八年级下册数学复习专题

八年级下册数学复习专题八年级下册数学复资料第一章直角三角形1、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

例如，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的中线，因此CD等于AB的一半。

③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

例如，在直角三角形ABC中，如果∠A=30°，那么BC等于AB的一半。

例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则正确的结论是AC²+BC²=AB²。

④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

例如，在直角三角形ABC 中，如果BC等于AB的一半，那么∠A=30°。

例如，如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么顶角的度数是60°。

⑤勾股定理及其逆定理1）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。

求斜边的长度，可以用c=√(a²+b²)；求直角边的长度，可以用a=√(c²-b²)或b=√(c²-a²)。

例如，在图中的拉线电线杆示意图中，已知CD⊥AB，∠CAD=60°，那么拉线AC的长度是6m。

例如，如果一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是√136.2）逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

可以分别计算“a²+b²”和“c²”，如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形。

例如，在Rt△ABC中，如果AC=2，BC=7，AB=3，那么正确的结论是∠C=90°。

例如，如果一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，那么这块木板的面积是18.例如，某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？直角三角形性质及勾股定理的应用常见于各种图形中。

例如，如下图所示，梯子AB靠在墙上，底端A到墙根O的距离为7米，顶端B到地面的距离为24米。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使得A′到墙根O的距离等于15米。

同时，顶端B下降至B′。

求出BB′的长度。

又如下图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40厘米，灯罩BC长为30厘米，底座厚度为2厘米。

灯臂与底座构成的∠BAD为60度，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30度。

求出灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少厘米？直角三角形的判定方法有三种：有两个角互余、一条边上的中线等于这条边的一半、三边长a、b、c有关系a+b=c。

例如，若一个三角形三边满足(a+b)²-c²=2ab，则这个三角形是直角三角形。

若∠A：∠B:∠C=2:3:5，则△ABC是锐角三角形。

已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足2a+2b+2c-2ab-2bc-2ac=0，则三角形的形状是直角三角形。

直角三角形全等有五种判定方法：XXX、ASA、SSS、AAS、HL。

例如，如下图所示，在ΔABC中，D为BC的中点，DE⊥XXX∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC的延长线于点G。

则BF=CG。

角平分线的性质定理是：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

例如，如下图所示，在ΔABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是8厘米。

又如在△ABC中，O是∠ABC与∠XXX的平分线的交点。

则点O在∠A的平分线上。

如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是多少？解法：根据角平分线定理，有$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$，即$\dfrac{BD}{6}=\dfrac{AB}{\sqrt{BC^2+AC^2}}$。

又因为$\triangle ABC$为直角三角形，所以$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}$，代入上式得$\dfrac{BD}{6}=\dfrac{\sqrt{AC^2-BC^2}}{AC}$，整理得$BD=\dfrac{3\sqrt{AC^2-BC^2}}{AC}$。

又因为$\triangle ABD$和$\triangle ADC$共边且相似，所以$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$，即$AD=\dfrac{AB^2}{AC}$。

代入$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}$得$AD=\dfrac{AC^2-BC^2}{AC}$。

因为点D到线段AC的距离等于$AD\cdot\dfrac{BD}{BD+DC}$，所以所求距离为$\dfrac{3(AC^2-BC^2)}{2AC+3\sqrt{AC^2-BC^2}}$。

如图，在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点P是三角形内心，求点P到AB的距离。

解法：因为点P是三角形ABC的内心，所以AP、BP分别是∠BAC、∠ABC的平分线，所以$\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{3}$。

又因为$\triangle ABP$为直角三角形，所以$\dfrac{AP}{AB}=\sin\angle BAP$，$\dfrac{BP}{AB}=\sin\angle ABP$。

根据正弦定理，有$\dfrac{AP}{\sin\angle BAP}=\dfrac{BP}{\sin\angle ABP}$，即$\dfrac{AP}{\sin\angleBAP}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{BP}{\sin\angle BAP}$，化简得$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{\sin\angleBAP}{\sin\angle ABP}$。

又因为$\sin\angle BAP=\cos\angle ABC$，$\sin\angle ABP=\cos\angle BAC$，所以$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{\cos\angleABC}{\cos\angle BAC}$。

根据余弦定理，有$\cos\angleABC=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，$\cos\angleBAC=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{5}$，代入上式得$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{16}{9}$，即$AP=\dfrac{16}{25}AB$，$BP=\dfrac{9}{25}AB$。

因为点P到线段AB的距离等于$\dfrac{2S_{\triangle ABP}}{AB}$，所以所求距离为$\dfrac{2}{5}\sqrt{15}$。

4、特殊四边形的性质与判定平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角线不是轴对称图形，是中心对称图形。

平行四边形的判定方法：方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例如，在四边形ABCD中，如果AB∥CD且AB=CD，或者AD∥BC且AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形。

对于题目中的例题，可以将其改写为：已知一个三角形ABC，其中AB=10，AC=12，BC=16，求由三条中位线所围成的三角形的周长。

6、矩形的性质与判定矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线互相平分且相等。

矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。

矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

方法2：对角线相等的平行四边形是矩形。

例如，在四边形ABCD中，如果∠A=90°，则四边形ABCD是矩形。

对于题目中的例题，可以将其改写为：已知矩形ABCD，其中AB=4，∠AOB=60°，求对角线AC的长度。

删除无用段落。

菱形的性质：四条边相等，对角线相等且互相平分且垂直，邻角互补。

因此，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。

菱形的面积等于两条对角线的长度乘积的一半。

菱形的判定方法有两种：一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者四边都相等的四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

例如，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F。

可以证明四边形AFCE为菱形。

又如，如果矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=6，AC=10，则矩形的面积为30.如果菱形的周长为20，一条对角线长为6，则其面积为9.正方形的性质：四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分且垂直相等。

因此，正方形也是轴对称图形和中心对称图形。

正方形的判定方法有两种：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，或者有一个角是直角的菱形是正方形，或者有一组邻边相等的矩形是正方形。

例如，顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

如果把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为45°。

对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线平分且相等的四边形是矩形，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，对角线互相平分的四边形是平行四边形。

在平面图形的镶嵌中，关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。

例如，只用正六边形地砖就能够铺满地面。

在正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，能与边长为a的正三角形作平面镶嵌的是正六边形和正八边形。

最后，坐标系中的点用有序实数对来表示，其中第一个数代表横坐标，第二个数代表纵坐标。

例如，点(4,2)的横坐标为4，纵坐标为2.2、在平面直角坐标系中，横轴为X轴，纵轴为Y轴，原点为O，方向为正向。

第一象限坐标为（+，+），第二象限坐标为（—，+），第三象限坐标为（—，—），第四象限坐标为（+，—）。

例如，对于点P（-2，3），它位于第二象限。

若点P（a，b）位于第四象限，则点Q（-a，b-1）位于第二象限。

3、方位角指的是一个向量与某个参考方向之间的夹角。