棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[方法技巧] 棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法技巧
(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面 边长、高、斜高、侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应 用．
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧 面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．
(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大 小棱锥侧面积作差得到．
[对点练清] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15， 高是 5，求该直四棱柱的侧面积．
解：如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，对角线 A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝A2C2＋B2D2＝a2＋4 b2＝200＋ 4 56＝ 64，∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积 S＝4×8×5＝160.
＝
1 2
×VD×BC
＝
1 2
×
13 ×2
3＝
39
，
S
△
ABC
＝
1 2
×(2 3)2× 23＝3 3，
所以，三棱锥 V－ABC 的表面积为 3S△VBC＋S△ABC＝3 39＋3 3 ＝3( 39＋ 3)．
[易错矫正] (1)解答本题易出现的失误是不能根据正三棱 锥的结构特征，并且根据题目条件求出正三棱锥的侧面三角形的 高．
8．3 简单几何体的表面积与体积 8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2.能用公式解决简单的实际问题． 3.通过学习，帮助学生进一步掌握在平面上表示空间图形的
方法与技能，提高学生直观想象、数学运算的核心素养．
圆台圆锥圆柱棱台棱柱棱锥各种公式
圆台圆锥圆柱棱台棱柱棱锥各种公式1. 先来认识几位“几何朋友”嘿，大家好！今天我们来聊聊一些几何图形，这些形状可真是我们生活中的好朋友啊！先说说圆柱。
圆柱就像是你喝的饮料罐，底部是个圆，侧面是个长长的直筒。
要想知道它的体积，咱们用公式：V = πr²h。
这个“π”看起来神秘，但其实就是个常数，约等于3.14，差不多就能用。
r是底面的半径，h是高度。
把这三者结合起来，嘿，你就能知道能装多少饮料啦！接下来是圆锥，想象一下，冰淇淋筒就是它的代表！底下是个圆，尖尖的顶端可真是个亮点。
它的体积公式是V = (1/3)πr²h。
听起来是不是有点复杂？其实不然，你只要记得，圆锥的体积总是要比圆柱小个一半，因为它的尖尖部分可没什么用处嘛！2. 圆台的秘密说完这两位，咱们再看看圆台。
圆台就是上下各有一个圆的“中间人”。
你可以想象一下，两个圆饼叠在一起，形成一个平坦的表面。
它的体积公式是V = (1/3)πh(r₁² +r₁r₂+ r₂²)，r₁和r₂分别是上下圆的半径。
这个公式有点复杂，但只要咱们认真点，还是能搞定的！圆台就像生活中的调和，给人一种圆润的感觉，不管是用来做蛋糕还是建筑，都显得那么完美。
2.1 圆柱与圆锥的关系你有没有想过，圆锥和圆柱的关系？就好比父母和孩子。
圆锥的体积是圆柱的一半，这就像是孩子总是要在父母的保护下成长。
圆柱高高在上，圆锥则在它的怀抱中成长。
这个数学关系可真有趣，不是吗？2.2 几何体在生活中的应用几何体的这些公式，咱们在生活中随处可见。
比如，建筑师设计房子的时候，会用到很多这些形状，确保房子稳稳当当。
而咱们的日常生活中，不论是吃东西还是玩乐，都少不了这些几何的身影。
比如那张圆形的餐桌，它的面积就能告诉我们，能放下多少美味的菜肴！3. 棱柱与棱锥的魅力好了，聊完圆的家族，咱们接下来聊聊棱柱和棱锥。
这两位的外形可都挺“棱角分明”的！棱柱就像是个直挺挺的盒子，底面是多边形，侧面是长方形。
棱柱棱锥棱台的表面积和体积完整版课件
北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐 步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述 变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多 种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考 虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活 力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？
高
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥， 两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗 的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？
解：由题意知
V长方体ABCDABCD 11 0.5 0.5(m3 )
V棱锥P ABCD
1 11 0.5 3
柱
一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为
体
高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一
个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的
距离。
h
s
锥
正棱椎的体积公式是 V 1 Sh
3
体
(其中S为底面面积，h为高)
它是同底同高的棱柱的体积的 1 3
棱锥的体积公式也是 V 1 Sh 3
1 B.2
3 D. 4
4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所 有小正方体的表面积为 18a2 ． 【解析】原正方体的棱长为 a，切成的 27 个小正方体的棱长为13a， 每个小正方体的表面积 S1＝19a2×6＝23a2，所以 27 个小正方体的表面 积是23a2×27＝18a2.
垂线，这点与垂足之间的距离。
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱 柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
新版高中数学必修2课件：8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
体积公式
棱 柱
底面积为S，高为h，V＝___S_h____
棱 锥
1 底面积为S，高为h, V＝___3_S_h___
棱
上底面积为S′，下底面积为S，高为
台
h，V＝13(S′＋ S′S＋S)·h
状元随笔
(1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算 中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其 和即可，一般不把多面体真正展开．
VAGD -BHC＝2×13×
42×12＋
42×1＝
2 3.
答案：A
方法归纳 若所给定的几何体是不规则的几何体，则将不规则的几何体 通过分割或补形转化为规则的几何体，再利用公式求解．
跟踪训练1 (1)已知高为3的棱柱ABC -A1B1C1的底面是边长为
1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1 -ABC的体积为( )
2 A. 3
4 C.3
3 B. 3
3 D.2
解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，
H，连接DG，CH，易得EG＝HF＝
1 2
，AG＝GD＝BH＝HC＝
3 2
，
则△BHC中BC边的高h＝
2 2.
∴S△AGD＝S△BHC＝12× 22×1＝ 42，
∴该多面体的体积V＝VE -ADG＋VF -BHC＋VAGD -BHC＝2VE -ADG＋
高中数学必修二
8.3.1 棱柱、棱锥、 棱台的表面积和体积
[教材要点]
要点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个__平__面____图形围成的多面体， 因此它们的表面积等于_各__个__面___的面积之和，也就是_展__开__图___的 面积．
棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱棱锥棱台的体积公式棱柱、棱锥、棱台是几何学中常见的三维图形，它们的体积是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的知识点。
下面我们将分别介绍它们的体积公式。
一、棱柱的体积公式棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个矩形侧面组成的多面体。
它的体积公式为：V = S × h其中，V表示棱柱的体积，S表示底面积，h表示棱柱的高。
例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱柱，它的体积为：V = S × h = 10 × 10 × 10 = 1000cm³二、棱锥的体积公式棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的多面体。
它的体积公式为：V = 1/3 × S × h其中，V表示棱锥的体积，S表示底面积，h表示棱锥的高。
例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱锥，它的体积为：V = 1/3 × S × h = 1/3 × 10 × 10 × 10 = 333.33cm³三、棱台的体积公式棱台是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个梯形侧面组成的多面体。
它的体积公式为：V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))其中，V表示棱台的体积，h表示棱台的高，S₁和S₂分别表示上下底面的面积。
例如，一个上底面为正方形，下底面为长方形，高为10cm的棱台，它的体积为：V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)) = 1/3 × 10 × (10 + 20 + √(10 × 20)) = 266.67cm³掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的基础知识。
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
思考交流
柱体、锥体、台h
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年，其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 和体积各是多少？
A
B ﹒C
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。
O
O′
课后作业 习题1—7 A组 第3、8题
知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh 3
1
V锥体
Sh 3
其中，S为锥体的底面积，h为锥体的高.
定理：等底等高锥体的体积相等
三、棱台和圆台
我们知道，用一个平行于底面的平面去 截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台， 所以，棱台的体积可用两个棱锥的体积的差 来计算。实际上，圆台的体积也可以这样计 算。计算公式如下：
V台体 13（S上+S下+ S上 S下）h.
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积
一、棱柱和圆柱
我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即
V柱体=Sh
其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高.
等底等高柱体的体积相等吗？
定理：等底等高柱体的体积相等
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积
7、如图所示正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为 ，
则这个正四棱锥的体积是_________________.
8、已知圆锥的母线长为 高为 ，则这个圆锥的体积是
______________________.
7.球的体积公式
三：讨论与交流
1已知正三棱锥的底面周长为9，侧棱长为2，则此棱锥的高是（）
2底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线的长为 ，体对角线长为 ，则这个棱柱的侧面积是（）
3若球的大圆周长为C，则这个球的表面积是（）
4设长方体的长、宽、高分别为 q其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
5、已知长方体形的铜块长、宽、高分别是2，4，8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），则铸成的铜块的棱长是__________________;
9、一个球的大圆的面积增加为原来的100倍，则这个球的体积是原
来球体积的_______________倍.
10、正六棱柱的底面边长为10cm,高为15cm，则这个正六棱柱的体积是____________
11、正三棱台的上下底面边长分别为2、4，斜高为 ，则这个正三棱台的体积是_______
12、正方体的内切球与外接球的体积比是___________
名称
侧面积（Sห้องสมุดไป่ตู้）
表面积（S表）
圆柱
圆锥
球
3，体积公式：
1.柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即
2.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是
3.如果一个椎体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是
空间图形(棱柱,棱锥,棱台)
三. 正棱柱、正棱锥、正棱台
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的 特征为侧面是矩形，侧棱等于高．
直棱柱
如果直棱柱的底 面是矩形，就是 长方体
如果长方体的 所有棱的长都 相等，就是正 方体
正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱
正棱锥: 底面是正多边形且顶点到底面的垂 足是底面的中心的棱锥
正棱台: 由正棱锥截得的棱台
S下
S上S下
l
(适用于一般棱锥)
斜高l
l : 斜高 h : 高 p : 底面周长
直棱柱、正棱锥和正棱台的面积和体积公式
名称
直棱柱
正棱锥
正棱台
侧面积
S侧 =lp
全面积 S全= lp+2 S底
V= S底h
体积
(适用于一般 棱
柱)
S侧 =12 lp
S侧
1
=2
l(
p上＋p下
)
S全
=
1 2
lp+S底
1
V= 3 S底 h
一. 一般棱柱,棱锥,棱台的定义
图1
图2
图3
棱柱:由一个平面多边形平移形成的空间几何体叫 做棱柱
棱锥:当棱柱的上面收缩为一点时，可得到棱锥； 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和 平行截面间的部分叫做棱台．
二. 棱柱、棱锥和棱台的基本性质
名 称
棱柱
棱锥
棱台
上底面
图
侧棱
顶点
侧棱
上底面
侧棱
高
解:上底面积S上=64，下底面积S下=144，
V=
1 3
h
(
S上
S下
S上S下
)＝1 （6 64＋144＋ 3
数学中棱台体积公式是什么
数学中棱台体积公式是什么
体积公式
V=[S1+4S0+S2]*H/6
=h/6×[a1×b1+a2×b2+（a1+a2）×（b1+b2）]
注：上底面积S1，下底面积S2，中截面面积S0，高H，此体积公式多一个参量S0—中截面积，它有“万能公式”的美誉。
扩展资料
正四棱一种特殊台梯形体（好比正方形于长方形），即底面与顶面均为正方形，侧面都是等腰梯形。
正四棱台
V=H/3[S1+S2+√（S1S2）]
注：S1是上底的面积，S2是下底的面积。
正四棱锥
正四棱锥是底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形且有公共顶点，顶点在底面的投影是底面的中心。
底面是正方形，顶点在地面的摄影是正方形的中心。
三角形的底边就是正方形的.边。
体积公式：1/3*底面积*棱锥的高。
以上是小编整理的四棱台和四棱锥的数学知识，希望对大家有所帮助。
8.棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【精选】人教A版高中数学必修第二册ppt课件
＝12×12V 四棱锥 E－ABCD＝4．
∴多面体的体积 V＝V 四棱锥 E－ABCD＋V 三棱锥 F－EBC＝16＋4＝20． 返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 求几何体体积的常用方法
公式法
直接代入公式求解
例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底 等积法
52－252＝25 3，
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第八章 立体几何初步
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
数学（必修·第二册RJA）
典例 2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正
三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
(D )
A．14
B．12
C．
3 6
D．
3 4
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面
数学（必修·第二册RJA）
V＝Sh―S′―＝→S V＝31(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝31Sh. (4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补 形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体 积.
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
学法指导
1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与 1．求棱柱、棱锥、棱台的表面
体积的计算公式.(逻辑推理)
积时，要充分利用侧面展开图与
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的 原几何体的关系；
表面积之间的关系.(逻辑推理)
2．求体积时，要准确把握底面
3．能利用计算公式求几何体的表面积 积和高，尤其是四面体.优先选面
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第八章 立体几何初步
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棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱、棱锥和棱台是一些常见的几何形体，它们都具有棱和面的特点。
对于这些几何形体，我们可以用体积来描述它们的大小。
下面分别介绍棱柱、棱锥和棱台的体积公式。
棱柱的体积公式：
棱柱的体积可以通过底面积与高度相乘来计算。
假设棱柱的底面积为A，高度为h，则棱柱的体积V为：
V = Ah
例如，一个正六棱柱的底面积为4平方米，高度为3米，则它的体积为：
V = 4 × 3 = 12
因此，该正六棱柱的体积为12立方米。
棱锥的体积公式：
棱锥的体积可以通过底面积与高度相乘再除以3来计算。
假设棱锥的底面积为A，高度为h，则棱锥的体积V为：
V = 1/3Ah
例如，一个正五棱锥的底面积为6平方米，高度为4米，则它的体积为：
V = 1/3 × 6 × 4 = 8
因此，该正五棱锥的体积为8立方米。
棱台的体积公式：
棱台的体积可以通过上底面积与下底面积的平均值与高度相乘
来计算。
假设棱台的上底面积为A1，下底面积为A2，高度为h，则棱台的体积V为：
V = 1/3h(A1 + A2 + √(A1A2))
例如，一个上底面积为6平方米，下底面积为4平方米，高度为3米的棱台，则它的体积为：
V = 1/3 × 3 × (6 + 4 + √(6 × 4)) = 18
因此，该棱台的体积为18立方米。
总之，对于棱柱、棱锥和棱台这些常见的几何形体，我们可以用相应的体积公式来计算它们的大小。
这些公式是在数学研究中得出的定理，可以帮助我们更好地理解这些几何形体的特点和性质。