲线的凹凸性和极值的基本概念，以及如何判断和求解极值问题。
接下来，我们将进一步探讨曲线凹凸性与极值之间的关系，以及如何利用这些概念解决实际问题。
一、曲线凹凸性与极值的关系1.凹凸性的判断曲线的凹凸性可以通过二阶导数来判断。
设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点x处的凹凸性如下：-当f''(x)>0时，曲线在点x处凸向上；-当f''(x)<0时，曲线在点x处凸向下；-当f''(x)=0时，曲线在点x处可能为极值点或拐点。
2.极值点的判断设f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，那么极值点满足以下条件：-当f'(x)=0时，x为极值点的必要条件；-当f''(x)<0时，x为极大值点；-当f''(x)>0时，x为极小值点。
二、曲线凹凸性与极值的实际应用1.优化问题在实际问题中，我们常常需要寻找函数的极值点，以求解最优化问题。
例如，在经济学中，我们可能需要求解最大利润或最小成本的问题；在工程学中，我们可能需要求解最小能耗或最大效益的问题。
通过研究曲线的凹凸性和极值，我们可以找到最优解对应的参数值。
2.物理力学在物理力学领域，曲线的凹凸性和极值有着重要的应用。
例如，在弹性力学中，曲线凹凸性对应着物体的应变情况，极值点则对应着应力集中现象。
通过分析曲线的凹凸性和极值，我们可以更好地了解和预测物体的力学性能。
3.经济学与金融学在经济学和金融学领域，曲线凹凸性和极值有助于我们分析和预测市场走势。
例如，在股票市场中，股价走势图可以看作是一条曲线，通过研究曲线的凹凸性和极值，我们可以判断股价的波动趋势，从而为投资决策提供依据。
微积分课件3-5曲线的凹凸性与拐点
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内
2
2
即证
[
f ( x1 )
f
(
x1
2
x2
)] [
f
( x2 )
f
( x1
2
x2 )]
0
1
(
x1 ,
x1
2
x2
),
f ( x1 )
f ( x1 2
x2 )
f (1 )( x1
x1 x2 ) 2
f (1 )
x1 x2 2
2
(
x1
2
x2
,
x2
),
f (x2)
f ( x1 x2 ) 2
f (2 )( x2
x1 x2 ) 2
f (2 )
x2 2
x1
两式相加为：
[
f
(x1)
函数曲线的凹凸性
设函数f (x)在x0的邻域内二阶可导 ,且f (x0 ) 0,
(1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点;
(2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
例3 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
第二步 求出方程 f '( x) 0和 f "( x) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第三步 确定在这些部分区间内 f '( x) 和 f "( x) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论）；
(2) f (x) 0,则 f (x) 在[a,b] 上的图形是凸的.
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
那么 y b 就是 y f (x) 的一条水平渐近线 .
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条:
y , y .
2
2
3.斜渐近线 如果 lim [ f (x) (ax b)] 0
x
或 lim [ f (x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x
当曲线 y f (x) 上的一动点 P 沿着曲线移向无穷点时,
如果点 P 到某定直线 L的距离趋向于零,
那么直线 L 就称为曲线 y f (x)的一条渐近线.
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
函数的单调性和曲线的凹凸性
故在(0, +)上 f (x)单增.
例4. 证明不等式 ex – (1+x) > 1– cosx, (x > 0)
证明思路: 用两次单调性
证: 设 F(x) = ex – (1+x) – (1– cosx)
= ex –x +cosx –2
则 F(0)=0. 要证F(x) > 0 (x > 0)
故曲线在(0, +)上是凹的.
即有 f (tx +(1– t) y) < t f (x) + (1– t) f (y) 即
定义2. 设f (x)C(U(x0)), 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))的左右两侧凹凸性相反, 则称点(x0, f (x0))为该曲线的拐点.
= t f (x1)+(1– t) f (x2)
= t x1+(1– t) x2 x = x2+(x1– x2)t
弦上对应点的纵坐标B: y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
故得如下定义.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
凹凸性标志着图形弯曲的方向.
如图(a), (b)
y=f (x)
o
y
x
x1
x2
A
B
(x1, y1)
(x2, y2)
x
x
o
y
x1
x2
A
B
y=f (x)
(x2, y2)
(x1, y1)
高中数学知识点总结函数的导数与曲线的凹凸性
高中数学知识点总结函数的导数与曲线的凹凸性高中数学知识点总结：函数的导数与曲线的凹凸性函数的导数是高中数学中非常重要的一个概念，它与曲线的凹凸性密切相关。
本文将对函数的导数与曲线的凹凸性进行总结和解释。
一、函数的导数函数的导数是指在函数图像上任意一点处的切线斜率。
记为f'(x)或dy/dx。
导数的计算公式分为几种常见情况：1. 常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数可由幂函数的指数降低，并乘以原指数系数，即f'(x) = ax^(n-1)。
3. 指数函数的导数为指数的常数倍数，即f'(x) = a*e^x。
4. 对数函数的导数可由导数等于1/x的性质得出，即f'(x) = 1/x。
5. 三角函数的导数可通过导数公式逐一计算，如sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)。
根据函数的导数可以判断函数的增减性和极值点：1. 若f'(x) > 0，则函数在该点附近递增。
2. 若f'(x) < 0，则函数在该点附近递减。
3. 若f'(x) = 0，则函数在该点附近可能存在极值点。
二、曲线的凹凸性曲线的凹凸性是指曲线在某点处的弯曲方向。
我们可以通过函数的导数来判断曲线的凹凸性：1. 若f''(x) > 0，则函数在该点附近为凹曲线。
2. 若f''(x) < 0，则函数在该点附近为凸曲线。
3. 若f''(x) = 0，则函数在该点附近可能存在拐点。
曲线的凹凸性与函数的二阶导数有关，二阶导数的计算公式如下：1. 对于一次可导函数f(x)，其二阶导数为零，即f''(x) = 0。
因此，一次函数的图像无凹凸性。
2. 二次函数的二阶导数为常数，因此二次函数的图像有固定的凹凸性。
3. 对于多项式函数，可以通过求导来获得高阶导数，进而判断曲线的凹凸性。
曲线的凹凸性讲解
解：（1）
y'
1 3
(
x
4)
2 3
y ''
2
(
x
4)
5 3
2
1
9
9 3 (x4)5
y''
(2) 不存在点为 x=4
（3）x=4分定义域成两个区间(-∞，4)，（4，+∞）
y''
当x<4时， 0 ，∴(-∞，4)为凹区间
y''
X>4 时， 0 ，∴（4，+∞）为凸区间
（4）拐点为（4，2）
''
在每个区间上确定 f (x) 的符号，从而确定 y f (x) 的凹凸区间。
''
''
''
（4）若在 f (x) 0 的实根或 f (x) 不存在点两侧，f (x) 异号，
x x 则 ( , f ( )) 是 y f (x) 的拐点。
0
0
（五）布置作业 P118 3(1)、（2）、（4）
1
(x1) 练习3、求 y x 3
3 的凹凸区间与拐点。
解：（1）
y'
1Fra bibliotek(x1)
2 3
y'' 2 (x1)53 2 1
3
3 3 (x1)5
y''
(2)
不存在点为x=1
( 3）x=1分定义域成两个区间(-∞，1)，（1，+∞）
y''
当x<1时， 0 ，∴(-∞，1)为凸区间
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
2 (2,3)
3 (3,)
y
-
不存在
+
0
-
y f (x)
拐点
(2, 20 )
9
拐点
(3, 4)
结论：(,2],[3,)是曲线的凸区间,[2,3]是
曲线的凹区间； 拐点为 (2, 20), (3,4).
9
例 求曲线 y x 4 的凹凸区间和拐点
（学生练习）
例 求曲线 y earctanx的凹凸区间和拐点
y 1 x
P
x
O
点P 沿着曲线无限地远离原点时,
点P与一条定直线C 的距离趋于零, 则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时,
称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时,
称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
ytanx
说明:
(1)直线 y y 0 是曲线 y f (x) 的水平渐近线
x0
2.曲线凹凸的判别
y=f(x)
X
观察图形中切线的斜率变化情况.
f (x) 0Y
在图1中,
Y
f (x) 0
当 x1 x2 时,
O 1 2
X
tan1tan2, 图1
2 1
X
O
图2
即 f ( x ) 是单调增加的;
在图2中,当 x1 x2 时,tan1tan2,
即 f ( x ) 是单调减少的.
三、函数的分析作图法
例 作 y 1 x 3 x 的图象 3
解(1)定义域 x(,), 并 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2) y x2 1, 得驻点 x11,x21.
y 2x, 令 y 0 得 x 0.
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性描述
2 36 x( x ) 3
y y
2018/12/9
凹
0 拐点 凸 (0,1)
2 3 0
(2 , ) 3
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹
22
3-4 单调性和凹凸性
2 2 故该曲线在( , 0) 及( , ) 上向上凹, 在 (0 , ) 上 3 2 11 3 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 均为拐点. 3 27
3-4 单调性和凹凸性
12
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
证 : 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导, f ( x ) 0,
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
1
y
y f ( x)
A
B
பைடு நூலகம்
y
A y f ( x)
B
o a
b
x
o a
b x
f ( x ) 0
f ( x ) 0
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
2
一、函数单调性的判定法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
25
• 用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符 号判别凹凸性。 • 一阶导数为0或不存在的点为单调性发生变 化的可疑点；二阶导数为0或不存在的点为 凹凸性发生变化的可疑点。
曲线的凹凸性与函数图象描绘
例3 当x
y时，e x
ey
x y
e 2 .
2
证：设f ( x) e x
f ( x) 0 f ( x)是凹的。
f ( x1 x2 )
f ( x1 )
f
(
x2
)
e
x1
2
x2
e x1
e x2
2
2
2
即当x
y时，e x
ey
x y
e 2 .
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
不 妨 设x1
x2 , 令x0
x1
2
x2
,
分别在[ x1 , x0 ]与[ x2 , x0 ]上
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
1 2!
f ( )( x x0 )2
2
x2
)
1[ 2
f
( x1 )
f
( x2 )]
结论（2）可类似得证. 教材上用langrange定理证明!
例7 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
2、拐点的求法
二阶导数等于零的点和二阶导数不存在 的点，可能是拐点．
方法1: (1)
求f ( x)；
(2) 求f ( x) 0及f ( x)不存在的点xi；
(3) 检查xi两近旁f ( x)的符号：
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
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课 时 教 案
授课章节
及题目
第四章 曲线的凹凸性
授课时间 第15 周 周二第1、2 节 课 次 1 学 时 2
教学目标
与要求
(分掌握、熟悉、了解三个层次)
曲线的凹凸性的判定定理，会求曲线的凹凸区间。
教学重点
与难点
教学重点：利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法
教学难点：导数不存在的连续点、也可能是曲线的凹凸区间的分界点。
教学用具 无
教学过程
环节、时间 授课内容 教学方法
课程导入
（10分钟）
中值定理 提问
新课讲解 （70分钟） 一、曲线的凹凸与拐点 1. 凹凸性的概念
讲解
x1 x 2
y
x
O
2
21
xx
2
21
xxf
2
)()(21xfxf
f(x2)
f(x1)
单调性、极值、最值
新课讲解 （70分钟） 钟） 定义 设)(xf在区间I上连续 如果对I上任意两点21,xx 恒有 2)()()2(2121xfxfxxf 那么称)(xf在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧) 如果恒有 2)()()2(2121xfxfxxf 那么称)(xf在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧) 定义 设函数)(xfy在区间I上连续 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的 2.曲线凹凸性的判定 定理 设)(xf在],[ba上连续 在(a b)内具有一阶和二阶导数 那么 (1)若在),(ba内0)(xf 则)(xf在],[ba上的图形是凹的 (2)若在),(ba内0)(xf 则)(xf在],[ba上的图形是凸的 证明 只证(1)((2)的证明类似) 设)(,],[,2121xxbaxx 记2210xxx 由拉格朗日中值公式 得 2)())(()()(21101101xxfxxfxfxf 011xx 2)())(()()(12202202xxfxxfxfxf 220xx 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 讲解
启发
x1 x 2
y
x
O
2
21
xx
2
21
xxf
2
)()(21xfxf
f(x2) f(x1)
单调性、极值、最值
2
)]()([)(2)()(1212021xxffxfxfxf
02))((1212xxf
21
即)2(2)()(2121xxfxfxf 所以)(xf在],[ba上的图形是凹的
拐点 连续曲线)(xfy上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点
确定曲线)(xfy的凹凸区间和拐点的步骤
(1)确定函数)(xfy的定义域
(2)求出在二阶导数)(xf
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点
(4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点
注 根据具体情况（1）、（3）步有时省略
例1 判断曲线xyln的凹凸性
解 xy1 21xy
因为在函数xyln的定义域),0(内 0y 所以曲线
xyln
是凸的
例2 判断曲线3xy的凹凸性
解 因为23xy xy6 令0y 得0x
当0x时 0y 所以曲线在]0,(内为凸的
当0x时0y 所以曲线在),0[内为凹的
例3 求曲线14123223xxxy的拐点
解 12662xxy )12(6612xxy，令0y 得21x
因为当21x时0y 当21x时 0y所以点(21 2120)是曲
线的拐点
单调性、极值、最值
例4 求曲线14334xxy的拐点及凹、凸的区间
解 (1)函数14334xxy的定义域为),(
(2) 231212xxy)32(3624362xxxxy
(3)解方程0y 得01x 322x
(4)列表判断
在区间]0,(和),32[上曲线是凹的 在区间]32,0[上曲线是凸的 点
)1,0(
和)2711,32(是曲线的拐点
例5 问曲线4xy是否有拐点？
解 34xy 212xy
当0x时 0y 在区间),(内曲线是凹的 因此曲线无拐点
例6 求曲线3xy的拐点
解 (1)函数的定义域为),(
(2) 32 31xy 32 92xxy
(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为0x
(4)判断 当0x时0y 当0x时 0y
因此 点)0,0(是曲线的拐点
环节、时间 授课内容 教学方法
( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )
f (x) 0 0
)(xf
1 11/27
单调性、极值、最值
课后作业
（10分钟）
课堂小结：
曲线的弯曲方向——曲线的凹凸性;凹凸性的判定.
改变弯曲方向的点——拐点;拐点的求法1, 2.
布置作业：
P
75
1、（2）（4）；2、（2）（4）；
教学反思
板书设计
课程导入： 单调性、极值、最值 新课讲解 介绍本次课程的主要内容
课堂讲解
作业