定积分高考真题及答案
高考数学十年真题专题解析—定积分及其应用
定积分及其应用十年大数据年份题号考点考查内容20119定积分的几何意义主要考查利用定积分计算曲边梯形的面积考点34定积分的计算1.(2013江西)若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<【答案】B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121xxS e dx ee e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．2.(2011福建)1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +【答案】C 【解析】1(2)xex dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．3.(2015湖南)2(1)x dx -⎰=．【答案】0【解析】2221(1)()002x dx x x -=-=⎰．4.(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为．【答案】3【解析】39333032=⇒===⎰T T x dx x TT．5.(2012江西)计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．【答案】23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰112333=+=．6.(2011陕西)设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰ ，若((1))1f f =，则a =．【答案】8.1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．考点35定积分的几何意义1.(2011全国课标理9)由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为(A)103(B)4(C)163(D)6【答案】C 【解析】解2y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得(4,2)，由图知，由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为4(2)x x dx +⎰=3242021(2)|32x x x -+=163，故选C .2.(2014山东)直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4【答案】D【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-(舍去)，直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰，故选D ．3.(2012福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【解析】∵312201211)()0326S x x dx x x -=-=⎰阴影=（,正方形的面积为1，∴P =16，故选C ．4.(2015福建)如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．5.(2014福建)如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．【答案】22e 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e 阴正．6.(2012山东)设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．【答案】94【解析】a a x dx x S a a====⎰23233232，解得49=a ．。
十年高考真题(答案)——导数,微积分,定积分
∫1
8．C【解析】∵
S阴影 =
（
0
x − x)dx =
(2
3
x2
−
1
x2 )
1
=
3 20
1
,正方形的面积为 1，
6
∴P=1． 6
∫4
9．C【解析】用定积分求解 ( 0
x − x + 2)d=x
(2 3
3
x2
−
1 2
x2
+
2 x)=04
16
，选 C
3
∫ 10．C【解析】
1(ex + 2x)dx
0
=(ex
∫ 20． 5 【解析】由已知得阴影部分面积为 4 − 2 x2dx =4 − 7 = 5 ．所以此点取自阴影部分
12
1
33
5
的概率等于 3 = 5 ． 4 12
21． y =−5x + 3 【解析】 y′ = −5e−5x ，在点 (0, 3) 处的切线的斜率为 −5 ，
切线方程为 y − 3 =−5(x − 0) ，即 y =−5x + 3．
2 22． e2 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，
∫ ∴ S阴=2(e −
1 e x dx)
0
=2e
−
2ex
|10
=2 ，由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率为
S阴 S正
=
2 e2
．
23．－3【解析】由题意可得 −5= 4a + b ① 2
又 f ′(= x)
2ax −
b x2
，过点 P(2,−5) 的切
x1
+
1 x1
高中数学 定积分 试题及解析
高中数学定积分试题一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣13．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1 6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e+C．e﹣D．e+19．定积分（+x）dx＝（）A．+B．C．+1D．10．若a＝（x+1）dx，b＝cos xdx，c＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．812．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜014．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．102415．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．816．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e17．直线y＝x与曲线y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．18．若函数f（x）＝A sin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B．C．1﹣D．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A．e2﹣1B．e2﹣C．e2﹣D．e2﹣21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A．B．C．D．﹣1 22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A．B．C．D．25．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．026．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C．D．27．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A．B．C．D．828．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A．B．C．D．929．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝．34．计算定积分＝．35．（e x+2x）dx＝．36．计算：dx＝．37．若，则a＝．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是40．计算定积分sin xdx＝．41．定积分＝．42．的值为．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝．50．计算2xdx＝．参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π【分析】对2和分别积分，结合定积分的几何意义求解即可．【解答】解：＝+，而表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆在[0，2]部分的面积，故＝+＝2x+＝4+π，故选：A．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣1【分析】根据定积分的计算方法直接求解即可．【解答】解：＝（x﹣lnx）＝（e﹣1）﹣（1﹣0）＝e﹣2，故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．3．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．【分析】根据函数|1﹣x2|为偶函数，将原式转化为[0，2]上的定积分，再分别转化为[0，1]和[1，2]上分别积分即可．【解答】解：∵函数|1﹣x2|为偶函数，∴|1﹣x2|dx＝2＝2+2＝2（x﹣）|+2（）|＝4．故选：B．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．【分析】画出图象，利用定积分求出即可．【解答】解：＝b﹣＝，b＝1，故b＝1，把b＝1代入f（x）＝x2（x＞0），得a＝1，故选：C．【点评】考查定积分的应用，基础题．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1【分析】由定积分公式，求解．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查定积分，属于基础题．6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用定积分求出阴影面积，再求出概率．【解答】解：阴影部分的面积m＝，矩形的面积为n＝3，故阴影部分概率为，故选：B．【点评】考查了几何概型和用定积分求面积，基础题．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．【分析】依题意，＝（﹣x+2）dx+，根据定积分的几何意义，表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．【解答】解：依题意，＝（﹣x+2）dx+其中表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，如图，所以＝（﹣x+2）dx+＝（2x﹣）|+＝，故选：C．【点评】本题考查了定积分的计算，定积分的几何意义，属于基础题．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e +C．e ﹣D．e+1【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：利用定积分的关系式的应用求出结果，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9．定积分（+x）dx＝（）A ．+B ．C ．+1D ．【分析】直接利用定积分的运算和几何意义的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．若a ＝（x+1）dx，b ＝cos xdx，c ＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】直接利用定积分和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：a ＝（x+1）dx ＝．b ＝cos xdx ＝，c ＝e x dx ＝所以：c＞a＞b故选：C．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．8【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（x2+2x ），进而计算可得答案．11【解答】解：根据题意，＝（x2+2x ）＝（4+4）﹣（4﹣4）＝8；故选：D．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式，属于基础题．12．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意分析，封闭图形面积即为（x+3）﹣（x2+1）在x＝﹣1到x＝2上定积分的值．【解答】解：令x+3＝x2+1，得x1＝﹣1，x2＝2，则S ＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查定积分的基本定理，涉及定积分的计算，属于基础题．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x ）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜0【分析】由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，得解．【解答】解：如图，g（x ）＝f（t）dt ＝﹣，因为x∈（﹣1，0），12所以t∈（﹣1，0），故f（t）＞0，故f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，故选：B．【点评】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．14．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解【解答】解：因为a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，故选：C．【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．15．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．8【分析】联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），解得A（2，4），B（2，﹣4），由曲线，以及直线l：x＝2围成的封闭图形面积S，即可判断出正误．【解答】解：联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），所以曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为：S ＝＝＝2x2＝2×22﹣2×02＝8，13故选：D．【点评】本题主要考查积分的应用，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．16．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x ＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：根据封闭图形的组成，所以：＝＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．直线y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．【解答】解：y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积S ＝＝＝．14故选：D．【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属基础题．18．若函数f（x）＝A sin（ωx ﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B ．C．1﹣D ．【分析】先求出f（x）的解析式，以及对应的零点，积分即可．【解答】解：依题意A＝1，＝＝π，∴T＝2π，ω＝＝1，∴f（x）＝sin（x ﹣），故当x ＝时，f（x）＝0．∴阴影面积为＝＝cos（x ﹣）|＝1﹣．故选：C．【点评】本题考查了正弦型函数的图象，定积分，主要考查计算能力，属于基础题．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A ．B ．C ．D ．15【分析】由题意利用积分法求出由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积．【解答】解：由题意，令S ＝x2dx ＝x 3＝×（1﹣0）＝，∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S ＝．故选：B．【点评】本题考查了定积分的几何意义与应用问题，是基础题．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A ．e2﹣1B ．e2﹣C ．e2﹣D．e2﹣【分析】先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为S，利用定积分求出S 即可．【解答】解：由题意，曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形如图所示∴S ＝＝（）＝﹣＝故选：A．【点评】本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．﹣1【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．16【解答】解：由，解得或，则曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为S ＝（﹣x2）dx ＝（﹣x3）＝（﹣）﹣0＝，故选：C．【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【分析】根据题意，由定积分定理，可得汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt ＝（+t ）＝5.5；故选：C．【点评】本题考查了微积分基本定理，关键是理解定积分的几何意义．23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先计算出曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积，然后求出曲线y＝﹣x2﹣x与直线y＝kx的交点坐标，然后利用定积分计算直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x围17成区域的面积，等于曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积的一半，列方程求出k 的值．【解答】解：曲线y＝﹣x2﹣x与x轴交于（﹣1，0）和原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成的平面区域的面积为，联立，解得或，即直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x交于点（﹣k﹣1，﹣k2﹣k）和坐标原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x位于直线y＝kx上方区域的面积为＝＝，解得，故选：D．【点评】本题考察利用定积分计算曲边三角形的面积，关键在于积分函数与积分区间，属于中等题、24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，画出图象确定所求区域，结合定积分的几何性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图所示，阴影部分为曲线y＝x2与y＝x所围成的图形，其面积S＝S△ABO﹣S曲边梯形ABO ＝（x﹣x2）dx；故选：A．【点评】本题考查定积分的几何意义，要注意明确被积函数和积分区间．1825．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B ．C ．D．0【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为﹣1的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：联立方程可得，解得x＝﹣1，0，1，∴直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积S＝2（x﹣x3）dx＝2（）＝2（﹣）＝，故选：C．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．26．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C ．D ．【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx＝（3x ﹣x3﹣x2）＝（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）＝，故选：C．19【点评】本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．27．由曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A ．B ．C ．D．8【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2与直线y＝6x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由解得，∴曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积S ＝﹣（x ﹣2）dx ＝﹣（）＝﹣2＝．故选：A．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．28．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A ．B ．C ．D．9【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的面积，即可求得结论．【解答】解：由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3联立，解得y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是S ＝（﹣x2﹣2x+3）dx ＝（﹣x3﹣x2+3x ）＝．故选：B．【点评】本题给出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3，求它们围成的图形的面积，着重考查了20定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题．29．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移﹣力”只要求W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx，进而计算可得答案．【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx＝∫12（5﹣x2）dx＝（5x﹣x3）|12＝故选：C．【点评】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法，属于基础题．30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx【分析】由圆的方程求得y关于x的解析式，再求出x的取值范围，根据圆的对称性和定积分的几何意义，写出圆的面积表达式．【解答】解：由圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0），得y＝±，由（x﹣a）2≤r2，解得a﹣r≤x≤a+r；根据圆的对称性和定积分的几何意义，计算圆的面积为S圆＝2dx．故选：D．【点评】本题考查了圆的方程与定积分的应用问题，是基础题．31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx【分析】由题意结合定积分的几何意义整理计算即可求得最终结果．【解答】解：定积分表示曲边梯形的面积，位于x轴上方为正面积，位于x轴下方为负面积，据此可得：由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积是．故选：C．【点评】本题考查定积分的几何意义及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．【分析】首先确定所给数据中唯一曲边三角形的点的个数，然后利用频率近似概率，结合几何概型求解曲边三角形的面积即可．【解答】解：由表可知，向矩形区域{（x，y）|1⩽x⩽e，0⩽y⩽1}内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其横坐标分别为2.5，1.22，2.52，2.17，1.89，2.22其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故选：D．【点评】本题考查了蒙特卡洛模拟的方法，频率值近似为概率值，将古典概型与几何概型联系起来即可，属于常考题目．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝1+．【分析】cos xdx可以直接积分，dx根据几何意义积分即可．【解答】解：dx表示单位圆在[0，1]上的部分的面积，即个单位圆的面积，∴cos xdx+dx＝sin x+＝1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．34．计算定积分＝．【分析】＝dx﹣dx，前式根据定积分的几何意义求解，后式直接积分即可得到所求．【解答】解：＝dx﹣dx，dx表示半圆y＝在[0，1]上部分的面积，即个单位圆的面积，∴＝dx﹣dx＝﹣x＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．35．（e x+2x）dx＝e2+3．【分析】直接利用定积分运算法则求解即可【解答】解：（e x+2x）dx＝e2﹣1+（22﹣0）＝e2+3，故答案为：e2+3【点评】题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力36．计算：dx＝π﹣．【分析】根据定积分的几何意义，结合圆的知识求解即可．【解答】解：依题意，dx表示半圆y＝，在x＝1和x＝2之间的部分与x轴围成的区域的面积，如图中阴影所示，依题意，△AOB为等边三角形，故B的纵坐标为∴dx＝π×22﹣＝π﹣，故答案为：π﹣．【点评】本题考查了定积分的求法，考查定积分的几何意义，主要考查计算能力和直观想象，属于中档题．37．若，则a＝2．【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．【解答】解：若，则，即，所以a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：将直线方程与曲线方程联立可得，所以正直线y＝x和抛物线y＝﹣x2+2x交点坐标为（0，0），（1，1），结合图象可知围成的封闭图形的面积为．故答案为：．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．本题属于基础题．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是【分析】根据定积分的几何意义和积分法则求解即可．【解答】解：根据定积分的几何意义，由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是：S＝＝＝﹣0＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义与计算问题，是基础题．40．计算定积分sin xdx＝2．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得sin xdx＝（﹣cos x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，sin xdx＝（﹣cos x）＝cos0﹣cosπ＝2；故答案为：2．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．41．定积分＝+e．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（+e x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，＝（+e x）＝（+e）﹣（0+1）＝+e，故答案为：+e．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．42．的值为8π．【分析】利用定积分性质和圆的面积求出即可．【解答】解：根据定积分的性质，y＝sin3x为奇函数，在[﹣4，4]图象关于原点对称，定积分为0，y＝在x∈[﹣4，4]的面积为以（0，0）为圆心，半径为4的圆的面积的一半，故为8π，故答案为：8π．【点评】本题考查定积分的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为3﹣2ln2．【分析】求出曲线，直线y＝2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．【解答】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为＝（x2﹣2lnx）＝3﹣2ln2．故答案为：3﹣2n2．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．【分析】联立直线和抛物线，可得交点坐标，对y积分即可求得面积．【解答】解：联立y2＝x与y＝x﹣2可得，直线与抛物线的交点为（1，﹣1），（4，2），根据定积分的意义，图象所围成的阴影部分面积：S＝＝（）＝，故答案为：．【点评】本题考查了定积分的应用，定积分的几何意义，属于基础题．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为1．【分析】根据定积分的几何意义求解即可．【解答】解：依题意，令e+1＝e x+1，得x＝1，所以直线x＝0，y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的区域的面积为S＝＝＝（ex﹣e x）|＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的计算，属于基础题．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．【分析】计算出阴影面积，圆的面积，代入几何概型的概率计算公式即可．【解答】解：依题意，图中阴影面积为S＝2＝﹣2cos x|＝4，而圆的面积为S'＝π×π2＝π3，所以圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，圆的方程与面积，几何概型的概率计算，属于基础题．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．【分析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：由曲线y＝与直线y＝2x﹣1构成方程组，解得，由直线y＝2x﹣1与y＝0构成方程组，解得；∴曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为：S＝dx﹣（2x﹣1）dx＝﹣（x2﹣x）＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的计算问题，关键是求出积分的上下限，是基础题．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为e e﹣2e．【分析】运用定积分知识计算围城曲边梯形的面积可得结果．【解答】解：根据题意得，联立得；∴S＝＝e e﹣e﹣e（lne﹣ln1）＝e e﹣2e故答案为e e﹣2e．【点评】本题考查由定积分计算围成图形的面积．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝±6．【分析】求出直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）的两个交点，确定被积函数和被积区间，利用定积分可求出围成的封闭区域的面积，即可求出k的值．【解答】解：当k＞0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1上方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为＝k，得k ＝6；当k＜0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1下方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为，得k＝﹣6．故答案为：±6．【点评】本题考查利用定积分来计算面积，解决本题的关键是确定被积函数和被积区间，属于中等题．50．计算2xdx＝8．【分析】直接根据定积分的计算法则即可．【解答】解：2xdx＝x2＝32﹣12＝8，故答案为：8【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题。
高三数学积分试题答案及解析
高三数学积分试题答案及解析1.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，这是一个几何概型概率的计算问题.正方形的面积为，阴影部分的面积为，故选．【考点】1.定积分的应用；2.几何概型.2.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.【答案】【解析】由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同..所以落到阴影部分的概率为.【考点】1.几何概型.2.定积分.3.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( ) A．B．C．或D．或【答案】A【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.【考点】二项式定理、积分的运算.4. [2013·江西高考]若S1＝，S2＝，S3＝，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1【答案】B【解析】S1＝＝x3＝，S2＝＝lnx＝ln2，S3＝＝e x＝e2－e＝e(e－1)>e>，所以S2<S1<S3，故选B.5. [2014·琼海模拟]如图所示，则由两条曲线y＝－x2，x2＝－4y及直线y＝－1所围成图形的面积为________．【答案】【解析】由图形的对称性，知所求图形的面积是位于y轴右侧图形面积的2倍．由得C(1，－1)．同理，得D(2，－1)．故所求图形的面积S＝2{[－－(－x2)]dx＋[－－(－1)]dx}＝2[－]＝2[－(－x)]＝.6.如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与x轴围成的面积与从到与轴围成的面积相等，∴由函数的一段图象与轴围成的封闭图形的面积，，故选B．【考点】定积分求面积。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学(文) 专题04 导数与定积分 Word版含解析
C. D.
【答案】D
【解析】由已知函数关系式，先找到满足f(x0)<0的整数x0，由x0的唯一性列不等式组求解.
∵f(0)=-1+a<0，∴x0=0.
又∵x0=0是唯一的使f(x0)<0的整数，
11.(2014·全国1·理T11文T12)已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()
A.a=e，b=-1B.a=e，b=1 C.a=e-1，b=1D.a=e-1，b=-1
【答案】D
【解析】∵y'=aex+lnx+1，
∴k=y'|x=1=ae+1=2，
∴ae=1，a=e-1.
将点(1，1)代入y=2x+b，得2+b=1，
∴b=-1.
3.(2018·全国1·理T5文T6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为()
A.(2，+∞)B.(1，+∞)
C.(-∞，-2)D.(-∞，-1)
【答案】C
【解析】当a=0时，显然f(x)有2个零点，不符合题意;
当a>0时，f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2)，易知函数f(x)在(-∞，0)上单调递增.
又f(0)=1，当x→-∞时，f(x)=x2(ax-3)+1→-∞，故不适合题意;当a<0
↗
选A.
5.(2017·浙江·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是()
【答案】D
【高考数学】定积分的概念、基本定理经典习题集22
(1) 令
，注意到 t>0，得 t=10
(2) 因为
的运行的路程可知结论。 解：（ Ⅰ ）令 即经过的时间为 10s;
，注意到 t>0，得 t=10 (6 分 )
（Ⅱ）
即紧急刹车后火车运行的路程为 55ln11 米。 （ 12 分）
10．（本小题满分 12 分）已知：
，证明：
【答案】 见解析
【解析】
1
．
2
2
∵ 函数在（ 0， 1 ）上 S′＜ 0，在（ 1 ， 1）上 S′＞ 0，
2
2
∴t
1
是极小值点，
2
又 S（ 1 ）
1
， S（0）
1
， S（ 1）
2
，
24
3
3
1
1
故 t 时， S＝ S1+S2 最小为 ．
2
4
【点睛】
本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．
3．计算下列定积分．
有所求面积
，
故
的图象与两坐标轴所围成图形的面积为
.
【点睛】 本题主要考査导数的逆运算和定积分在求面积中的应用，属于基础题
. 一般情况下，定
积分
的几何意义是介于 轴、曲线
以及直线
之间的
曲边梯形面积的代数和 ，其中在 轴上方的面积等于该区间上的积分值， 在 轴下方的 面积等于该区间上积分值的相反数 ,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积 与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求 解. 13．已知点 A（﹣ 1，2）是抛物线 C：y＝ 2x2 上的点，直线 l1 过点 A，且与抛物线 C 相 切，直线 l2： x＝ a（ a≠﹣ 1）交抛物线 C 于点 B，交直线 l1 于点 D ． （ 1）求直线 l1 的方程； （ 2）设 △ BAD 的面积为 S1，求 |BD|及 S1 的值； （ 3）设由抛物线 C，直线 l1， l2 所围成的图形的面积为 S2，求证： S1： S2的值为与 a 无关的常数．
高考定积分分类汇总及答案汇编
第十四节 定积分与微积分基本定理(理)一、选择题1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 解析 本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)． 令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B .A ．3B ．4C ．3.5D ．4.5答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π25．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案 38．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.9．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． 由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.①由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1， 所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16.又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ， 所以S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2.(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x .作出曲线y ＝x 3－3x 的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。
高考定积分及答案文档
定积分【知识梳理】（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。
基本的积分公式：⎰dx 0＝ ；⎰dx x m ＝ （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝ ；⎰dx e x ＝ ；⎰dx a x＝a a x ln ＋C ；⎰xdx cos ＝ ；⎰xdx sin ＝ （表中C 均为常数）。
（2）定积分的性质 ①()ba kf x dx =⎰（k 为常数）； ②()()baf xg x dx ±=⎰；③⎰⎰⎰+=bacabcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=ba dx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0）， 及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积 S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝ 。
【课前预习】 1.求下列定积分. （1）02dx π-⎰＝ ； （2）312x dx ⎰＝ ；（3）1831x dx -⎰＝ ； （4）122()x x dx ---⎰＝ ；2.求下列定积分.（1）24cos xdx ππ-⎰＝ ； （2）36sin xdx ππ-⎰＝ ；（3）22xdx ⎰＝ ； （4）21e edx x⎰＝ ； 【典型例题】题型一：利用积分公式求定积分值例1．计算下列定积分的值（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；题型二：利用定积分求平面图形的面积例2 已知直线y ax =与曲线xy e b =+相交于点(0,0),(1,)y ，求直线y ax =与xy e b =+所围成的图形的面积。
定积分试题及答案大学
定积分试题及答案大学一、选择题1. 定积分的几何意义是表示曲线与x轴之间的有向面积。
（）A. 正确B. 错误答案：A2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b]f(x)dx的值是唯一的。
（）A. 正确B. 错误答案：A3. 定积分∫[a,b]kf(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx，其中k为常数。
（）A. 正确B. 错误答案：A二、填空题1. 设f(x)=x^2，计算定积分∫[0,1]x^2dx的值为____。
答案：1/32. 若∫[0,1]f(x)dx=2，则∫[0,2]f(x)dx=____。
答案：43. 设f(x)=2x，求定积分∫[1,2]2xdx的值为____。
答案：4三、解答题1. 计算定积分∫[0,π]sin(x)dx。
解：根据定积分的计算公式，我们有∫[0,π]sin(x)dx = [-cos(x)] | [0,π] = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。
2. 设f(x)=x^3+3x^2+2x-1，求定积分∫[-1,1]f(x)dx。
解：首先计算不定积分F(x)=∫f(x)dx，得到F(x)=x^4/4+x^3+x^2-x+C。
然后计算定积分∫[-1,1]f(x)dx = F(1)-F(-1) = [(1)^4/4+(1)^3+(1)^2-1] - [(-1)^4/4+(-1)^3+(-1)^2-(-1)]= (1/4+1+1-1) - (1/4-1+1+1) = 0。
3. 求曲线y=x^2与x轴及直线x=1，x=2所围成的面积。
解：根据定积分的几何意义，所求面积为S = ∫[1,2]x^2dx = [x^3/3] | [1,2] = (2^3/3) - (1^3/3) = 7/3。
高三数学积分试题
高三数学积分试题1.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】定积分.2.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( ) A．B．C．或D．或【答案】A【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.【考点】二项式定理、积分的运算.3.（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e2+1【答案】C1=e+1﹣1=e【解析】（e x+2x）dx=（e x+x2）|故选C．4.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设旋转体的体积为V，1则=．故旋转体的体积为：．故选A．5. 2．=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】=∵，∴圆的面积的四分之一，即．6.设函数的定义域为，若对于给定的正数k, 定义函数则当函数时，定积分的值为【答案】【解析】由定义可知，当时，，即，则＝＝＝＝．【考点】定积分的运算．7.定积分的值为____________.【答案】【解析】．【考点】定积分．8.定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A,B之间的曲线段与线段OA,OB所围成图形的面积为S,求S的值.【答案】9【解析】因为F(x,y)=(1+x)y,所以f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))==x2-4x+9,故A(0,9),又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),f'(x)=2x-4.所以解得B(3,6),所以S=(x2-4x+9-2x)dx=(-3x2+9x)=9.9.若S1＝x2d x，S2＝d x，S3＝e x d x，则S1，S2，S3的大小关系为()．A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1【答案】B【解析】S1＝＝；S2＝ln x＝ln 2<ln e＝1；S3＝e x＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S2<S1<S3.10.若，，则、的大小关系为 .【答案】【解析】，，.【考点】积分的计算.11.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．3B．C．3或D．3或【答案】B【解析】∵，第二项的系数为，∴，∴.【考点】1.二项展开式的系数；2.积分的计算.12.设，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，选C.【考点】1.分段函数；2.定积分13.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，作出，和的图像，如图所示，则阴影部分面积为S==.【考点】定积分的几何意义.14.由曲线，，直线所围成的区域的面积为___________【答案】【解析】画出这三条曲线可以看出，它们所围成的图形的面积为.【考点】定积分的几何意义.15.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】,所以,解得,当时,,当时, ,故选C.【考点】定积分的应用，二项式定理的应用，二项式定理的通项以及组合数的计算.16.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )A．B．C．D．【答案】D.【解析】如图，所求面积为阴影部分面积，其面积为四边形的面积减去不规则图形的面积，故,选D.【考点】定积分.17.已知.（Ⅰ）写出的最小正周期；（Ⅱ）求由，，，以及围成的平面图形的面积．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】1.解答第（Ⅱ）问，首先要正确画出示意图．2.要注意的是，当面积在轴上方的时候，定积分算出来是正数；当面积在轴下方的时候，定积分算出来是负数.很多考生没有注意到这一点而导致出错：.3.充分运用对称性，否则就要计算三个定积分了．试题解析：（Ⅰ）∵,∴.∴的最小正周期为.（Ⅱ）设由，，，以及围成的平面图形的面积为，∵，∴.∵，∴.∴由，，以及围成的平面图形的面积为.【考点】考查三角函数的化简计算、定积分的应用.18.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.【答案】36【解析】把0到4的积分根据题意分成2段，再分别求积分，即.【考点】考查积分的运算.19.如图，设是图中边长为2的正方形区域，是函数的图象与轴及围成的阴影区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，两个阴影部分的面积相等，即阴影部分的面积为：，向中随机投一点，则该点落入中的概率，故选B.【考点】微积分基本定理，几何概型.20.设的展开式中的常数项等于 .【答案】-160【解析】所以常数项为-160.【考点】定积分；二项式定理。
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一、选择题（共16小题）1、（2011•湖南）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A、B、1C、D、2、（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A、B、C、D、3、（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A、在t1时刻，甲车在乙车前面B、t1时刻后，甲车在乙车后面C、在t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，乙车在甲车前面4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A、B、2﹣ln3C、4+ln3D、4﹣ln35、从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A、B、C、D、6、如图中阴影部分的面积是（）A、B、C、D、7、由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）8、（2011•福建）（e x+2x）dx等于（）A、1B、e﹣1C、eD、e2+19、（2010•湖南）dx等于（）A、﹣2ln2B、2ln2C、﹣ln2D、ln210、（2009•福建）（1+cosx）dx等于（）A、πB、2C、π﹣2D、π+211、已知则∫﹣a a cosxdx=（a＞0），则∫0a cosxdx=（）A、2B、1C、D、12、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为（）A、B、C、D、113、下列计算错误的是（）A、∫﹣ππsinxdx=0B、∫01=C、cosxdx=2cosxdxD、∫﹣ππsin2xdx=014、计算的结果是（）A、4πB、2πC、πD、15、若∫0k（2x﹣3x2）dx=0，则k等于（）A、0B、1C、0或1D、以上均不对16、如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）二、填空题（共8小题）17、（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为_________．18、如图所示，计算图中由曲线y=与直线x=2及x轴所围成的阴影部分的面积S=_________．19、由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积为_________．20、由曲线和直线y=x﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的面积是_________．21、（2010•陕西）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为_________．22、（2008•山东）设函数f（x）=ax2+c（a≠0），若，0≤x0≤1，则x0的值为_________．23、（2002•天津）求由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1 所围图形的面积．24、若y=f（x）的图象如图所示，定义，则下列对F（x）的性质描述正确的有_________．（1）F（x）是[0，1]上的增函数；（2）F′（x）=f（x）；（3）F（x）是[0，1]上的减函数；（4）∃x0∈[0，1]使得F（1）=f（x0）．三、解答题（共6小题）25、（1977•福建）求定积分∫10（x+x2e2）dx．26、（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．27、（1977•河北）利用定积分计算椭圆所围成的面积．28、（2008•江苏）请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），证明：．（2）对于正整数n≥3，求证：（i）；（ii）；（iii）．29、（1977•江苏）求不定积分．30、已知y=e﹣x sin2x，求微分dy．答案与评分标准一、选择题（共16小题）1、（2011•湖南）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A、B、1C、D、考点：定积分在求面积中的应用。
专题：计算题。
分析：为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．解答：解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选D．点评：本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题．2、（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用。
专题：计算题。
分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3、（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A、在t1时刻，甲车在乙车前面B、t1时刻后，甲车在乙车后面C、在t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，乙车在甲车前面考点：定积分在求面积中的应用；函数的图象。
专题：数形结合。
分析：利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A正确，B、C、D错误．解答：解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=v乙dt=c+d+b；从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．故答案为A点评：考查学生利用定积分求图形面积的能力，以及会观察函数图象并提取有价值数学信息的能力，数形结合的数学思想的运用能力．4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A、B、2﹣ln3C、4+ln3D、4﹣ln3考点：定积分在求面积中的应用。
专题：计算题。
分析：由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD 的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得．解答：解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3﹣）dx+=（3x﹣lnx）+2=3﹣ln3﹣1+2=4﹣ln3．故选D．点评：本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．5、从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用；几何概型。
专题：计算题。
分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）==．所以P（A）=．故选B．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．6、如图中阴影部分的面积是（）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用。
专题：计算题。
分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．7、由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A、B、4C、D、6考点：定积分在求面积中的应用。
专题：计算题。
分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．8、（2011•福建）（e x+2x）dx等于（）A、1B、e﹣1C、eD、e2+1考点：定积分。
专题：计算题。
分析：求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．解答：解：∫10（e x+2x）dx=（e x+x2）|01=e+1﹣1=e故选C．点评：本题考查利用微积分基本定理求定积分值．9、（2010•湖南）dx等于（）A、﹣2ln2B、2ln2C、﹣ln2D、ln2考点：定积分。
专题：计算题。
分析：根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．解答：解：∵（lnx）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D点评：本题考查定积分的基本运算，关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．10、（2009•福建）（1+cosx）dx等于（）A、πB、2C、π﹣2D、π+2考点：定积分。