13圆周运动的周期性造成多解

圆周运动的周期性造成多解
考点规律分析
关键点是两个时间时间相等
圆周运动的周期性和多解性：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。

因匀速圆周运动具有周期性，使得一个事件可能在前一个周期中发生，也可能在后一个周期中发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的周期时，必须把各种可能都考虑进去。

处理这类问题时，关键要把一个物体的运动时间t ，与圆周运动的周期T 建立起联系，这样才能较快地解决问题。

典型例题
如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d ，飞镖距圆盘L ，且对准圆盘上最高点A 点水平抛出，初速度为v 0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O 的水平轴匀速转动，角速度为ω。

若飞镖恰好击中A 点，则下列关系正确的是( )
A ．d v 20＝L 2g
B ．ωL ＝π(1＋2n )v 0(n ＝0,1,2,3…)
C ．v 0＝ωd 2
D ．dω2＝g π2(1＋2n )2(n ＝0,1,2,3…)
[规范解答] 依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A 点做匀速圆周运动，恰好击中A 点，说明A 正好在最低点被击中，则A 点转动的时间t ＝(2n ＋1)π
ω，
平抛的时间t ＝L v 0，则有L v 0＝(2n ＋1)π
ω(n ＝0,1,2,3…)，B 正确。

平抛的竖直位移为
d ，则d ＝12gt 2，联合t ＝L v 0得d v 20＝12L 2
g ，A 错误。

d ＝12gt 2联合t ＝(2n ＋1)πω解得
dω2＝1
2g π2·(2n ＋1)2(n ＝0,1,2,3…)，D 错误。

v 0不是圆盘的线速度，v 0与ω不满足v ＝ωr ，C 错误。

[完美答案] B
解决圆周运动多解问题的关键
(1)知道两个运动的时间相等。

(2)会利用运动规律列出两个运动的时间表达式。

举一反三
1. 如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h 处沿OB 方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B ，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小。

答案 R
g
2h 2n π
g
2h (n ＝1,2,3…)
解析 设球在空中运动时间为t ，此圆盘转过θ角， 则R ＝v t ，h ＝1
2gt 2 故初速度v ＝R
g
2h ，t ＝
2h g ，
由题意知θ＝n ·2π(n ＝1,2,3…)
又因为θ＝ωt ，
则圆盘角速度ω＝n ·2π
t ＝2n π
g
2h (n ＝1,2,3…)。

2.(圆周运动的综合问题)如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕过O 点垂直于圆轮的轴匀速转动，轮上a 、b 两点与O 的连线相互垂直，a 、b 两点均粘有一个小物体，当a 点转至最低位置时，a 、b 两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上，圆轮最低点距地面高度为R 。

(1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)； (2)求圆轮转动的角速度大小。

答案 (1)见解析 (2)
g 2R
解析 (1)由题意知，a 点处物体做平抛运动，若与b 点处物体下落的时间相同，则b 点处物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针方向。

(2)a 平抛：R ＝1
2gt 2① b 竖直下抛：2R ＝v 0t ＋1
2gt 2② 由①②得v 0＝gR 2③
又因ω＝v 0
R ④ 由③④解得ω＝
g 2R 。

3.(圆周运动的多解问题)如图所示，小球Q 在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动，当Q 球转到图示位置时，O 点正上方有另一小球P 在距圆周最高点h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q 球的角速度ω应满足什么条
件？
答案 ω＝π
2(4n ＋1)
g
2h (n ＝0,1,2,3…)
解析 设P 球自由下落到圆周最高点的时间为t ，由自由落体运动规律可得h ＝1
2gt 2，
解得t ＝
2h g 。

经过时间t ，Q 球由图示位置转至最高点，才能与P 球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运动，设周期为T ，有t ＝(4n ＋1)T
4(n ＝0,1,2,3…)
两式联立再由T ＝2πω得，(4n ＋1)π
2ω＝2h g 。

所以ω＝π
2(4n ＋1)
g
2h (n ＝0,1,2,3…)。

4. (多解问题)用图所示的装置可以测量弹簧枪发射子弹的速度。

在一根水平轴MN 上相隔L 安装两个平行的薄圆盘，两圆盘可以绕水平轴MN 一起匀速转动。

弹簧枪紧贴左盘沿水平方向在水平轴MN 的正上方射出一颗子弹，子弹穿过两个薄圆盘(穿过圆盘时速度不变)，并在圆盘上留下两个小孔A 和B (设子弹穿过B 时还没有运动到转轴的下方)。

若测得两个小孔距水平轴MN 的距离分别为R A 和R B ，它们所在的半径按转动方向由B 到A 的夹角为φ(φ为锐角)。

求：
(1)弹簧枪发射子弹的速度； (2)圆盘绕MN 轴匀速转动的角速度；
(3)若用一橡皮泥将A 孔堵上，则橡皮泥的向心加速度的大小是多少？ 答案 (1)L g
2(R A －R B )
(2)(2n π＋φ)
g
2(R A －R B )
(n ＝0,1,2，…)
(3)(2n π＋φ)2R A g 2(R A －R B )
(n ＝0,1,2，…)
解析 (1)以子弹为研究对象，在从A 运动到B 的过程中，由平抛运动的规律可得R A －R B ＝1
2gt 2，L ＝v 0t
联立解得v 0＝L
g
2(R A －R B )。

(2)子弹从A 运动到B 所用的时间为 t ＝L v 0
＝
2(R A －R B )
g。

在此过程中，圆盘转过的角度为 θ＝2n π＋φ(n ＝0,1,2，…) 所以圆盘转动的角速度为 ω＝θ
t ＝(2n π＋φ)
g
2(R A －R B )
(n ＝0,1,2，…)。

(3)橡皮泥的角速度与圆盘转动的角速度相等，所以橡皮泥的向心加速度为 a ＝ω2R A ＝(2n π＋φ)2R A g
2(R A －R B )
(n ＝0,1,2，…)。