初一不等式经典例题

初中不等式经典例题

例1 解方程组

(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-+==(2) 5434(1)

432z y x z y x (2)⎪⎩

⎪⎨⎧=++=++=++(3) 201633(2)

143163(1) 103316z y x z y x z y x 分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k 法来解决。

第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观

察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z ，然后再用三式去分别减可得x 、y 、z 的值。

解：(1)设k z k y k x k z

y x 4,3,24

32======，则，代入(2)得k=5

∴x=10，y=15，z=20 ∴原方程组的解为⎪⎩

⎪

⎨⎧===201510z y x

(2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44，所以x+y+z=2 所以3 (x+y+z)=6 (4)

(1)-(4)得13x=4，则x=

134 (2)-(4)得13y=8，则y=13

8 (3)-(4)得13z=14，则z=1314 所以原方程组的解为⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧===1314138134z y x

评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。 例2 已知关于x ，y 的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0，当a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a 值它都能使方程成立吗？

分析1：将已知方程按a 整理得(x+y-2)a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a 的取值无关，所以只须a 的系数x+y-2=0即可。 解法1：将方程按a 整理得：(x+y-2)a=x-2y-5，

∵这个关于a 的方程有无穷多个解，所以有

由于x 、y 的值与a 的取值无关，所以对于任何的a 值，方程组有公共解⎩⎨⎧-==13

y x

分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0，因a 取不同的值，所得方程

有一个公共解，所以这个公共解就是方程组⎩⎨⎧=+-=+0

930

33x y 的解。

解法2：令a=1，得：3y+3=0 令a= -2，得：-3x+9=0

解方程组⎩⎨⎧=+-=+093033x y 得⎩⎨⎧-==13y x ，则⎩⎨⎧-==1

3

y x 就是所求的公共解。

将x=3，y= -1代入(a-1) x+(a+2) y+5-2a=0得：3 (a-1) -(a+2) +5-2a=0

整理得0•a=0，说明无论a 取什么值，方程总是成立。

评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a 的形式，通过解与a 无关，得出关于x 、y 的方程组，从而求出公共解。第二种是先探求公共解，再证明这个解与a 无关。这两种解法的思路正好相反。

例3 求不定方程4x+y=3xy 的一切整数解 解：由原方程得：4

34

1433343-+=-=-=

y y y x y y x ，则 ∵x 是整数，∴3y -4=±1，±2，±4，由此得y=03

2

138235，，，，，

取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0 所以方程的整数解为⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨

⎧===-===00

1121y x y x y x ，， 评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。

例4 求方程123x+57y=531的全部正整数解 解：方程两边同除以3得：41x+19y=177

所以 1936291941177x

x x y -+

-=-= ∵x、y 是整数，∴19

36x

-也是整数，取x=2得y=5

∴方程123x+57y=531的整数解为：⎩⎨⎧-=+=)(k 415192为任意整数k y k

x

由219025 -k 054101941k k k +>⎧<<=⎨->⎩得：即

因此方程123x+57y=531只有一组正整数解⎩⎨⎧==5

2

y x

评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出正整数解，这是求不定方程整数解的一般步骤。

例5 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问：小鸡至少被套中几次？(第四届华杯赛初赛试题) 分析：设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。

解：设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，套中小狗z 次,根据题意得

⎩⎨⎧=++=++10

61259z y x z y x 我们求这个方程组的正整数解。 消去z 得：7x+3y=41，于是3741x y -=

则x ＜7

41

，从而x 的值只能是1，2，3，4，5

3

22133741x

x x y -+

-=-= 由于y 是整数，所以2-x 必须是3的倍数，∴x=2，5

当x=2时，y=9，z= -1不是正整数；当x=5时，y=2，z= 3是本题的解。 答：小鸡至少被套中5次。

例6 解不等式3

261445432++->---x x x

解：去分母，得3(2－3x)－3(x －5)＞2(－4x+1)+8

去括号，得6－9x －3x+15＞－8x+2+8 移项，得－9x －3x+8x ＞2+8－6－15 合并同类项，得－4x ＞－11

化系数为1，得 4

11

注：在解不等式的过程中，每一步要细心计算，要避免出现符号错误与运算错误，特别要注意不等号的方向。

例7 若关于x 的方程2

22x m x x -=--的解是非负数，求m 取值范围。

分析：关于x 的方程的解可以解方程求出，而解是非负数即x≥0，可得m 的不等式，通过解不等式，可确定m 的取值范围。 解：2x －x+m=2－x 即 2x=2－m

∴ 22m x -= ∵x≥0 ∴022≥-m 解得 m≤2

例8 解关于x 的不等式：k(x+3)＞x+4

分析：先整理不等式成ax ＞b 的形式，再进行求解 解：去括号，得kx+3k ＞x+4

移项，得kx －x ＞4－3k 合并同类项，得(k －1)x ＞4－3k 若k －1=0，即k=1时，0＞1不成立 ∴不等式无解