分式方程的增根与无解的区别及联系
分式方程无解
分式方程无解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢分式方程的增根与无解例谈分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例 1 解方程．①解：方程两边都乘以，得2-4x=3．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．例 2 解方程．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3若方程无解，则m=——————．解：原方程可化为－．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a为何值时，关于x 的方程①会产生增根？解：方程两边都乘以，得2＋ax＝3整理得x＝－10②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a为何值时，关于x的方程①无解？此时还要考虑转化后的整式方程x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以，得2＋ax＝3整理得x＝－10②若原方程无解，则有两种情形：当a－1＝0时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
正确区分增根、无解、有解
当 ｋ＝ｌ时 ，得 ：０·ｘ＝１０，该 方 程 无 解 ，从 式方程 ，解 之就可得 到欲求 的待定 系数 的值．
而 原 方 程 也 无 解 ．当 原 方 程 有 增 根 时 ，原 方
二 、不 会产 生增 根
程 也 无解 ．若原 方 程 产 生增 根 ，则增 根 为 ｘ＝２
【例 ２】＂ ３－ ｋ为何值 时，关于 的方程 — ＋ 或 ｘ＝－２．
到 的整 式 方程 不但 有 解 ，而 且 它 的解 一 定 不 兰 不会产生增根？
是增 根． 【解 】同例 １，得 到 ：（１－ｋ）ｘ＝ｌＯ． 因为 方 程 有 解 ，且 这 个 解 不 是 增 根 ，所
３．当 ｋ为 何 值 时 ，关 于 的方 程 ＝ ＋１无解 ？
以 ，（１）ｋ＃ｌ；（２）ｘ＃２，目口ｋ＃－４；（３） ≠一２，虽『］ ｋ＃６．综 上所 述 ：当 ｋ＃ｌ且 ｋ＃－４且 ｋ＃６时 ，原 方程 有解 ．
增 根 ．
因 为 解 是 正 数 ，从 而 有 ＞０且 ｘ＃２．则
３．当 ｋ＝ｌ或 ｋ＝２时 ，原 方程 无解 ．
｛１ －一ｋ ＞＃ｏ５’解之得 ： ＜ｌ且ｋ＃－４．综上所述 ： ，
４．当 ｋ＃－５且 ｋ＃－３时 ，原方 程 有解．
５．当 ｋ＜２且 尼≠要时 ，原 方 程 的解 是
当Ｊｊ｝＜ １且 ｋ≠－４时 ，原 方程 的解 是 正数．
初掌习 ．策略方法／
会 产 生 增 根 ？
２；当 ｋ＝６时 ，分 式 方 程 产 生增 根 ｘ＝－２，故 当
ｋ＝Ａ－４且 ｋ＃６时 ，原方 程 不会 产 生增根．这里 需 【分 析 】分 式 方程 要 产 生 增 根 ，最 简 公 分
要 注意 的 是 ：连接 词 用 “且 ”，不能 用 “或 ”，也 母 必 须 为 零 ，即 ｘ＝２或 ｘ＝－２．因此 可 通 过 ｘ＝２
(完整版)分式方程的增根与无解详解
分式方程的增根与无解讲解2 4x 3例1解方程上 二—.①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2 .经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解.x 13 x 例2解方程2 .x 22 x解：去分母后化为 x — 1 = 3- x + 2 (2 + x ). 整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 口 = 旦 无解，则m 二——x 2 2 x解：原方程可化为方程两边都乘以 x — 2,得x — 3=— m. 解这个方程，得x=3 — m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2 ,所以2=3 — m,解得m=1 故当m=1时，原方程无解.2例4当a 为何值时，关于x 的方程 ---------x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2) 整理得(a — 1) x = — 10②若原分式方程有增根，则 x = 2或—2是方程②的根. 把x = 2或一 2代入方程②中，解得，a = — 4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：此时还要考虑转化后的整式方程(a — 1) x =— 10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2)2当a 为何值时，关于x 的方程门 axx 2 4①无解?axx 2 4①会产生增根?整理得(a—1) x = —10 ②若原方程无解，则有两种情形:（1 ）当a - 1 = 0 （即a = 1）时，方程②为Ox = - 10,此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为 =2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出 a =- 4或6.综上所述，a = 1或a =—4或a = 6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1 分析：使方程的最简公分母 （x+1）（x-1）=0 则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零须是所化整式方程的根。
分式方程的无解与增根(用)
2、无例 解的分如式方： 程就一x定-有3增根。 0；
（ ×）
X=-3
3、分式方程(若x有增3)根(，x-增1根) 代入最简公
分母中，例其值如一定：为20。=0 0X=2
（√）
x 4、使分式方程的分母等于0的未知数的值
一定是分式方程的增根。
（×）
1 4x2
2
k x2
例3：已知关于x的方程 有增根，求实数K的值。
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化 二解
目标
a是分式 方程的解
最简公分母不为０
X=a
检验 最简公分母为０
三检验
a不是分式 方程的解
a就是分式 方程的增根
例1 解方程：
2 4x 3
x2 x 4 x2 解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得
2
2(x+2)-4x=3(x-2)．
解这个方程，得x=2．
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，
所以x=２是增根，原方程无解．
所以原分式方程无解．
例2 解方程：
x -1=3-x +2 x+2 x+2
解：方程两边都乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2)
整理得 0x＝8．
因为此方程无解， 所以原分式方程无解．
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
01
分式方程的增根是在分式方 程化为整式方程的过程中， 整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。
例谈分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解一、引言分式方程是数学中常见的一类方程，它涉及到分数的运算和方程的解。
在解分式方程的过程中，我们会遇到增根和无解的情况。
本文将深入探讨分式方程的增根和无解，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二、分式方程的基本概念分式方程是一个等式，其中至少包含一个分数。
一般形式为：A(x)=C(x)B(x)其中，A(x)、B(x)和C(x)是多项式函数，B(x)≠0。
我们的目标是找到使等式成立的x的值，即方程的解。
在解分式方程时，我们需要注意以下几个概念：增根、无解和恒等式。
三、增根的定义和判定条件1. 增根的定义增根是指当x取某个值时，分式方程的解的个数增加。
也就是说，原本的方程只有有限个解，但在某些特定情况下，方程的解的个数会增加。
2. 增根的判定条件判断分式方程是否有增根，我们需要考虑以下几个条件：a) 分母的因式分解将分母进行因式分解，得到的因式中，如果存在某个因式在分子中也出现了，那么这个因式就是增根的条件之一。
b) 分子的因式分解将分子进行因式分解，得到的因式中，如果存在某个因式在分母中也出现了，那么这个因式就是增根的条件之一。
c) 方程的约束条件某些分式方程在解的过程中可能会有一些约束条件，这些条件可能导致方程的解的个数增加，也是增根的条件之一。
四、无解的定义和判定条件1. 无解的定义无解是指分式方程不存在实数解的情况。
也就是说，无论我们取什么值代入方程，都无法使等式成立。
2. 无解的判定条件判断分式方程是否无解，我们需要考虑以下几个条件：a) 分母的值为零如果方程的分母在某个取值下为零，那么这个取值就是使方程无解的条件之一。
b) 方程的约束条件某些分式方程在解的过程中可能会有一些约束条件，如果这些约束条件无法满足，那么方程就无解。
五、增根和无解的例子分析为了更好地理解增根和无解的概念，我们来看几个具体的例子。
1. 例子一考虑方程x−2x+1=1。
我们可以将其化简为x−2=x+1，得到x=−1。
增根、无解
增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②
化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值。
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整
式方程得到的解使原方程的分母等于0。
1.已知方程有增根，则增根是，此时k= 。
若方程无
解则k= 。
2. 已知方程有增根，则增根是，此时a= 。
3. 已知方程无解，则a= ；若有增根，则a= 。
4. 已知方程无解，则m= ；若有增根，则m= 。
5. 已知方程无解，则m= ；若有增根，则m= 。
6. 已知方程无解，则m= ；若有增根，则m= 。
7. 已知方程无解，则a= ；若有增根，则a= 。
本周思考题：
1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F 分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合)，且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的有
________(填上你认为正确结论的所有序号)．。
例谈分式方程的增根与无解
例谈分式方程的增根与无解
通过解分式方程组，我们可以发现，通常会出现三种情况：有解、增根、无解。
1. 有解的情况
有解的情况就是对方程组所有方程的解，可以为数值，也可以为无理数。
例如：
例1： 8x-4=4x-8
x=-2
例2：令 x=2，则有：
〔4/x－2=(x＋1)/2〕
即4/2-2=(2+1)/2，经过计算得出有解：2=-1
2. 增根的情况
增根的情况就是方程组只有由无理方程构成，但所有方程没有共同解的情形。
例如：
例1：〔3/x－2=(x＋1)/x〕
由于3/x-2和(x+1)/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为增根。
例2：〔2/x－2=(x＋1)/x〕
由于2/x-2和(x+1)/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为增根。
3. 无解的情况
无解的情况就是对方程组所有方程没有解的情形。
例如：
例1：〔3/x－2=1/x〕
由于3/x-2和1/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为无解。
例2：〔2/x＋2=1/x〕
由于2/x+2和1/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为无解。
综上所述，当解分式方程组时，通常会出现三种情况：有解、增根、无解，其中增根和无解比较常见。
针对分式方程组的计算，要正确的区分它们的解。
例谈分式方程的增根、无解和有解问题
数学学习与研究2014.18【摘要】分式方程的增根、无解和有解是分式方程中常见的三个概念,学生在学习分式方程后,常常会对这三个概念混淆不清,认为分式方程有增根就是分式方程无解或者分式方程没有增根就是分式方程有解,然而事实上并非如此.【关键词】分式方程;整式方程;增根;无解;有解分式方程有增根指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,它包含两种情形:(1)原方程化去分母后的整式方程无解;(2)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解.分式方程有解则是指存在未知数的值能使方程两边的值相等.总之,分式方程有没有增根跟分式方程有无解没有必定的关系.现举例说明:例1解方程5x -1-x +4x (x -1)+2x =0.解原分式方程两边都乘x (x -1),得整式方程5x -(x +4)+2(x -1)=0,解这个整式方程,得x =1.经检验,当x =1时,x (x -1)=0,所以x =1是原方程的增根.所以原方程无解.点评显然原分式方程中未知数x 必须满足x ≠0且x ≠1,而转化成相应整式方程中未知数x 可以取全体实数,所以当求得整式方程的解x 恰好使原分式方程的最简公分母为零时,x 的值就是原方程的增根.故本例题中,x =1是原方程的增根,原方程无解.例2(2001年重庆市)若关于x 的方程ax +1x -1-1=0有增根,则a 的值为.解原分式方程两边都乘以(x -1),得整式方程(a -1)x +2=0.因为原分式方程有增根,且增根只能是x =1,所以x =1是相应的整式方程的解,所以把x =1代入整式方程,得a=-1.所以当a =-1时原分式方程有增根.点评分式方程有增根,跟分式方程有解或无解没有必然关系,有增根只是说明分式方程转化成相应的整式方程必须有解,且存在某个(或几个)解代入分式方程的公分母等于零,即不是原分式方程的解,则成为原方程的增根.换言之,增根指的未知数的值是分式方程转化相应整式方程的解,但不是原分式方程的解.例3(2002年孝感市)当m 为何值时,关于x 的方程2x-x -m x 2-x=1+1x -1无解.解原分式方程两边乘x (x -1),得整式方程x 2-x +2-m =0.若要使原分式方程无解,有下面两种情况:①相应的整式方程无解,即x 2-x +2-m =0无解.故Δ=(-1)2-4(2-m )<0,得m <74;②相应的整式方程有解且均为原分式方程的增根时,原分式方程无解,而原分式方程的增根只能为x =0或x =1,把x =0或x =1分别代入整式方程得m =2.综上所述:当m <74或m =2时,所给方程无解.点评分式方程无解,可能有两种情况,一种是转化成的整式方程无解,则原分式方程必然无解;另一种是转化成的整式方程有解但代入分式方程不成立,即分式方程无解.换言之,分式方程无解,相应的整式方程也无解或者即使有解那也只能是增根.所以增根并不是分式方程无解的唯一原因,分式方程无解跟分式方程是否存在增根没有必然的关系.例4(2003年南昌市)已知关于x 的方程1x-m x -1=m 有解,求m 的取值范围.解原分式方程两边乘x (x -1),得整式方程mx 2-x +1=0.若要使原分式方程有解,只要相应整式方程有解且至少有一个解是原分式方程的解,即至少有一个解不是原分式方程的增根即可.①当m =0时,相应的整式方程的解为x =1,显然x =1是原分式方程的增根,即不是原分式方程的解,所以m =0应舍去.②当m ≠0时,相应的整式方程要有解,则Δ=1-4m ≥0,即m ≤14.由于原分式方程的增根只可能为x =0或x =1,当x =0时,相应的整式方程不成立;当x =1时,m =0.综上所述:当m ≤14且m ≠0时,原分式方程有解.点评分式方程有解,则转化成相应的整式方程必须有解且存在满足分式方程成立的非增根.所以分式方程有解跟分式方程是否存在增根没有必然的关系.解分式方程的一般步骤是:把方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;若未知数的值是相应整式方程的解但代入原分式方程不成立,则该值是原分式方程的增根;分式方程无解包括两种情况:一是相应的整式方程无解,二是整式方程有解但对原分式方程来说也只是增根,即分式方程无解跟是否存在增根没有必然的关系;分式方程有解则相应的整式方程必须有解,且必须存在某些根代入分式方程成立,而是否存在增根没有必然的关系.弄清分式方程的增根、无解和有解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断分式方程解的情况有一定的指导意义.例谈分式方程的增根、无解和有解问题◎李桂生(江西省赣州市赣州中学341000). All Rights Reserved.。
分式方程的增根与无解
甲：如此说来，从方程 ①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那 么，如何知道从整式方程 ②解出的未知数的值是或不是原方程 ①的解呢?乙：很简单，两个字：检验。
可以把方程 ②解出的未知数的值一一代入去分母时方程乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于 0,如果公分母为0,则说明这个值是增甲：啊？！为什么会无解呢?乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x 取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解,乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看:乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。
甲：那为什么会出现这种情况呢?甲：增根是什么?了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 根，否则就是原方程的解。
例1、解方程: 。
① 甲：那么，这个题中x = 0就是增根了，可原方程的解又是什么呢?为了去分母，方程两边乘以 gQ ，得収= J ②乙：原方程无解。
乙 可是当 so 时，原方程两边的值相等吗?又如对于方程，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。
甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。
哟！当宫-D 时，原方程有的项的分母为0，甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢? 乙：因为原来方程 ①中未知数x 的取值范围是且筈#2|,而去分母化为整式方程② 去分母后化为，解得蛊・3或疋=-1|,此时，I 翌=-1|是增根，但原方程并不后，未知数x 的取值范围扩大为全体实数。
这样，从方程②解出的未知数的值就有可 能不是方程①的解。
是无解，而是有一个解 解，但原方程也没有增根。
，而方程天，去分母后化为0 x =，原方程虽然无分式方程的增根与无解甲：原方程的解是X-CI 。
没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦?因为原方程的最简公分母是（金-1液十2）|,所以方程的增根可能是x = l|^x = -2|乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的常客”它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应解之，得x 4 m.因为原方程无解，所以x 4 m为方程的增根.又由于原方程的增根为x 3.所以考虑增根，例如:---- =m例4、已知关于x的方程K-了无解，求m的值。
分式方程的增根与无解
的值 就 是 增 根 ． 分式方 程转化 为整式方程 的变形过 程 中 ， 好使最 简公 分母 为零 时 ， 本 题 转 化 的 整 式 方 程 的解 Ｊ ￣ ｘ ＝ ２ ， 恰 好 使 公 方 程 的两 边 都 乘 了 一 个 可 能 使 分 母 为 零 所 以ｘ ＝ ２ 是原方 程的增根 ， 原 方 的整 式 ， 从 而 扩 大 了 未 知 数 的 取 值 范 围而 分 母 为 零 ，
【 点评 】 本 题 考 查 了分 式 方 程 的解 ．方 数 的 值 即 为 增 根 ， 最 后 将 增 根 代 入 转 化 得 程 的 解 即 为 能 使 方 程 左 右 两 边 相 等 的 未 到 的整 式 方 程 中 ， 求 出原 方 程 中所 含 字 母
知 数 的值 ．因为 同学 们 目前 所 学 的是 能 化 的 值 ． 为一元 一 次方程 的分式方 程 ， 而 一元一 次 方程 只有一 个根 ， 所 以如 果 这 个 根 是 原 方 程 的增 根 ，那 么 原 方 程 无 解 ． １．
２
ｘ ２ －４
增根 ．
解： 多 ｝ － 碍： 一 （ ＋ ２ ） ２ ＋ １ ６ ＝ ４ 一 ，
去括 号 得 ： 一 ２ 一 一 ４ ＋ １ ６ ＝ ４ ，
—
例３ （ ２ ０ １ ３ ・ 山 东威 海 ） 若 关 于 的 方 程
＝
＋ ２ ．
【 解析 】 去分 母 后 化 为 一 １ ＝ ３ ＋ ２ （ ２ ） ．
整 理 得 ＝ ８ ．
去 分 母 后 的整 式 方 程 有 解 ， 但这个解 却使
原 方 程 的分 母 为 ０ ，它 是 原 方 程 的增 根 ， 从
而原方程无解 ．
因为此方 程无 解 ， 所 以原 分式方 程无 解 ．
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分式方程的增根与无解的区别
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，
常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实
上并非如此．
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程
中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产
生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相
等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母
后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无
解．现举例说明如下：
例1 解方程2344222xxxx． ①
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②
解这个方程，得x=2．
经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解．
【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方
程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分
母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2
是原方程的增根，原方程无解．
例2 解方程22321xxxx．
解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．
整理得0x＝8．
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由
此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．
例3（2007湖北荆门）若方程32xx=2mx无解，则m=——————．
解：原方程可化为32xx=－2mx．
方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．
解这个方程，得x=3－m．
因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，
所以2=3－m，解得m=1．
故当m=1时，原方程无解．
【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方
程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能
因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中
的道理，此处不再举例．
例4当a为何值时，关于x的方程223242axxxx①会产生增根？
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）
整理得（a－1）x＝－10 ②
若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．
把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．
【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知
数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．
若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：
当a为何值时，关于x的方程223242axxxx①无解？
此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）
整理得（a－1）x＝－10 ②
若原方程无解，则有两种情形：
（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有
增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．
综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．
结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确
性,对判断方程解的情况有一定的指导意义．