人教必修一数学导学案：1.2.1函数的概念(1)
人教A版数学必修一1.2.1《函数的概念》教案
辽宁省沈阳市第十五中学高中数学 1.2.1函数的概念教案 新人教A版必修1教学目的：知识与技能：（1）掌握函数的概念，学会用函数的定义描述各类函数；（2）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；（3）掌握区间的概念，学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域； 过程与方法： 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；一、复习引入复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 初中函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y 是x 的函数.学过的函数：正比例函数：()0y kx k =≠常数 一次函数：()0y kx b k =+≠常数 反比例函数：()0k y k x=≠常数 二次函数：()20y ax bx c a =++≠常数 二、探究新知1．函数的概念：2，映射的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 补充练习：3. 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）4. 巩固练习：③求下列函数的定义域3．区间的概念（1）|x |x 1)x (f -=（2）x 111)x (f +=（3）5x 4x )x (f 2+--=（4）1x x 4)x (f 2--=（5）10x 6x )x (f 2+-=（6）13x x 1)x (f -++-=判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x （2）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2（3）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x。
高一(人教A版)必修一 1.2.1 函数的概念 学案设计(无答案)
必修一 1.2函数及其表示 1.2.1 函数的概念【学习目标】1、理解函数的定义；掌握函数的三要素，会求一些简单的定义域和值域；2、了解掌握区间的概念，能够用区间表示集合；3、能够正确判定同一函数；掌握复合函数、抽象函数的求法。
【学习过程】 一、课前预习1、函数的定义是什么？2、函数的三要素是什么？3、区间的概念及符号表示是什么？4、判断两个函数()()x g x f 和是不是同一函数的步骤？5、如何判定图像是函数图像?6、复合函数和抽象函数定义域的求法？ 二、探究活动（一）、函数的定义： 。
注意：)，1A ，B 是非空数集； )，2对应关系必须是确定的；)，3A 中元素无剩余；)，4B 中元素可剩余，即B 不一定是函数的值域； )，5对于A 中的元素，B 中对应的元素需唯一。
例1、下列式子能否确定y 是x 的函数?()4122=+y x ， ()1112=-+-y x ，()x x y -+-=12,3例2、判断下列对应是否为从集合A 到集合B 的函数。
(){}x y x f x x =→>==:,0B R A 1，，；()2:Z B Z A 2x y x f =→==，，，； ()x y x f=→==:Z B Z A 3，，，；(){}{}0:,0,11A 4=→=≤≤-=y x f B x x ，。
（二）、函数的三要素 1、函数的三要素： 2、函数的定义域;3、求函数定义域的主要依据：4、对应关系可以是一个或几个解析式，还可以是：5、函数的值域：例3、已知()()31542f x x x f ，求+-=，()2-f ，()a f ，()1+a f 的函数值。
例4、已知()()()()R x x x g x R x xx f ∈+=≠∈-=4,2,21()()[]()[]的值；，求1,11f g g f ()()[]()[]的解析式。
，求x f g x g f ,2例5、求下列函数的定义域：()()221-+-=x x x f ，； ()()xx x f ++-=5112， （三）、区间的概念 1、设.,,b a R b a <∈且2、区间长度：3、对于一个不等式的解集，可以用 和 表示。
1.2.1函数的概念导学案
学生班级 姓名 小组号 评价数学必修一 1.2.1函数的概念【学习目标】1、函数是贯穿整个高中数学的主线，从集合与映射的观点来加深对函数概念的理解是本节的重点也是难点。
2、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
3、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象、概括能力【重点和难点】教学重难点： 1、正确理解函数的概念及函数符号)(x f y =的理解2、函数的三要素、函数的定义域和值域，区间的概念。
【使用说明及学法指导】1． 先预习课本P 15-P 18内容，然后开始做导学案。
2． 带“*”的C 层可以不做。
3. 本小节的新概念、新符号较多，要在阅读与交流中理解概念并熟悉符号的使用。
预习案一．知识梳理1.观察课本P15中的3个例子，分析、归纳变量之间的关系有什么共同点？2.归纳以上三个实例，得出函数的定义、定义域和值域以及对函数符号)(x f y =的理解3.区间的概念：闭区间：开区间：半开半闭区间：无穷大：二.预习自测1下列能表示从A 到B 的函数吗？{}{}x y x f x y x f x y x f x y x f y y B x x A =→=→=→=→≤≤=<<=:,32:31:,21:20,40 2、判断下列能否表示从A 到B 的函数（1）A={30°,60°,90°} ，B={0, 1,23,22,21} ， B A f →::求正弦 （2）A={40≤≤x x } ，B={20≤≤y y }， B A f →::2-=x y3、判断下列是否成为函数4、解)(:x f y x f =→（1） ,3:指f x y x f =→==y 1x 时， =)1(f（2）符号 表示)(x f y =（ ）A.、 的乘积与等于x f y B 、. 的函数是x y（3）已知)(),1(),1(1x )(2a f f f x f -+=，求5、将下列集合转化为区间① {X|1≤x ≤6} ② {X|x<6}③ {X|x ﹥6} ④ {X|x ≠6} ⑤ {X|x ≥6或x<1} ⑥ {X|x ≥6且x ≠9}四.我的疑问：探究案一．合作探究例1、已知函数213)(+++=x x x f ，（1）求函数定义域（2）求)32(),3(f f -（3）当a>0时，求)1(),(-a f a f练习：1、求下列函数的定义域（1），3212+=x y（2）1||1y x =- （3）||13x x x y +-= 2、已知)(),1(),1(1x )(2a f f f x f -+=，求例2、两个函数相等：下列函数中哪个与函数x y =相等？（ ） A. 2 )(x y = B. 33x =y C. 2x y = D. x x y 2= 变式：下列四组中()()f x g x 与表示同一函数的是（ ）A 、22)()()(x x g x x f ==，B 、33x )(,)(==x g x x fC 、⎩⎨⎧<>==)0(1)0(1)(,1)(x x x g x f D 、2)(g ,24)(2-=+-=x x x x x f 例3、求下列函数的值域（1）225(05)y x x x =-+≤≤（2）函数22y x x =-的定义域是{0，1，2，3，}，那么值域是（ ）A {-1，0，3}B {0，1，2，3}C {|13}y y -≤≤D {|33}y y ≤≤二．课堂训练与检测○1判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1（2）f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x○2求下列函数的定义域（1）|x |x 1)x (f -=（2）x111)x (f +=（3）()f x =（4）()1f x x =-（5）13x x 1)x (f -++-=三.课堂小结：函数的概念、定义域的求法。
【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第一章 1.2.1 函数的概念 Word版含答案[ 高考]
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1．2函数及其表示1．2.1函数的概念[学习目标] 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点).3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)一、函数的有关概念f，使对于集合A中的任意的一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应结论称f：A―→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 相关概念定义域x的取值范围A值域函数值的集合{}f（x）|x∈A二、两个函数相等的条件1．定义域相同；2．对应关系完全一致．三、区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.特殊区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x 可以对应着不同的y .( ) (3)f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 2．已知f (x )＝x ＋1，则f (3)＝( )A ．2B ．4C ．±6D ．10 【解析】 ∵f (x )＝x ＋1，∴f (3)＝3＋1＝2.【答案】 A 3．函数f (x )＝11－2x有定义域是________(用区间表示)． 【解析】 由题意，需1－2x ＞0，解得x ＜12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 4．集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为________． 【解析】 集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为(1，10]． 【答案】 (1，10]预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)(2014·长沙高一检测)设M ＝x －2≤x ≤2，N ＝}y 0≤y ≤2，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，可作为函数y ＝f (x )的图象为( )(2)下列函数中，f (x )与g (x )相等的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2D ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 (3)判断下列对应是否为函数． ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x 2；②A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； ③A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|；④A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4.【解析】 (1)由函数定义可知任意作一条直线x ＝a 与函数图象至多有一个交点，故选项C 错误．由题设定义域中有元素－2，2知选项A 错误．由值域为{}y |0≤y ≤2知选项B 错误． (2)对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{}x |x ≥0，两函数的定义域不相同，所以不是相等函数；对于B ，g (x )＝x 2＝|x |，与f (x )＝x 的对应关系不相同，所以不是相等函数；对于C ，g (x )＝x 2－4x －2＝x ＋2(x ≠2)，与f (x )＝x ＋2的定义域不同，所以不是相等函数；对于D ，g(x)＝3x3＝x，与f(x)＝x的对应关系和定义域都相同，所以是相等函数，故选D.【答案】(1)D(2)D(3)①因为A＝R，B＝R，对于A中的元素x＝0，在对应关系f：x→y＝1x2之下，在B 中没有元素与之对应，因而不能构成函数．②对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．③对于A中的元素x＝2，在对应关系f的作用下，|2－2|＝0∉B，从而不能构成函数．④依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一的元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤：(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A是任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤：(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.【思路探究】解答本题可根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．【解】 (1)∵x ≠2时，分式1x －2有意义，∴这个函数的定义域是{}x |x ≠2. (2)∵3x ＋2≥0，即x ≥－23时，根式3x ＋2才有意义，∴这个函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23. (3)∵要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{}x |x ≥－1且x ≠2.1．求解析式给出的函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值集合．已知函数y ＝f (x )：(1)若f (x )为整式，则定义域为R ；(2)若f (x )为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；(3)若f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合； (4)若f (x )是由几个部分的数字式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；5．若f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．(2014·济宁高一检测)函数y ＝1－x2x 2－3x －2定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 【解析】 要使函数y ＝1－x 2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2，所以x ≤1且x ≠－12，故选D.【答案】 Df (2x ＋1)的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为[1，3]，求函数f (x )的定义域．【思路探究】 (1)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，而非2x ＋1，解不等式1≤2x ＋1≤3即可．(2)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，本题实质是知1≤x ≤3，求2x ＋1的取值范围． 【解】 (1)∵函数f (x )的定义域为[1，3]，即x ∈[1，3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，∴2x ＋1∈[1，3]，∴x ∈[0，1]， 即函数f (2x ＋1)的定义域是[0，1]． (2)∵x ∈[1，3]，∴2x ＋1∈[3，7]， 即函数 f (x )的定义域是[3，7]．若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．已知函数f (x )的定义域为(0，1)，则f (2x )的定义域为__________．【解析】 因为f (x )的定义域为(0，1)，所以要使f (2x )有意义，须使0＜2x ＜1，即0＜x ＜12，所以函数f (2x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫0，12已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值．【思路探究】 (1)令x ＝2代入f （x ），g （x ）→得出f （2），g （2） (2)求g （3）→求f [g （3）] 【解】 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13， 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)g (3)＝32＋2＝11，∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x ，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x 中f (3)＝2×3＝6.2．求f {f [f (x )]}时，一般要遵循由里到外的原则．在题设条件不变的情况下，求g [f (3)]的值． 【解】 ∵f (3)＝11＋3＝14， ∴g [f (3)]＝g ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫142＋2＝3316.1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等，只须两个函数的定义域和对应关系一致即可．2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，“y＝f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示“y等于f 与x的乘积”．3．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，这是求某函数定义域的依据．相等函数判断中的误区下列各组函数相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝|x|＋1和y＝(x－1)2＋1 C．y＝2x和y＝2x(x≤0) D．y＝x2＋1和y＝t2＋1【易错分析】 易失分点一：忽视函数定义域，误认为y ＝x 2－1x －1＝x ＋1，而误选A.易失分点二：忽视对应关系，误认为定义域和值域相同就是相等函数，而误选B. 【防范措施】 1.判断函数相等时，对较为复杂的函数解析式的化简要慎重，注意其等价性，本例对选项A 中第二个函数解析式的化简易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数．2．定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数才相等．【解析】 A 错误，由于函数y ＝x 2－1x －1中要求x －1≠0，即x ≠1，故两个函数的定义域不同，故不表示相等函数．B 错误，虽然定义域和值域相同，但对应关系不相同，因而不是相等函数．C 错误，显然定义域不同，因此不是相等函数．D 正确，虽然表示自变量的字母不同，但它们定义域和对应关系相同，因此是相等函数． 【答案】 D——[类题尝试]————————————————— 下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝（x ＋1）（x －1） B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1D ．f (x )＝（x ）4x 与g (t )＝⎝⎛⎭⎫t t 2 【解析】 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝（x ＋1）（x －1）的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥52，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－xx 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1的对应关系不同，不相等．D 中，f (x )＝（x ）4x ＝x (x＞0)与g (x )＝⎝⎛⎭⎫t t 2＝t (t ＞0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．【答案】 D。
1.2.1函数的概念教案人教A版必修1
1.2.1函数的概念一、教材分析1.函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.2.通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。
通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用 ，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、三维目标1﹑知识与技能：（1）掌握函数的概念，学会用函数的定义描述各类函数；（2）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；（3）掌握区间的概念，学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域．2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）掌握求一些简单函数的定义域和值域的方法．3、情态与价值：通过“恩格尔系数”了解我国的经济发展状况，增加民族自豪感，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性．三、教学重点理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.四、教学难点符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.五、教学策略１．通过大量的实例让学生体会了解函数的概念．２．通过比喻的方式人学生理解函数的概念，符号“y=f(x)”的含义．六、教学准备教学手段：多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率．七、教学环节1、 课堂导入复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；初中函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y 是x 的函数.学过的函数： 正比例函数：()0y kx k =≠常数 一次函数：()0y kx b k =+≠常数二次函数：()20y ax bx c a =++≠常数 2、 课堂讲授⑴阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：思考：（课本P 15）给出三个实例：A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-．B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况．C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表．讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →⑵函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与的x 值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。
人教A版高中数学必修1第一章集合与函数概念1.2函数及其表示导学案(1)
专题函数及其基本性质1•知识积累知识点一、函数的概念1 •函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A T B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y=f(x) , x E A •其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数 值的集合｛f(x)|x WA ｝叫做函数的值域.2 •构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域•由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数 相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关 •3.区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间；(3)区间的数轴表示. 区间表示：｛2r| A <^) = 上， 〔勒位兰 X 〕= W, +M)知识点二、函数的表示法 1 •函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明，给自变量求函数值 •图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势 •列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值 •2 •分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况.知识点三、映射与函数1•映射定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f ,对于集合A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f : A T B .象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合B 的映射，那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a的象，a 叫做b 的原象•注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3) a 的象记为f(a). 2. 函数：设A 、B 是两个非空数集，若 f : A T B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合 A 到集合B 的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数； ⑵函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合•| a < A <6} = （a,{x|a < x < b}=[a , b]；三、规律方法指导1.函数定义域的求法(1) 当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幕的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件•(2) 当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义(3) 求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示•2. 如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3. 函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，禾U用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点”和"最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些”分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.文档来自于网络搜索命2.重点点拨类型一、函数概念i.下列各组函数是否表示同一个函数？⑷_•宀-；：」• ：一「■解：(1)_:：■'- - I 「「- ' 对应关系不同，因此是不同的函数;⑵■'' ' ' ：：1'的定义域不同，因此是不同的函数;/<x) = h /⑴帥M(3)Cl) 的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数;⑷■' ' ' ：1 1- ■-定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1) 定义域不同，两个函数也就不同；(2) 对应法则不同，两个函数也是不同的.(3) 即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三： 【变式1】判断下列命题的真x J -iy = ------- _ rr(1)y=x-1与 二十-是同一函数；(2) 与y=|x|是同一函数;⑶沪敢r 与八(厶尸是同一函数；⑷索2•求下列函数的定义域(用区间表示).丁、.匚」—.「: / . ■/： 、「’•_____ 9 _____ Q/⑴二J2J >9,由2z-9> 0^#,工上沪 定义域为-] 1 I 1』工二〔」.■曰 -X S 1 v> XJijLU zT /W = ^1-r + -------- ,由* 彳* ..定义域为【Y,l] ⑶ Q 量 + 4 L?r+ 勺：> 0 [x >总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零； ②偶次根式中，被开方数非负•当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量 x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解 •举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： g --------------- - ----⑴ 二2「文档来自于网络搜索总结升华：小结几类函数的定义域：(1) 如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2) 如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3) 如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4) 如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; (即求各集合的交集)(5) 满足实际问题有意义.•已知函数 f(x)=3x 2+5X -2，求 f(3)，，叮：，f(a), f(a+1).解：f(3)=3 X 32+5 X 3-2=27+15-2=40「了3=盂 +尢 _/0亠1) M W X G + I)? + 凯& + 1) -2 三免'+1站46；- x(z > 0)‘ +暑(X 叱 ')与g(x)=X 2-|X|是同一函数.文档来自于网络搜/W =解：⑴汇_3二的定义域为x 2-2丰0,9■ n +co(2「二 ・"+「； (3) :. | -二心如+ 1用举一反三：【变式1】已知函数―二.⑴求函数的定义域；(2)求f(-3), -的值;⑶当a>0时，求f(a)x f(a-1)的值.文档来自于网络搜索【变式2】已知f(x)=2x 2-3x-25 , g(x)=2x-5，求:(1)f(2) , g(2); (2)f(g(2)) , g(f(2)) ; (3)f(g(x)) , g(f(x))文档来自于网络搜索总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为:匚'」-：；，类似的g(f(x))为：f J ，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果何修改可以使其成为映射？(1) A=R , B=R，对应法则f :取倒数；(2) A=｛平面内的三角形｝, B=｛平面内的圆｝，对应法则f:作三角形的外接圆；(3) A=｛平面内的圆｝, B=｛平面内的三角形｝，对应法则f:作圆的内接三角形. 解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A=｛x|x工0｝或者把对应法则改为“加 1 ”等就可成为映射；(2) 是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；文档来自于网络搜索⑶不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足“ B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射.举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？① A={1 , 2, 3, 4} , B={3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9}，对应法则，；'」’乍②A=N*, B={0 , 1}，对应法则f:x T x除以2得的余数；③A=N , B=｛0 , 1 , 2｝, f: x T x被3除所得的余数;尸二Q丄丄丄｝"广孟T工取倒数④设X=｛0 , 1, 2 , 3 , 4｝, 二-G A.求值域(用区间表示):2(1)y=x -2x+4 ；(2)7 =-57+3㉛的/宀*你帖兀y 二解：(1)y=x 2-2x+4=(x-1) 2+3 > 3,二值域为［3 ,);(2)-5775值域为(■ooe)u(0,+co);•••函数的值域为(-8, 1) U (1 , + g).类型二、映射与函数Os下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是？如果不是映射，如A中任意”；若把A改为【变式2】已知映射f : A T B ,在f 的作用下，判断下列说法是否正确? (1) 任取x € A ，都有唯一的 y € B 与x 对应； (2) A 中的某个元素在 B 中可以没有象； (3) A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象； (4) A 中的不同的元素在 B 中有不同的象； (5) B 中的元素在A 中都有原象；(6) B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象 .文档来自于网络搜索【变式3】下列对应哪些是从 A 到B 的映射？是从 A 到B 的 (1) A=N , B={1 , -1} , f : x T y=(-1)x ; (2) A=N , B=N +, f : X T y=|x-3| ；(4) A=Z , B=N , f : x T y=|x| ； (5) A=N , B=Z , (6) A=N , B=N ,6.已知 A=R , B={(x , y)|x ,产 R} , f : A T B 是从集合 A 到集合 B 的映射，f : x T (x+1 , x 2+1)，求解：：-"丨••• A 中元素的象为；J V-r I .(訂)的原象坞举一反三： 【变式1】设f : A T B 是集合A 到集合B 的映射，其中(1)A={x|x > 0} , B=R , f : X T x 2-2x-1，则A 中元素-「二的象及B 中元素-1的原象分别为什么?(2)A=B={(x , y)|x € R , y € R} , f : (x , y)T (x-y , x+y)，则 A 中元素(1 , 3)的象及 B 中元素(1 , 3)的原象分 别为什么？文档来自于网络搜索⑵f(x+1)=2x 2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1) 2+1 即：f(x)=2x 2-4x+3.举一反三：【变式 1】(1)已知 f(x+1)=x 2+4x+2，求 f(x) ； (2)已知： + 〃 U 7 ,求 f[f(-1)].总结升华：求函数解析式常用方法：映射吗？是从 A 到B 的函数吗?(3)A=R , B=R ,x T y=|x|;x T y=|x|.文档来自于网络搜索A 中的元素『的象,B 中元素 -4的原象类型三、函数的表示方法(1)若 f(2x-1)=x 2,求 f(x)；⑵若 f(x+1)=2x 2+1，求 f(x).X —解：⑴•/f(2x-1)=x 令 t=2x-1，贝y(4) 待定系数法等•注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元（4）-.' -：：■" -I - -I ----解：⑴；，、「•，•••图象为一条直线上 5个孤立的点;(4) 图象是抛物线• 所作函数图象分别如图所示:类型四、分段函数電k 9.已知 h+l,XE[OZ ),求f(0), f[f(-i)]的值. 解：f(0)=2 X 02+仁1 ； f[f(-1)]=f[2 X (-1)+3]=f(1)=2 X 12+1=3.-l(x <0) JT(X = O)举一反三：【变式1】已知M + lbrO)，作出f(x)的图象，求f(i) , f(-i) , f(0) , f{f[f(-1)+1]}的值•文档来自于网络搜索侧10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价 2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式， 并画出函数的图象•解：设票价为y 元，里程为x 公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：文档来自于网络搜索*V --- -------- = <⑶1X 丨x(x > 0)<0)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线;⑵为分段函数，图象是两条射线;(1)换元法；(2 )配凑法；(3)定义法; 的范围•8•作出下列函数的图象⑴.I •1-」■；(2)、丨：I2 - < 2）"全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；"神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式的费用分别为 y i , y 2（元）,I .写出y i , y 2与x 之间的函数关系式？ II . 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？川 .若某人预计一个月内使用话费 200元，应选择哪种通讯方式？文档来自于网络搜索3.当堂检测、选择题1 •判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑶丁（工）二\或工）二厲；4）"）二嶺4"，列斗；A .⑴、⑵B .⑵、⑶C .⑷D .⑶、⑸2•函数y 「 |1'"的定义域是（）A . -1W x w 1B . x w -1 或 x > 1C . 0< x w 12JLy = ---------3 .函数’二；的值域是（）2 4 C . RD . (-a, -■ )U (」,+ a )4 .下列从集合 A 到集合 B 的对应中：①A=R , B=(0 , + a ) , f ：x y=x 2 ；②A =B = (-co,0)u (0,-l-co)r f : K —> y = —; A =(0,1= [h+caj ,f : x —>y =筈③ 氢 ④ A=[-2 , 1], B=[2 ,5], f:x T y=x 2+1 :⑤A=[-3 , 3], B=[1 , 3], f:xy=|x|其中，不是从集合 A 到集合B 的映射的个数是（）5<x < 10W<x ^15根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示:【变式1】移动公司开展了两种通讯业务:D . {-1 , 1}A . (-a, )U (-' , + a )B . (-a,」)U (-' , +a )23 举一反三:精品文档B . 2C . 3D . 45.已知映射f:A T B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是A . A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定有原象C . A 中的任何元素有且只能有唯一的象9.函数'--的图象与直线二=■的公共点数目是（）C . 或-10 .已知集合11■，且 - 一,使吕中元素「 1 一和二中的元素T 对应，则的值分别为（）工十2(^<-1^<2)11.已知2）心）二 3 TL，若八〉，则尤的值是（）A. 133B . 1或2C . 1, 2或土的D .启12 .为了得到函数' J '：1的图象，可以把函数」'：■'的图象适当平移，这个平移是（）、填空题5A.G , i)B . (1 , 3)C . (2, 6)D . (-1 , -3)7 .已知集合 P={x|O < x < 4}, Q={y|o w y w 2},卜列各表达式屮不表示从 P 到Q 的映射的是（）X X2 1A.y=二B . y=」C . y=」xD . y=1- x 26 .点（x , y ）在映射f 下的象是（2x-y , 2x+y ），求点（4,6）在f 下的原象（）（）B . B 中元素可以有两个原象 D . A 与B 必须是非空的数集A .沿工轴向右平移】个单位C .沿工'轴向左平移1个单位1_B .沿工'轴向右平移二个单位丄D .沿工'轴向左平移二个单位&精品文档蛊一 2= ------ -- -------2 .函数- 二的定义域3 .函数f(x)=3x-5在区间24.若二次函数■ _'的图象与x 轴交于■- ' ,且函数的最大值为,则这个二6 .函数H ” J : '的最小值是三、解答题文档来自于网络搜索求函数■ ■…一的值域. 根据下列条件，求函数的解析式： ⑴已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x);⑵已知f(x)是二次 函数，且 f(2)=-3 , f(-2)=-7,f(0)=-3，求 f(x) ; (3)已知 f(x-3)=x 2+2x+1，求 f(x+3);⑷已知⑸已知f(x)的定义域为 R ,且2f(x)+f(-x)=3x+1 ，求f(x).文档来自于网络搜索B . -31一工1 1-r 川邑⑴]=「一(“ 0)/兀，那么£等于()1 •设函数- (W I工则实数玄的取值范围是次函数的表达式是5 .函数1.心记求函数2.3. 4.高考专题:、选择题1.设函数 ■Il ： "- ' -：■■,则-！的表达式是()B . 2?；_；2. 函数/W =X (心_?)八满足…则常数二等于()3. 已知的定义域是精品文档已知函数」「定义域是[一二 "，则-的定义域是（）D . - ' -I 二、填空题 3^-4（x>0J 玳工-0）孑（对二血十 ----------函数 、二-'■ L ：__ '的值域是设函数-■- 亠* -，当'■时，匸的值有正有负，则实数 4的范围三、解答题的两实根，当"咗为何值时，、 '有最小值？求出这个I 设二.「是方程 I ：“ - ■■■ I -: <最小值. 2.求下列函数的定义域（1）1 " r '■- 文档来自于网络搜索 / 二 3 .求下列函数的值域（1） '；V 二 --------- : ---------------- （2） . _ ■ _■ 15B . 1C . 3D . 304. 5. 函数:J '、V ' Ll的值域是（） [-2.2] B J-- 6. C .[二: C.- -=—已知 ,则丿"的解析式为（）D . [-3, 7]D .[-返忑】 1. 若函数2. 若函数 /（2乂+1）=疋一古，则/（3）=4. yw = *已知 l,x> 07"°,则不等式Wx + 2）JO + 2）口的解集是集是 3. 5.。
高中数学 1.2.1 第1课时 函数的概念教学设计 新人教版必修1
云南省德宏州芒市第一中学高中数学 1.2.1 第1课时 函数的概念教学设计 新人教版必修1一、教学目标：能说出函数的定义，能用集合与对应的语言刻画函数，记住构成函数的要素；会判断一个对应是否为函数；会根据函数的要素判断两个函数是否相等；会用区间表示数集。
教学重点：函数的定义，函数的构成要素及函数定义的应用，用区间表示数集。
教学难点：函数定义的理解。
二、预习导学（一） 知识梳理（以问题或填空题的形式呈现） 1、函数的概念： 2、函数相等：3、区间：定义名称符号 数轴表示{}b x a x ≤≤ 闭区间 {}b x a x << 开区间{}b x a x <≤ 半开半闭区间{}b x a x ≤<半开半闭区间{}a x x ≥ {}a x x > {}a x x ≤ {}a x x <R三、问题引领，知识探究问题1、函数定义中集合A 、B 有什么要求？问题2、函数定义中由A 到B 时什么性质对应（一对一、多对一、一对多)? 问题3、函数符号“)(x f y =”中)(x f 含义是什么？ 例1 ：判断下列对应是否为从集合A 到集合B 的函数。
（1）21:,,x y x f R B R A =→== （2）x y x f R B N A ±=→==:,,（3）2:*,,-=→==x y x f N B N A（4）4)3(,3)2()1(,},3,2,1{=====f f f R B A变式1：集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．A. B. C. D. 问题4：何为两个函数相等？例2：下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y =；（4）xx y 2=.变式2：判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由： （1）22x x y x y ==与； （2）⎩⎨⎧<-≥==0,20,22x x x x y x y 与；（3）)()(u f y x f y ==与。
人教版必修一 1.2.1函数概念的教学设计
§1．2．1函数概念的教学设计一．教学目标知识要求目标：1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
.能力发展目标：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。
情感价值目标：让学生用函数观点去认知分析现实世界。
二.教学重难点：重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
三.教学导图↓↓↙↘↓↓↓四.新课讲授实例（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h=130t-52t A={t|0≤t≤26},B={h|0≤h≤845}启发学生用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之相对应。
实例（2）近几年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧空洞问题，图中曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979-2001年的变化情况。
引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A中的每一个时刻t都对应t时刻时曲线在该点的纵坐标。
即在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s与之对应。
实例（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。
表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
若记A={t|1991≤t≤2001且t∈Z}，B={53.8、52.9··· }学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，即在数集A 中的任意一个时间t在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应.教师及时提问：这三个实例的共同点？学生认真思考，在教师启发点拨下，归纳总结共同点：①都有两个非空数集②两个数集间都有一种确定的对应关系，即按照这种对应关系对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与之对应。
人教版高中数学必修1第1章1.2.1 函数的概念教案
1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念教学目标分析：知识目标：理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三要素。
过程与方法：1、通过丰富实例，建立函数概念的背景，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
情感目标：通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象思维能力。
重难点分析：重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。
难点：函数概念及符号的理解。
互动探究：一、课堂探究： 1、复习引人探究一、初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，则称x 是自变量，y 是x 的函数；其中自变量x 的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 的值叫做函数的值域。
探究二、（1）1y =是函数吗？（2）y x =与2x y x=是同一个函数吗？显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。
因此，需要从新的高度认识函数。
请同学们学习教材第15页引例1，做出高度h 的函数图像，并尝试用集合语言描述两个变量之间的依赖关系？引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标。
炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：25130t t h -=（*）。
炮弹飞行时间t 的变化范围是数集A = {t |0 ≤ t ≤ 26}，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集B = {h | 0 ≤ h ≤ 845}。
从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有惟一的高度h 和它对应。
引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 ~ 2001年的变化情况：根据可图中的曲线可知，时间t 的变化范围是数集A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001}，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B = {S |0 ≤ S ≤26}。
版高中数学 1.2.1.1 函数的概念必学知识学案 新人教a版必修1
求平方B 2014版高中数学 1.2.1.1 函数的概念必学知识学案 新人教A 版必修1“神舟六号”载人航天飞船离地面的距离随时间的变化而变化，上网费用随着上网时间的变化而变化，近几十年来，大气层中的臭氧层迅速减少，出国旅游的人数日益增多，考古学家推算古生物生活的年代……，这些问题中的变量关系是如何描述的呢？这就是本节课要学习的内容. 【课题研究】 1、2、1、1函数的概念 【授课教师】 孟老师初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？ 问题2：x y =与x x y /2=是同一函数吗？ 观察对应：一、【学习目标】1、理解函数的定义，及定义域、值域等有关概念；能熟练的运用区间符号；2、能利用所学知识解求定义域的问题；通过作业要会求一般的函数的值域； 二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材15、16页材料<1>、<2>、<3>，回答问题（典型例题引入）<1>若材料一我可以得出这样的结论：时间t 的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}，h 的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}；则有对应：f:t→h=130t -5t 2,t ∈A,h ∈B.阅读完材料二、三之后，你能总结出类似的结论吗？结论：i ：根据图像可知：时间t 的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001}，空臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S ∈B ；ii ：根据图标可知时间t 的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y 的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应：f:t→y,t∈A,y ∈B.<2>你能找出这三个对应有什么共同点吗？结论：共同特点是：集合A 、B 都是数集，并且对于数集A 中的每一个元素x ，在对应关系f:A→B 下，在数集B 中都有唯一确定的元素y 与之对应.2.结合上述自学内容，阅读16页函数定义，回答问题（函数的基本概念）<3>你是怎样理解函数的定义的？你能准确的给出函数的定义吗？通过学习，总结出函数的三要素是什么.引申解释：此处教师要有例子的类比：譬如举一个二次函数的例子，，找出它的定义域、值域、对应法则结论：<I>函数的定义：一般地,设A 、B 都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x),x ∈A,其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域；<II>对函数的理解：①函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.②A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B ③函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f ④例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象” 3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数<III>函数的三要素：定义域、对应法则、值域.<IV>注意：i ：自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围；ii ：函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等.<4>请你总结一下我们学习过的函数的定义域和值域.结论：①一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;②反比例函f(x)=k/x )0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ;③二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R 值域：当0>a 时，{}a b ac y y 4/)4(|2-≥；当0<a 时，{}a b ac y y 4/)4(|2-≤3.阅读教材第17页有关区间的知识，回答问题（区间）<5>你能理解区间的含义吗？给你一个取值范围，你能马上写出它的区间形式吗？我们以后的学习其中，“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号；②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开.三、【知识巩固】我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合. 例1 求下列函数的定义域：① )2/(1)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ； ③ )2/(11)(-++=x x x f .分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定如果只给出解析式)(x f y =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式)2/(1-x 无意义，而2≠x 时，分式)2/(1-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-2/3时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3/2-≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3/2-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式)2/(1x - 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x∴这个函数的定义域是： {x |1-≥x 且2≠x }强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.例2 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1) 解：f(3)=3×23-5×3+2=14；f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52； f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2+a. 练习1.教材例1. 练习2.课后练习1、2.练习3.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是_______；四、【作业】1、必做题：习题1.2A 组1、3、4、5、6、7、8、9.B 组1、2、3、4.2、选做题：已知a 、b ∈N *,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则)2006(/)2007()2(/)3()1(/)2(f f f f f f ⋅⋅⋅++=_________结论：令a=x,b=1(x ∈N *)，则f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x)，即有)(/)1(x f x f +=2(x ∈N *).所以，原式=2006222++=4012. 五、【小结】今天这节课主要讲的是函数的含义.其中涉及到函数的定义域值域等有关的知识.通过这节课的学习，要知道函数的三要素，要理解函数的三要素各自在函数体系中的作用.通过学习，要求学生掌握住函数定义域和值域的求法. 要注意的是：函数是一种特殊的对应f ：A →B ，其中集合A ，B 必须是非空的数集；)(x f y =表示y 是x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(a f 表示)(x f 在x=a 时的函数值，是常量；而)(x f 是x 的函数，通常是变量 六、【课后小练】 1．求下列函数的定义域：（1）y=x x -+-11；（2）y=x x ---52/132.2.(1)已知函数f(x)=x 2-2x,定义域为A={0，1，2，3}，求这个函数的值域. （2）求函数y=1/(x 2+1)在0，1，2处的函数值，以及该函数的值域. 3.若[a,2a]为一确定区间，则a ∈4.设f(n)=k(k ∈N 8),k 是π的小数点后的第k 位数字，π=3.1415926535…，则f(3)= 5.若函数f(x)的定义域位[-2,1],求g(x)=f(x)+f(-x)的定义域. 6.求下列函数的值域：（1）y=(2x+1)/(x-3)；(2)y=x 2-4x+6,x ∈[1,5）7.已知函数f(x)对任意实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y)成立. (1)求f(0)与f(1)的值.(2)若f(2)=a ，f(3)=b （a ，b 均为常数），求f(36)的值.。
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§1.2.1 函数的概念（1）
班级 姓名 学号
学习目标
1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学
习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
2. 了解构成函数的要素；
3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P15~ P17，找出疑惑之处）
复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，
y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、
列表法、图象法.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数模型思想及函数概念
问题：研究下面三个实例：
A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时
间t（秒）的变化规律是21305htt.
B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，
图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.
C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个
国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔
系数如下表.
年份
1991 1992 1993 1994 1995 …
恩格
尔系
数%
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 …
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对
应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，
在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：:fAB.
2
新知：
（1）、函数的概念：设BA,是 ，如果按照某种确定的 ，使对于集合A中
的 ，在 中都有 确定的数)(xf和它对应，那么就称f：BA为
集合A到B的一个函数，记作 ．其中x叫做 ， 叫做函
数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做 ， 叫做函数的值域。
（2）、函数——理解函数概念应明确两点：
(a) 函数的三要素_________、_________、__________.
(b) 函数符号y=f(x)的内涵．
试试：
（1）已知2()23fxxx，求(0)f、(1)f、(2)f、(1)f的值.
（2）函数223,{1,0,1,2}yxxx值域是
反思：常见函数的定义域与值域.
函数 解析式 定义域 值域
一次函数 (0)yaxba
二次函数 2yaxbxc， 其中0a
反比例函数
(0)kykx
探究任务二：区间及写法
新知：设a、b是两个实数，且a
叫闭区间；
{|}(,)xaxbab
叫开区间；
{|}[,)xaxbab，{|}(,]xaxbab
都叫半开半闭区间.
实数集R用区间(,)表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读
“正无穷大”.
试试：用区间表示.
（1）{x|x≥a}= 、{x|x>a}= 、
{x|x≤b}= 、{x|x
3
（3）函数y＝x的定义域 ，值域是 . （观察法）
※ 典型例题
例1、已知函数fx=3x+21x ,
(1) 求函数的定义域； (2) 求 3f, 23f 的值；
(3) 当 a > 0 时，求fa ，1fa的值;
例2、已知函数()1fxx.
（1）求(3)f的值；（2）求函数的定义域（用区间表示）；
（3）求2(1)fa的值.
变式：已知函数1()1fxx.
（1）求(3)f的值；（2）求函数的定义域（用区间表示）；
（3）求2(1)fa的值.
※ 动手试试
练1. 已知函数2()352fxxx，求(3)f、(2)f、(1)fa的值.
练2. 求函数1()43fxx的定义域.
三、总结提升
※ 学习小结
①函数模型应用思想；②函数概念；③二次函数的值域；④区间表示
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※ 知识拓展
求函数定义域的规则：
① 分式：()()fxygx，则()0gx；
② 偶次根式：*2()()nyfxnN，则()0fx；
③ 零次幂式：0[()]yfx，则()0fx.
※ 当堂检测
1. 已知函数2()21gtt，则(1)g（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数()12fxx的定义域是（ ）.
A. 1[,)2 B. 1(,)2 C. 1(,]2 D. 1(,)2
3. 已知函数()23fxx，若()1fa，则a=（ ）.
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4. 函数2,{2,1,0,1,2}yxx的值域是 .
5. 函数2yx的定义域是 ，值域是 .（用区间表示）
课后作业
1. 求函数11yx的定义域与值域.
2. 已知()2yftt，2()23txxx.
（1）求(0)t的值；
（2）求()ft的定义域；
（3）试用x表示y.