函数的单调性教案
中职数学教案：函数的单调性
中等专业学校2023-2024-1教案函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因此这一节我们一起来研究函数的性质．3.3.1 函数的单调性一．情境导入请大家观察下图，这是某市某天气温y（℃）是时间y(时)的函数图像，记这个函数为y = f(x)．观察图像，当自变量x变化时，函数y = f(x)怎样变化? 如何用数学的语言来表示这个变化？由图可知：时间从4ℎ到14ℎ曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高，也就是说当y∈ [4，14] 时，函数y = y(y)的值随自变量x 的增大而增大．时间从14ℎ到24ℎ曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降低，也就是说当y∈ [14，24] 时，函数y = y(y)的值随自变量x的增大而减小．由图可知：在给定区间[4，14]上，对于图像上的任意两点y1(y1, y1)，y2(y2, y2)，当y1＜y2时，都有y1＜y2，即，f(x1)＜f(x2)．在给定区间[14，24]上，对于图像上的任意两点y3(y3, y3)，y4(y4, y4)，当y3＜y4时，都有y3＞y4，即f(x3)＞f(x4)．二、新授从上述例子可抽象出如下定义：设函数y = y(y)的定义域为D，区间y⊆ y．（1）如果对于区间y上的任意两点y1，y2，当y1＜y2时，都有y(y1) ＜y(y2)，那么称函数y = y(y)在区间I上是增函数，区间I 称为函数y = y(y)的增区间．如图（1）所示．（2）如果对于区间y上的任意两点y1，y2，当y1€y2时，都有y(y1) Σ y(y2)，那么称函数y = y(y)在区间I上是减函数，区间I称为函数y = y(y)的减区间．如图（2）所示．如果函数y = y(y)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y = y(y)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间．增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间．三、例题讲解例1 根据函数在R 上的图像，如图所示，写出其单调区间：解（1）由图（1）所示函数图像可知，函数y =y(y)的定义域为R，增区间为(—∞，0]，减区间为[0，+ ∞)．（2）由函数图像（2）可知，函数y = y(y)的定义域为(—∞，0) ∪ （0, +∞) ，增区间为(—∞，0)和（0, +∞)．探究与发现函数f (x)=1 的减区间能写成(—∞，0) ∪x（0, +∞)吗？例2 讨论函数y(y) = 2y + 1在(—∞，+ ∞）上的单调性．解任取y1, y2∈ (—∞，+ ∞）且y1＜y2，因为y(y1) —y(y2) = (2y1 + 1)－(2y2 + 1)=2y1— 2y2= 2(y1—y2)，由y1—y2＜0，所以y(y1) —y(y2)＜0,即y(y1) ＜y(y2)．。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会利用单调性判断函数的性质，如极值、最值等。
3. 能够运用单调性解决实际问题，如求函数的极值、最值等。
二、教学内容：1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。
2. 单调性的判断方法及应用。
3. 实际问题中的单调性应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的概念及判断方法。
2. 单调性在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的思考。
五、教学过程：1. 导入：复习函数的概念，引导学生思考函数的性质。
2. 讲解：讲解函数单调性的概念，引导学生理解单调增、单调减的定义。
3. 举例：分析具体函数的单调性，让学生学会判断。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固单调性的判断方法。
5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
6. 总结：回顾本节课的内容，强调单调性的重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：收集学生练习题的答案，评估学生对单调性判断方法的掌握。
3. 案例分析：评估学生在实际问题中运用单调性的能力。
七、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用，如经济学中的需求曲线、供给曲线等。
2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用，如微分、积分等。
八、教学资源：1. 教材：提供相关教材，为学生提供系统性的学习材料。
2. 课件：制作课件，辅助教学，提高课堂效果。
3. 练习题：准备练习题，巩固所学内容。
4. 实际问题案例：收集实际问题案例，用于教学实践。
九、教学建议：1. 注重概念的理解：在教学过程中，要强调函数单调性概念的理解，让学生明白单调性是什么。
函数的基本性质单调性教案
函数的基本性质——单调性教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）能够运用单调性解决实际问题，如求函数的最值等。
2. 过程与方法：（1）通过观察实例，引导学生发现函数单调性的规律；（2）利用数形结合，让学生理解函数单调性的几何意义。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的概念及其判断方法；（2）单调性在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）理解函数单调性的几何意义；（2）如何运用单调性解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：通过实例引入函数单调性的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课讲解：（1）介绍函数单调性的定义及判断方法；（2）利用数形结合，讲解函数单调性的几何意义。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生学会运用单调性解决实际问题。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检验对单调性的掌握程度。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调单调性在数学中的重要性。
四、课后作业1. 完成练习册的相关题目；2. 选取一个实际问题，运用单调性进行解决。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对函数单调性的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的情感态度，激发学生对数学的兴趣。
六、教学活动设计1. 互动环节：学生分组讨论，举例判断给定函数的单调性；2. 探究活动：学生自主研究，分析函数单调性在实际问题中的应用；3. 小组合作：学生分组完成课后作业，相互检查，共同提高。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生课后作业的完成质量，评价学生对单调性的掌握程度；3. 实际问题解决：评估学生在探究活动中的成果，检验学生运用单调性解决问题的能力。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
函数的单调性优秀教案
函数的单调性优秀教案一、教学目标1、知识与技能目标理解函数单调性的概念，能够根据函数的图象判断函数的单调性。
掌握函数单调性的证明方法，能运用定义证明函数的单调性。
2、过程与方法目标通过观察函数图象，引导学生发现函数单调性的特征，培养学生的观察能力和归纳能力。
通过函数单调性的证明，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，提高学生的逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标让学生在自主探究中体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。
通过函数单调性的应用，让学生感受数学与实际生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点1、教学重点函数单调性的概念。
运用定义证明函数的单调性。
2、教学难点函数单调性定义的理解。
利用定义证明函数的单调性。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课展示函数图象，如一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，二次函数 y ＝ x²的图象。
引导学生观察图象的上升和下降趋势，提问：“从图象中，你能发现函数值随着自变量的变化有什么规律吗？”2、讲授新课给出函数单调性的定义：设函数 f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数（或减函数）。
强调定义中的关键词：定义域、区间、任意、都有。
通过具体例子，如 f(x) ＝ x²在区间 0, ＋∞）上是增函数，在区间（∞， 0 上是减函数，帮助学生理解函数单调性的概念。
3、例题讲解例 1：判断函数 f(x) ＝ 2x 1 在区间（∞，＋∞）上的单调性。
分析：设 x₁，x₂是区间（∞，＋∞）上的任意两个实数，且 x₁＜ x₂，计算 f(x₂) f(x₁)，判断其符号。
解：f(x₂) f(x₁) ＝（2x₂ 1) （2x₁ 1) ＝ 2(x₂ x₁)因为 x₁＜ x₂，所以 x₂ x₁＞ 0，所以 2(x₂ x₁) ＞ 0，即 f(x₂) f(x₁) ＞ 0，所以 f(x) ＝ 2x 1 在区间（∞，＋∞）上是增函数。
【教案】《函数的单调性与最值》公开课教学设计
公开课《函数的单调性与最值》教学设计（建阳一中市级公开周）函数的单调性是函数应用中最基本、最重要的知识点，求函数的最值都离不开单调性，而单调性的基础数形结合，这类题型是历年高考的热点，也是难点，针对这类基础薄弱的学生，起点不宜太高，只能从最基础的部分拾起，以题目贯穿内容，逐级而上.教学方法：提示练习探讨法教学过程一、复习引入1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值二、新课讲授典例讲解问题一：不含参数的函数的单调性例1.求函数 12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．.求函数 []10,2,16)(∈+=x xx x f 的最大值.例2.求下列函数的最值. （1）2)(x x f =(2)[)3,0,12)(2∈--=x x x x f2(3)()21[1,1]f x x ax =---求函数在上的最小值。
【题后感悟】(1)如何求二次函数在闭区间[m,n]上的最值？ 确定二次函数的对称轴，如x=a;根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论； 结合图象明确函数的单调区间进而求解.(2)二次函数在闭区间上的最值只可能在区间的端点处及二次函数图象的对称轴处取得.跟踪练习.][)[][).()(1,3)(3,22)(0,2)1(,32)(2t g x f t t x x f x x f x x x f x的最小值时，求）当（的最值；时，求）当（的最值；时，求当已知二次函数+∈-∈-∈+-=课堂小结利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1. 利用图象求函数的最大(小)值2.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值3.利用函数单调性判断函数的最大(小)值 （1）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a 处有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b) ；（2）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________.。
“函数的单调性”教案
函数的单调性教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会运用单调性判断函数的单调性，并能应用于实际问题中。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
3. 单调性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
四、教学方法1. 采用讲解、案例分析、讨论相结合的教学方法。
2. 利用数形结合的思想，引导学生直观理解函数的单调性。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过回顾初中阶段的反比例函数、二次函数等图像，引导学生关注函数的单调性。
2. 讲解函数单调性的概念：定义域内单调递增或递减的函数。
3. 讲解函数单调增和单调减的性质：自变量增大，函数值增大（减小）。
4. 判定方法：利用导数或图像判断函数的单调性。
5. 案例分析：分析具体函数的单调性，如f(x)=x^2、f(x)=-x^2等。
6. 练习：让学生独立判断给定函数的单调性，并解释原因。
7. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
8. 作业布置：巩固函数单调性的理解和应用。
六、教学拓展1. 探讨函数单调性与极值的关系：函数在极值点附近单调性发生变化。
2. 引入“局部单调性”概念：函数在某个区间内单调递增或递减。
3. 举例说明局部单调性在实际问题中的应用：优化问题、经济领域等。
七、课堂互动1. 提问：请问同学们认为函数的单调性在实际生活中有哪些应用？2. 学生分享：结合实际例子，如商品价格变动、经济增长等。
3. 教师点评：总结同学们的观点，并强调函数单调性的实际意义。
八、单调性在实际问题中的应用1. 举例说明：商品打折问题、利润最大化问题等。
2. 引导学生运用单调性解决实际问题：分析问题、建立模型、求解。
3. 课堂练习：让学生自主解决一个实际问题，如温度变化、速度与时间等。
“函数的单调性”教案
“函数的单调性”教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 能够运用函数单调性解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对函数知识的兴趣。
二、教学内容1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探究函数单调性的定义与性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 结合实际问题，培养学生运用函数单调性解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的单调性。
2. 讲解函数单调性的定义与性质：详细讲解函数单调性的概念，引导学生理解并掌握函数单调性的性质。
3. 判断函数单调性的方法：讲解如何判断函数的单调性，引导学生通过实例分析来掌握判断方法。
4. 运用函数单调性解决实际问题：给出实际问题，引导学生运用函数单调性进行解决，培养学生的应用能力。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的作业，巩固学生对函数单调性的理解和掌握。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解程度，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的困惑。
2. 作业批改：重点关注学生对函数单调性概念的掌握和判断方法的运用，及时给予反馈和指导。
3. 课堂练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生在课堂上独立完成，检验学生对函数单调性的掌握情况。
七、教学拓展1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 介绍函数单调性在实际应用中的重要作用，如经济学、物理学等领域。
3. 鼓励学生进行课外阅读，了解函数单调性的更多相关知识，提高学生的知识面。
八、教学反思1. 反思教学过程中的优点和不足，总结经验教训，为今后的教学提供参考。
“函数的单调性”教案
函数的单调性教案一、教学目标：1. 理解单调性的概念，能判断简单函数的单调性。
2. 掌握单调性的证明方法，能运用单调性解决实际问题。
3. 理解单调性在数学分析中的重要性，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 单调性的定义与性质2. 单调性的判断方法3. 单调性的证明方法4. 单调性在实际问题中的应用5. 单调性的进一步探讨三、教学重点与难点：1. 单调性的定义与性质2. 单调性的判断方法3. 单调性的证明方法四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解单调性的定义、性质、判断方法和证明方法。
2. 利用实例分析，让学生直观地理解单调性。
3. 引导学生运用单调性解决实际问题，培养学生的应用能力。
4. 开展小组讨论，激发学生的思考与创新。
五、教学过程：1. 导入：回顾函数的基本概念，引导学生思考函数的性质。
2. 新课讲解：（1）介绍单调性的定义与性质，通过示例让学生理解单调递增和单调递减的概念。
（2）讲解单调性的判断方法，引导学生学会如何判断函数的单调性。
（3）教授单调性的证明方法，让学生掌握如何证明函数的单调性。
3. 实例分析：分析实际问题，运用单调性解决问题。
4. 小组讨论：让学生围绕单调性展开讨论，分享自己的观点和心得。
5. 总结与拓展：回顾本节课的内容，布置课后作业，引导学生进一步探讨单调性的相关问题。
六、课后作业：（1）f(x) = x²（2）f(x) = -x（1）f(x) = x³（2）f(x) = x + 13. 运用单调性解决实际问题：（1）已知函数f(x) = x²4x + 3，求函数的最大值。
（2）已知函数f(x) = 2x 3，求函数在区间[1, +∞）上的最小值。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习积极性。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评价学生对单调性的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在讨论中的表现，包括思考问题、分享观点和合作意识等方面。
高一数学1.3.1《函数的单调性》教案（新人教A版必修1）
⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。
2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
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(一)创设情境，引入课题
概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验
以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从具体
材料??——有关奥运会天气的例子出发，而不是从抽象语言入手来引入函数的单调性.使学
生体会到研究函数单调性的必要性，明确本课我们要研究和学习的课题，同时激发学生的学
习兴趣和主动探究的精神．
在课前，我给学生布置了两个任务：
(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8
日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，
平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.
(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上我引导学生观察2006年8月8日的气温变化曲线图，引导学生体会在某些时段温
度升高，某些时段温度降低.
然后，我指出生活中我们关心很多数据的变化，并让学生举出一些实际例子（如燃油
价格等）. 随后进一步引导学生归纳：所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着
自变量的变化，函数值是变大还是变小．
(二)归纳探索，形成概念
在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的发生与发展过程和数形结合的数学
思想，经历观察、归纳、抽象的探究过程，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了三个
环节,引导学生分别完成对单调性定义的三次认识.
1．借助图象，直观感知
本环节的教学主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，
直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.
在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：
问题1：分别作出函数的图象，并且观察自
变量变化时，函数值有什么变化规律？
在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，
y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，
对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.
而后两个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对
定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌
握概念，因此我设计了问题2.
问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
教学中，我引导学生用自己的语言描述增函数的定义：
如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数在某个区
间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．
然后让学生类比描述减函数的定义.至此，学生对函数单调性就有了一个直观、描述性
的认识．
2．探究规律，理性认识
在此环节中，我设计了两个问题，通过对两个问题的研究、交流、讨论，将函数的单
调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式，使学生对单调性的认识由感性认识上升
到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识．
问题1：右图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增
函数和减函数吗？
对于问题1，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函
数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确
化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调
性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.
问题2：如何从解析式的角度说明在上为增函数？
在前边的铺垫下，问题2是形成单调性概念的关键.在教学中，我组织学生先分组探究，
然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈，评价，对普遍出现的问题组织学
生讨论，在辨析中达成共识.
对于问题2，学生错误的回答主要有两种：
(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为,所以在上为
增函数．
(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以在上为增函数．
对于这两种错误，我鼓励学生分别用图形语言和文字语言进行辨析.引导学生明确问题
的根源是两个自变量不可能被穷举.在充分讨论的基础上，引导学生从给定的区间内任意取
两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答:
任意取,有,即，所以
在为增函数．
这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意
性；(2)求差比较它们函数值的大小.事实上,这种回答也给出了证明单调性的方法，为后续
用定义证明其他函数的单调性做好铺垫,降低难度.至此，学生对函数单调性有了理性的认
识.
3．抽象思维，形成概念
本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历
从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第三次认识.
教学中，我引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比
得到减函数的定义.然后我指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地
方进行强调.
同时我设计了一组判断题：
判断题：
①．
②若函数满足f(2)
④因为函数在上都是减函数，所以在
上是减函数.
通过对判断题的讨论，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单
调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在
上是增（或减）函数．
从而加深学生对定义的理解，完成本阶段的教学.
（三）掌握证法，适当延展
本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生
初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法，同时引导学生探究定义的等价形式，对证
明方法做适当延展.
例 证明函数在上是增函数．
在引入导数后，用定义证明单调性的作用已经有所降低，我选择一个较难的例子，主
要是考虑让学生对证明过程中遇到的问题有一个比较深刻的认识.
证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤.
1．难点突破
对于函数单调性的证明，由于前边有对函数在上为增函数的研究作
铺垫, 大部分学生能完成取值和求差两个步骤:
证明：任取,
，
因此学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中
在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔；另一方面部分学生在变形不彻底,
理由不充分的情形下就下结论.
针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾函数在
上为增函数的说明过程，明确变形的主要思路是因式分解.然后我引导学生从已有的
认知出发，考虑分组分解法，即把形式相同的项分在一起，变形后容易找到公因式,
提取后即可考虑判断符号.
2．详细板书
在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程
的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯.
证明：任取, 设元
求差
变形
.
由得 断号
又由，得
于是即.
所以，函数在上是增函数．定论
3．归纳步骤
在板书的基础上，我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤(设元,求差,
变形,断号,定论).通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，特别是第三
步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力．
为了巩固用定义证明函数单调性的方法，强化解题步骤，形成并提高解题能力，我设
计了课堂练习：
证明：函数在上是增函数．
教学过程中，我对学生的完成情况进行及时评价和有针对性的指导. 同时考虑到我校
学生数学基础较好，思维较为活跃的特点，为了加深学生对定义的理解，并对判断单调性的
方法做适当延展，我设计了下面的问题.
问题：除了用定义外，如果证得对任意的，且，有
，能断定函数在上是增函数吗?
教学过程中，我引导学生分析这种叙述与定义的等价性．然后，让学生尝试用这种定
义等价形式证明之前的课堂练习.这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法
研究函数单调性埋下伏笔．