数列求和专项练习高考题含知识点

数列的前n 项和的求法

1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

1123(1)2n n n ++++=+L ，222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332

(1)123[]2n n n +++++=L .

例1、已知3log 1log 23-=x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和.

解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x 由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +???+++=3

2

（利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝

2

11)21

1(21--n ＝1－n 21 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法

求和.

例2、 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a

a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n

n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 例3、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （反序）

又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2=+-=x x x x ο

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

例4、 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位）

①－②得 n n n x n x

x x x x S x )12(222221)1(1

4

3

2

--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

例5、求数列??????,22,,26,24,2232n n

前n 项的和.

解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减）

∴ 12

2

4-+-=n n n S

5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消

法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =-++；②1111()()n n k k n n k

=-++； ③2211111

()1211

k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -

=<<=-++--； ④1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!

n n n n =-++；

⑥=<<=. 例6、 求数列

???++???++,11

,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=

111

（裂项） 则 1

1

321211+++???++++=n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+-

＝11-+n

例7、 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=

n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++???++++=

∴ )11

1(82

122+-=+?=n n n n b n （裂项）

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

1

1()4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和）

＝)111(8+-

n ＝

1

8+n n

6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

例8 、求3

211

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(91

99999111111

1

-=????=

???k k k 43421321个个 （找通项及特征） ∴

3

211

1111111111个n ???+???+++ ＝

)110(91

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911

3214434421个n n

+???+++-+???+++ ＝9110)110(1091n

n ---?

＝)91010(81

11n n --+ 7、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

例9、 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）

1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =

（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12

n n + (D) ()

12

n n -

【答案】A

2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3 【答案】C ．

3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C

4.【2014·北京卷（理5）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）

.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 【答案】D

5.【2014·天津卷（文5）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比

数列，则1a =（ ）

（A ）2 （B ）-2 （C ）

12 （D ）12

-

【答案】D .

6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) 【答案】C

7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n

a a 为递减数列，则（ ）

A ．0d

> B ．0d < C ．10a d > D ．10a d <

【答案】D

8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ， 得出数列的通项公式是（ ） 【答案】C

9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）

139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列

【答案】D

10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） 【答案】B

11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列{}n a 满足1+n a =

n a -11

，2

a =2，则

1a =_________.

【答案】

2

1 12.【2014·安徽卷（理12）】数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，

则q =________. 【答案】1q =。

13.【2014·北京卷（理12）】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8

14.【2014·天津卷（理11）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 【答案】1

2

-

15.【2014·江西卷（文13）】在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n

S 取最大值，则d 的取值范围_________. 【答案】718

d

-<<-

16.【2014·广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5

12911102e a a a a =+，则

1220ln ln ln a a a +++=L 。

【答案】50

17.【2014·广东卷（文13）】等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则

2122232425log log log log log a a a a a ++++ ＝ .

【答案】5

18.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.

(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减

()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分

（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=；

证明4λ

=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知

数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=-

令21,n m =-则1

2

n m +=

，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =-

令2,n m =则2

n

m =

，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*

n N ∈），12n n a a +-= 因此，存在存在4λ

=，使得{n a }为等差数列. ………12分

19.【2014·全国卷Ⅰ（文17）】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求

{}n a 的通项公式；

（II ）求数列2n n a ??

?

???

的前n 项和. 【解析】：（I ）方程2

560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列{}n a 的公差为 d ,，则

422a a d -=，故d=12

，从而13

2a =， 所以{}n a 的通项公式为：1

12

n a n =+ …………6 分

(Ⅱ)设求数列2n n a ??

????

的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n n

n a n ++=， 则：234134512

22222n n n n n S +++=+++++L

34512134512

222222

n n n n n S ++++=+++++L 两式相减得 所以14

22

n n n S ++=- ………12分

20.【2014·全国卷Ⅱ（理17）】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.

（Ⅰ）证明

{}

12n

a +是等比数列，并求

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：1231112

n a a a ++<…+. 【解析】

（1）

(2)由（1）知1322n n a +=，故3-112

23-1

n n n n a a ==，，

1

11a =，当1n >时，-11213-13n n n a =<；

所以12-11231

1-1111111313311-13332321-3

n n n n a a a a ++++<++++==

123111132

n a a a a ++++

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【解析】（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d

d +≥+≤，解得105

3

2

d -

＃-

，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()1

1111331033103133n

b n n n n ??

=

=-

?----??

，于是()

12111111

111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n L L ??????????=+++=-+-++-=-= ? ? ? ?

??----??????????22.【2014·全国大纲卷（文17）】数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.

（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.

【解析】（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列；

（1） 由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是

1

1

1

()(21)n

n

k k k k a

a k +==-=-∑∑

于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.

23.【2014·山东卷（理19）】已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)1(1

1

+--n n n a a n

求数列}{n b 的前n 项和n T 。

【解析】（I ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d

+=+===

123+1

+1

+1

2333333(13)

313

(12)332

n n n n n n S n n n -=++++-??-=-?--?-=L 解得12,11-=∴=n a a n （II ）)1

21

121()1(4)

1(111

++--=-=-+-n n a a n b n n n n n

24.【2014·安徽卷（文18）】数列{}n a 满足*111,(1)(1),n n a na n a n n n N +==+++∈.

(Ⅰ)证明：数列n a n ??

?

???

是等差数列； (Ⅱ)

设3n n b ={}n b 的前n 项和n S .

【解析】（Ⅰ）证：由已知可得

111n n a a n n +=++，即111n n a a

n n

+-=+ 所以{

}n a n 是以111

a

=为首项，1为公差的等差数列。 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1(1)1n

a n n n

=+-?=，所以2n a n =，从而3n n b n =? ①－②得：

所以+1(21)334n n n S -?+= 25.【2014·北京卷（文15）】已知{}

n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，

且

{}n n b a -是等比数列.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.

【解析】（I ）设等差数列

{}n a 的公差为d ，由题意得：41123

333

a a d --=

==， 所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==L ， 设等比数列

{}n n b a -的公比为q ，由题意得：344

1

1

2012

843

b a

q b a --==

=--，解得2q =.

所以1

111()2n n n n b a b a q

---=-=，从而132(1,2,)n n b n n -=+=L .

（II ）由（1）知，1

32

(1,2,)n n b n n -=+=L ，

数列{}3n 的前n 项和为3(1)2

n n +，数列{}1

2n -的前n 项和为1212112n n -?

=--， 所以数列

{}n b 的前n 项和为

3

(1)212

n n n ++-. 26.【2014·福建卷（文17）】在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.

（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设3log n

n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .

【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得

141381a q a q =??=?，解得11

3

a q =??

=?， 因此，1

3

n n a -=.

（2）因为3log 1n n b a n ==-，

所以数列{}n b 的前n 项和21()22

n n n b b n n

S +-==. 27.【2014·江西卷（理文17）】已知首项都是1的两个数列（

），满足

.

(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若

，求数列

的前n 项和.

【解析】（1）因为，

所以

1112,2n n

n n n n

a a c c

b b +++-=-= 所以数列{}n

c 是以首项11c =，公差2

d =的等差数列，故2 1.n c n =- （2）由13n n b -=知1(21)3n n n n a c b n -==- 于是数列

前n 项和0111333(21)3n n S n -=?+?++-?L

相减得121212(333)(21)32(22)3n n n n S n n --=+?++--?=--?L 所以(1)3 1.n n S n =-?+

28.【2014·江西卷（文16）】已知数列

{}n a 的前n 项和*∈-=N

n n n S

n

，2

32.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）证明：对任意1>n ，都有*

∈N m ，使得m n a a a ，

，1成等比数列. 【解析】（1）当1n =时111a S == 当2n ≥时 ()2

21

311

33222

n n n n n n n a S S n ---+-=-=-=-

检验 当1n =时11a =，32n a n ∴=-

（2）使m n a a a ，

，1成等比数列. 则21n m a a a =，()2

3232n m ∴--=， 即满足()2

233229126m n n n =-+=-+，所以2342m n n =-+ 则对任意1>n ，都有2342n n N *-+∈

所以对任意1>n ，都有*

∈N m ，使得m n a a a ，

，1成等比数列.