[历年真题]2014年上海市高考数学试卷(文科)
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2014年上海市高考数学试卷（文科）
一、填空题（本大题共14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．
2．（4分）若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则（z+）?=．
3．（4分）设常数a∈R,函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|,若f（2）=1,则f（1）=．
4．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的
准线方程．
5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况
,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为．
6．（4分）若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为．
7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）
8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．
9．（4分）设f（x）=,若f（0）是f（x）的最小值,则a的取值范围
为．
10．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q,若a1=（a3+a4+…a n）,则q=．
11．（4分）若f（x）=﹣,则满足f（x）＜0的x的取值范围是．12．（4分）方程sinx+cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于．13．（4分）为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．14．（4分）已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A（m,0）,存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为．
二、选择题（共4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分
15．（5分）设a,b∈R,则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
16．（5分）已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1
17．（5分）如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB是大正方形的一条边,P i（i=1,2,…,7）是小正方形的其余顶点,则?（i=1,2,…,7）的不同值的个数为（）
A．7 B．5 C．3 D．1
18．（5分）已知P1（a1,b1）与P2（a2,b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是（）
A．无论k,P1,P2如何,总是无解
B．无论k,P1,P2如何,总有唯一解
C．存在k,P1,P2,使之恰有两解
D．存在k,P1,P2,使之有无穷多解
三、解答题（共5小题,满分74分）
19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
20．（14分）设常数a≥0,函数f（x）=．
（1）若a=4,求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值,讨论函数y=f（x）的奇偶性,并说明理由．
21．（14分）如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D 为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长（结果精确到0.01米）．
22．（16分）在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）,若η＜0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证:点A（1,2）,B（﹣1,0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0,2）的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线．
23．（18分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n,n∈N*,a1=1．
（1）若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围；
（2）若{a n}是等比数列,且a m=,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应{a n}的公比；
（3）若a1,a2,…a100成等差数列,求数列a1,a2,…a100的公差的取值范围．
2014年上海市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．
【分析】由二倍角的余弦公式化简,可得其周期．
【解答】解:y=1﹣2cos2（2x）
=﹣[2cos2（2x）﹣1]
=﹣cos4x,
∴函数的最小正周期为T==
故答案为:
【点评】本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题．
2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则（z+）?=6．【分析】把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．
【解答】解:复数z=1+2i,其中i是虚数单位,
则（z+）?=
=（1+2i）（1﹣2i）+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6．
故答案为:6
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查．
3．（4分）（2014?上海）设常数a∈R,函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|,若f（2）=1,
则f（1）=3．
【分析】利用f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|,f（2）=1,求出a,然后求解f（1）即可．【解答】解:常数a∈R,函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|,若f（2）=1,
∴1=|2﹣1|+|22﹣a|,∴a=4,
函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|,
∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3,
故答案为:3．
【点评】本题考查函数值的求法,基本知识的考查．
4．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程x=﹣2．
【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合,故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出p,再由抛物线的性质求出它的准线方程
【解答】解:由题意椭圆,故它的右焦点坐标是（2,0）,
又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合,
故=2得p=4,
∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．
故答案为:x=﹣2
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题．
5．（4分）（2014?上海）某校高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况
,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取
的学生数为70．
【分析】根据分层抽样的定义,建立比例关系,即可得到结论．
【解答】解:∵高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名,
∴若高三抽取20名学生,设共需抽取的学生数为x,
则,解得x=90,
则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70,
故答案为:70．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用,比较基础．
6．（4分）（2014?上海）若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y=,代入要求的式子,由基本不等式可得．
【解答】解:∵xy=1,
∴y=
∴x2+2y2=x2+≥2=2,
当且仅当x2=,即x=±时取等号,
故答案为:2
【点评】本题考查基本不等式,属基础题．
7．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为arcsin（结果用反三角函数值表示）
【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,在轴截面中,求出母线与轴所成角的正弦值,进而可得母线与轴所成角．【解答】解:设圆锥母线与轴所成角为θ,
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍,
∴==3,
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,
故圆锥的轴截面如下图所示:
则sinθ==,
∴θ=arcsin,
故答案为:arcsin
【点评】本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键．
8．（4分）（2014?上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于24．
【分析】由已知中的三视图,分别判断切割前后几何体的形状,并分别计算出切割前后几何体的体积,相减可得答案．
【解答】解:由已知中的三视图,可知:
大长方体的长,宽,高分别为:3,4,5,
故大长方体的体积为:60,
切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面,高为3的柱体,
其底面面积为4×5﹣2×2×2×2=12,
故切去两个小长方体后的几何体的体积为:12×3=36,
故切割掉的两个小长方体的体积之和为:60﹣36=24,
故答案为:24
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．
9．（4分）（2014?上海）设f（x）=,若f（0）是f（x）的最小值,则a的取值范围为（﹣∞,2] ．
【分析】分别由f（0）=a,x≥2,a≤x+综合得出a的取值范围．
【解答】解:当x=0时,f（0）=a,
由题意得:a≤x+,
又∵x+≥2=2,
∴a≤2,
故答案为:（﹣∞,2]．
【点评】本题考察了分段函数的应用,基本不等式的性质,是一道基础题．10．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q,若a1=（a3+a4+…a n）,则q=．
【分析】由已知条件推导出a1=,由此能求出q的值．
【解答】解:∵无穷等比数列{a n}的公比为q,
a 1=（a3+a4+…a n）
=（﹣a 1﹣a1q）
=,
∴q2+q﹣1=0,
解得q=或q=（舍）．
故答案为:．
【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用．
11．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣,则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0,1）．
【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．
【解答】解:f（x）=﹣,若满足f（x）＜0,
即＜,
∴,
∵y=是增函数,
∴的解集为:（0,1）．
故答案为:（0,1）．
【点评】本题考查指数不等式的解法,指数函数的单调性的应用,考查计算能力．
12．（4分）（2014?上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于．
【分析】由三角函数公式可得sin（x+）=,可知x+=2kπ+,或x+=2kπ+,k∈Z,结合x∈[0,2π],可得x值,求和即可．
【解答】解:∵sinx+cosx=1,
∴sinx+cosx=,
即sin（x+）=,
可知x+=2kπ+,或x+=2kπ+,k∈Z,
又∵x∈[0,2π],
∴x=,或x=,
∴+=
故答案为:．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题．
13．（4分）（2014?上海）为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．
【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选择3天的情况,
再求选择的3天恰好为连续3天的情况,即可得到答案．
【解答】解:在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况,
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种,分别是（1,2,3）,（2,3,4）,（3,4,5）,（4,5,6）,
（5,6,7）,（6,7,8）,（7,8,9）,（8,9,10）,
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是,
故答案为:．
【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题．
14．（4分）（2014?上海）已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A（m,0）,存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为[2,3] ．
【分析】通过曲线方程判断曲线特征,通过+=,说明A是PQ的中点,结合x 的范围,求出m的范围即可．
【解答】解:曲线C:x=﹣,是以原点为圆心,2 为半径的圆,并且x P∈[﹣2,0],对于点A（m,0）,存在C上的点P和l上的Q使得+=,
说明A是PQ的中点,Q的横坐标x=6,
∴m=∈[2,3]．
故答案为:[2,3]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,函数思想的应用,考查计算能力以及转化思想．
二、选择题（共4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分
15．（5分）（2014?上海）设a,b∈R,则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判定．
【解答】解:当a=5,b=0时,满足a+b＞4,但a＞2且b＞2不成立,即充分性不成立,若a＞2且b＞2,则必有a+b＞4,即必要性成立,
故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件,
故选:B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础．
16．（5分）（2014?上海）已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b=（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论．
【解答】解:根据集合相等的条件可知,若{a,b}={a2,b2},
则①或②,
由①得,
∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,即a=1,b=1,此时集合{1,1}不满足条件．
由②得,若b=a2,a=b2,则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b）,∵互异的复数a,b,
∴a﹣b≠0,即a+b=﹣1,
故选:D．
【点评】本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论．
17．（5分）（2014?上海）如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB 是大正方形的一条边,P i（i=1,2,...,7）是小正方形的其余顶点,则?（i=1,2, (7)
的不同值的个数为（）
A．7 B．5 C．3 D．1
【分析】建立适当的平面直角坐标系,利用坐标分别求出数量积,由结果可得答案．【解答】解:如图建立平面直角坐标系,
则A（0,0）,B（0,2）,P1（0,1）,P2（1,0）,P3（1,1）,P4（1,2）,P5（2,0）,P6（2,1）,P7（2,2）,
∴,=（0,1）,=（1,0）,=（1,1）,=（1,2）,=（2,0）,=（2,1）,=（2,2）,
∴
=2,=0,=2,=4,=0,=2,=4,∴?（i=1,2,…,7）的不同值的个数为3,
故选C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算,属基础题．
18．（5分）（2014?上海）已知P1（a1,b1）与P2（a2,b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是（）
A．无论k,P1,P2如何,总是无解
B．无论k,P1,P2如何,总有唯一解
C．存在k,P1,P2,使之恰有两解
D．存在k,P1,P2,使之有无穷多解
【分析】判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出a1,b1,P2,a2,b2的关系,然后求解方程组的解即可．
【解答】解:P1（a1,b1）与P2（a2,b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,
∴k=,即a1≠a2,并且b1=ka1+1,b2=ka2+1,∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
,
①×b2﹣②×b1得:（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1,
即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．
∴方程组有唯一解．
故选:B．
【点评】本题考查一次函数根与系数的关系,直线的斜率的求法,方程组的解和指数的应用．
三、解答题（共5小题,满分74分）
19．（12分）（2014?上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
【分析】利用侧面展开图三点共线,判断△P1P2P3是等边三角形,然后求出边长,利用正四面体的体积求出几何体的体积．
【解答】解:根据题意可得:P1,B,P2共线,∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2,∠ABC=60°,
∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°,
∴∠P1=60°,同理∠P2=∠P3=60°,
∴△P1P2P3是等边三角形,P﹣ABC是正四面体,
∴△P1P2P3的边长为4,
V P﹣ABC==
【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力,几何体的侧面展开图和体积的求法．
20．（14分）（2014?上海）设常数a≥0,函数f（x）=．
（1）若a=4,求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值,讨论函数y=f（x）的奇偶性,并说明理由．
【分析】（1）根据反函数的定义,即可求出,
（2）利用分类讨论的思想,若为偶函数求出a的值,若为奇函数,求出a的值,问题得以解决．
【解答】解:（1）∵a=4,
∴
∴,
∴,
∴调换x,y的位置可得,x∈（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）．（2）若f（x）为偶函数,则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立,
∴=,整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．
∵2x﹣2﹣x不恒为0,
∴a=0,此时f（x）=1,x∈R,满足条件；
若f（x）为奇函数,则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立,
∴=﹣,整理可得a2﹣1=0,
∴a=±1,
∵a≥0,
∴a=1,
此时f（x）=,满足条件；
当a＞0且a≠1时,f（x）为非奇非偶函数
综上所述,a=0时,f（x）是偶函数,a=1时,f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时,f（x）为非奇非偶函数
【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性,利用了分类讨论的思想,属于中档题．
21．（14分）（2014?上海）如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A 和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长（结果精确到0.01米）．
【分析】（1）设CD的长为x,利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．
（2）利用正弦定理,建立方程关系,即可得到结论．
【解答】解:（1）设CD的长为x米,则tanα=,tanβ=,
∵0,
∴tanα≥tan2β＞0,
∴tan,
即=,
解得0≈28.28,
即CD的长至多为28.28米．
（2）设DB=a,DA=b,CD=m,
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°,
由正弦定理得,
即a=,
∴m=≈26.93,
答:CD的长为26.93米．
【点评】本题主要考查解三角形的应用问题,利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．
22．（16分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）,若η＜0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证:点A（1,2）,B（﹣1,0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0,2）的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线．
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）,再根据η＜0,得出结论．
（2）联立可得（1﹣4k2）x2=1,根据此方程无解,可得1﹣4k2≤0,从
而求得k的范围．
（3）设点M（x,y）,与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y 轴为x=0,显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0,由η=1×（﹣1）=﹣1＜0,可得x=0是一条分隔线．
【解答】解:（1）把点（1,2）、（﹣1,0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0,
∴点（1,2）、（﹣1,0）被直线x+y﹣1=0分隔．
（2）联立可得（1﹣4k2）x2=1,根据题意,此方程无解,故有1﹣4k2≤0,
∴|k|≥．当|k|≥时,对于直线y=kx,曲线x2﹣4y2=1上的点（﹣1,0）和（1,0）满足η=﹣k2＜0,即点（﹣1,0）和（1,0）被y=kx分隔．
故实数k的取值范围是（﹣∞,﹣]∪[,+∞）．
（3）设点M（x,y）,则?|x|=1,故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．
对任意的y0,（0,y0）不是上述方程的解,即y轴与曲线E没有公共点．
又曲线E上的点（1,2）、（﹣1,2）对于y轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0,即点（﹣1,2）和（1,2）被y轴分隔,所以y轴为曲线E的分隔线．
【点评】本题主要考查新定义,直线的一般式方程,求点的轨迹方程,属于中档题．
23．（18分）（2014?上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n,n∈N*,a1=1．
（1）若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围；
（2）若{a n}是等比数列,且a m=,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应{a n}的公比；
（3）若a1,a2,…a100成等差数列,求数列a1,a2,…a100的公差的取值范围．
【分析】（1）由题意可得:,,代入解出即可；（2）设公比为q,由已知可得,,由于,可得．而,可得,再利用对数的运算法则和性质即可得出．
（3）设公差为d,由已知可得3[1+（n﹣2）d],其中2≤n ≤100,即,解出即可．
【解答】解；（1）由题意可得:,∴；
又,∴3≤x≤27．
综上可得:3≤x≤6．
（2）设公比为q,由已知可得,,又,
∴．因此,
∴,
∴m=1﹣log q1000==1﹣=≈7.29．
∴m的最小值是8,因此q7=,
∴=．
（3）设公差为d,由已知可得≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]
即,
令n=1,得．
当2≤n≤99时,不等式即,．
∴．
综上可得:公差d的取值范围是．
【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数
的运算法则等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题．