中职数学基础模块5.3.3已知三角函数值求角教学设计教案人教版
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授课时间：年月日
☆补充设计☆
第页（总页）
(2) 因为在卜2 ，2上，
n 返
sin 4 =22 ，
所以x= n ；
4，
?n n .
(3) 因为在卜2，2止，si n(-6)=-
2，
所以x=-n ；
6，
(4) 使用函数计算器解题.(略)
例 3 已知sin x=- 0.2156, 且一180 足x w 180。，求x . 解因为sin x=-
0.2156, 所以x是第三或第四象限的
角.
先求符合sin x= 0.2156的锐角x, 使
用函数计算器解得x?12 27 .
因为sin( —12^27) = - sin 12 27’
=-0.215 6, 且sin(12 27—180 X—sin12 27‘ =-0.215 6.
所以当—180《x< 180时，所求
的角分别是一1227'和一167 ^33\
2 .已知余弦值、正切值，求角.
V2
例 4 已知cos x -,
且x^[0, 2 n，求x的取值集合. 解因为cos x =-亍, 所以x是第—或第三象
限的角. 又因为cos :=乎-, 所以符
合条件的锐角是n,
4 '
形
因为cos( n—n) = - cos n=- o ,
4 4 2
通过例3,教师再次强调已知三角
函数值求角的三个步骤：
1. 定象限.
2. 求锐角.
3. 写形式.
教师可引导学生复习已知三
角函数值求角的三个步骤：
1. 定象限.
2. 求锐角.
3. 写形式.
在此基础上，让学生自己解决
例4.
巩固做题步骤.
在此，可让学生结
合余弦函数图象，验证
结论是否正确，培养数
形结合的思想.
课时教学设计尾页(试用)
1已知正弦值，求角.
2.已知余弦值，正切值，求角.
两类题目的解题步骤：
(1) 定象限；
(2) 求锐角；
(3) 写形式.
教材P 162，练习A组第1、2、3题; 练习B组第1、2题.
☆补充设计☆作业设计
教学后记
板书设计
例题：
练习：
锐角三角函数教学设计
锐角三角函数⑴教学设计 一.教学目标： 1.知识与技能： 了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念； 掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系； 掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值. 2.过程与方法： ⑴ 通过经历三角函数概念的形成过程,丰富学生的数学活动经验； ⑵ 渗透数形结合的数学思想方法. ！ 3.情感态度与价值观： ⑴ 让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历； ⑵ 培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神. 二.重点、难点： 重点：锐角三角函数的概念. 难点：锐角三角函数概念的形成. 三.教学过程： （一）、创设情境，激趣设疑 通过创设“生活中测量塔的高度、山坡上修建的扬水站需要的水管 ”的情境，让学生思考利用直角三角形的边角关系能否求物体的高度和长度. 设计意图：从生活中的实例出发，设置疑问，激发学生的求知欲. ^ （二）、合作探究，引出新知 1．实践：已知一个45°的∠A ，在角的一边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于 点C.量出BC ，AB 的长度（精确到1毫米）.计算AB BC 的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较.
设计意图：通过动手操作、合作、交流，直观感知比值AB BC 非常接近，大小和点B 的位置无关，并由此猜想比值是个定值。在活动的过程中，教给学生探究的常用方法：观察、测量、比较、归纳、猜想等，有效培养学生的探究能力，丰富学生的数学活动经验。同时学生的实践活动，让他们经历了三角函数的概念的初步形成过程. 教师引导学生验证:对于给定一锐角α，比值AB BC 是一定值. ① 利用相似三角形的性质，说明“对于每一个确定的锐角α，在角的一边 上任取一点B,作BC ⊥AC 于点C,比值AB BC 都是一个确定的值,与点B 在角的边上的位置无关”. ② 出示几何画板，演示对应于不同大小的角度，总有相应的比值AB BC ，让 学生直观感知比值AB BC 与角度的对应. 。 设计意图：利用相似三角形对应边成比例的性质,验证第一环节的猜想是正 确的,即:当角度确定时,比值AB BC 是个定值.同时利用几何画板的直观演示,让学生 进一步感知:对应于每一个不同的角度, AB BC 都会有一个确定的值.至此，锐角三角函数的概念已是呼之欲出. 教师引导学生发现当锐角α确定时,AB AC ,AC BC 的比值也是定值,并说明理由. 设计意图： 先给出比值AB BC 是定值的验证，然后类比2的验证过程得出另两个比值也是定值，这样的设计可以降低难度，并渗透“类比”的数学思想方法和探究方法.
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【引课】
师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学” 师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象 引入课题 【新授】 课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体；(2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体；(4) 数轴上所有点的坐标的全体。 1. 集合的概念 (1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)； (2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素； (3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示，它的元素通常用小写英文字母a，b，c，…表示。 2. 元素与集合的关系 (1) 如果a 是集合A 的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A” (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A读作“a不属于A” 3. 集合中元素的特性 (1)确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合 (2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象 4. 集合的分类
(1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集 (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集 5. 常用数集及其记法 (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作N； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N＋或N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作Z； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作Q； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作R。 【巩固】 例1判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由 (1) 小于10 的自然数的全体；(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的26 个大写字母；(4) 非常接近1 的实数。 练习1判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ∈Q，b ∈Q，则a＋b ∈Q。 例2用符号“∈”或“?”填空： (1) 1N，0N，－4N，0.3N；(2) 1Z，0Z，－4Z，0.3Z； (3) 1Q，0Q，－4Q，0.3Q；(4) 1R，0R，－4R，0.3R。 练习2用符号“∈”或“?”填空：
人教版必修四 同角三角函数的基本关系教案
1.2.2同角三角函数的基本关系（3） 教学目的： 知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明； 能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。 （2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．同角三角函数的基本关系式。 （1）倒数关系：sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=，tan cot 1αα?=． （2）商数关系： sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα =． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=． （练习）已知tan α43=，求cos α 2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1 二、讲解新课： 例82tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。 =|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos | αα． 2tan α-=-， ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα +=， 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠． 所以，角α的集合为：{|k ααπ=或322,}22 k k k Z πππαπ+<<+∈． 例9．化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+． 解：原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα -+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=?=?112sin cos 2sin cos αααα-+?==?． 说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点： （1）所含三角函数的种类最少； （2）能求值（指准确值）尽量求值； （3）不含特殊角的三角函数值。 例10．求证： cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．
《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数》教学设计 高一级王拴礼 一、学情分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 二、教学目标分析 （一）知识与技能 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3．记住三角函数的定义域、值域以及象限符号。 （二）过程与方法 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三
角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义．根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域、象限符号。 （三）情感、态度与价值观 1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2．通过共同探究，发现新知的过程，培养学生团结协作的意识以及大胆猜想、勇于探索的科学精神． 三、教学重点、难点分析 （一）教学重点 三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），并在这个过程中突出单位圆的作用。
1.2.2同角的三角函数的基本关系 教案
1. 2.2同角的三角函数的基本关系 一、教学目标： ⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 二、教学重、难点 重点：公式1cos sin 2 2=+αα及 αα α tan cos sin =的推导及运用： （1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 2 2 =+αα及 αα α tan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化． 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由2 2 1MP OM +=, 因此2 2 1x y +=,即22 sin cos 1αα+=. 根据三角函数的定义,当()2a k k Z π π≠+ ∈时,有 sin tan cos α αα =. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切. 【例题讲评】 例1化简： 440sin 12- 解：原式 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简
任意角的三角函数教案
1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 1．知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义． (2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值． (3)记住三角函数的定义域． 2．过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一 般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力． (2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数． (3)通过对定义域介绍，提高学生分析、探究、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的 一种联系方式． (2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神． 重点、难点 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)． 教学难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义． 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 新知探究 一、三角函数的定义： 提出问题 问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.
图1 如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a b . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题 问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图2 如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 二、例题讲解
完整word版,三角函数教学设计
4.1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义 一、教学内容分析 直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. 二、学生学习情况分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 四、教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。 5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
同角三角函数基本关系教案
同角三角函数基本关系
1. 教学分析： 教材分析 同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义后，安排的一节继续深入 学习的内容，三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用.同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用. 学情分析 学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了三角函数定义.从方法上 看，学生已经对数形结合，猜想证明有所了解.从能力上看，学生主动学习能力、探究能力有待于提高. 2.教学目标 1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的求值. 2.同角三角函数的基本关系式主要有两个方面的应用:(1)求值(知一求二); (2)证明三角恒等式.本节主要学习三角函数的求值,通过这节课学生应明了如何进行三角函数的求值. 3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法. 3.教学重点与难点 教学重点： 公式1cos sin 22=+αα及 ααα tan cos sin =的推导及运用. 教学难点：公式1cos sin 22=+αα及αα α tan cos sin =的推导,运用同角三角函 数基本关系求三角函数值. 4.教学基本流程 (1)情境引入：大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔 扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就
是著名的“蝴蝶效应”， 两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么我们来看看前些天我们所学习的三角函数.在三个式子中有着“同一个角”其中的联系应该更为紧密！ （2）回顾复习：三角函数定义、三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . y 叫做α的正弦，记做sin α，即 sin =y α x 叫做α的余弦，记做cos α，即 cos x α= 叫做α的正切，记做tan α,即 tan y x α= 我们就分别称有向线段MP 、OM 、AT 为正弦线、余弦线、正切线. 初中时我们学过以下两个公式： 2 2 sin cos 1αα+= sin tan cos α αα = 请同学们思考：这两个等式是否对任意角α都成立怎么证明，在三角函数中有什么作用 这就是本节课要学习的内容：同角三角函数基本关系. （3）新课： 如图：以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =. x y
高中数学任意角的三角函数教案
§1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义
问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)
所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则
《任意角的三角函数》教学设计
《任意角三角函数》教学设计 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通 过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。 《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标: 借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值； 能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标： 在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略：
教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体 参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维 教学过程 一、情景设置: 问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？ （学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么 问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表 示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP += ，于是 问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？ 这说明三角函数值的决定量是什么？ 学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明. 教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关， 仅与角α有关. 问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值 x y r x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的函数. 问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。 O A P α O A P α x y O A P α x y M N
中职数学基础模块上册(人教版)全套教案
中职数学基础模块上册（人教版）全套教案 目录 第一章集合 (3) 1.1.1 集合的概念 (3) 1.1.2 集合的表示方法 (7) 1.1.3 集合之间的关系(一) (11) 1.1.3 集合之间的关系(二) (15) 1.1.4 集合的运算(一) (18) 1.1.4 集合的运算（二) (23) 1.2.1 充要条件 (26) 1.2.2 子集与推出的关系 (30) 第二章不等式 (33) 2.1.1 实数的大小 (33) 2.1.2 不等式的性质 (37) 2.2.1 区间的概念 (41) 2.2.2 一元一次不等式(组)的解法 (45) 2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (49) 2.2.3 一元二次不等式的解法(二) (52) 2.2.4 含有绝对值的不等式 (56) 2.3 不等式的应用 (59) 第三章函数 (62) 3.1.1 函数的概念 (62) 3.1.2 函数的表示方法 (67) 3.1.3 函数的单调性 (71) 3.1.4 函数的奇偶性 (75) 3.2.1 一次、二次问题 (80) 3.2.2 一次函数模型 (83) 3.2.3 二次函数模型 (87) 3.3 函数的应用 (92) 第四章指数函数与对数函数 (95) 4.1.1 有理指数(一) (95) 4.1.1 有理指数(二) (99) 4.1.2 幂函数举例 (104) 4.1.3 指数函数 (108) 4.2.1 对数 (113) 4.2.2 积、商、幂的对数 (116) 4.2.3 换底公式与自然对数 (120) 4.2.4 对数函数 (123) 4.3 指数、对数函数的应用 (127) 第五章三角函数 (130)
高中数学同角三角函数的基本关系教案
同角三角函数的基本关系 教学目的： 知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关 系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函 数值的方法。 能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用 于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入： 1．任意角的三角函数定义： 设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为 (0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果5 3sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式： （板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： （1）商数关系：α ααcon sin tan = （2）平方关系：1sin 22=+ααcon 说明： ①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 tan cot 1(,)2 k k Z πααα?=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、 变形用），如： cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα =等。 2．例题分析： 一、求值问题 例1．（1）已知12sin 13α= ，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4 cos 5α=-，求sin ,tan αα． 解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313 αα=-=-= 又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5cos 13 α=-，从而 sin 12tan cos 5ααα==-， 15cot tan 12αα==- （2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=， 又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5 α=，sin 3tan cos 4 ααα==-； 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==． 总结： 1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它 三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
《任意角的三角函数一》 教案苏教版
数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4） 第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。 【教学重点与难点】： 重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？ 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,
高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计
高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计 一、教学内容解析 这是一节关于任意角的三角函数的概念课。 三角函数是高中范围内即指数函数、对数函数和幂函数之后的最后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幂函数属于同一抽象（概括）层次。它是一种重要的基本初等函数，是解决实际问题的重要工具，也是学习数学中其他知识内容的基础。 在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想，由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数，再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数，直至得到任意角的三角函数的定义，体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的概念是本节课的重点，能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键 一、教学目标设置 1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角函数的定义： （1）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示锐角三角
函数； （2）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示任意角的三角函数； 2、借助单位圆理解任意角三角函数的定义： （3）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数； （4）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示任意角的三角函数； 3、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 4、在借助单位圆认识任意角三角函数概念的过程中，体会数学结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。 三、学生学情分析 1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角函数时可能存在障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的，要克服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有过边长的比值的联系。 2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角函数的表达式变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触
中职数学基础模块上册教案
中职数学（基础模块）教案 1．1集合的概念 知识目标：（1）理解集合、元素及其关系；（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合． 能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法． 教学难点：集合表示法的选择与规范书写． 课时安排：2课时． 1.2集合之间的关系 知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；（2）掌握两个集合相等的概念；（3）会判断集合之间的关系. 能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示． 教学难点：真子集的概念． 课时安排：2课时． 1.3集合的运算（1） 知识目标：（1）理解并集与交集的概念；（2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力． 教学重点：交集与并集． 教学难点：用描述法表示集合的交集与并集． 课时安排：2课时． 1.3集合的运算（2）
知识目标：（1）理解全集与补集的概念；（2）会求集合的补集． 能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力． 教学重点：集合的补运算． 教学难点：集合并、交、补的综合运算． 课时安排：2课时． 1.4充要条件 知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”． 能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力． 教学重点：（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“”，“”，“”的正确使用． 教学难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定． 课时安排：2课时． 2.1不等式的基本性质 知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能． 教学重点：⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质． 教学难点：比较两个实数大小的方法． 课时安排：1课时． 2．2区间 知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．
同角三角函数的基本关系教案
同角三角函数的基本关系 东宁县绥阳中学 教学目的： 知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关 系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函 数值的方法。 能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用 于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入： 1．任意角的三角函数定义： 设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为 (0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果5 3sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课： （一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： （1）商数关系：α ααcon sin tan = （2）平方关系：1sin 22=+ααcon 说明： ①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 tan cot 1(,)2 k k Z πααα?=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、 变形用），如： cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα =等。 2．例题分析： 一、求值问题 例1．（1）已知12sin 13α= ，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4 cos 5α=-，求sin ,tan αα． 解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313 αα=-=-= 又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5cos 13 α=- ，从而 sin 12tan cos 5ααα==-， 15cot tan 12αα==- （2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=， 又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5 α=，sin 3tan cos 4 ααα==-； 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==． 总结： 1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。 例2．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα．
任意角的三角函数教学设计
《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？
【原创】三角函数求值教学设计
三角函数求值 一、三维目标： （1）知识目标：能运用三角函数有关公式进行简单的恒等变换。 （2）能力目标：对于遇到角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性。 （3）情感态度和价值观：角的变换体现出将未知化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一。 二、教学重点：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 三、教学难点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．角度范围的控制。 四、教学过程： 1.讲授新课 问题一（给角求值） 50sin80(13tan10) ++ ． 解：原式 2sin 80132sin 50(cos10sin10)cos102cos5+ +=2sin 80 2sin 50cos(6010 ) cos10cos5 +-= 250cos50) 22cos5+= 2cos(5045)2cos5-== [点评] 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系。实现函数 名与角度的统一。 问题二（给值求值） 已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值
解：法一：由已知 21 tan ,3tan 1tan 1=?=-+θθθ sin2θ-2cos 2 θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=5 4tan 12tan 22 -=+-θθ 法二： sin2θ -2cos 2θ=sin2θ-cos2θ -1=-cos(θπ 22 +)-sin(θπ 22 +)-1 =5 41) 4(tan 1) 4tan(2)4(tan 1) 4( tan 1222-=-+++-+++--θπθπ θπθπ [点评]法一：弦化切；法二：角度的配凑 问题三（给角求值）（1）已知A 、B 均为钝角且5SinA = ，10 SinB =。求A B +。 解：cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，2A B ππ<+<， 74 A B π∴+= [点评]选取恰当的函数名。 （2）已知11tan()tan (0)2 7 αββαβπ-==-∈，，且，，， 求2αβ-的值。 解：tan 2()tan tan(2)tan[2()]1tan 2()tan αββ αβαββαββ -+-=-+= --?， 又22tan()4tan 2()1tan ()3 αβαβαβ--===--，4137tan(2)141137 αβ- -= =+?， 而tan()tan 1 tan tan[()]1tan()tan 3 αββααββαββ-+=-+===--?，(0)αβπ∈，，，所以 04π α<< ，所以13tan 202724 ππ ββππαβαβ= -<<-<-<-=-，所以，，所以。 [点评]注意角度范围控制。 2.课堂练习 （1）11cos(2),sin(2)14αβαβ-=- -=已知