北京外国语大学附属外国语学校数学旋转几何综合综合测试卷(word含答案)
北京外国语大学附属外国语学校数学旋转几何综合综合测试卷
（word 含答案）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=?，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC
上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，
CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出
PMN 面积的最大值．
【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492
【解析】 【分析】
（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；
（2）由旋转可推出BAD CAE ??≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】
（1）PM PN =，PM PN ⊥；
已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得
12PM EC =
，1
2
PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=?
即得PM PN =，PM PN ⊥ 故答案为：PM PN =；PM PN ⊥． （2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得BAD CAE ∠=∠， 又AB AC =，AD AE = ∴BAD CAE ??≌
∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点 ∴PM 是DCE ?的中位线 ∴1
2
PM CE =
，且//PM CE ， 同理可证1
2
PN BD =
，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠， ∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，
DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，
∴
90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=?，
即PMN ?为等腰直角三角形．
（3）把ADE ?绕点A 旋转的如图的位置，
此时1()72PN AD AB =
+=，1
()72
PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ?面积最大值为149
7722
??=． 【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．
2．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点
E 关于AB 的对称点，连接A
F 、BF ．
（1）求AF 和BE 的长；
（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ?<
''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的
长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）129,55AF BF =
=；（2）95
m =或16
5m =；（3）存在4组符合条件的点
P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或
258
9
1055或3
5105 【解析】 【分析】 （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【详解】
（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°，
在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4， 由勾股定理得：2222345AB AD +=+=，
∵S △ABD 12=BD?AE=1
2
AB?AD ， ∴AE=
AB AD 3412
BD 55
??==， ∵点F 是点E 关于AB 的对称点，
∴AF=AE
12
5
=，BF=BE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=3，AE
12
5 =，
由勾股定理得：BE
2
222
129
3
55 AB AE
??
=-=-=
?
??
；
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE
9
5 =，
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′
9
5 =，
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′
9
5
=，即
9
5
m=；
②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，
∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′
9
5 =，
∴BB′=BD-B′D=5-916
55
=，即m
16
5
=；
（3）存在．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠2=∠BAE，
∵点F是点E关于AB的对称点，
∴∠1=∠BAE，
∴∠1=∠2，
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，
则∠Q=∠DPQ，
∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=F′A′+A′Q=1227
3
55
+=，
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：
22
22
927910 BF F Q
55
????
+=+=
? ?
????
''，
∴910
5；
②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，
则∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，
则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q=12
5
-BQ，
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
即：
22
2 912
55
BQ BQ
????
+-=
? ?
????
，
解得：
15
8 BQ=，
∴DQ= BD-BQ=5-1525 88
=；
③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，
则∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°-1
2
∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°-1
2
∠1，
∴∠A′QB=∠4=90°-
1
2
∠1， ∴∠A′QB=∠A′BQ ， ∴A′Q=A′B=3， ∴F′Q=A′Q -A′F′=3-
12355
=， 在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：BQ=2
2
2
2
93310BF F Q 555????+=+= ? ?????
''， ∴DQ=BQ-BD=310
55
-
； ④如图④-4所示，点Q 落在BD 上，且PQ=PD ，
则∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3， ∴∠1=∠4， ∴BQ=BA′=3， ∴DQ=BD-BQ=5-3=2．
综上所述，存在4组符合条件的点P 、点Q ，使△DPQ 为等腰三角形，DQ 的长度分别为：
2或
258
91055或3
5105 【点睛】
本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．
3．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2
y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90?后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与
OAB ?的边分别交于M ，N 两点，将AMN ?以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '?． 设点P 的纵坐标为m ．
①当A MN '?在OAB ?内部时，求m 的取值范围；
②是否存在点P ，使'
5
6
A MN OA
B S S ?'?=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】()2
1y x 22x =-++；（2）①433
m <<；②存在，满足m 的值为619-或
639
-． 【解析】 【分析】
（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值． 【详解】
解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵将OA 绕点O 逆时针旋转90?后得到OB ， ∴OA=OB ，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°， ∴∠AOD=∠BOE ， ∴△AOD ≌△BOE ， ∴AD=BE ，OD=OE ， ∵顶点A 为（1，3）， ∴AD=BE=1，OD=OE=3， ∴点B 的坐标为（3，1-）， 设抛物线的解析式为2
(1)3=-+y a x ， 把点B 代入，得
2(31)31a -+=-，
∴1a =-，
∴抛物线的解析式为2
(1)3y x =--+， 即222y x x =-++；
（2）①∵P 是线段AC 上一动点， ∴3m <，
∵当A MN '?在OAB ?内部时， 当点'A 恰好与点C 重合时，如图：
∵点B 为（3，1-）， ∴直线OB 的解析式为1
3
y x =-， 令1x =，则13
y =-
， ∴点C 的坐标为（1，13
-）， ∴AC=1103()33
--=
， ∵P 为AC 的中点， ∴AP=
1105233
?=， ∴54333
m =-
=， ∴m 的取值范围是
4
33
m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：
∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），
∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3）， ∴'3A P m =-，18'(23)233
A C m m =-+
=-， 设直接OA 为y ax =，直线AB 为y kx b =+， 分别把点A ，点B 代入计算，得
直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+， 令y m =， 则点M 的横坐标为3m
，点N 的横坐标为52
m --， ∴555
2326
m m MN m -=
-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224
A MN S MN A P m m m m ?=
?=?-?-=-+；
'138
'3(2)34223
OA B S A C m m ?=
??=?-=-； 又∵'5
6A MN OA B
S S ?'?=， ∴
255155
(34)12246
m m m -+=?-， 解得：619m =-或619m =+（舍去）； 当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：
把y m =代入1
3
y x =-，则3x m ，
∴5553222m MN m m -=
+=+-，18
'(23)233A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424
A MN S MN A P m m m m ?=
?=?+?-=-++， '138
'3(2)43223OA B S A C m m ?=
??=?-=-， ∵'5
6A MN OA B
S S ?'?=， ∴255155
(43)4246
m m m -
++=?-， 解得：639m -=
或639
m +=（舍去）； 综合上述，m 的值为：619m =-639
3
m -=． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．
4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AD，
∴AD＝2BC＝12，
∴△ABD的面积＝1
2
AD?BC＝
1
2
12×6＝36，
故答案为：36；
（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，
∴∠H＝∠C＝90°，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，
∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠PQH＝∠BPC，
∴△PQH≌△BPC（AAS），
∴PH＝BC，QH＝CP，
∵AC＝BC，
∴PH＝AC，
∴CP＝AH，
∴QH＝AH，
∴∠HAQ＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴AB⊥AQ；
（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，
∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，
∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，
∴∠EAC＝30°，
则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，
∵点C和点D关于AF对称，
∴AD＝AC＝6，
∵∠AND＝90°，
∴DN＝1
2
AD＝
1
2
6＝3，
∴CM+NM最小值为3．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，请问
△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：
特例验证：
(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．
猜想论证：
(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=63，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)①1
2
；②4
(2) AD=1
2
BC，理由见解析
(3)存在，13
【解析】
【分析】
(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可
求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=1
2
AB′=
1
2
BC
②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得
△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.
（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：
因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，
AD=1
2 BC；
(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O
假设P点存在，再证明理由.
根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM3DM3
在；
∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=1
2
BM3
DE=EM﹣DM3﹣33
由已知DA3AE=DE
且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD
因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=1
2
BC3，利用线段长度可求得∠CDF=60°
利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，
得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.
【详解】
(1)①∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°
∵DB′=DC′
∴AD⊥B′C′
∵∠BAB′+∠CAC′=180°
∴∠BAC+∠B′AC′=180°
∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°
∴∠B′=∠C′=30°
∴AD=1
2
AB′=
1
2
BC
故答案：1 2
②∵∠BAB′+∠CAC′=180°
∵∠BAC=90°
∴∠B′AC′=∠BAC=90°
在△BAC和△B′AC′中，
'
'"90
"
AB AB
BAC B AC
AC AC
=
?
?
∠=∠=??
?=
?
∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′
∵B′D=DC′
∴AD=1
2
B′C′=
1
2
BC=4
故答案：4
(2)AD与BC的数量关系：AD=1
2
BC；理由如下：
延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，
∵∠BAB′+∠CAC′=180°，
∴∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠BAC=∠AB′M，
在△BAC和△AB′M中，
'
'
'
AC B M
BAC AB M
AB AB
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BAC≌△AB′M(SAS)，∴BC=AM，
∴AD=1
2 BC；
(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：
延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：
∴∠ADC=150°，
∴∠MDC=30°，
在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，
∴CM
DM
，∠M=90°﹣∠MDC=60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM
，∠MBE=90°﹣∠M=30°，
∴EM=1
2 BM
∴DE=EM﹣DM
∵DA
∴AE=DE，
∵BE⊥AD，
∴PA=PD，
∵PF是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，PF∥CD，
在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=1
2 BC
∴tan∠CDF=CF
CD
=
6
，
∴∠CDF=60°，
∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，∴∠ADF=90°=∠AEB，
∴∠CBE=∠CFD，
∵∠CBE=∠PCF，
∴∠CFD=∠PCF=30°，
∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∴∠CPF=∠CDF=60°，
在△FCP和△CFD中，
CPF CDF
PCF CFD CF CF
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△FCP≌△CFD(AAS)，
∴CD=PF，
∵CD∥PF，
∴四边形CDPF是矩形，
∴∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，
∴∠APD=60°，
∵∠BPF =∠CPF =90°﹣30°=60°， ∴∠BPC =120°， ∴∠APD +∠BPC =180°，
∴△PDC 与△PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系； 在Rt △PDQ 中，∵∠PDQ =90°，PD =DA =63，DN =1
2
CD =3， ∴PQ =22DQ DP +=223(63)+=313．
【点睛】
本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系.在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性.
6．(1)观察猜想
如图(1)，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,点D 是BC 的中点．以点D 为顶点作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ，则线段BG 和AE 的数量关系是_____； (2)拓展探究
将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由. (3)解决问题
若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE 为最大值时，直接写出AF 的值．
【答案】（1）BG ＝AE ． （2）成立．
如图②，
连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．
∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．
∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．
∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分
（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．
正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．
若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．
在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．
∴AF＝
【解析】
解：（1）BG＝AE．
（2）成立．
如图②，连接AD．
∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．
∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．
∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．
∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．
（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]
因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．
若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．
在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．
∴AF＝．
即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．
7．如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
（1）点C的坐标为（，）；
（2）若二次函数的图象经过点C．
①求二次函数的关系式；
②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；Z_X_X_K]
③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．
(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，
∴.解得
∴二次函数的关系式为