2022年九年级中考数学复习专题十几何动态探究题

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中考数学专题复习：动态几何综合题【简要分析】函数是中学数学的一个重要概念.加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考查是近年中考试题的一个显著特点.大址涌现的动态儿何问题，即建立儿何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现.这类题H 的三乱扣帽子解法是抓住变化中的“不变”・以“不变” 应“万变”.同时，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆幕定理、面积关系，借助议程为个桥梁，从而得到函数关系式，问题且有一定的实际意义，因此，对函数解析式屮自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件.【典型考题例析】例1：如图2-4-37,在直角坐标系中,0是原点,A 、B 、C 三点的坐标分别为 A (18, 0) s B (18, 6)、C (8, 6),四边形 OABC 是梯形•点P 、Q 同时从原点出发，分別作匀速运动，英屮点P 沿 OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点 B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.(1) 求出直线OC 的解析式.(2) 设从出发起运动了『秒，如果点Q 的速度为每秒2个单位，写出此时/的取值范围.(3) 设从出发起运动了/秒，当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出r 的值；如不可能，请说明理由.分析与解答(1)设OC 的解析式为y = kx.将C (8, 6)代入，得• 3 …y = —x• ・ 4(2)当Q 在0C 上运动时,设, 4 依题意有 m 2 + (― m)2 =⑵尸,ni = —t. 45fe2(-r,-r)(0<r<5). 当Q 在CB 上运动时，Q 点所走过的路程为2,.TCO 二 10, A CQ = 2t-\0. ・・・Q 点的横坐标为2r-10+8 = lr-2 .・•・()(2r-2,6)(5<r<10).(3)易得梯形的周长为44.①如图2-4-38,当Q 点在0C 上时，P 运动的路程为/,则*yo P —— A x 图2437 试写出点Q 的坐标，并 y图2438Q 运动的路程为(22-/).过 Q 作 QM 丄0A 于 \1,则 0W =(22-r)x-・51 3 1 S QQ =才(22-r)x&, S 四边形=—(18 + 10)x6 = 84 ・假设存在/值，使得P 、Q 两点同时平分梯形的周长和面积，1 Q 1则 <-/(22 = r)x- = 84x-,即尸 _ 22f +140 = 0. 2 5 2V A = 222-4X 140<0,二这样的/不存在.②如图2-4-39,当Q 点在BC 上时,Q 走过的路程为(22-r), 故 CQ 的长为：227 — 10 = 127. • • S 梯形理“ =—(CQ + OP). AB = —x(12 — z + /)x6 — 36 工84x —, 2 2 2・・・这样的/也不存在.综上所述，不存在这样的7值，使得P 、Q 两点同吋平分梯形的周长和面积.例 2：如图 2-5-40,在 RtAPMN 中，ZP=90°, PM=PN, MN 二8 cm,矩形 ABCD 的长和宽分别为8 cm 和2 cm, C 点和M 点重合，BC 和跟在一条直线上.令RtAPMN 不动，矩形ABCD 沿 MN 所在直线向右以每秒1 cm 的速度移动(图2-4-41),直到C 点与7点重合为止.设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重卷部分的面积为ycml 求y 与兀Z 间的函数关系式.图 2440 图2441分析与解答在 RtAPMN 中，・.・PM 二PN, ZP 二90°, A ZPMN=ZPNM=45°. 延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H.过G 作GF 丄跟于F,过H 作HT 丄MN 于T （图2-4-42）・VDC=2 cm. AMF=GF=2 cm,VMT=6 cm.因此矩形ABCD 以每秒1 cm 的速度由开始向右移动到停止，和RtAPMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况：(1) 当C 点由M 点运动到F 点的过程中(0W/W2) 交于点E,则重叠部分图形是RtAMCE,且MC=EC=x.1 1 . ・•. y = -MCJEC = -x 2(0<x<2). -2 2(2) 当C 点由F 点运动到T 点的过程中(2< x<6), 如图2-4-43所示，重壳部分图形是直角梯形MCDG.如图2-4-42所示，设CD 与PM 图2・T MC = x,MF = 2 , .I FC 二DG 二 x 一2，且 DC 二2 •图2-4-43图2-4-44(3) 当C 点由T 点运动到N 点的过程中(6<x<8), 如图2444所示，设CD 与PN 交于点Q,则重叠部分图形是五边形MCQHG ・V MC = x, :. CN=CQ=8- x ,且 DC 二2.・・.y = L (MN + GHy^DC 一+CN9Q = -^(x-8)2 + 12(6<x<8).说明：此题是一个图形运动问题，解答方法是将各个吋刻的图形分别画山，将图形则“动” 这“静”，再设法分别求解.这种分类画图的方法在解动态儿何题中非常有效，它可帮我们理清思路，各个击破.【提高训练】ZDAB=60°, AB=5, BC=3,鼎足之势P 从起点D 出发,设点P 所走过的路程为兀，点P 所以过的线段与绝无仅有反映y 与兀的函数关系的是( )2. 如图2-4-47,四边形AOBC 为直角梯形，OC=V5 , OB=%AC, 0C 所在直线方程为y = 2兀，平行于OC 的直线/为:y = 2x + /,I 是由A 点平移到B 点时，/与直角梯形AOBC 两边所转成的三角形的面积记为S. (1)求点C 的坐标.(2)求r 的取值范围.(3)求出S 与/之间的函数关系式.1.如图 2-4-45,在口 ABCD 中, 沿DC 、CB 向终点B 匀速运动.AD 、AP 所围成图形的面积为y,y 随x 的函数关系的变化而变化. 在图2-4-46中，能正确二丄(MC + GD))DC = 2x 一 2(() <x<6) 23. 如图2-4-48,在厶ABC 屮，ZB 二90°,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度移动.(1)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，儿秒后△PBQ 的而积等于8 cm 2? (2)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 到达点B 后又继续沿BC 边向点C 移动，点Q 到达点C 后又继续沿CA 边向点A 移动，在这一整个移动过程中，是否存在点P 、Q ，使APBa 的面积等于9 cm 2?若存在，试确定P 、Q 的位置；若不存在，请说明理由.4. 如图 2-4-49,在梯形 ABCD 中,AB=BC=10cm, CD=6 cm, ZC=ZD=90°.(1) 如图2-4-50,动点P 、Q 同时以每秒lcm 的速度从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止.设P 、Q 同时从点B 出发f 秒时，APBO 的面积为牙(cm 2),求x (cm 2)关于/(秒)的函数关系式.(2) 如图2-4-51,动点P 以每秒lcm 的速度从点B 出发沿BA 运动，点E 在线段CD 上随之运动，且POPE.设点P 从点B 出发f 秒时，四边形PADE 的而积为儿(cm 2).求(cm 2) 关于/ (秒)的函数关系式，并写出自变量f 的取值范围.【答案】1. A2. (1) C (1, 2)(2) —10WfW2(3) S 与f 的函数关系式为S 二丄尸+『+ 5(-10" 5 0)或S=b2_f + i (o 「s2) 20 43. (1) 2秒或4秒(2)存在点P 、Q,使得APBO 的而积等于9 cm 2,有两种情况：① 点P 在AB 边上距离八为3 cm,点Q 在BC 边上距离点B 为6 cm;② 点P 在BC 边上，距B 点3 cm 时，此时Q 点就是A 点SI 2-4-51图2-4-4802-4-494.(1)当点P在BA上运动时，y}=—t2;1 10当点P在AD上运动时，必=30；当点P在DC上运动时，y, =-/+90(2) y2 = S梯形ABCD 一S MPC一S、PEC ——~-9『+ 90 >自变量/ 的取值氾围是0W Z W5.。

2022年中考数学专题复习：旋转几何探究问题

2022年中考数学专题复习：旋转几何探究问题1．如图1，在平面直角坐标系中，点(),0A a 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，设AB b =，且2240b a -=．（1）直接写出BAO ∠的度数．（2）如图2，点D 为AB 的中点，点P 为y 轴负半轴上一点，以AP 为边作等边三角形APQ ，连接DQ 并延长交x 轴于点M ，若6AB =，求点M 的坐标．（3）如图3，点C 与点A 关于y 轴对称，点E 为OC 的中点，连接BE ，过点B 作CBF AEB ∠=∠，且BF BE =，连接AF 交BC 于点P ，求BPCP的值．2．在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ．（1）如图1，过点C 作CD △BD 交AB 于M ，若BM ＝2，tan△DCB ＝13．求DM 的长；（2）如图2，若AD △AE ，且AD ＝AE ，延长AD 、CB 交于点F ，作EG △EA 交CB 于点G ．猜想FD 、CE 、EG 之间有何数量关系？并证明你的结论．（3）如图3，若AB ＝D 为一动点且始终有BD △CD ，取CD 的中点M ，连接BM ，将MB 绕点B 逆时针旋转90°得到点E ，直接写出△ABE 面积的最大值．3．已知，在△ABC 中，AB=AC ，（1）如图1，2,,ABC BDA αα∠=∠=若30α=︒，且点D 在CA 的延长线上时，求证：222CD BD AD =+；（2）如图2，2,,ABC BDA αα∠=∠=若30α=︒，试判断AD ，BD ，CD 之间的等量关系，并说明理由（3）如图3，若45,BDA ABC AD ∠=∠=︒=BD =5，求CD 的长．4．在等腰ABC 中，AC BC =，P 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接P A ，以点P 为旋转中心顺时针旋转线段P A ，旋转角与C ∠相等，得到线段PD ．连接DB ．（1）当90C ∠=︒时，请你在图1中补全图形，并直接写出DBA ∠的度数；（2）如图2，若C α∠=，求DBA ∠的度数（用含α的代数式表示）．5．（1）问题背景：如图1，正方形ABCD 中，F 在直线CD 上，E 在直线BC 上．若△EAF ＝45°，求证：BE ＋FD ＝EF ；（2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD 的一部分沿GH 翻折，使A 点的对应点E 在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长；（3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，△FQA＝△FEA．若△CFQ＝34°，则△QAD＝_______°．6．（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF 绕点A顺时针旋转90°与ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），△GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，△ADC+△B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且△BAD＝2△EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，△ABC＝90°，AC平分△DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且△DAB＝△DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）7．如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，△AOB＝△COD＝，AC、BD交于M（1）如图1，当α＝90°时，△AMD的度数为°；（2）如图2，当α＝60°时，求△AMD的度数；（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，△AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示△AMD，不用证明；若不确定，说明理由．8．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，△B+△ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，△EAF=1△BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数2量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由△B+△ADC=180°，得△FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG△△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，△EAF=1△BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并2给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且△DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a，0)，B(0，b)，C（-a，0）b2-4b+4=0．(1)求证：△ABC=90°；(2)△ABO的平分线交x轴于点D，求D点的坐标．(3)如图，在线段AB上有两动点M、N满足△MON=45°，求证：BM2+AN2=MN2．10．如图1，在Rt△ABC中，△ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD△MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE△BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．11．如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE，△A=60°．（1）写出图中一对全等三角形：____________________．（2）求证：△BEF是等边三角形；（3）若菱形ABCD的边长为2，设△DEF的周长为m，则m的取值范围为（直接写出答案）；（4）连接AC分别与边BE、BF交于点M、N,且△CBF＝15º，试说明：222MN CN AM+=12．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，BC =AD 可绕点A 旋转，AD(1)在旋转过程中，△当A 、D 、B 三点在同一直线上时，求BD 的长；△当A 、D 、B 三点为同一直角三角形的顶点时，求BD 的长．(2)若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处，如图2，此时△AD 2C ＝135°，CD 2＝1，求BD 2的长；(3)如图3，若连接（2）中的D 1D 2，将（2）中△AD 1D 2的形状和大小保持不变，把△AD 1D 2绕点A 在平面内自由旋转，分别取D 1D 2、CD 2、BC 的中点M 、P 、N ，连接MP 、PN 、NM ，M 随着△AD 1D 2绕点A 在平面内自由旋转，△MPN 的面积是否发生变化，若不变，请直接写出△MPN 的面积；若变化，△MPN 的面积是否存在最大与最小？若存在，请直接写出△MPN 面积的最大值与最小值．13．已知正方形ABCD ，将线段BA 绕点B 旋转α（090α︒<<︒），得到线段BE ，连接EA ，EC ．(1)如图1，当点E 在正方形ABCD 的内部时，若BE 平分△ABC ，AB =4，则△AEC =______°，四边形ABCE 的面积为______； (2)当点E 在正方形ABCD 的外部时，△在图2中依题意补全图形，并求△AEC 的度数；△作△EBC 的平分线BF 交EC 于点G ，交EA 的延长线于点F ，连接CF ．用等式表示线段AE ，FB ，FC 之间的数量关系，并证明．14．在△ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．(1)如图1，当60α=︒时，填空：△线段P A 与DC 的数量关系是______；△△DCP 的度数是______；(2)如图2，当120α=︒时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，不成立，说明理由．(3)当120α=︒时，若6AB =，BP =D 到CP 的距离．15．在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在边BC 上，13BD BC = 将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为α，连接BE ，CE ，以CE 为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF ，连接AF ．(1)如图 1，当α＝180°时，请直接写出线段AF 与线段BE 的数量关系； (2)当0°＜α＜180°时，△如图2，（1）中线段AF 与线段BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； △如图3，当B ，E ，F 三点共线时，连接AE ，判断四边形AECF 的形状，并说明理由．16．问题探究：(1)如图1，△ABC、△ADE均为等边三角形，连接BD、CE，则线段BD与CE的数量关系是______．(2)如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，△ACB＝△AED＝90°，△ABC＝△ADE＝30°，连接BD、CE，试确定BD与CE的数量关系，并说明理由．(3)如图3，在四边形ABCD中，AC△BC，且AC＝BC，CD＝4，若将线段DA绕点D 按逆时针方向旋转90°得到DA'，连接BA'，则线段BA'的长度是______．17．综合与实践如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，将△OBC绕点C顺时针旋转，点B对应点为点E，点O对应点为点F．(1)当点E落在CD的延长线上时，请解答以下两个问题△如图1，若AB＝2a，BC＝2，连接OE，则2OE ______（用含a的代数式表示）；△如图2，延长BD交EF于点G，试猜想BG与EF的位置关系并加以证明；(2)如图3，在图1的基础上继续绕点C旋转△OBC，点B对应点为点E，点O对应点为点F，当点E落在BD的延长线上时，已知△ACE＝90°，求证：四边形CDEF是菱形．18．如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G．(1)连接DF，求证：△BDF是等边三角形；(2)求证：D、F、E三点共线；的值．(3)当BG＝2EG时，求tan AEB19．如图1，在等边△ABC中，AB=2，过点C作CE△AB，垂足为E，P为CE上任意一点（点P与点C不重合），把AP绕点A顺时针旋转60°，点P的对应点为点D，分别连接BD、PD、ED．(1)求证：BD=CP；(2)当点P与点E重合时，请你按照题干要求，在图2中作出图形，并延长CE交BD 于点F，求出BF的长；(3)直接写出线段DE长度的最小值．20．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．(1)请判断△AEF的形状；(2)求证：2PA PG PF=•(3)如图2，当点E是边CD的中点时，PE=1，求AG的长．。

九年级中考数学几何动点问题专项训练(含答案)

九年级中考数学几何动点问题专项训练1如图，已知△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.如果点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.连接PQ ，设运动的时间为t (单位：s)(0≤t ≤4)．第1题图(1)当t 为何值时，PQ ∥BC ；(2)设△AQP 的面积为S (单位：cm 2)，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；(3)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知BP ＝2t ，AP ＝10－2t ，AQ ＝2t ，∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴＝，AP AB AQ AC即＝，解得t ＝，10－2t 102t 8209即当t 为 s 时，PQ ∥BC ；209(2)∵AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠C ＝90°，如解图，过点P 作PD ⊥AC 于点D，第1题解图则PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC ，∴＝，AP AB PD BC∴＝，10－2t 10PD 6∴PD ＝(10－2t )，35∴S ＝AQ ·PD ＝ ·2t ·(10－2t )＝－t 2＋6t ＝－(t －)2＋7.5，121235656552∵－<0，抛物线开口向下，有最大值，65∴当t ＝秒时，S 有最大值，最大值是7.5 cm 2；52(3)不存在．理由如下：假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则S △AQP ＝S △ABC ，12即－t 2＋6t ＝××8×6，651212整理得t 2－5t ＋10＝0，∵b 2－4ac ＝(－5)2－4×10＝－15<0，∴此方程无解，即不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 匀速运动，到达B 点即停止运动．M ，N 分别是AD ，CD 的中点，连接MN .设点D 运动的时间为t .(1)判断MN 与AC 的位置关系；(2)求在点D 由点A 向点B 匀速运动的过程中，线段MN 所扫过区域的面积；(3)若△DMN 是等腰三角形，求t的值．第2题图解：(1)MN ∥AC .证明：在△ADC 中，M 是AD 的中点，N 是DC 的中点，∴MN ∥AC ；(2)如解图①，分别取△ABC 三边中点E ，F ，G 并连接EG ，FG ，第2题解图①根据题意，可知线段MN 扫过区域的面积就是▱AFGE 的面积．∵AC ＝6，BC ＝8，∴AE ＝3，GC ＝4，∵∠ACB ＝90°，∴S ▱AFGE ＝AE ·GC ＝12，∴线段MN 扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MD ＝AD ，DN ＝DC ，MN ＝AC ＝3.121212分三种情况讨论：(ⅰ)当MD ＝MN ＝3时，△DMN 为等腰三角形，此时AD ＝AC ＝6，∴t ＝6.(ⅱ)当MD ＝DN 时，AD ＝DC .如解图②，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，则AH ＝AC ＝3，12第2题解图②∵cos A ＝＝，AB ＝10，AH AD AC AB即＝.3AD 610∴t ＝AD ＝5.(ⅲ)当DN ＝MN ＝3时，AC ＝DC ，如解图③，连接MC ，则CM ⊥AD.第2题解图③∵cos A ＝＝，即＝，AM AC AC AB AM 6610∴AM ＝，185∴t ＝AD ＝2AM ＝.365综上所述，当t ＝5或6或时，△DMN 为等腰三角形．3653.如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A 出发，沿△AED 的边按照A →E →D →A 的顺序运动一周．设点P 从点A 出发经x (x >0)秒后，△ABP 的面积是y .(1)若AB ＝8厘米，BE ＝6厘米，当点P 在线段AE 上时，求y 关于x 的函数表达式；(2)已知点E 是BC 的中点，当点P 在线段ED 上时，y ＝x ；当点P 在线段AD 125上时，y ＝32－4x .求y 关于x的函数表达式．第3题图解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE ＝90°，又∵AB ＝8，BE ＝6，∴AE ＝＝＝10，22BE AB +2268+如解图①，过点B 作BH ⊥AE 于点H，第3题解图①∵S △ABE ＝AE ·BH ＝AB ·BE ，1212∴BH ＝，245又∵AP ＝2x ，∴y ＝AP ·BH ＝x (0<x ≤5)；12245(2) ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC , AD ＝BC ，∵E 为BC 中点，∴BE ＝EC ，∴△ABE ≌△DCE (SAS)，∴AE ＝DE ，∵y ＝x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)，125当点P 运动至点D 时，可联立得，，{y ＝125x y ＝32－4x )解得x ＝5，∴AE ＋ED ＝2x ＝10，∴AE ＝ED ＝5，当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0，∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8，∴AE ＋DE ＋AD ＝16，∴AD ＝BC ＝6，∴BE ＝3，在Rt △ABE 中，AB ＝＝4，22-BE AE 如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝，125第3题解图②∴y ＝x (0<x ≤2.5)，125∴y ＝.{125x （0<x ≤5）32－4x （5≤x ≤8）)4.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G .(1)求证：△CDE ≌△CBF ；(2)当DE ＝时，求CG 的长；12(3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．第4题图(1)证明：如解图，在正方形ABCD 中，DC ＝BC ，∠D ＝ ∠CBA ＝ ∠CBF ＝ ∠DCB ＝ 90°，第4题解图∴∠1＋∠2＝ 90°，∵CF ⊥CE ，∴∠2＋∠3＝ 90°，∴∠1＝ ∠3，在△CDE 和△CBF 中，，{∠D ＝ ∠CBFDC ＝BC ∠1＝ ∠3)∴△CDE ≌△CBF (ASA);(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△GBF ∽△EAF ，∴＝，BG AE BF AF由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴BF ＝ DE ＝，12∵正方形的边长为1，∴AF ＝AB ＋BF ＝，32AE ＝AD －DE ＝，12∴＝，BG 121232∴BG ＝，16∴CG ＝BC －BG ＝；56(3)解：不能．理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ，∴AD －AE ＝BC －CG ，∴DE ＝BG ，由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴DE ＝BF ，CE ＝CF ，∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形，∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°，∴∠CFA ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°，此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符，∴点E 在运动过程中，四边形CEAG 不能是平行四边形．5. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB .14(1)求证：EF ⊥AG ；(2)若点F ，G 分别在射线AB ，BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立(只写结果，不需说明理由)?(3)正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB 时，求△PAB周长的最小值．第5题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ＝BC ，∠EAF ＝∠ABG ＝90°，∵点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB ，14∴＝，＝，AE AB 12AF BG 12∴＝，AE AB AF BG又∵∠EAF ＝∠ABC ＝90°，∴△AEF ∽△BAG ，∴∠AEF ＝∠BAG ，又∵∠BAG ＋∠EAO ＝90°，∴∠AEF ＋∠EAO ＝90°，∴∠EOA ＝90°，即EF ⊥AG ；(2)解：EF ⊥AG 仍然成立；(3)解：如解图，过点O 作MN ∥AB 分别交AD 、BC 于点M ，N ，连接PA，第5题解图∵P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB ，∴点P 在线段MN 上(不含端点)，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接BA ′交MN 于点P ，此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝BA ′最小，即△PAB 的周长最小．∵正方形ABCD 的边长为4，∴AE ＝AD ＝2，AF ＝AB ＝1，1214∴EF ＝＝，22AF AE 5OA ＝＝，AE ·AF EF 255∵∠AMO ＝∠EOA ，∠EAO ＝∠EAO ，∴△EOA ∽△OMA ，∴＝，AEOA OA AM ∴OA 2＝AM ·AE ，∴AM ＝＝，AE OA 225∴A ′A ＝2AM ＝，45∴BA ′＝＝，22'AB A A 4265故△PAB 周长的最小值为4＋.42656.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝4cm.点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 运动．过点P 作PQ ⊥AB 交折线ACB 于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ .设正方形DEFQ 与△ABC 重叠部分图形的面积是y (cm 2)，点P 的运动时间为x (s)．(1)当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值；(2)当0<x <2时，求y 关于x 的函数解析式；(3)直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．第6题图解：(1)如解图①，延长FE 交AB 于点G ，由题意，得AP ＝2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ ＝DP ＝x ，∵四边形DEFQ 为正方形，∴DQ ＝DE ＝GP ＝x ，∵FG ⊥AB ，∠B ＝45°，∴△FGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝FG ＝PQ ＝2x ，∴AP ＋PG ＋BG ＝AB ，即2x ＋x ＋2x ＝4，∴x ＝，45第6题解图①(2)当0<x ≤时，y ＝S 正方形DEFQ ＝DQ 2＝x 2，45∴y ＝x 2，(0＜x ≤)45如解图②，当<x ≤1时，设BC 交QF 于点M ，BC 交EF 于点N ，过点C 作CH 45⊥AB 于点H ，交FQ 于点K ，则CH ＝2，∵PQ ＝AP ＝2x ，∴CK ＝2－2x ，∴MQ ＝2CK ＝4－4x ，∴FM ＝x －(4－4x )＝5x －4，∴y ＝S 正方形DEFQ －S △MNF ＝DQ 2－FM 2，12∴y ＝x 2－(5x －4)2＝－x 2＋20x －8，12232∴y ＝－x 2＋20x －8 (＜x ≤1) ，23245第6题解图②如解图③，当1<x <2时，PQ ＝PB ＝4－2x ，∴DQ ＝2－x ，∴y ＝S △DEQ ＝DQ 2，12∴y ＝(x －2)2，12∴y ＝x 2－2x ＋2(1＜x ＜2)，12第6题解图③(3)1<x <.32【解法提示】当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，2x ＝2，∴x ＝1；当Q 为BC的中点时，BQ ＝，PB ＝1，∴AP ＝3，∴2x ＝3，∴x ＝，∴x 的取值范围是2321<x <.327.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两34点，点P 、Q 同时从点A 出发，运动时间为t 秒．其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q 为圆心，PQ 为半径作⊙Q .(1)求证：直线AB 是⊙Q 的切线；(2)过点A 左侧x 轴上的任意一点C (m ，0)，作直线AB 的垂线CM ，垂足为点M ，若CM 与⊙Q 相切于点D ，求m 与t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，是否存在点C ，直线AB 、CM 、y 轴与⊙Q 同时相切，若存在，请直接写出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图(1)证明：如解图，连接QP ，∵y ＝－x ＋3交坐标轴于A ，B 两点，34∴A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，AB ＝＝5，22OB OA ∵AQ ＝5t ，AP ＝4t ，在△APQ 与△AOB 中，＝＝t ，＝＝t ，AQ AB 5t 5AP AO 4t 4∴＝，AQ AB AP AO又∵∠PAQ ＝∠OAB ，∴△APQ ∽△AOB ，∴∠APQ ＝∠AOB ＝90°，又∵PQ 为⊙Q的半径，∴AB 为⊙Q 的切线；第7题解图①(2)解：①当直线CM 在⊙Q 的左侧与⊙Q 相切时，如解图①，连接DQ ，∵AP ⊥QP ，AP ＝4t ，AQ ＝5t ，∴PQ ＝3t ，∴易得四边形DQPM 为正方形，∴MP ＝DQ ＝QP ＝3t ，∴cos ∠BAO ＝＝＝，MA AC PA QA 45又∵MA ＝MP ＋PA ＝3t ＋4t ＝7t ，AC ＝AO －CO ＝4－m ，∴＝，∴m ＝＝－t ＋4；7t 4－m 4516－35t 4354②当直线CM 在⊙Q 的右侧与⊙O 相切时，如解图②，连接DQ ，PQ ，由①易得MA ＝PA －PM ＝4t －3t ＝t，第7题解图②AC ＝4－m ，∴＝，t 4－m 45∴m ＝－t ＋4；54综上所述，m 与t 的函数关系式为m ＝－t ＋4或m ＝－t ＋4；35454(3)解：存在，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．3827827232【解法提示】①如解图③，当⊙Q 在y 轴的右侧与y 轴相切，∴OQ ＝QP ＝3t ，∴OA ＝OQ ＋QA ＝3t ＋5t ＝8t ＝4，∴t ＝，12第1题解图③则m ＝－t ＋4＝－，35438∴C 1(－，0)；38m ＝－t ＋4＝，54278∴C 2(，0)；278②如解图④，当⊙Q 在y 轴的左侧与y 轴相切，OA ＝AQ －OQ ＝5t －3t ＝2t ＝4，∴t ＝2，第7题解图④则m ＝－t ＋4＝－，354272∴C 3(－，0)；272m ＝－t ＋4＝，5432∴C 4(，0)．32综上所述，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．38278272328.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝8，∠BAD ＝60°.点E 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．当点E 不与点A 重合时，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，作EG ∥AD 交AC 于点G ，过点G 作GH ⊥AD 交AD (或AD 的延长线)于点H ，得到矩形EFHG .设点E 运动的时间为t 秒．(1)求线段EF 的长(用含t 的代数式表示)；(2)求点H 与点D 重合时t 的值；(3)设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式．第8题图解：(1)由题意可知AE ＝2t ，0≤t ≤4，∵EF ⊥AD ，∠BAD ＝60°，∴sin ∠BAD ＝＝，EF AE 32∴EF ＝AE ＝t ；323(2)如解图①，∵点H 与点D 重合，菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BA ＝30°，AD 12＝AB ＝8，∴在Rt △ADG 中，DG ＝AD ·tan30°＝8×＝，33833∴在矩形FEGD 中，EF ＝DG ＝，833由(1)知EF ＝＝t ，8333∴t ＝；83第8题解图①(3)①当0<t ≤时，点H 在AD 上，83∵AE ＝2t ，∠BAD ＝60°，∠DAC ＝30°，∴EF ＝t ，AH ＝HG ＝EF ＝3t ，AF ＝t ，333∴FH ＝AH －AF ＝2t ，∴S ＝EF ·FH ＝t ·2t ＝2t 2；33②如解图②，当<t ≤4时，点H 在AD 的延长线上，83设GH 与CD 交于点M ，由(2)知∠DAC ＝30°，∴在菱形ABCD 中，∠BAC ＝30°，∵EG ∥AD ，∴∠AGE ＝∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝∠AGE ，∴AE ＝EG ，∵AE ＝2t ，EF ＝t ，∠BAD ＝60°，3∴在Rt △AFE 中，AF ＝AE ·cos60°＝2t ×＝t ，12∴DF ＝8－t ，∵AE ＝EG ＝FH ＝2t ，∴DH ＝2t －(8－t )＝3t －8，∵AB ∥CD ，∴∠HDM ＝∠BAD ＝60°，∴在Rt △DHM 中，HM ＝DH ·tan60°＝(3t －8)，3则DH ＝3t －8，HM ＝(3t －8)，3第8题解图②∴S ＝S 矩形HGEF －S △DHM ＝EF ·FH －DH ·HM ＝2t 2－(3t －8)·(3t －8)123123＝2t 2－(9t 2－48t ＋64)332＝2t 2－t 2＋24t －32393233＝－t 2＋24t －32，53233∴S 与t 之间的函数关系为S＝⎧<≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩2280383(4).3t t。

2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题(含答案)

2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题1．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于点，与轴相交于点，点的横坐标为-2.（1）求的值；（2）直接写出当且时，的取值范围；（3）设点是直线AB 上的一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点 .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标.k x12y x =-+2(0)k y x x=<B x A B k 0x <12y y <x M M //MN x 2(0)k y x x=<N M3．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （，1）在反比例函数y ＝的图象上．（1）求反比例函数y ＝的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点P ，使得S △AOP ＝S △AOB ，若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，简述你的理由．4．如图，点，在轴上，以为边的正方形在轴上方，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到 .（1）求反比例函数的表达式；（2）若点落在轴上，求线段的长及点的坐标.k x k x12A B x AB ABCD x C (14)，(0)k y k x=≠CD E F AD DEF EF GEF (0)k y k x=≠G y OG F5．如图，已知反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点A （4，2），过A 作AC ⊥y 轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ．（1）求k 的值；（2）连接CD ，求△ACD 的面积；（3）若BD ＝3OC ，求四边形ACED 的面积．6．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．k x(4)A n ，8(0)y x x=>n OA 8(0)y x x =>O 45︒y M OM OA O 45︒8(0)y x x=>B B7．已知：反比例函数的图像过点A （，），B （，）且（1）求m 的值；（2）点C 在x 轴上，且，求C 点的坐标；（3）点Q 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的右侧，设直线QA ，QB 与y 轴分别交于点E 、D ，试判断DE 的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度.8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；（1）m= ；（2）已知，过点、D 点作直线交双曲线于E 点，连接OB ，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b 的取值范围．m y x =1x 121m --2x 45m-120x x +=16ABC s ∆=()22A ，()1B m ，()0k y x x=>0b >()40C b -，()0b ，()0k y x x=>9．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）点M 为y 轴正半轴上一点，若△MBO 的面积等于△ODE 的面积，求点M 的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ，D ，E ，N 四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M的坐标．m y x=1y x =+()0m y x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．（1）求和的值；（2）当点在线段上时，如果，求的值；（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．12．如图，等边和等边的一边都在x 轴上，双曲线经过的中点C 和的中点D ．已知等边的边长为4．（1）求k 的值；（2）求等边的边长；（3）将等边绕点A 任意旋转，得到等边，P 是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．xOy 34l y x b =+：x y A B x k H y =：922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x m =H E D k b E AB ED BO =m C y BCDE C OAB AEF ()0k y k x=>OB AE OAB AEF AEF AE F '' E F ''BP BP13．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝的图象上的两个动点，过A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y ＝－的图象于点C 、D ，四边形ACBD 是平行四边形. （1）若点A 的横坐标为－4.①直接写出线段AC 的长度；②求出点B 的坐标；（2）当点A 、B 不断运动时，下列关于□ACBD 的结论：①□ACBD 可能是矩形；②□ACBD 可能是菱形；③□ACBD 可能是正方形；④□ACBD 的周长始终不变；⑤□ACBD 的面积始终不变.其中所有正确结论的序号是 .8x2x14．在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点与点Q ．（1）求点Q 的坐标；（2）若存在点，使得，求c 的值；（3）过点平行于x 轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数、反比例函数数的图象相交于点、点，当时，请直接写出a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限相交于点C ，且点B 是AC 的中点xOy ()1110y k x k =≠()2220k y k x=≠(11)P ，(0)C c ，2PQC S = (0)M a ，()1110y k x k =≠()2220k y k x =≠()11A x y ，()22B x y ，1252x x +≤kx（1）如图1，求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG 的顶点E 在直线AB 上，顶点F 在点C 右侧的反比例函数y=（k≠0）图象上，顶点H ，G 在x 轴上，且EF=4．①求点F 的坐标；②若点M 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F 的左侧，连结MG ，并在MG 左侧作正方形GMNP ．当顶点N 或顶点P 恰好落在直线AB 上，直接写出对应的点M 的横坐标．16．如图，动点P 在函数y （x ＞0）的图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数y 的图象于点A 、B ，连接AB 、OA 、OB ．设点P 横坐标为a ．（1）直接写出点P 、A 、B 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）点P 在运动的过程中，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q （，1），且点Q 始终在△PAB 的内部（不包含边），求a 的取值范围．k xk x 3x =1x =-1317．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；（3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．18．如图1所示，已知图象上一点轴于点，点，动点是轴正半轴点上方的点，动点在射线AP 上，过点作AB 的垂线，交射线AP 于点，交直线MN 于点，连结AQ ，取AQ 的中点 . m x6(0)y x x=>P PA x ⊥，(0)A a ，(0)(0)B b b >，M y B N B D Q C（1）如图2，连结BP ，求的面积；（2）当点在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为 .①求此时点Q ，P 的坐标；②此时在y 轴上找到一点E ，求使|EQ-EP|最大时的点E 的坐标.19．已知反比例函数y=的图象经过点A （6，1）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A 的左侧取点C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，过点C 作y 轴的垂线CE ，垂足为点E ，交直线AH 于点D ．①过点A 、点C 分别作y 轴、x 轴的垂线，两条垂线相交于点B ，求证：O 、B 、D 三点共线；②若AC=2CO ，求证：∠OCE=3∠CDO ．PAB Q k xk x20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y 轴交于点C ．（1），；（2）过点A 作轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E ，当时，求点P 的坐标．（3）点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M 的坐标．21．如图1，将函数的图象T 1向左平移4个单位得到函数的图象T 2，T 2与y 轴交于点．（1）若，求k 的值（2）如图2，B 为x 轴正半轴上一点，以AB 为边，向上作正方形ABCD ，若D 、C 恰好落在T 1上，线段BC 与T 2相交于点E①求正方形ABCD 的面积；②直接写出点E 的坐标．114y k x =+22k y x=()2A m ，()62B --，1k =2k =AD x ⊥OP AD Δ41ODE ODAC S S =四边形：：ABMN ()0k y x x =>()44k y x x =>-+()0A a ，3a =22．如图1，直线的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点D 是线段AB 上一点，过D 点分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别是C 、E ，矩形OCDE 的面积为4，且．（1）求D 点坐标；（2）将矩形OCDE 以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ ，记平移时间为t 秒．①如图2，当矩形MNPQ 的面积被直线AB 平分时，求t 的值；②如图3，当矩形MNPQ 的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T 、K ，若直线TK 把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t 的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，26y x =-+CD DE >12y x=()40A -，()04B ，AB ()0k y k x=≠()6C a ，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x 轴上是否存在一点D ，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”，为“麒麟边”，为“麒麟角”，其中A ，B 两点在反比例函数图象上，且A 点横坐标为，点C 坐标为，当为直角三角形时，求n 的值．24．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足 +（a +b +3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝经过C 、D 两点．（1）a ＝，b ＝；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线y ＝上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若()6E m ，()0k y k x=≠CE AE ，ACD ACE ABC AB BAC ∠n y x=1-()02，ABC k x k xMN HT不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．在平面直角坐标系中，已知点，点.（1）若将沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；（2）若绕点按逆时针方向旋转度.①当时，点恰好落在反比例函数图象上，求的值；②问点能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出的值；若不能，请说明理由.26．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线xOy ()A -()60B -，OAB x m A y =m OAB O α()0α180<<α30= B k y x=k A B ，α2y x =(0)k y k x=≠(4)A m ，A O A 90︒B OB OB C y的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．28．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：(0)k y k x=≠D x E 23DCO DEO S S = ：：C 112y x =+()0k y x x =>()3A a ，k y x=y x b =+A B ，()23B ，y x b =+x C D 3OCD S = D（3）若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=（k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2 （1）求k 的值；（2）若双曲线y= （k<0）上一点C 的纵坐标为，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。

最新中考数学复习：动态几何问题压轴题专项训练(带答案)

2022年中考数学复习：动态几何问题压轴题专项训练1．已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO 绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE．(1)问题发现：如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为，△ACE的度数是．(2)问题探究：如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由．(3)问题解决：当△AEC=30°时，求出线段BO的长2．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，△ABC＝90°，B(4，0)，C(8，0)，tan△ACB＝2，抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；(2)如图2，过点A作AD△AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE△AB交AC于点E．△过点E作EF△AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？△连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1的对称轴为直线x32＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．(1)直接写出抛物线的解析式和△CAO的度数；(2)动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；(3)在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．4．如图，在□ABCD 中，△ABD ＝90°，AD =，BD ＝8cm ．点P 从点A 出发，沿折线AB —BC 向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm /s /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且QM =2PQ ，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为S （cm 2）．(1)求边AB 的长；(2)当0＜t ＜4时，PQ ＝，当4＜t ＜8时，PQ ＝（用含t 的代数式表示）；(3)当点M 落在BD 上时，求t 的值；(4)当矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．5．如图，四边形ABCD 是菱形，其中60B ∠=︒，点E 在对角线AC 上，点F 在射线CB 上运动，连接EF ，作60FEG ∠=︒，交DC 延长线于点G ．(1)试判断EFG 的形状，并说明理由；(2)图中7AB =，1AE =．△当CF 10=时，以点B 为原点，射线BC 为正半轴建立平面直角坐标系．平面内是否存在一点M ，使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；△记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N落在EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝43，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．(1)求点B的坐标；(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；7．小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 从点A 出发，沿边AD 向点D 运动，同时，点F 从点B 出发，沿边BA 向点A 运动，它们的运动速度都是2cm/s ，当点E 运动到点D 时，两点同时停止运动，连接CF 、BE 交于点M ，设点E ， F 运动时问为t 秒．(1)【问题提出】如图1，点E ，F 分别在方形ABCD 中的边AD 、AB 上，且BE CF =，连接BE 、CF 交于点M ，求证：BE CF ⊥．请你先帮小明加以证明．(2)如图1，在点E 、F 的运动过程中，点M 也随之运动，请直接写出点M 的运动路径长 cm ．(3)如图2，连接CE ，在点E 、F 的运动过程中．△试说明点D 在△CME 的外接圆O 上； △若△中的O 与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t 的取值范围．8．如图，菱形ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为平面内一点，连接AE ．(1)如图1，点E 在BC 的延长线上，将AE 绕点A 顺时针旋转60°得AF ，交EB 延长线于点G ，连接EF 交AB 延长线于点H ，若15AEB ∠=︒，4HF =，求AE 的长；(2)如图2，点E 在AC 的延长线上，将AE 绕点A 逆时针旋转60°得AF ，连接EF ，点M 为CE 的中点，连接BM ，FM ，证明：FM =；(3)如图3，将AB 沿AS 翻折得()120AE BAE ∠<︒，连DE 交AS 于点S ，点T 为平面内一点，当DS 取得最大值时，连接TD ，TE ，若3AT =，AD =6，求TD TE -的最大值．9．已知抛物线()()12y x x m m=+-与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上一动点（点P 不与点C 重合）．(1)当ABC 为直角三角形时，求ABC 的面积(2)如图，当AP BC ∥时，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，求BQ 的长．(3)当以点A ，B ，P 为顶点的三角形和ABC 相似时（不包括两个三角形全等），求m 的值．10．已知：如图，在△ABC 纸片中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，按图所示的方法将△ACD 沿AD 折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．11．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P 是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．A-和点B，与y轴交于点C，顶点D 12．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点(1,0)-．的坐标为(1,4)(1)直接写出抛物线的解析式；∠=∠，求点P的坐标；(2)如图1，若点P在抛物线上且满足PCB CBD⊥轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN x∆为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标QMNB-，与y轴交于点C，且13．如图，已知抛物线2(0)=++≠与x轴交于点(1,0)y ax bx c aA和点(3,0)=．OC OB（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求BCE面积的最大值；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段P A绕点P逆时针旋转90︒后，点A的对应点'A恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．14．综合与探究如图，已知抛物线228y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ，其顶点为点D ，连接AC ，BC ．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 为第四象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ．若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点M 是线段BC 上的一个动点，过点M 作MN AB ，交AC 于点N ．点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动，运动时间为t （6t <）秒，直接写出当t 为何值时，QMN 为等腰直角三角形．15．如图△，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （4，0）、B （0，3），连结AB ．抛物线234y x bx c =++经过点B ，且对称轴是直线52x =-．（1）求抛物线的函数关系式．（2）将图△中的△ABO 沿x 轴向左平移得到△DCE （如图△），当四边形ABCD 是菱形时，说明点C 和点D 都在该抛物线上．（3）在（2）中，若点M 是抛物线上的一个动点（点M 不与点C 、D 重合），过点M 作MN △y 轴交直线CD 于点N ．设点M 的横坐标为m ，线段MN 的长为l ．求l 与m 之间的函数关系式．（4）在（3）的条件下，直接写出m 为何值时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形．16．如图，抛物线y ＝－212x ＋32x ＋2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点C 在y 轴右侧的抛物线上，且AC ＝BC ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后，得到△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别是点D ，E ，F ），D ，E 两点刚好在抛物线上．△求点F 的坐标；△直接写出点P 的坐标．17．如图1，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 轴负半轴上，这三个点的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C(−1，0) ．（1）请求出直线AB的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF//BC交AB于点F，当△BEF的面积是52时，求点E的坐标；（3）如图2，将点B向右平移1个单位长度得到点D，在x轴上存在动点P，若△DCO+△DPO=△α，当tan△α=4时，请直接写出点P的坐标．18．将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．(1)如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．△求证：BE平分△AEC．△取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．△若BC＝2AB＝2，求BG的长．(2)若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．19．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ△AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P 的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+154x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为（不必写出t的取值范围）．参考答案：1．解：AO =CE ，△ACE =90°，理由如下：△线段BO 绕点O 顺时针旋转60°，得到线段OE ，△BO =OE ，△BOE =60°，△△BOE 为等边三角形，△△OBE =60°，BE =BO ，△△OBE =60°=△OBD +△DBE ，△△ABC 为等边三角形，△△ABC =60°=△ABO +△OBD ，AB=AC ，△△ABO =△CBE ，在△ABO 和△CBE 中，AB AC ABO CBE BO BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABO △△CBE (SAS)，△AO =CE ，△BAO =△BCE ，△AD 是等边三角形ABC 的高，△△ACB =60°，AD 也是△BAC 的平分线，△△BAO =30°=△BCE ，△△ACE =△BCE +△ACB =30°+60°=90°，故答案为：AO =CE ，△ACE =90°；(2)解：成立，理由如下：如图：连接BE ．△线段BO 绕点O 顺时针旋转了60°得EO ，△BO =EO ，△BOE =60°，△△BOE 是等边三角形，△BO =BE ，△OBE =60°，△△ABC 是等边三角形，△BA =BC ，△ABC =60°，△△ABC +△OBC =△OBE +△OBC ，即△ABO =△CBE ，在△ABO 和△CBE 中，AB AC ABO CBE BO BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABO △△CBE (SAS)，△AO =CE ，△BAO =△BCE ，△AD 是等边△ABC 的高，△△BCE =△BAO =30°，△BCA =60°，△△ACE =△BCE +△ACB =30°+60°=90°，△AO =CE ，△ACE =90°；(3)解：△当点O 1在线段AD 的延长线上时，由(1)和(2)知：△BO 1E 1是等边三角形，△ACE 1=90°，△△ACE 1=90°，△AE 1C =30°，△△E 1AC =60°，△△BAC =60°，△点A 、B 、E 1在一条直线上，△在Rt △ACE 1中，AC =2，△AE 1C =30°，△A E 1=4，△BO 1=BE 1=2；△当点O 2在线段DA 的延长线上时，△△ACE 2=90°，△AE 2C =30°，AC =2，△AE 2=4，2CE△△ABO 2△△CBE 2(SAS)，△22AO CE ==△AD 是等边△ABC 的高，AB =AC =2，△BD =1，AD ==在Rt △O 2DB 中，BD =1，而22O D AO AD ==+△2BO ===综上，BO =2或2．解：△B （4，0），C （8，0），△BC ＝4，△△ABC ＝90°，tan△ACB ＝2，△AB ＝BC •tan△ACB ＝8，△A 的坐标为（4，8），将A （4，8），C （8，0）代入y ＝ax ²+bx ，得：16486480+=⎧⎨+=⎩a b a b ，解得：124⎧=-⎪⎨⎪=⎩a b ， △抛物线得解析式为：2142y x x =-+； (2)解：△由题得：AP ＝t ，△APE ＝△ABC ＝90°，△EAP ＝△CAB ，△tan△EAP ＝tan△CAB ＝=EP BC AP AB ， △4=8PE t ，即PE ＝2t ， △PB ＝AB ﹣AP ＝8﹣t ，△E 的坐标为（4+2t ，8﹣t ），将x ＝4+2t 代入2142y x x =-+，得：2188=-+y t ， △G 的纵的坐标为2188-+t ， △EG ＝218(8)8-+--t t ＝21+8-t t ＝21(4)+28--t ，△0≤t ≤8， △t ＝4时，线段EG 有最大值且为2；△△CQ ＝t ，PE ＝2t ，AP ＝t ，BC ＝4，AB ＝8， △AE=，AC= △CE ＝AC ﹣AE＝，当△CEQ △△ACB 时，=CE CQ AC AB ，代入数据：8=t ，解得：t ＝4，当△CEQ △△ABC 时，=CE CQ AB AC ，代入数据：△28=解得t ＝409， △综上，t ＝4或409． 3．解：由题意：32216410b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得1434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， △抛物线的解析式为y 14=-x 234+x +1，令y ＝0，可得x 2﹣3x ﹣4＝0，解得x ＝﹣1或4，△A （﹣1，0），令y ＝0，得到x ＝1，△C （0，1），△OA ＝OC ＝1，△△CAO ＝45°．(2)解：如图1中，过点C 作CE △OA 于E ，过点D 作DF △AB 于F ．△△NEM＝△DFM＝△NMD＝90°，△△NME + △DMF＝90°，△DMF+△MDF＝90°，△△NME＝△MDF，△NM＝DM，△MEN DFM AAS≌（）△NE＝MF，EM＝DF，△△CAO＝45°，AN=，AM＝3t，△AE＝EN＝t，△EM＝AM﹣AE＝2t，△DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，△D（4t﹣1，2t），△14-（4t﹣1）234+（4t﹣1）+1＝2t，△t＞0，故可以解得t34 =，经检验，t34=时，M，N均没有达到终点，符合题意，△D（2，32）．(3)解：如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，△QCP＝△MDB时，取E （12，0），连接EC ，过点E 作EG △EC 交PC 于G ， △M （54，0），D （2，32），B （4，0） △53244FM =-=，DM =，BM 114=，BD 52=， △DF ＝2MF ，△OC ＝2OE ，△tan△OCE ＝tan△MDF 12=， △△OCE ＝△MDF ，△△OCP ＝△MDB ，△△ECG ＝△FDB ，△tan△ECG ＝tan△FDB 43=， △EC =， △EG =G （116，23）， △直线CP 的解析式为y 211=-x +1，由2211113144y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或411139121x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， △4139(,)11121P ，(0,1)C ，△PC =当MD BD CQ CP =或时MD BD PC CQ =，△QCP 与△MDB 相似，可得615242CQ =或2050363，△373(0,)242Q -或1687(0,)363-．如图3﹣2中，当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，△QCP ＝△DMB 时，设PC 交x 轴于K ．△tan△OCK ＝tan△DMB ＝2，△OK ＝2OC ＝2，△点K 与F 重合，△直线PC 的解析式为112y x =-+，由211213144y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或532x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩， △3(5,)2P -，△PC =当DM BM PC CQ =或DM BM CQ PC =时，△QCP 与△MDB 相似，可得556CQ =或7522， △49(0,)6Q -或53(0,)22-．当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，△QCP ＝△DBM 时，同法可得2591257(,)(0,)3918P Q --，或1151(0,)99，当点Q 在点C 上方，△QCP ＝△DMB 时，同法可得P （1，32），Q （0，176）或（0，3722），当点Q 在点C 上方，△QCP ＝△MDB 时，同法可得25171617(,)(0,)11121242P Q ，或1613(0,).363，当点Q 在点C 下方，点P 在y 轴的左侧时，△QCP ＝△DBM 时，同法可得71959(,)(0,)3918P Q ---，或251(0,)99-． 4(1)解：△△ABD ＝90°，AD =，BD ＝8cm ．△4cm AB = ；(2)解：当0＜t ＜4时，点P 在AB 边上，cm AP t = ，如图，△PQ △AB ，△ABD ＝90°，△PQ △BD ，△△APQ △△ABD ，△AP PQ AB BD = ， △4182AP AB PQ BD === ，即12t PQ = ， △2cm PQ t = ；当4＜t ＜8时，点P 在BC 边上，)4cm BP t =- ，如图，△四边形ABCD 是平行四边形，△BC AD == ，AB △CD ，△BDC =△ABD =90°，△)()4cm CP BC BP t =-=-= ，△PQ △AB ，△PQ △CD ，△PQ △BD ，△△CPQ △△CBD ， △CP PQ BC BD= ，△CP BC PQ BD === ， △()162cm PQ t =- ；(3)解：如图，当点P 在AB 上时，cm AP t = ，则()4cm BP t =- ，在矩形PQMN 中， BP =QM ，△QM =2PQ ，△BP =2PQ ，△2cm PQ t =，△224t t ⨯=- ，解得：45t = ；如图，当点P 在BC 边上时，点M 与点D 重合，由（2）得：此时4182CQ CD PQ BD === ， △()162cm PQ t =-，△()18cm 2CQ PQ t ==- ， △()4cm MQ CD CQ t =-=- ，△QM =2PQ ，△()42162t t -=- ，解得：365t = ；综上所述，当点M 落在BD 上时， t 的值为45或365； (4) 解：如图，当405t ≤≤ 时，△2cm PQ t =，QM =2PQ ，△4cm QM t =，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为22248cm S PQ QM t t t =⋅=⨯= ；如图，当445t << 时，设MQ 交BC 于点T ，根据题意得：AQ △BT ，QT △AB ，△四边形ABTQ 是平行四边形，△4cm QT = ，△()4cm BP AB AP t =-=- ，2cm PQ t =，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为()()()2114428cm 22S PB QT PQ t t t t =+⨯=-+⨯=-+；如图，当点N 落在AD 边上时，四边形ABPN 是平行四边形，△4cm PN AB == ，△4cm MQ PN == ，△QM =2PQ ，()162cm PQ t =-，△()21624t -= ，解得：7t = ，如图，当47t <≤ 时，设PN 交AD 于点K ，此时四边形ABPK 是平行四边形，△4cm PK AB == ，△()162cm PQ t =-，4182CQ CD PQ BD ===， △()18cm 2CQ PQ t ==- ， △()()484cm DQ t t =--=- ，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为()()()()211441628cm 22S PK DQ PQ t t t t =+⨯=-+⨯-=-+；如图，当3685t ≤< 时，△()162cm PQ t =-，QM =2PQ ，△()324cm MQ t =- ，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为()()()221623248128512cm S PQ MQ t t t t =⨯=-⨯-=-+ ，综上所述，S 与t 的函数关系式为222248(0)548(4)58(47)368128512(8)5t t t t t S t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-+<<⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪-+≤<⎪⎩．5．(1) EFG 是等边三角形，理由如下：如图，过点E 作EM AB ∥，交FC 于M ，△四边形ABCD 是菱形，△AB CB =，△60ACB ABC ∠=∠=︒，△60ACD ACB ∠=∠=︒，△120ACG ∠=︒,△EM AB ∥，△60ABC EMC ∠∠==︒，△120EMF ∠=︒，△60EMC ECM ∠=∠=︒，△EMC △是等边三角形，△EM EC =，60MEC ∠=︒,△60FEG MEC ∠=∠=︒，△FEM GEC ∠=∠，在FEM △和GEC 中，FGM GEC EM ECEMF ECG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △()FEM GEC ASA ≅，△EF EG =，△EFG 是等腰三角形，△60FEG ∠=︒，△EFG 是等边三角形；(2)△如图所示，过点A 作AT y ⊥轴交于点T ，△60ABC ∠=︒，△30TBA ∠=︒， △1722AT AB ==，BT == 过点E 作EH y ⊥轴交于点H ，交AB 于点K ，△EH CF ∥，△AKE 是等边三角形，△1AK KE AE ===，△6BK =，△sin 6sin 606BH BK BKH =⋅∠=⨯︒==132HK BK ==，△E ，△4HE HK KE =+=，△四边形ABCD 是菱形，△7BC AB ==，△(7,0)C ，21(2D ， △CD 的解析式为373yx ，设(G x -， △EFG 是等边三角形，△22EG EF =，即2222(4)(34)x -+-=--+，解得：15=x 或212x =（舍去），当5x =时，y =-△(5,G -，当是菱形EFMG 时，(2,M --，当是菱形EFGM 时，M ，当是菱形FGEM 时，(M -，综上所述，(2,M --或(或(-；△如图，当N 在CD 上时，作CP AB ⊥于P ，点F '关于AB 的对称点N 在CD 上，△OF ON CP '==，CP BC ==△OF '=，在Rt BOF '中，7sin 60OF OBF ''∠==︒， △14CF '=，如图，当N 在DE 上时，N 与F '关于AB 对称，AB 与DN 交于点Q ， △60ABN ABC ∠=∠=︒，△60BAC ∠=︒，△60ABN BAC ∠=∠=︒，△BN AE ∥， △AE AQ BN QB=， △AD BC ∥，△ADE CME ，AQD BQM ， △16AD AE MC CE ==，AQ AD QB MB =， △716MC =， △42MC =，△42735MB =-=， △71355AQ QB ==， △115BN =， △5BN =，△5BF BN '==，△752CF BC BF ''=-=-=，△214CF<<．6．解：由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，∵OA是方程的根，∴OA＝5，∴AB＝OA＝5，在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE＝43，AB＝5，∴BE＝4，AE＝3，∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，∴B（8，4）；(2)解：如图1中，当点F落在OB上时，AM＝t，DM＝45t，AD＝35t，∵FM OA∥，∴FM MB OA BA=，∴45555tt-=，∴t＝259，如图2中，当0＜t≤259时，重叠部分是四边形ACFM，S＝12•（AC+FM）•DM＝14434 25555t t t t ⎛⎫⋅+-⋅ ⎪⎝⎭＝25t2，如图3中，259＜t ≤5时，重叠部分是五边形ACHGM ， S ＝S 梯形ACFM ﹣S △FGH ＝()22211455225t t t ⎡⎤-⨯⨯--⎢⎥⎣⎦＝﹣41100t 2+92t ﹣254；综上所述，S ＝25t 2（0＜t ≤259）或S ＝﹣41100t 2+92t ﹣254（259＜t ≤5）． 7．(1)四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，BAE CBF ∠=∠又,E F 的运动速度都是2cm/s ，2AE BF t ∴==BAE CBF ∴≌BCF ABE ∴∠=∠90ABE EBC ABC ∠+∠=∠=︒90BCF EBC ∴∠+∠=︒90MBC ∴∠=︒(2)△90CMB ∠=．△点M 在以CB 为直径的圆上，如图1，当t ＝0时，点M 与点B 重合；如图2，当t ＝3时，点M 为正方形对角线的交点．点M 的运动路径为14圆，其路径长13642ππ⨯=．故答案为：32π (3)△如图3．由前面结论可知：90CME ∠=△△CME 的外接圆的圆心O 是斜边CE 的中点，则12OM OC OE CE === 在Rt △CDE 中，90D ∠=，O 是CE 的中点． △12OD CE =， △OM OC OE OD ===△点D 、C 、M 、E 在同一个圆（O ）上，即点D 在△CME 的外接圆O 上；． △304t <<．如图4，当O 与AB 相切时，O 与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当O 与AB 相切时”是临界情况．如图4，当O 与AB 相切（切点为G ），连接OG ，并延长GO 交CD 于点H ． △AB 与O 相切，△OG AB ⊥，又△AB CD ∥，132CH DC ∴== 设O 的半径为R ．由题意得：在Rt △CHO 中，2223(6)R R +-=，解得154R =△159,22CE DE =△32AE =，即3t 4= △如图5，当304t <<时，O 与正方形的各边共有6个交点．8．(1)解：过点H 作HL △EF ，交AF 于L ，△菱形ABCD ，120ABC ∠=︒△△DAB =180°-18012060ABC ∠=-=︒︒︒，AD∥BC ，△△DAE =△AEB ，△15AEB ∠=︒，△△DAE =15°，△AE 绕点A 顺时针旋转60°得AF ，△△AEF为等边三角形，△△F=60°，△HL△EF，△△HLF=90°-△F=30°，△LF=2HF=2×4=8，根据勾股定理LH△△DAE+△EAH=△EAH+△HAF=60°△△DAE=△HAF=15°，△△HLF为△AHL的外角，△△AHL=△HLF-△HAF=30°-15°=15°，△△AHL=△HAF，△AL=LH=△AE=AF=AL+LF=；(2)证明：过B作BL△AC于L，过F作FK△AE于K，设AE=m，AC=n，△将AE绕点A逆时针旋转60°得AF，△AE=AF=m，△EAF=60°，△△AEF为等边三角形，△AF=EF，△FK△AE，△△AFK=△EFK=30°，AK=EK=12 m，在Rt△AKF中，FK==，△菱形ABCD ，120ABC ∠=︒，BL △AC ，△AL =CL =12n ,△CBL =△ABL =60°，△△LCB =90°-△CBL =30°，△BC =2BL ，在Rt △BCL 中，根据勾股定理222+BC BL CL =，即2224+BL BL CL =，解得2n BL ==， △点M 为CE 中点，△CM =EM =()1122EC m n =+， △MK =ME -KE =()111222m n m n +-=，M L=MC -CL =()111222m n n m +-=，在Rt △MKF 中，根据勾股定理FM =在Rt △MLB 中，根据勾股定理BM ，△BM =，△FM =；(3)解：连结SB ，过E 作TL △DE ，，过G 作GI △AD 于I ，过T 作TJ △AB 于J ，在TD 上截取TE ′=TE ，△将AB 沿AS 翻折得()120AE BAE ∠<︒，△△BAS =△EAS ，AB =AE ，在△ABS 和△AES 中，AB AE BAS EAS AS AS =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABS △△AES （SAS ），△△ABS =△AES ，△四边形ABCD 为菱形，△AD =AB =AE =6，△ABC =120°，△△ADE =△AED =△ABS ，△DAB =180°-△ABC =60°，△A 、S 、B 、D 四点共圆，△点S 在△ABD 的外接圆劣弧AB 上运动，△当AS △AB 时，AS 长最大，△△ADH =90°-△DAH =30°，△AH =3，DH=△点T 在以点A 为圆3为半径的圆上运动，当点A 关于TJ 直线的对称点在△ADH 的角平分线DT 上时，TD TE -的值最大，设点A 的对称点为G ，△△ADG =△HDG =1152ADH ∠=︒，GI △AD ，GH △DH ， △GI =GH =m ,AG =AH –GH =3-m ，AI =AD -DI -DH=6-在Rt △AIG 中，根据勾股定理222+AG AI IG =即()(22236+m m -=-，解得9m =，在Rt △DGH 中，根据勾股定理DG△DT=DG +TG =3，△AG =12-△AJ =JG =6-△JH =AH -AJ =3-（6-=，△TJ △AB ，DE △AB ，TL △DE ，△△TJH =△JHL =△TLH =90°，△四边形JTLH 为矩形，△JH =TL =，在DL 上截取DN =TN ，△△NDT =△NTD =15°，△△FNL =△NDT +△NTD =30°，△DN =TN =2TL =6，在Rt △TNL 中，根据勾股定理，NL9=-△DL =DN +NL =6+93-=，在Rt △AHE 中，△EAH =60°，△DE =sin60°×AE△DE△LE =DE -DL ()3=TL ，△TE=△GT -TE 最大=3-．9．(1) 解：由抛物线()()12y x x m m=+-开口向上，则m ＞0令x =0，则y =-2，即C 点坐标为（0，-2），OC =2令y =0，则()()102x x m m=+-，解得x =-2或x =m ，即点A （-2，0），点B （m ，0） △OA =2,OB =m△AB =m +2由勾股定理可得AC 2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC 2=(m -0)2+[0-（-2）]2=m 2+4 △当ABC 为直角三角形时，仅有△ACB =90°△AB 2= AC 2+BC 2,即(m +2)2=8+m 2+4,解得m =2△AB =m +2=4△ABC 的面积为：12·AB ·OC =12×4×2=4．(2)解：设BC 所在直线的解析式为：y =kx +b则02mk b b =+⎧⎨-=⎩ ，解得22k m b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ △BC 所在直线的解析式为y =2m x -2 设直线AP 的解析式为y =2m x +c 则有：0=2m×（-2）+c ，即c =4m △线AP 的解析式为y =2m x +4m 联立()()1224y x x m m y x m m⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得x =-2（A 点横坐标）,x =m +2（P 点横坐标） △点P 的纵坐标为：()24822+m m m m⨯++= △点P 的坐标为（m +2，28m m +） △OQ =m +2△BQ =OQ -OB = m +2-m =2．(3)解：△点P 为抛物线()()12y x x m m=+-上一动点（点P 不与点C 重合）．△设P （x ，()()12x x m m+-） △在△ABC 中，△BAC =45°△当以点A ，B ，P 为顶点的三角形和ABC 相似时，有三种情况：△a .若△ABC △△BAP △BP AC AB AB= 又△BP =AC△△ABC △△BAP 不符合题意；b . 若△ABP △△BAC △BP AB AB AC= 过P 作PQ △x 轴于点Q ，则△PQB =90°△△BPQ =90°-△PBQ =45°△PQ =BQ =m -x由于PQ =()()12x x m m +- △1(2)()m x x x m m-=+- △1()(2)10x m x m ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦△x -m =0或1(2)10x m++= △x =m （舍去），x =-m -2△BQ =m -（-m -2）=2m +2△1)PB m ==+=△m 2-4m -4=0，解得：m =2-m =△m =2-△当△P AB =△BAC =45°时，分两种情况讨论：a . 若△ABP △△ABC ,则AP AC AB AB = ,点C 与点P 重合，不合题意； b . 若△ABP △△BAC ,则PB AB AB AC= , 过P 作PQ △x 轴于点Q ，则△PQA =90°△△APQ =90°-△P AB =45°△PQ =AQ =x +2由于PQ =()()12x x m m +- △12(2)()x x x m m+=+- △1(2)(2)10x x m ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦△x +2=0或1()10x m m--= △x =-2（舍去），x =2m△AQ = =2m +2△1)AP m ==+=△m 2-4m -4=0，解得：m =2-m =△m =△当△APB=△BAC=45°时，分两种情况讨论：a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则△MAB=△ABC，△△MAB≠△P AB，△△P AB≠△ABC，△△P AB与△BAC不相似；b. 取点C关于x轴的对称点C'，连接并延长BC'交抛物线于点N，则△NBA=△CBA，△△PBA≠△NBA，△△PBA≠△CBA，△△P AB与△BAC不相似；综上，m的值为m=2-m=10．解：如图1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，△BD2=C′D2+C′B2，△（4-x）2=x2+22，解得：x=32，△AD==(2)如图2中，当点P在C'D左侧，AC=AC'=3，则PC'=3-x，△DP△10)y x =≤≤．当点P 在C 'D 右侧，同理可得10)y x =≤≤．△y 关于x 的函数解析式为10)y x =≤≤． (3) 如图3中，△当P A =PD 时，设P A =PD =m ，在Rt △PCD 中，△PD 2=DC ′2+C ′P 2，△2223((3))2m m =+-，解得：158=m ， △P A =158．△当AD =AP P 在P′时，△ADP 是等腰三角形， △当PD =AD 时，点P 在AB 的延长线上．如图4，AP =2AC '=6．综上所述，满足条件的P A 的值为1586． 11． (1)解：把A （﹣3，0）和C （1，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3，得，093303a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得，12a b =⎧⎨=⎩，△抛物线解析式为y ＝x 2+2x ﹣3； (2)解：设P （x ，x 2+2x ﹣3），直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，由抛物线解析式y ＝x 2+2x ﹣3，令x ＝0，则y ＝﹣3， △B （0，﹣3），把A （﹣3，0）和B （0，﹣3）代入y ＝kx +b ，得，033k b b=-+⎧⎨-=⎩，解得，13k b =-⎧⎨=-⎩，△直线AB 的解析式为y ＝﹣x ﹣3， △PE △x 轴， △E （x ，﹣x ﹣3），△P在直线AB下方，△PE＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94，当x＝﹣32时，y＝x2+2x﹣3＝154-，△当PE最大时，P点坐标为（﹣32，154-）；(3)存在，理由如下，△x＝﹣221⨯＝-1，△抛物线的对称轴为直线x＝-1，设Q（-1，a），△B（0，-3），A（-3，0），△当△QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，△22+a2+32+32＝12+（3+a）2，解得：a＝2，△Q1（-1，2），△当△QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，△12+（3+a）2+32+32＝22+a2，解得：a＝﹣4，△Q2（-1，﹣4），△当△AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，△12+（3+a）2+22+a2＝32+32，解得：a1a1△Q3（-1，Q4（-1，综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1-1，．12．解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴304k ek e+=⎧⎨+=-⎩，解得：26ke=⎧⎨=-⎩，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC 是正方形，∴OC ＝CG ＝BG ＝3，∠COE ＝∠G ＝90°，∠OCB ＝∠GCB ＝45°， ∴∠OCB ﹣∠BCE ＝∠GCB ﹣∠BCF ，即∠OCE ＝∠GCF ， ∴△OCE ≌△GCF （ASA ），∴FG ＝OE ＝32，∴BF ＝BG ﹣FG ＝3﹣32＝32，∴F （3，﹣32），设直线CF 解析式为y ＝k 1x +e 1，∵C （0，﹣3），F （3，﹣32），∴1113332e k e =-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：11123k e ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线CF 解析式为y ＝12x ﹣3，结合抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3，可得x 2﹣2x ﹣3＝12x ﹣3，解得：x 1＝0（舍），x 2＝52，∴P 2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P 点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC 解析式为y ＝m 1x +n 1，直线BC 解析式为y ＝m 2x +n 2， ∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴11103m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：1133m n =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 解析式为y ＝﹣3x ﹣3， ∵B （3，0），C （0，﹣3），∴222303m n n +=⎧⎨=-⎩，解得：2213m n =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 解析式为y ＝x ﹣3，设M （t ，t ﹣3），则N （t ，t 2﹣2t ﹣3）， ∴MN ＝|t 2﹣2t ﹣3﹣（t ﹣3）|＝|t 2﹣3t |，①当△QMN 是以NQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ ＝90°，MN ＝MQ ，如图2，∵MQ ∥x 轴， ∴Q （﹣13t ，t ﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43 t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴154 (,) 33M-，154 (,)93Q--；2134 (,) 33M，2134 (,)93Q-；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（223t t-+，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣223t t-+|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，262t t--），∴Q（26t t-+，262t t--），∴QH＝|t﹣26t t-+|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：154 (,) 33M-，154 (,)93Q--；2134 (,) 33M，2134 (,)93Q-；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．13．解：（1）△抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），△OB=3，△OC=OB，△OC=3，△c=3，△30 9330a ba b++=⎧⎨-+=⎩，解得：12ab=-⎧⎨=-⎩，△所求抛物线解析式为：223y x x=--+；（2）如图2，连接BC，过点E作EF△x轴于点F，设E（a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0），△EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a，△S△BEC=S四边形BOCE-S△BOC=12BF•EF+12（OC+EF）•OF-12•OB•OC=1 2（a+3）•（-a2-2a+3）+12（-a2-2a+6）•（-a）-92=-32a2-92a=-32（a+32）2+278，△当a=-32时，S△BEC最大，且最大值为278．。

九年级数学动态几何型题

中考数学专题复习之十二：动态几何型题【中考题特点】：动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现。

这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。

常用到的解题工具有方程的有关理论，三角函数的知识和几何的有关定理。

【范例讲析】：例1：巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．⑴求BC、AD的长度；⑵若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；⑶在⑵的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1∶5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．例2：如图，AB是直线l上的两点，AB＝4厘米，过l外一点C作CD∥l，射线BC与l 所成的锐角∠1=600，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动。

设P、Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E。

（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？例3：已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．（1）如图10，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．例4：如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。

九年级数学中考专题：动态几何综合压轴题

2023年九年级数学中考专题：动态几何综合压轴题1．如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转．若B 、P 在直线a 的异侧，BM △直线a 于点M ，CN △直线a 于点N ，连接PM 、PN ；（1）延长MP 交CN 于点E （如图2）． △求证：△BPM △△CPE ； △求证：PM ＝PN ；（2）若直线a 烧点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM ＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 还成立吗？（不必说明理由）2．如图△，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，延长CA 至点E ，作DE CE ⊥交BA 的延长线于点D ，连接CD ，点F 为CD 的中点，连接EF ，BF ．（1）直接写出线段EF 和BF 之间的数量关系为______．（2）将ADE 绕A 顺时针旋转到图△的位置，猜想EF 和BF 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC =:5AD BC =，将ADE 绕点A 顺时针旋转，当A ，E ，B 共线时，请直接写出EF 的长．3．如图，O 是正ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，连接AO ′、OO ′，（1）OO ′＝．（2）求△AOB 的度数及四边形AOB O '的面积．（3）直接写出AOC AOB S S +△△的值，AOC AOB S S +△△＝．4．如图1，在△ABC 中，△C =90°，△ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA △△BFE ；（2）△CD +DF +FE 的最小值为； △当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD △BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断△MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．5．已知在ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当△BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是；（2）如图2，当△BAC ＝90°且AB ≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．6．已知，在ABC 中，AB AC =，D 是平面上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转至点E ，使DAE BAC ∠=∠．连接DE 并延长，交AB 于点O ，交BC 于点F ．连接BD 和CE ，CE 的延长线分别交AB ，BD 于点P ，G ．（1）如图1，求证：BGC DAE ∠=∠；（2）如图2，若点F 是BC 的中点，//AD CB ，求证12AE BC =；（3）在（2）的条件下，若G 是BD 的中点，连接,OG FG ．当5,3AB AD ==时，请直接写出OFG △的周长．7．【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，连接AD，BD．△请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．△若AC＝BC，DC＝CE AD的长．【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，AC BC，CD CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角△BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．8．如图1和图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，△ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，△EDF＝45°．（1）观察猜想：如图1，若△A、△DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____；（2）类比探究：如图2，若△A、△C都不是直角，则当△A与△C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝D、E均在边BC上，且△DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长．9．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC 、BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是______，位置关系是______；（2）把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（3）把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若6DE =，10BC =，请直接写出线段AP 长的取值范围．10．已知AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，△AOB ＝△MON ＝90°．（1）如图1：连AM ，BN ，求证：AOM △BON ；（2）若将Rt MON 绕点O 顺时针旋转，当点A ，M ，N 恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH //BN ，OH 与AM 交点为H ，若OB ＝4，ON ＝3，求出线段AM 的长；（3）若将MON 绕点O 顺时针旋转，当点N 恰好落在AB 边上时，如图3所示，MN 与AO 交点为P ，求证：MP 2+PN 2＝2PO 2．11．如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 顺时针旋转90°，得到AE ，连接DE ．（1）如图1所示，若4BC =，在D 点运动过程中，当8tan 11BDE ∠=时，求线段CD 的长．（2）如图2所示，点F 是线段DE 的中点，连接BF 并延长交CA 延长线于点M ，连接DM ，交AB 于点N ，连接CF ，AF ，当点N 在线段CF 上时，求证：AD BF CF +=．（3）如图3，若AB =ABC 绕点A 顺时针旋转得AB C ''△，连接CC '，P 为线段CC '上一点，且CC ''=，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BQ ，连接PQ ，K 为PQ 的中点，连接CK ，请直接写出线段CK 的最大值．12．已知：如图1，将一块45︒角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连结AF 、CE ，点M 是CE 的中点，连结DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是___________．（2）如图2，把正方形ABCD 绕着点D 逆时针旋转α角（090α︒<<︒）． △AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；△若60α=︒，且3FDM MDC ∠=∠，求DEDC的值．13．在等腰直角三角形ABC 中，290AC BC ACB ==∠=︒，，点M 为射线CA 上一个动点．过点M 作ME BM ⊥，交射线BA 于E ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BN ，过点N 作NF BN ⊥交BC 延长线于点F ，连接EF ．（1）如图1，当点M 在边AC 上时，线段,,EM EF NF 的数量关系为_______；（2）如图2，当点M 在射线CA 上时，判断线段,,EM EF NF 的数量关系并说明理由；（3）当点M 在射线CA 上运动时，能否存在BEF △为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM 的长．14．如图，等腰Rt CEF 绕正方形ABCD 的顶点C 顺时针旋转，且AB CE EF ==，90CEF ∠=︒．连接AF 与射线BE 交于点G ．（1）如图1，当点B 、C 、F 三点共线时，则ABE ∠ FEM ∠（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG FG （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）如图2，当点B 、C 、F 三点不共线时，求证：AG GF =；（3）若等腰CEF △从图1的位置绕点C 顺时针旋转α（090α︒<≤︒），当直线AB 与直线EF 相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．15．在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠=︒，E 是对角线AC 上一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF AE =，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是线段AC 的中点，求EF 的长；（2）如图2，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，求证：BE EF =．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的一点，12CE AC =，将菱形ABCD 绕着点B 顺时针旋转α︒(0360)α≤≤，请直接写出在旋转过程中DE 的最大值．16．如图，等边三角形ABC 中，D 为AB 边上一点（点D 不与点,A B 重合），连接CD ，将CD 平移到BE （其中点B 和C 对应），连接AE ．将BCD △绕着点B 逆时针旋转至BAF △，延长AF 交BE 于点G ．（1）连接DF ，求证：BDF 是等边三角形；（2）求证：,,D F E 三点共线；（3）当2BG EG =时，求tan AEB ∠的值．17．ABC 为等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 为边BC 上一点，点F 为线段CD 上一点，连接EF ，且CE EF =．（1）如图1，若342AB CE ==,，连接BF ，G 为BF 的中点，连接DG ，求线段DG 的长：（2）如图2，将CEF △绕点C 逆时针方向旋转一定的角度得到CMN ，连接BN ，点H为BN 的中点，连接AH HM ,，求证：AH =：（3）如图3，在（2）问的条件下，线段HM 与线段CN 交于点P ，连接AM ，交线段CN 于点Q ，当2CQ PN a ==时，请直接用含a 的式子表示PQ 的长．18．在ABC 中，90ACB ∠=︒．将ABC 绕点C 逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于180︒），得到DEC （点D ，E 分别与点A ，B 对应），连接AD ，BE ．（1）如图1，当点A ，C ，E 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的位置关系为__________；（2）如图2，当点D 落在AB 上时，（点D 不与点A 重合），请判断AD 与BE 的位置关系，并证明你的结论；（3）如图3，将ABC 绕点C 逆时针旋转60︒时，延长AD 与直线BC ，BE 分别相交于点F ，G ，连接CG ，试探究线段CG 与DE 之间满足的数量关系，并说明理由．19．如图△，在矩形ABCD 中，1AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，60COD ∠=︒，点E 是线段CD 上一点，连接OE ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转60︒得到线段OF ，连接DF ．（1）求证：DF CE =；（2）连接EF 交OD 于点P ，求DP 的最大值；（3）如图△，点E 在射线CD 上运动，连接AF ，在点E 的运动过程中，若AF AB =，求OF 的长．20．将等边三角形ABC 如图放置在平面直角坐标系中，8AB =，E 为线段AO 的中点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转60°得线段AF ，连接EF ．（△）如图1，求点E 的坐标；（△）在图1中，EF 与AC 交于点G ，连接EC ，N 为EC 的中点，连接NG ，求线段NG 的长．请你补全图形，并完成计算；（△）如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，M 为线段EF 的中点，N 为线段CE 的中点，连接MN ，请直接写出在旋转过程中MN 的取值范围．参考答案：1．（2）成立（3）四边形MBCN的是矩形，PM=PN．2．（1）EF BF=；（2）FE FB=，（33．（1）4；（2）150°，（3）64．（2）（3）是，△MPN=30°．5．（1）AE CF=；（2）成立，（36．（3）47．（1）△AD BD⊥；△4；（2）8．（1）EF＝AE＋CF；（2）△A＋△C＝180°；（39．（1）12AP BE=，AP BE⊥；（2）12AP BE=，AP BE⊥仍成立；（3AP≤≤．10．（2；11．（1）3219；（3）312．（1）AF＝2DM，（2）△AF＝2DM仍然成立；13．（1）结论：EM+EF=FN；（2）结论：EF=EM=FN；（3）2或2+14．（1）=；=；（3）15°或75°15．（1）（3）16．tan AEB∠=17．（1；（318．（1）AD BE⊥；（2）AD BE⊥，（3）CG DE=19．（2）DP的最大值为14；（3）1OF=20．（△）(0,E；（△；（△）44MN≤≤答案第1页，共1页。

2024年九年级数学中考总复习—几何动点题专项练习

中考总复习—几何动点题专项练习1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，D是边AB的中点.动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当点P与点D不重合时，以PD为边构造Rt△PDQ，使∠PDQ=∠A，∠DPQ=90°，且点Q与点C在直线AB同侧.设点P的运动时间为t秒.（1）求AB的长.（2）当点Q落在边AC上时，求t的值.（3）在不添加辅助线的情况下，当图中存在全等三角形时，求△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积. （4)取边AC的中点E，连结EQ.当EQ//AB时，直接写出t的值、2。

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6.点D是边BC上的一点（点D不与点B、C重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP=BD，以AP为边作正方形 APMN，使点M和点C在直线AD同侧.（1)当点D是边BC的中点时，求AD的长；（2）当BD=4时，点D到直线AC的距离为____________（3)连结PN，当PN⊥AC时，求正方形 APMN的边长；(4）若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为____________（写出一个即可）3.如图，在△ABC中，AB=BC=10，tanB=4/3，AD⊥BC于点D，点M为AD的中点，点P从点A出发沿折线AB-BC以每秒5个单位的速度向终点C运动（点P不与△ABC的顶点重合），作点P关于点M的对称点P，取线段BP的中点Q，作△PP'Q.设点P的运动时间为t秒(1)当点P在AB上时，连结P'D，求证P'D//AB;（2)当点P在AB上，且点P落在边AC上时，求t的值；（3)当∠PQP'=90°时，求PQ的长；（4)作△P'DM和△AQM，当△P'DM与△AQM相似时，直接写出t的值4.如图,在矩形ABCD中,AD=6，AB=3,点P为边AD上的动点，点Q为折线BA-AD上的动点，且AP=BQ，当点P不与点A重合时，过点Q作QM⊥PQ，交边BC于点M，连结PM，将△PQM绕点P沿逆时针方向旋转得到△PQ'M',使点Q'落在线段PM上.(1)当点Q与点A重合时,线段PM的长为______________;(2）当点Q在边AB上时,求证：△PQM是等腰直角三角形;(3)当线段AQ长为2时，求△PQM的面积;(4）当点M'落在边BC上时，直接写出线段AP的长5.如图，△ABC为等边三角形，AB=4√3，AD⊥BC于点D.点P在线段AD上运动，当点P不与点A、D重合时，过点P作AB的垂线交折线AC-CB于点E，交边AB于点F，以EF、FB为边作矩形EFBH.设线段AP的长为2x.（1)线段AD的长为___________-(2)当点E在线段CD上时，用含x的代数式表示线段DE的长，并直接写出x的取值范围；（3）作点E关于直线AD的对称点E'，作直线HE'①当点E在边AC上时，若HE'//AD，求线段HE'的长；②当直线HE'将矩形 EFBH分成两部分图形的面积比为1:3时，直接写出x的值.6.已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E从点B出发，沿BC做匀速运动，点E运动的同时，将AB 沿AE所在直线折叠，得到△AFE.(1）如图①，点E运动到BC中点时，AF落在矩形 ABCD内，则tan∠EAF=_________（2)如图②，点E运动到C处时，EF与AD交于点G，求证：△AFG≌△EDG:（3）点E运动过程中，AF恰好落在AD边上时，EF与BD的交点为K，请在图③中画出△AFE的示意图.①直接写出线段DK的长.②延伸：若点E到达C点后继续匀速沿CD运动，直至到达点D停止，设点E的速度为1cm/s，则点E沿B-C-D运动的整个过程中，直接写出△AEF能覆盖点K的时长（含边界）.（4）设BE=n，当0<n<6时，直接写出点下到BC的距离d（用含n的式子表示）。

2022年中考数学复习：几何探究证明题专项训练(含答案)

2022年中考数学复习：几何探究证明题专项训练 1．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将

此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．

2．四边形ABCD是由等边ABC和顶角为120的等腰ABD排成，将一个60角顶点

放在D处，将60角绕D点旋转，该60交两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于E、F两点．（1）当E、F都在线段AB上时（如图1），请证明：BMANMN；

（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2），请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC，2.1AE，请直接写出MB的长为． 3．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，⊥MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝2BN；

4．综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，

点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE．过点E作EFDE

交直线BC于点F．

（1）试猜想线段DE与EF的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段,,CECDCF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段CO上时（不与点C，O重合），EF交BC延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段,,CECDCF之间的数量关系． 5．在正方形ABCD和正方形DEFG中，1,5ABDG

，连接BF，H是BF的中

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专题十几何动态探究题1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，在运动过程中，始终保持AE＝BF，若AB＝2，则EF的取值范围为________．第1题图2.如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠BAC＝90°，O为边BC上一点，OA＝OB＝OC，点M、N分别在边AB、AC上运动，且始终保持AN＝BM.在运动过程中，四边形AMON的面积为________cm2.第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝42，则AB的长为________；若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于点F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为________．第5题图6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 cm，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，直线BB′、CC′交于点D，则CD的长为________cm.第6题图7. 如图，四边形ABCD是正方形，且AB＝2，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG，在旋转过程中，当点A、G、C三点共线时，则点F到BC的距离为________．第7题图8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．第8题图9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC.则EC＋GC的最小值为________．第9题图10. 如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝43，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，BN CN的值为________．第10题图11.如图，在△ABC 中，已知AD 是BC 边上的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝3AD.将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的点B ′处，连接AB ′交BC 于点E ，那么CE ∶BE 的值为________．第11题图12.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是________．第12题图13. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 为AD 的中点，点N 为AB 上一点，连接MN ，CN ，将△AMN 沿直线MN 折叠后，点A 恰好落在CN 上的点P 处，则CN 的长为________．第13题图14. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向以每秒1个单位的速度平移得到△EFG (点E 在线段AC 上，运动到点C 停止运动，且不与点A 重合)，同时，点H 从点C 出发以相同的速度沿CB 方向移动，当△EFG 停止平移时，点H 也停止移动，连接EH ，GH ，当EH ⊥GH 时，AE BH的值为________．第14题图15.如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折至△AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝22BF时，DECD＝________．第15题图16. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC.连接AM、AN、MN，MN交AC于点P，则点P到直线CD的距离的最大值为________．第16题图17. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为________；四边形PCDQ周长的最小值为________．第17题图18.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD.若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为________．第18题图19. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为________，最小值为________．第19题图20. 如图①，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图②，点C落在点C′处，最后按图③所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG.若原正方形．．．．纸片的边长为6 cm，则FG＝________ cm.第20题图21. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，点P是直线CD上一点，连接P A，将线段P A绕点P逆时针旋转120°得到P A′，点M、N分别是线段AC、P A′的中点，连接MN，则线段MN的最小值为________．第21题图22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为________，此时BF的长为________．第22题图专题十几何动态探究题1. 3≤EF≤2【解析】如解图，连接BD，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠DBA＝∠C＝60°，AB＝BD＝BC，∵AE＝BF，∴BE＝CF，∴△DBE≌△DCF(SAS)．∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，∵∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF＝60°，∴△DEF 是等边三角形，∴EF＝DE，当点E与点H重合时，DE的值最小，此时DE＝AD·sin A＝3，当点E与点A (或点B )重合时，DE 的长最大，此时DE ＝2，∴EF 的取值范围为3≤EF ≤2.第1题解图2. 255 【解析】∵DG ＝GE ，∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4，由翻折的性质得△ADB ≌△ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12(AF ＋DF )·BF ＝4，即12(3＋DF )×2＝4，∴DF ＝1，∴DB ＝BF 2＋DF 2＝22＋12＝5，设点F 到BD 的距离为h ，则有12BD ·h ＝12BF ·DF ，即12×5·h ＝12×2×1，∴h ＝255.3. 4 【解析】∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠BAO ＝∠CAO ＝45°，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∴∠B ＝∠BAO ＝∠CAO ，在△AON 和△BOM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠CAO ＝∠B AN ＝BM，∴△AON ≌△BOM (SAS)，∴S △AON ＝S △BOM ，∴S △AON ＋S △AOM ＝S △BOM ＋S △AOM ，即S 四边形AMON ＝S △AOB ，∴S 四边形AMON ＝12S △ABC ＝12×12×4×4＝4 cm 2.4. 210－2 【解析】如解图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得到DM ，连接FM ，OM ，∵ ∠EDF ＝ ∠ODM ＝90°，∴ ∠EDO ＝∠FDM ，在△EDO 与△FDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ∠EDO ＝∠FDM DO ＝DM，∴ △EDO ≌△FDM (SAS) ，∴ FM ＝OE ＝2，∵在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 是BC 边的中点，∴ OC ＝2，∴OD ＝42＋22＝2 5 ，∴OM ＝2OD ＝210，∵OF ≥OM －MF ，∴OF ≥210－2 ，∴线段OF 长的最小值为210－2.第4题解图 5. 7；34 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BC 于点M .在Rt △ABM 中，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝45°，∴BM ＝AM ，AB ＝2AM ，设AM ＝BM ＝x ，在Rt △AMC 中，∵AC 2＝AM 2＋CM 2，∴52＝x 2＋(42－x )2，解得x＝722或22(舍)，∴AB ＝2x ＝7.过点F 作FN ⊥BC 于点N .∵DE ∥AC ，∴∠ACF ＝∠D ＝∠B ，∵∠CAF ＝∠CAB ，∴△ACF ∽△ABC ，∴AC AB ＝AF AC ，∴AC 2＝AF ·AB ，∴AF ＝257，∴BF ＝AB －AF ＝7－257＝247，∴BN ＝FN ＝1227，∴CN ＝BC －BN ＝42－1227＝1627，∴tan ∠BCD ＝FN CN ＝12271627＝34.第5题解图6. 2 6 cm 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥BD 交DB 的延长线于点E ，由旋转的性质得∠B ′AB ＝∠C ′AC＝30°，AB ′＝AB ，AC ′＝AC ，∴∠B ′BA ＝∠C ′CA ＝12×(180°－30°)＝75°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4cm ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠DCB ＝90°－∠C ′CA ＝15°，∴∠CDE ＝180°－∠B ′BA －∠ABC －∠DCB ＝180°－75°－45°－15°＝45°，∴∠DCE ＝∠CDE ＝45°，DE ＝CE ，∴∠BCE ＝∠DCE －∠DCB ＝45°－15°＝30°，在Rt △BCE 中，BC ＝4 cm ，∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝2 cm ，∴CE ＝BC 2－BE 2＝42－22＝2 3 cm ，∴CD ＝CE cos45°＝2322＝2 6 cm.第6题解图7. 2－2或2＋2 【解析】由旋转的性质可知AG ＝FG ＝AB ＝2，AF ＝2AG ＝2.分两种情况讨论：①如解图①，当点G 在线段AC 上时，连接AC ，BF ，可知点B 在线段AF 上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AF －AB ＝2－2；②如解图②，当点G 在CA 的延长线上时，连接AC ，AF ，此时点F 在BA 的延长线上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AB ＋AF ＝2＋ 2.综上所述，点F到BC 的距离为2－2或2＋ 2.图①图②第7题解图8. 7－1 【解析】如解图①，以点M 为圆心，AM 长为半径作圆，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接MC ，∵菱形ABCD 的边长为2，∠DAB ＝60°，M 是AD 的中点，∴MA ＝MA ′＝MD ＝12AD ＝1，∴点A ′在⊙M 上运动，由解图①得，只有当A ′运动到与点M 、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，∵CH ∥AB ，∴∠MDH ＝∠DAB ＝60°，在Rt △MDH 中，DH ＝MD ·cos ∠MDH ＝12，MH ＝MD ·sin ∠MDH ＝32，在Rt △MHC 中，HC ＝DH ＋DC ＝12＋2＝52，由勾股定理得MC ＝HC 2＋MH 2＝7，此时A ′C ＝MC －MA ′＝7－1，即A ′C 长度的最小值为7－1.第8题解图①【一题多解】如解图②，连接MC ，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，由题意可知，MA ＝MA ′＝12AD ，在△ MA ′C 中，由三角形三边关系可知，一定存在MA ′＋A ′C ≥MC ，∴当点M 、A ′、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，此时A ′C ＝MC －MA ′，其余解法同上．第8题解图②9. 45 【解析】如解图，连接AE 并延长，作点D 关于AE 的对称点H ，连接EH ，ED ，过点H 作HM ⊥CD ，与CD 的延长线交于点M ，则DE ＝EH ，∵△ABD 沿射线BD 平移得△EGF ，∴AE ∥BD ，AB ＝EG ，AB ∥EG ，∵AB ∥CD ，AB ＝CD ＝4，∴EG ∥CD ，EG ＝CD ＝4，∴四边形CDEG 是平行四边形，∴CG ＝DE ＝EH ，∴当点C ，E ，H 三点共线时，EC ＋GC 取得最小值，最小值为CH 的长．∵AE ∥BD ，AB ∥CD ，∴四边形ABDM 为平行四边形，∴DM ＝AB ＝4，∠DAM ＝45°，∴∠ADH ＝45°，∴∠MDH ＝45°，∴DM ＝HM ＝4，∴CH ＝CM 2＋HM 2＝（4＋4）2＋42＝45，∴EC ＋GC 的最小值为4 5.第9题解图10. 27 【解析】如解图，延长NF 与DC 交于点H .由折叠的性质得∠E ＝∠A ，∠EFN ＝∠B ，EM ＝AM ，EF ＝AB .∵EF ⊥AD ，∴∠MDE ＝90°.在Rt △MDE 中，tan E ＝DM DE ＝tan A ＝43，设DM ＝4k ，则DE ＝3k ，EM＝5k .∴AM ＝5k ，AD ＝9k .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝9k ，∠C ＝∠A ，AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠A ＋∠ADC ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°.∵∠ADF ＝90°，∴∠A ＋∠FDH ＝90°.∵∠DFH ＋∠EFN ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFN ＝∠B ，∴∠A ＝∠DFH .∴∠DFH ＋∠FDH ＝90°.∴∠DHF ＝90°.∵EF ＝AB ＝9k ，DE ＝3k ，∴DF ＝6k .在Rt △DHF 中，tan ∠DFH ＝tan A ＝43，易得sin ∠DFH ＝45，∴DH ＝DF ·sin ∠DFH ＝245k .∴HC ＝9k －245k ＝215k .在Rt △CHN 中，tan C ＝ tan A ＝43，易得cos C ＝35.∴NC ＝HC cos C ＝7k .∴BN ＝9k －7k ＝2k .∴BN CN ＝2k 7k ＝27.第10题解图11. 37 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点B ′作B ′G ⊥BC 于点G ，∵∠ADC ＝60°，∴∠ADB ＝120°，由折叠的性质得，∠ADB ′＝120°，∠CDB ′＝60°，B ′D ＝BD ，∵BC ＝3AD ，AD 是BC 边上的中线，∴设AD ＝m ，则BC ＝3m ，BD ＝B ′D ＝32m ，在Rt △ADF 中，DF ＝AD ·cos60°＝12m ，AF ＝AD ·sin60°＝32m ，∴BF ＝BD ＋DF ＝2m ，CF ＝BC －BF ＝m ，在Rt △B ′DG 中，DG ＝B ′D ·cos60°＝34m ，B ′G ＝B ′D ·sin60°＝334m ，∴FG ＝DG －DF ＝14m ，∵AF ⊥BC ，B ′G ⊥BC ，∴AF ∥B ′G ，∴△AFE ∽△B ′GE ∴FE GE ＝AF B ′G ＝32m334m＝23，∵FE ＋GE ＝FG ＝14m ，∴FE ＝110m ，∴BE ＝BF ＋FE ＝2110m ，CE ＝CF －FE ＝910m ，∴CE BE ＝910m 2110m ＝37.第11题解图12. 6＋22 【解析】如解图，以AB 为边向下作等边△ABK ，连接EK ，在EK 上取一点T ，连接AT ，使得TA ＝TK .由旋转的性质得BE ＝BF ，∠EBF ＝60°，∵△ABK 为等边三角形，∴BK ＝BA ，∠EBF ＝∠ABK ＝60°，∴∠ABF ＝∠KBE ，∴△ABF ≌△KBE (SAS)，∴AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，KE 的值最小，即AF 最小．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ＝135°，∵∠BAK ＝60°，∴∠EAK ＝75°，∵∠AEK ＝90°，∴∠AKE ＝15°，∵TA ＝TK ，∴∠TAK ＝∠AKT ＝15°，∴∠ATE ＝∠TAK ＋∠AKT ＝30°，设AE ＝a ，则AT ＝TK ＝2a ，ET ＝3a ，在Rt △AEK 中，AE 2＋EK 2＝AK 2，∴a 2＋(2a ＋3a )2＝22，∴a ＝6－22，∴EK ＝2a ＋3a ＝6＋22，∴AF 的最小值为6＋22.第12题解图13. 133 【解析】如解图，连接CM ，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AD ＝BC ＝4，CD ＝AB ＝3，∠D ＝90°，由折叠的性质得，AM ＝PM ，∠MPN ＝∠A ＝90°，∠AMN ＝∠PMN ，∴∠CPM ＝90°，∵点M 为AD 的中点，∴AM ＝DM ＝12AD ＝2，∴PM ＝AM ＝DM ＝2，在Rt △CPM 与Rt △CDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝DM CM ＝CM，∴Rt △CPM ≌Rt △CDM (HL)，∴CP ＝CD ＝3，∠CMP ＝∠CMD ，∴∠NMC ＝∠NMP ＋∠CMP ＝12(∠AMP ＋∠DMP )＝90°，∴CM ＝DM 2＋CD 2＝22＋32＝13，∵∠CPM ＝∠CMN ＝90°，∠MCP ＝∠NCM ，∴△CMP ∽△CNM ，∴CM CN ＝CP CM ，即13CN ＝313，∴CN ＝133.第13题解图14. 37 【解析】如解图，过点E 作EM ⊥BC 的于点M ，过点G 作GN ⊥BC 交BC 的延长线于点N ，∴四边形EMNG 是矩形，∴EG ＝MN ＝5，EM ＝GN ，∵∠BAC ＝∠EMH ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ，∴△ABC ∽△MEC ，∴AB ME ＝BC EC ＝AC MC ，∵AB ＝3，BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝4，设运动时间为t (0＜t ≤4)，则AE ＝CH ＝t ，CE ＝4－t ，∴3ME ＝54－t ＝4MC ，∴EM ＝12－3t 5，CM ＝16－4t 5，∴HN ＝5－MH ＝5－(CM －CH )＝5－(16－4t 5－t )＝9＋9t5.∵EH ⊥GH ，∴∠EHG ＝90°，∴∠EHM ＋∠GHN ＝90°，又∵EM ⊥BC ，∴∠EHM ＋∠MEH ＝90°，∴∠GHN ＝∠MEH ，又∵∠EMH ＝∠HNG ＝90°，∴△EMH ∽△HNG ，∴EM HN ＝MH NG ，即12－3t 59＋9t 5＝16－4t5－t 12－3t 5，整理得2t 2－3t ＝0，解得t ＝32或t ＝0(舍去)，即AE ＝32，BH ＝5－CH ＝5－32＝72，∴AE BH ＝3272＝37.第14题解图15. 2－1 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BP 于点M ，过点E 作EN ⊥BP 于点N .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，由翻折的性质得AD ＝AF ，∠DAE ＝∠EAF ，∴AB ＝AF ，∵AM ⊥BF ，∴BM ＝FM ，∠BAM ＝∠FAM ，∴∠PAM ＝∠PAF ＋∠FAM ＝12∠BAD ＝45°，∵∠AMP ＝90°，∴∠P ＝∠PAM＝45°，∴AM ＝MP ，设BF ＝2a ，则BM ＝MF ＝a ，PF ＝22BF ＝2a ，∴AM ＝PM ＝FM ＋PF ＝a ＋2a ，∵∠AMF ＝∠AFE ＝∠ENF ＝90°，∴∠AFM ＋∠EFN ＝90°，∠EFN ＋∠FEN ＝90°，∴∠AFM ＝∠FEN ，∴△AMF ∽△FNE ，∴AM FM ＝FN EN ＝a ＋2aa ＝1＋2，设EN ＝PN ＝x ，则FN ＝(1＋2)x ，∴(1＋2)x＋x ＝2a ，∴x ＝(2－1)a ，∴EN ＝(2－1)a ，∴EF AF ＝EN FM ＝（2－1）a a＝2－1，∵CD ＝AD ＝AF ，DE ＝EF ，∴DE CD ＝EFAF ＝2－1.第15题解图16. 334 【解析】如解图，过点P 作PE ⊥CD 于点E .∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∠ACB ＝∠ACD ＝60°，在△ABM 和△ACN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABM ＝∠ACN ，BM ＝CN∴△ABM ≌△ACN (SAS)，∴AM ＝AN ，∠BAM ＝∠CAN ，∴∠MAN ＝∠BAM ＋∠MAC ＝60°，∴△AMN 为等边三角形，∵∠B ＝∠ACB ＝∠AMP ＝60°，∴∠BAM ＋∠BMA ＝∠BMA ＋∠CMP ＝180°－60°＝120°，∴∠BAM ＝∠CMP ，∠BMA ＝∠CPM ，∴△BAM ∽△CMP ，∴BA BM ＝CM CP ，设BA 长为a ，BM 长为x ，则CM ＝a －x ，∴a x ＝a －xCP ，∴a ·CP ＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－(x －a 2)＋a 24，∴CP ＝－1a (x －a 2)＋a 4，∴当x ＝a 2时，CP 最长，即当AM ⊥BC 时，△AMN 边长最小，此时CP 最长，满足条件，∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴BM ＝MC ＝3，∠CMP ＝30°，∠CPM ＝90°，∴PC ＝12MC ＝32，在Rt △PCE 中，∵∠ACD ＝60°，∴PE ＝PC ·sin60°＝334.第16题解图17. 3134；6＋39 【解析】设AQ ＝x ，则S 四边形PCDQ ＝S △ABC －S △ADQ －S △BCP ＝34×62－12·x ·32×1－12×(6－x －1)×32×6＝332＋534x ，∵x 的最大值为6－1＝5，∴当x ＝5时，S 四边形PCDQ 最大，最大值为332＋534×5＝3134；如解图，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接D ′Q ，以D ′Q 、PQ 为边作平行四边形PQD ′M ，则DQ ＝D ′Q ＝MP ，∴C 四边形PCDQ ＝PM ＋PC ＋PQ ＋DC ，DD ′＝2AD ·sin60°＝3，D ′M ＝PQ ＝1，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 于点H ，交D ′M 的延长线于点N ，则∠N ＝90°，CH ＝BC ·sin60°＝33，NH ＝12DD ′＝32，∴MN ＝AH －D ′M －AD ·cos60°＝AC ·cos60°－1－12＝3－1－12＝32，CN ＝NH ＋CH ＝32＋33＝732，当点M ，P ，C 在同一直线上时，MP ＋CP 的最小值等于CM 的长，即DQ ＋CP 的最小值等于CM 的长，此时，Rt △MNC 中，CM ＝MN 2＋CN 2＝（32）2＋（732）2＝39，又∵PQ ＝1，CD ＝6－1＝5，∴四边形PCDQ 周长的最小值为CM ＋PQ ＋CD ＝6＋39.第17题解图 18. 27－952或92 【解析】分两种情况讨论，如解图①，当GD ＝GE 时，过点G 作GM ⊥AD 于点M ，GN ⊥CD 于点N .设AF ＝x .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝12，∠BAF ＝∠ADE ＝90°，由翻折的性质得AF ＝FG ，BF ⊥AG ，∴∠DAE ＋∠BAE ＝90°，∠ABF ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，∴△BAF ∽△ADE ，∴AB DA ＝AF DE ，即912＝x DE ，∴DE ＝43x ，∵GM ⊥AD ，GN ⊥CD ，∴∠GMD ＝∠GND ＝∠MDN ＝90°，∴四边形GMDN 是矩形，∴GM ＝DN ＝EN ＝23x ，∵GD ＝GE ，∴∠GDE ＝∠GED ，∵∠GDA ＋∠GDE ＝90°，∠GAD ＋∠GED ＝90°，∴∠GDA ＝∠GAD ，∴GA ＝GD ＝GE ，∵GM ⊥AD ，∴AM ＝MD ＝6，在Rt △FGM 中，由勾股定理得x 2＝(6－x )2＋(23x )2，解得x ＝27－952或27＋952(舍)，∴AF ＝27－952；如解图②，当DG ＝DE 时，由翻折的性质得，BA ＝BG ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∵DG ＝DE ，∴∠DGE ＝∠DEG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DEG ，∴∠AGB ＝∠DGE ，∴B ，G ，D 三点共线，∵BD ＝AB 2＋AD 2＝92＋122＝15，BG ＝BA ＝9，∴DG ＝DE ＝6，由①知，△BAF ∽△ADE ，∴AF DE ＝AB DA ，即AF 6＝912，∴AF ＝92.综上所述，AF 的值为27－952或92.图①图②第18题解图19. 45；22 【解析】如解图，取BC 的中点G ，连接DG ，由旋转的性质得DC ＝EC ，∠DCE ＝90°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝8，F 为AC 中点，∴CG ＝CF ，∠DCG ＋∠ACD ＝∠ECF ＋∠ACD ＝90°，∴∠DCG ＝∠ECF ，∴△DCG ≌△ECF (SAS)，∴DG ＝EF .分两种情况讨论：如解图①，当GD ⊥AB 时，DG 最短，此时△BDG 是等腰直角三角形，∴DG ＝BG ·sin45°＝4×22＝22，∴EF 的最小值为22；当点D 与点B 重合时，DG ＝BG ＝4；如解图②，当点D 与点A 重合时，DG ＝CG 2＋AC 2＝42＋82＝45＞4，∴EF 的最大值为45，最小值为2 2.图①图②第19题解图 20. 10 【解析】如解图，过点A ′作A ′H ⊥AD 于点H ，延长FA ′与BE 的延长线交于点J ，过点F 作FI ⊥BE 于点I ，∵A ′是DE 的中点，∴A ′H 是△DC ′E 的中位线，∴A ′H ＝12C ′E ＝12×3＝32 cm ，由折叠性质知∠A ′DH ＝45°，∴DH ＝A ′H ＝32 cm ，设AF ＝x cm ，则FH ＝6－x －32＝(92－x ) cm ，由折叠的性质得A ′F ＝AF＝x cm ，在Rt △A ′HF 中，由勾股定理得A ′F 2－FH 2＝A ′H 2，即x 2－(92－x )2＝(32)2，解得x ＝52，∴A ′F ＝AF ＝52 cm ，FH ＝92－52＝2 cm ，∴EI ＝FC ′＝FH ＋DH －C ′D ＝2＋32－3＝12 cm ，∵A ′是DE 的中点，易证△A ′DF ≌△A ′EJ ，∴EJ ＝DF ＝2＋32＝72 cm ，A ′F ＝A ′J ＝52 cm ，∴FJ ＝5 cm ，由折叠的性质得∠AFG ＝∠JFG ，∵AD ∥BJ ，∴∠JGF ＝∠AFG ＝∠JFG ，∴JG ＝JF ＝5 cm ，∴GI ＝JG －JE －EI ＝5－72－12＝1 cm ，在Rt △FGI 中，FI ＝3 cm ，∴FG ＝32＋12＝10 cm.第20题解图21. 5217 【解析】如解图，点P 在直线CD 上运动时，当MN 垂直于点N 的运动轨迹(直线)时，MN 最短，当点P 和C 重合时，N 1 是CB 的中点，当PA ′和直线CD 重合时，N 2 是PA ′的中点，∵AC ＝CB ＝4，∠ACB ＝120°，CD ⊥AB ，∴CD ＝2，AD ＝23，∴AB ＝2AD ＝43，∵M 、N 1分别是AC 、BC 中点，∴MN 1∥AB ，MN 1＝12AB ＝23，DE ＝1，∵PA ′是PA 绕点P 逆时针旋转120°得到的，当PA ′和直线CD 重合时，PA ′＝PA ，∠APA ′＝120°，∴∠APD ＝60°，∴AP ＝AD sin60°＝2332＝4，DP ＝AP ·cos60°＝4×12＝2，∵N 2是PA ′的中点，∴PN 2＝2，EN 2＝2＋2＋1＝5，∵MN 1∥AB ，CD ⊥AB ，MN 1⊥CD ，在△MEN 2和△N 1EN 2中，⎩⎪⎨⎪⎧ME ＝N 1E ∠MEN 2＝∠N 1EN 2EN 2＝EN 2，∴△MEN 2≌△N 1EN 2(SAS)，∴N 2M ＝N 2N 1，在Rt △MN 2E 中，N 2M ＝ME 2＋EN 22＝（3）2＋52＝27，∴S △MN 1N 2＝12MN 1·EN 2＝12×23×5＝53，又∵S △MN 1N 2＝12N 1N 2·MN ，∴12×27×MN ＝53，∴MN ＝5217.第21题解图22. 30；6 【解析】如解图①，连接AC ，分别过点E ，G 作AC 的垂线，垂足为M ，N ，易证△AEM ∽△ACB ，∴AE AC ＝EM CB ，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∴410＝EM 8，∴EM ＝165.∵△BEF 沿EF 翻折后点B 的对应点为点G ，∴GE ＝BE ＝2，∴点G 在以点E 为圆心，2为半径的⊙E (在矩形ABCD 内的部分)上．连接EN ，则EG ＋GN ≥EN ≥EM ，∴GN ≥EM －EG ＝165－2＝65.∵S 四边形AGCD ＝S △ACD ＋S △AGC ＝12AD ·CD ＋12AC ·GN ＝24＋5GN ，如解图②，当点G 在EM 上，即点N 与点M 重合，此时GN 取得最小值65，S 四边形AGCD 取得最小值为24＋5GN ＝24＋5×65＝30；如解图②，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，∵EM ⊥FG ，EM ⊥AC ，∴四边形FGMH 是矩形，∴FH ＝GM ＝65，∵∠FCH ＝∠ACB ，∠CHF ＝∠CBA ＝90°，∴△CHF ∽△CBA ，∴CF CA ＝FH AB ，即CF 10＝656，∴CF ＝2，∴BF ＝BC －CF ＝8－2＝6.图①图②第22题解图。